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"Wenn man allerdings annimmt, dass 0,999… kleiner ist als 1, dann gibt es keine weitere Zahl, die zwischen beiden Werten liegt. Man hat damit eine eindeutige Lücke auf dem Zahlenstrahl lokalisiert."
Hier muss ich widersprechen. Da eben nach Definition der reellen Zahlen (Vollständigkeitsaxiom) zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen jeweils unendlich viele weitere (verschiedene) reelle Zahlen liegen, müssen auch dann zwischen 0,999... und 1 unendlich viele weitere reelle Zahlen liegen. Man hätte also aus einer gewissen Perspektive maximal ein Paar von verschiedenen reellen Zahlen (durch die zusätzliche Definition, dass 0,999... < 1 ist) gefunden, bei denen sich diese reellen Zahlen, welche zwischen 0,999... und 1 liegen, eben u.a. nicht durch das Zehnerdezimalsystem dargestellt werden können. Schließlich wurde durch die Zusätzliche Definition, dass 0,999... < 1 ist, nicht das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen außer Kraft gesetzt (d.h. das Vollständigkeitsaxiom wurde nicht gestrichen), wobei umgangssprachlich das Vollständigkeitsaxiom ausdrückt, dass es keine Lücken auf der Zahlengerade gibt.
Man landen dann bei einer weiteren Betrachtung dessen, natürlich bei einer Nichtstandard-Analysis, sofern man eben nicht die Definition, dass 0,999... < 1 ist, nun fallen läßt und durch die Definition 0,999...= 1 ersetzt.
Ansonsten kann dann (bei Definition 0,999... < 1) diese Nichtdarstellbarkeit der reellen Zahlen, welche zwischen 0,999... und 1 liegen, mit den sogenannten transzendenten Zahlen vergleichen, welche eben nicht als Lösung von algebraischen Gleichungen (über den rationalen Zahlen) dargestellt werden können.
Das Interessante ist, dass man dann nach Definition einer solchen Nichtstandard-Analysis mit Inifinitisimalen, dann in einem weiteren Schritt, auch hier wieder eine solche vermeintliche "Lücke" identifizieren könnte (man hätte ja immer noch die Definition 0,999... < 1 und damit auch 0,999... epsilon < 1 epsilon für die Infinitisimal kleinen Größen). Dieses Prozedere könnte man dann - schön iterativ - immer weiter fortführen. Schlußendlich hätte man dann eine unendliche Folge von Nichtstandard-Analyses (Analyses als Mehrzahl von Analysis) und hätte dabei auch eine schöne "überbordende" Notation dieser Zahlen, vor allem dann, wenn man den "Grenzwert" dieser Definitionen der Nichtstandard-Analysisfolge betrachtet. Das eigentliche "Problem", dass, nun aber auch dann beim Grenzwert der Folge von Nichtstandard-Analyses nun wieder auftauchen würde, für bestimmte Zahlen die Schreibweise 0,999... und 1 verschiedenen sind, hätte man dann aber vermutlich auch nicht für die sich ergebende Grenzwert Nichtstandard-Analysis gelöst. Man könnte nun also auch wieder für die Grenzwert Nichtstandard-Analysis - analog zu "0,999... < 1" - ein Paar von Zahlen finden, bei denen sich eine "Lücke" auf dem Zahlenstrahl ergeben würde, so dass man durch die Betrachtung der Grenzwert Nichtstandard-Analysis nichts gewonnen hätte, es sei denn man definiert dort dann letztlich, das Äquivalent zu "0,999... = 1", für gewisse Schreibweisen von Zahlen.
Natürlich kann man dadurch, dass man z.B. bei Nutzung von inifinitisimal kleinen Größen nun definiert, dass die Schreibweise 0,999... epsilon und 1 epsilon die gleiche Zahl darstellen, sich weitere Iterationsschritte sparen. Man muss sich allerdings dann - zurecht - die Frage erlauben, warum man diese Definition nicht schon bei den "reellen Zahlen" vorgenommen hat, sondern erst in einem späteren Iterationsschritt (oder beim "Grenzwert" der Folge von Nichtstandard-Analyses).
