Norbert Treitz

(zu den physikalischen Unterhaltungen März 07 und folgenden)

Animationen zu Epi- und Hypotrochoiden

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Inhaltsverzeichnis

Epitrochoiden
Epizykloiden - m = 2 Kardioide - m = 3 Nephroide
Hypozykloiden - m = -1 Strecke - m = -2 Deltoide - m = -3 Astroide
Ellipse mit zwei Zahnradpaaren
Cremonas Fadenspiele
Evoluten und Evolventen
Zur Erklärung der Kaustik

Einführung

Die Kurven

x = a·cos(wt) + b·cos(mwt)
y = a·sin(wt) + b·sin(mwt)


heißen für positiv-rationales m Epitrochoiden und für negativ-rationales Hypotrochoiden. Jede von ihnen kann man auf genau zwei Arten durch Abrollen von Zahnrädern auf- oder in-einander erzeugen, von denen eins auf dem Zeichentisch fest ist und das andere fest mit einem Zeichenstift verbunden ist.

Spezialfälle sind Epi- und Hypozykloiden (siehe unten, zum Teil mit eigenen Namen), Rhododoneen (mit a = b), Ellipsen (die noch spezieller zu Strecken zusammenklappen können) und die Pascal-Schnecke (Limaçon). Grenzfälle sind die (gestreckte bzw. spitze = gemeine bzw. verschlungene) Zykloide, für die a/b unendlich ist, hier rollt ein Rad auf oder unter einer Geraden ab.

Epitrochoiden

Limaçon

Pascal-Schnecke nach Ètienne Pascal (1588-1651, dem Vater von Blaise Pascal), rot speziell die Kardioide (mit dem Stift auf dem Zahnradumfang).

2-spitzige Epitrochoide

Darin ist die rote Kurve speziell die Nephroide (Stift auf dem Zahnradumfang).

Epi- und Hypozykloiden

Ist der Schreibstift auf dem Umfangs, also sozusagen in einem Zahn des laufenden Rades angebracht, so heißen die entsprechenden Kurven Epi- bzw. Hypo-Zykloiden.

Leider gibt es auch andere Zuordnungen der Bezeichnungen, sogar bei Gino Loria, dem Klassiker der Kurvengeometrie.

Die folgenden Bilder und Animationen zeigen zu jeder Epizykloide und Hypozykloide die beiden Zahnrad-Erzeugungen einzeln und kombiniert. In den Fällen der Kombination ist die Kinematik überbestimmt, d.h. sie klemmt in der Realität bei ungenauer Ausführung, auch müssen die Räder und die Speichen der Innenzahnräder trickreich auf die Ebenen verteilt werden.

Epizykloiden

Bei je einer Erzeugung rollt ein Rad auf einem anderen ab, bei der anderen rollt ein großes Innenrad um ein kleineres Außenrad wie ein Hula-Reifen um den Bauch eines (unsportlichen, weil unbeweglichen und - daher? - runden) Menschen.

Kardioide

Nephroide

weitere Epizykloiden

Hypozykloiden

Bei ihnen rollt in beiden Fällen ein kleines Rad in einem größeren Innenzahnrad, bei der Strecke - die ein Beispiel für eine exakte Geradführung ist! - sind beide Erzeugungsarten einander gleich: das innere Rad hat halb so viele Zähne wie das äußere.

Strecke (Geradführung)

(als Spezialfall der Ellipse)

Deltoide (Steiner-Hypozykloide

Astroide

Weitere Hypozykloiden

Die Ellipse mit zwei Zahnradpaaren

Hypotrochoiden mit dem Verhältnis n = -1 der Winkelgeschwindigkeiten der Zeiger sind Ellipsen und speziell für gleiche Zeigerlängen Strecken, die zeitlich wie bei einer harmonischen Schwingung durchlaufen werden. Diese Strecke ist dabei ein Spezialfall einer Hypozykloide.

Die folgenden Bilder und Animationen zeigen die Erzeugung einer Ellipse auf zwei Arten mit jeweils einem Zahnrad, das innen in einem Innenzahnrad läuft. Im einen Fall ist der Schreibstift auf einer Speiche (hier bei 60 % des Radius), des laufenden Rades angebracht, im anderen auf der Verlängerung einer Speicher bei 140 %. Laufen beide zugleich mit jeweils konstanten Winkelgeschwindigkeiten, geht es auch!

Cremonas Fadenspiele

Die Animationen zeigen auch weniger Fäden. Nummeriert man die Ecken des regulären n-Ecks, auch mit Wiederholungen über n hinaus, und verbindet man die Ecken i jeweils mit Ecke m·i, so hüllt die Figur für große n die m-Epizykloide ein, also für m = 2 die Kardioide, für 3 die Nephroide usw.

Evoluten und Evolventen von Epizykloiden

Die Evolute einer Kurve ist die Menge der Mittelpunkte der Krümmungskreise zu ihren einzelnen Punkten. Eine Evolvente ist eine Kurve, auf der ein Ende eines Fadens läuft, der von einer gegebenen Kurve abgewickelt wird. Die Evolute einer Evolvente einer Kurve ist diese Kurve selbst. Epi- und Hypozykloiden haben als Evoluten Kurven, die zu ihnen streng ähnlich und um den halben Winkel zwischen ihren Spitzen (vom Mittelpunkt aus) hedreht sind. In den Animationen ist zu sehen, wie die die Tangentenabschnitte als Krümmungsradien auftreten.

Die blauen und gelben Strecken auf den Kurven und auf den Quadraten illustrieren den rationalen Zusammenhang - nämlich Faktor 8 - zwischen Kurvenlänge und Durchmesser der "mittleren" Kreise.

Zur Erklärung der Kaustik am Kreis

Die Katakaustik am Kreis für Quelle auf dem Umfang und für Quelle im Unendlichen wird in diesen Animationen erklärt.