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Lexikon der Physik: Einstein-Gleichungen

Einstein-Gleichungen, die grundlegenden Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie:



(1)

Gαβ ist hier die Metrik, Λ die kosmologische Konstante, κ die Einsteinsche Gravitationskonstante und Tαβ der Energie-Impuls-Tensor. Der Krümmungstensor Rαβγδ wird hier benötigt, um sukzessive zuerst den Ricci-Tensor

, daraus den Krümmungsskalar R = Rαα und schließlich den Einstein-Tensor

zu definieren.

Die Einstein-Gleichungen beschreiben den quantitativen Zusammenhang zwischen der Metrik gαβ der Raumzeit, die eine vierdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit darstellt, und dem Energie-Impuls-Tensor Tαβ. Die zehn unabhängigen Komponenten der Metrik sind dadurch bis auf vier beliebige Koordinatentransformationen eindeutig bestimmt. Durch die Form der Feldgleichungen unterscheidet sich die Allgemeine Relativitätstheorie von anderen Mitgliedern der Klasse der metrischen Gravitationstheorien.

Die Einstein-Gleichungen (1) können nicht streng bewiesen werden, sondern sind als Axiome zu verstehen; sie können jedoch eindeutig hergeleitet werden, wenn man von den folgenden Bedingungen ausgeht (Allgemeine Relativitätstheorie):

1) Die Gleichungen müssen kovariant sein.

2) Die Raumzeit besitzt außer der Metrik keine weitere geometrische Struktur.

3) Die Feldgleichungen enthalten keine höheren Ableitungen der Metrik als die zweite.

4) Im nichtrelativistischen Grenzfall, also bei schwachen Feldern und kleinen Geschwindigkeiten, muß die Theorie in die Newtonsche Gravitationstheorie übergehen.

Ausgehend von diesen Bedingungen fand Einstein die Feldgleichungen im November 1915.

Die vierte Bedingung fixiert die Gravitationskonstante κ, da die Gleichungen im nichtrelativistischen Grenzfall in die Poisson-Gleichung

für das Newtonsche Gravitationspotential U übergehen, wenn

(G = Newtonsche Gravitationskonstante) gesetzt wird.

Praktisch gleichzeitig und unabhängig von Einstein leitete der Mathematiker David Hilbert die Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie durch die Variation der Wirkung



(2)

her, wobei über eine beliebige Raumzeit-Region Ω integriert wird. Die Lagrange-Dichten LG bzw. LM bilden den geometrischen bzw. den materiellen Teil der Wirkung W. Hilbert setzte

mit g = det(gαβ) und erhielt so die Einstein-Gleichungen (1) als Euler-Lagrange-Gleichungen der Wirkung (2). Bei diesem Zugang ergibt sich der Energie-Impuls-Tensor als die Variationsableitung



,

wobei eine der physikalischen Situation angemessene Materie-Lagrange-Dichte LM gewählt werden muß. [RAP]

Copyright 1998 Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg

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Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
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Prof. Dr. Klaus Andres, Garching [KA] (A) (10)
Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
Prof. Tamás S. Biró, Budapest [TB2] (A) (15)
Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
Dr. Matthias Delbrück, Dossenheim [MD] (A) (12, 24, 29)
Prof. Dr. Martin Dressel, Stuttgart (A) (Essay Spindichtewellen)
Dr. Michael Eckert, München [ME] (A) (02)
Dr. Dietrich Einzel, Garching (A) (Essay Supraleitung und Suprafluidität)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
Dr. Sascha Hilgenfeldt, Cambridge, USA (A) (Essay Sonolumineszenz)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen [JK] (A) (04)
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Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
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Volker Lauff, Magdeburg [VL] (A) (04)
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Dr. Andreas Markwitz, Lower Hutt, NZ [AM1] (A) (21)
Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
Dr. Rudi Michalak, Dresden [RM1] (A) (23; Essay Tieftemperaturphysik)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
Prof. Dr. Karl Otto Münnich, Heidelberg (A) (Essay Umweltphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14; Essay Spezielle Relativitätstheorie)
Dr. Erwin Schuberth, Garching [ES4] (A) (23)
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Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
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