Warum greift man zur Lösung der Frage: 0,999… = 1 ? nicht einfach auf die Leibniz’sche Infinitesimalrechnung zurück – mit der eindeutigen Schreibweise:
1 = lim (n gegen Unendlich) 9 * Summe [10 (exp -n)] (n geradzahlig) ?
PS: Die Übertragung der korrekten mathematischen Schreibweise aus dem Winword Formel Editor durch Kopieren hierhin ist mir nicht gelungen!
Die Voraussetzung 1/3 = 0.333… ist schon NUR eine Näherung! Schneidet man eine Pizza 🍕 in 3 Teile hat man 3/3 = 1! In Dezimal kann man das nur mit einer Näherung ausdrücken. Nichtsdestotrotz - 0.99999… ist nun mal 0.000… 1 WENIGER als 1 🤷♂️
Bei der Frage, ob 0,999... = 1 ist, geht es natürlich um einen unendlich kleinen Unterschied auf dem Zahlenstrahl, aber schlussendlich auch um die Eindeutigkeit der Mathematik. Deswegen ist die Antwort eindeutig: Nein, sie sind nicht gleich.
Wenn man annimmt, dass 1 / 3 = 0,333... ist, dann folgt 3 * 1 / 3 = 0,999... und somit die initale Aussage. Aber stimmt die Annahme?
Bei der schriftlichen Division sieht man folgendes:
1 / 3 = 0,3 + R1 mit R1 = 0,1
1 / 3 = 0,33 + R2 mit R2 = 0,01 usw.
Somit folgt:
1 / 3 = 0,333... + Rinf mit Rinf = ?
So unbedeutend Rinf auf sein mag, so ist es doch genau der Unterschied zwischen 0,999... und 1, denn damit stimmt auch die Rückrechnung der Division:
3 * 0,3 + R1 = 1
3 * 0,33 + R2 = 1
3 * 0,333... + Rinf = 1.
Die gleiche Ungenauigkeit betrifft den Term 1 / (10^(n+1)) mit n gleich unendlich. Der Term wird nicht null, sondern Rinf. Wenn man eine Torte in 10^(n+1) (mit n gleich unendlich) Teile teilt und fügt diese Teile wieder zusammen, dann erhält man zwar irgendetwas, aber dieses etwas hat zumindest die Masse der Torte. Wäre der Term gleich null, wäre die Torte und mit ihr ihre Masse nach dem Teilen verschwunden.
H.J. Böhmers Buch ist zweifellos ein interessantes und man würde sich (im Übrigen nicht erst) nach seiner Lektüre in der Tat Forstleute mit einem ökologischeren Blick auf ihren Wald wünschen. Aber das Buch bleibt leider bei einer Bestandsaufnahme der gegenwärtigen Situation, wenn auch erfreulicherweise mit einem differenzierteren Blick darauf, was genau der Klimawandel bewirkt. Und dann? Wird der Leser, wurde ich jedenfalls, ziemlich enttäuscht. Denn, was der – so gesehen – völlig missverständliche Titel, verspricht, bleibt das Buch schuldig: Eine Empfehlung, mit welchen waldbaulichen Maßnahmen die Forstpartie aufgrund der geschilderten Erkenntnisse endlich mal wirklich fundiert an den Waldumbau zu einem „klimaresilienten“ Wald bzw. Forst (das ist ja, wie schön herausgearbeitet, zweierlei) herangehen sollte, d.h. wie ein solcher Forst aussehen könnte. Ich habe bis dato dazu nirgends etwas Substanzielles gefunden, wozu z.B. auch eine vernünftige Strategie gehören würde, wie ein solcher Waldumbau mit den Bedürfnissen der Schalenwildarten zusammengehen könnte.
Möglich ist der beschriebene Effekt nur, wenn unterschiedliche Grundmengen (die für die Prozent-Angaben herangezogen werden) vorliegen.
Im englischen Wiki zum Simpson-Paradox wird diese Unterschiedlichkeit zumindest erwähnt (Die Anzahl der Schläge ist die jeweilige Grundmengen):
"Ein gängiges Beispiel für das Simpson-Paradoxon sind die Schlagdurchschnitte von Profibaseballspielern. Es ist möglich, dass ein Spieler über mehrere Jahre hinweg jedes Jahr einen höheren Schlagdurchschnitt als ein anderer Spieler hat, aber in all diesen Jahren einen niedrigeren Schlagdurchschnitt aufweist. Dieses Phänomen kann auftreten, wenn die Anzahl der Schläge in den einzelnen Jahren sehr unterschiedlich ist.
Der Mathematiker Ken Ross hat dies anhand des Schlagdurchschnittes von zwei Baseballspielern, Derek Jeter und David Justice, in den Jahren 1995 und 1996 nachgewiesen: ([17][18])
Sowohl 1995 als auch 1996 hatte Justice einen höheren Schlagdurchschnitt (fett gedruckt) als Jeter. Nimmt man jedoch die beiden Baseball-Saisons zusammen, so weist Jeter einen höheren Schlagdurchschnitt auf als Justice. Laut Ross ist dieses Phänomen unter den möglichen Spielerpaaren etwa einmal pro Jahr zu beobachten. ([17])"
Übersetzt mit www.DeepL.com/Translator (kostenlose Version)
Ein vereinfachtes (und übertriebenes) Beispiel zum Covid-China-Italien-Vergleich :
Land A:
Altersstufe 10-19: 2 T. von 100 Erkrankten: 2%
Altersstufe 70-79: 40 T. von 1000 Erkrankten : 4%
Gesamt: 42 von 1100: 3,8%
Land B:
Altersstufe 10-19: 30 T. von 1000 Erkrankten: 3%
Altersstufe 70-79: 5 T. von 100 Erkrankten: 5%
Gesamt: 35 von 1100: 3,1%
(Im Original-Diagram/Text sind keine Grundmengen, also konkrete Zahlen von Erkrankten, angegeben; zusätzlich verwirrt die Unterscheidung "Erkrankte" und "erkannte Fälle" - von denen wohl die Mehrheit nicht krank war).
Im China-Italien-Vergleich wird der Effekt zwar durch die Unterschiede in den Ländern sichtbar - er entsteht aber bereits durch die Betrachtung der Gesamt-Menge, statt der Einzel-Gruppen.
Intuitiv besseres Beispiel: Die Villa Kunterbunt soll neu gestrichen werden.
Für das Wohnzimmer wird Blau in Weiß 1:10 zu "Himmelblau" gemischt und die Küche Gelb in Weiß 1:10 "Sandgelb". Von den Mischungen war noch Farbe übrig, das wurde zusammenschüttet und der Flur gestrichen. Aber statt des Grüns, dass nach Anleitung mit 1:1 Blau-Gelb entstehen sollte, ist es ein leicht grünlicher Blau-Ton geworden. Was war passiert? Vom Wohnzimmer waren noch 5 Liter übrig, von der Küche nur 1 Liter.
Im China-Italien-Vergleich hat man mit der Mischung der unterschiedlich großen Mengen implizit vorausgesetzt, dass die Unterscheidung nach Alter irrelevant sein muss. Wären die Mengen deutlich unterschiedlich, wäre auch das intuitiv klar.
Beispiel: In einem Gebäude sind 10% der Menschen infiziert. Der Statistiker weißt darauf hin, dass die Einstufung nach Alter schwierig ist, da große Mengenunterschiede der Altersgruppen vorhanden sind. Mit dem Hinweis, dass es sich bei dem Gebäude um ein Schule handelt, wäre das jedem auch so klar gewesen.
Will man nach Alter unterscheiden und die Gesamtheit betrachten ergibt das nur Sinn, wenn man den Durchschnitt der Prozente berechnet - oder man sich für jede Gruppe die gleich Anzahl Leute heraus pickt. Im China-Italien-Vergleich hätte man also explizit auf die unterschiedlichen Mengen hinweisen müssen.
Oder Besser: nicht beides zusammen in ein Diagramm setzen. Selbst wenn keine Vorschrift dagegen existiert - praktisch ist das nicht.
[17]: Ken Ross. "A Mathematician at the Ballpark: Odds and Probabilities for Baseball Fans (Paperback)" Pi Press, 2004. ISBN 0-13-147990-3. 12–13
[18]: Statistics available from Baseball-Reference.com: Data for Derek Jeter; Data for David Justice.
Der Beitrag sollte eher heißen: Verwirrung über einen Beitrag mit dem Titel "Verwirrung mit Grundrechenarten"!
Denn leider wurde in der groß vorangestellten Aufgabe ein Rechenzeichen vergessen! Dort steht groß und deutlich: 8:2 (2+2)=?
Was also soll mit den beiden Teilergebnissen aus (8:2) und (2+2) passieren?
Da gibt es bei dieser Schreibweise vier Möglichkeiten: "+,-,*,:"
Aus dem Text wird dann klar, dass es sich um eine Multiplikation handeln soll, aber so wie es da steht, ist das Ergebnis wirklich nur ein Fragezeichen!
ein sehr interessanter und aufschlussreicher Artikel !
Nur ein kleiner Schönheitsfehler hat sich eingeschlichen.
Schon beim ersten Blick auf die Grafik "Stöße zweier Kugeln", in der man von oben nach unten verfolgen soll, was passiert, wurde mir etwas mulmig. Und auch wenn die Grafik nur symbolisch ist, sind doch die Kugeln zumindest in unserer Alltagsvorstellung nicht unendlich klein; so wie eben dargestellt.
Wieso sollten nun eine gleich schwere Kugel nach der Übertragung ihrer Bewegungsenergie durch den Stoß gegen die andere Kugel noch ihren Ort wechseln ? Bei Reibungsfreiheit würde die von links kommende blaue Kugel am Ort ihrer Berührung der roten Kugel zum Stillstand kommen.
Laut der Grafik: Der Zusammenstoß findet einen Kugelradius weiter rechts statt, und während der Bewegung der roten Kugel nach rechts ist die blaue Kugel erneut einen Kugelradius weiter rechts dargestellt. Bei der Rückkehr der roten Kugel spielt sich das ganze rückwärts ab, die Kugelorte bei Zusammenstoß und danach sind also wieder verschoben.
Diese Darstellung ist falsch, und sollte bitte korrigiert werden.
Freundliche Grüße aus der Stadt der Magdeburger Halbkugeln ;-)
Martin Nischang
Der mathematische Beweis, dass die optimale Zugzahl beim klassischen Turm von Hanoi (so der ursprüngliche Name) mit n Scheiben 2n -1 beträgt, ist zwar leicht, aber doch nicht so leicht wie im Beitrag "Die Türme der Apokalypse" von Florian Freistetter (Spektrum 2.22, S. 87) angedeutet.
Dort wird nämlich die unbewiesene Annahme verwendet,
dass die größte Scheibe nur einmal bewegt wird. Das ist zwar in diesem Fall wahr, nicht aber im allgemeinen. Will man z.B. eine Verteilung von drei Scheiben, in der die größte auf der ersten Stange liegt, die beiden anderen auf der zweiten, überführen in die umgekehrte Situation, also mit der größten Scheibe auf der zweiten Stange, den beiden kleineren auf der ersten, so läuft die größte Scheibe zweimal in der einzigen optimalen Lösung (der Länge 5). Die mathematische Theorie des Turms von Hanoi ist inzwischen ein
aktives Teilgebiet der Diskreten Mathematik geworden. Man findet vieles hierzu in dem Buch "The Tower of Hanoi-Myths and Maths" von Andreas M. Hinz, Sandi Klavzar und Ciril Petr, das 2018 in zweiter Auflage bei Birkhäuser in Cham erschienen ist.
Von Schülerinnen und Schülern oft unbeliebt und oft unterschätz: Schreiben in Brüchen. Damit könnten man die Uneindeutigkeit der obigen Aufgabe ebenfalls eindeutig umgehen und die beiden enthaltenen Gleichungen unmissverständlich ausdrücken. 8/2(2+2) oder 8/2 x (2+2)
Sehr geehrter Herr Freistetter,
es herrscht keine Einigkeit oder Meinungshoheit über die Eindeutigkeit der Lesart, darüber also, ob der weggelassene Punktoperator gleichrangig oder vorrangig zu lesen ist [(a/b)c) oder a/(bc)].
Viele fragen nicht nach Absicht oder Intention hinter der Notation und interpretieren strikt PEMDAS folgend den fehlenden Operator als eine gleichrangige Multiplikation. Wolfram, Google, manche Computer Taschenrechner lesen also automatisch (a/b)c .
Libreoffice Calc fragt immerhin nach, ob die eingegebene Formel in diese Richtung korrigiert werden soll.
Unterstellt man der Schreibweise allerdings Absicht, erscheint es berechtigt a/bc als a/(bc), bzw. als a/b/c, und damit bc als Nenner eines Bruches zu lesen. Der fehlende Operator wird als eine vorrangig auszuführende Multiplikation bzw. eine gleichrangige Division interpretiert. Das wissenschaftliche Kalkulationsprogramm SpeedCrunch geht ebenfalls von dieser Lesart aus.
Man sollte besser nicht über die Richtigkeit der einen oder anderen Lösung streiten, oder die eine oder andere Lesart als einzige Wahrheit präsentieren, sondern darauf hinweisen, daß immer Klammern verwendet werden sollten um internationale Eineindeutigkeit zu erzielen.
Vielen Dank für die ausführliche Erläuterung.
Das dargestellte Problem ist allerdings vielmehr eines, das polarisieren soll und Aufmerksamkeit generieren. Zum einen wird das Divisionssymbol verwendet, was zumindest bei mir ab der Sekundarstufe keine Anwendung mehr fand. Dieser Term lässt sich ohne Müheso schreiben, dass er auf den ersten Blick wirklich eindeutig ist. Möglicherweise haben niedrige Klassenstufen die wenigsten Probleme damit, weil sie stark das Regelwerk befolgen und diese Bivalente Schreibweise erst gar nicht zu Gesicht bekommen. Abseits davon gibt es in den wirklich zahlreichen Begründungen für die 1 als Äquivalent des Terms die durchaus nachvollziehbare Argumentation, dass das fehlende Multiplikationszeichen an der Klammer tatsächlich stärker bindet.
Als Beispiel: 1 : (2x+2y) -> 1 : 2(x+y)
Ich kann das Prinzipienreiten auf PEDMAS (oä) verstehen. Aber das war nie Ziel der "Aufgabe". Hier geht es nicht um Aufklärung oder Lösen eines Rätsels sondern wie eingangs gesagt um Aufmerksamkeit und Kontroverse durch eine oberflächlich mehrdeutige und nicht gebräuchliche Schreibweise.
Danke
Korrektur zu Leibniz ...
18.03.2022, Paul KalbhenKleiner Widerspruch zu einer Aussage
18.03.2022, Björn StuhrmannHier muss ich widersprechen. Da eben nach Definition der reellen Zahlen (Vollständigkeitsaxiom) zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen jeweils unendlich viele weitere (verschiedene) reelle Zahlen liegen, müssen auch dann zwischen 0,999... und 1 unendlich viele weitere reelle Zahlen liegen. Man hätte also aus einer gewissen Perspektive maximal ein Paar von verschiedenen reellen Zahlen (durch die zusätzliche Definition, dass 0,999... < 1 ist) gefunden, bei denen sich diese reellen Zahlen, welche zwischen 0,999... und 1 liegen, eben u.a. nicht durch das Zehnerdezimalsystem dargestellt werden können. Schließlich wurde durch die Zusätzliche Definition, dass 0,999... < 1 ist, nicht das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen außer Kraft gesetzt (d.h. das Vollständigkeitsaxiom wurde nicht gestrichen), wobei umgangssprachlich das Vollständigkeitsaxiom ausdrückt, dass es keine Lücken auf der Zahlengerade gibt.
Man landen dann bei einer weiteren Betrachtung dessen, natürlich bei einer Nichtstandard-Analysis, sofern man eben nicht die Definition, dass 0,999... < 1 ist, nun fallen läßt und durch die Definition 0,999...= 1 ersetzt.
Ansonsten kann dann (bei Definition 0,999... < 1) diese Nichtdarstellbarkeit der reellen Zahlen, welche zwischen 0,999... und 1 liegen, mit den sogenannten transzendenten Zahlen vergleichen, welche eben nicht als Lösung von algebraischen Gleichungen (über den rationalen Zahlen) dargestellt werden können.
Das Interessante ist, dass man dann nach Definition einer solchen Nichtstandard-Analysis mit Inifinitisimalen, dann in einem weiteren Schritt, auch hier wieder eine solche vermeintliche "Lücke" identifizieren könnte (man hätte ja immer noch die Definition 0,999... < 1 und damit auch 0,999... epsilon < 1 epsilon für die Infinitisimal kleinen Größen). Dieses Prozedere könnte man dann - schön iterativ - immer weiter fortführen. Schlußendlich hätte man dann eine unendliche Folge von Nichtstandard-Analyses (Analyses als Mehrzahl von Analysis) und hätte dabei auch eine schöne "überbordende" Notation dieser Zahlen, vor allem dann, wenn man den "Grenzwert" dieser Definitionen der Nichtstandard-Analysisfolge betrachtet. Das eigentliche "Problem", dass, nun aber auch dann beim Grenzwert der Folge von Nichtstandard-Analyses nun wieder auftauchen würde, für bestimmte Zahlen die Schreibweise 0,999... und 1 verschiedenen sind, hätte man dann aber vermutlich auch nicht für die sich ergebende Grenzwert Nichtstandard-Analysis gelöst. Man könnte nun also auch wieder für die Grenzwert Nichtstandard-Analysis - analog zu "0,999... < 1" - ein Paar von Zahlen finden, bei denen sich eine "Lücke" auf dem Zahlenstrahl ergeben würde, so dass man durch die Betrachtung der Grenzwert Nichtstandard-Analysis nichts gewonnen hätte, es sei denn man definiert dort dann letztlich, das Äquivalent zu "0,999... = 1", für gewisse Schreibweisen von Zahlen.
Natürlich kann man dadurch, dass man z.B. bei Nutzung von inifinitisimal kleinen Größen nun definiert, dass die Schreibweise 0,999... epsilon und 1 epsilon die gleiche Zahl darstellen, sich weitere Iterationsschritte sparen. Man muss sich allerdings dann - zurecht - die Frage erlauben, warum man diese Definition nicht schon bei den "reellen Zahlen" vorgenommen hat, sondern erst in einem späteren Iterationsschritt (oder beim "Grenzwert" der Folge von Nichtstandard-Analyses).
Leibniz'sche Infinitesimalrechnung
18.03.2022, Paul Kalbhen1 = lim (n gegen Unendlich) 9 * Summe [10 (exp -n)] (n geradzahlig) ?
PS: Die Übertragung der korrekten mathematischen Schreibweise aus dem Winword Formel Editor durch Kopieren hierhin ist mir nicht gelungen!
Nicht gleich
18.03.2022, Matthias StaiberFalscher Schluss
18.03.2022, Andreas Zerbst3 * 0,333… + Rinf = 1
0,999… + Rinf = 1
0,9 + 0,0999… + Rinf = 1
0,0999… + Rinf = 0,1. | *10
0,999… + 10* Rinf = 1. mit 1=0,999… + Rinf
0,999… + 10 * Rinf = 1 = 0,999… + Rinf
0,999… + 10 * Rinf = 0,999… + Rinf | -0,999…
10 * Rinf = Rinf | -Rinf
9 * Rinf = 0 | :9
Rinf = 0
Nach falscher Voraussetzung richtig
18.03.2022, Uwe ReinhardtWenn man annimmt, dass 1 / 3 = 0,333... ist, dann folgt 3 * 1 / 3 = 0,999... und somit die initale Aussage. Aber stimmt die Annahme?
Bei der schriftlichen Division sieht man folgendes:
1 / 3 = 0,3 + R1 mit R1 = 0,1
1 / 3 = 0,33 + R2 mit R2 = 0,01 usw.
Somit folgt:
1 / 3 = 0,333... + Rinf mit Rinf = ?
So unbedeutend Rinf auf sein mag, so ist es doch genau der Unterschied zwischen 0,999... und 1, denn damit stimmt auch die Rückrechnung der Division:
3 * 0,3 + R1 = 1
3 * 0,33 + R2 = 1
3 * 0,333... + Rinf = 1.
Die gleiche Ungenauigkeit betrifft den Term 1 / (10^(n+1)) mit n gleich unendlich. Der Term wird nicht null, sondern Rinf. Wenn man eine Torte in 10^(n+1) (mit n gleich unendlich) Teile teilt und fügt diese Teile wieder zusammen, dann erhält man zwar irgendetwas, aber dieses etwas hat zumindest die Masse der Torte. Wäre der Term gleich null, wäre die Torte und mit ihr ihre Masse nach dem Teilen verschwunden.
Zu viel Geld ...
18.03.2022, Robert OrsoUnsereins denkt einfach zu klein.
„Beim nächsten Wald wird alles anders“ von Björn Lohmann
18.03.2022, Bertram GeorgiiStatistiker sind keine Pragmatiker
14.03.2022, F. StrackeIm englischen Wiki zum Simpson-Paradox wird diese Unterschiedlichkeit zumindest erwähnt (Die Anzahl der Schläge ist die jeweilige Grundmengen):
"Ein gängiges Beispiel für das Simpson-Paradoxon sind die Schlagdurchschnitte von Profibaseballspielern. Es ist möglich, dass ein Spieler über mehrere Jahre hinweg jedes Jahr einen höheren Schlagdurchschnitt als ein anderer Spieler hat, aber in all diesen Jahren einen niedrigeren Schlagdurchschnitt aufweist. Dieses Phänomen kann auftreten, wenn die Anzahl der Schläge in den einzelnen Jahren sehr unterschiedlich ist.
Der Mathematiker Ken Ross hat dies anhand des Schlagdurchschnittes von zwei Baseballspielern, Derek Jeter und David Justice, in den Jahren 1995 und 1996 nachgewiesen: ([17][18])
Schlagmann Jahre
1995 1996 Kombiniert
Derek Jeter 12/48 .250 183/582 .314 195/630 .310
David Justice 104/411 .253 45/140 .321 149/551 .270
Sowohl 1995 als auch 1996 hatte Justice einen höheren Schlagdurchschnitt (fett gedruckt) als Jeter. Nimmt man jedoch die beiden Baseball-Saisons zusammen, so weist Jeter einen höheren Schlagdurchschnitt auf als Justice. Laut Ross ist dieses Phänomen unter den möglichen Spielerpaaren etwa einmal pro Jahr zu beobachten. ([17])"
Übersetzt mit www.DeepL.com/Translator (kostenlose Version)
Ein vereinfachtes (und übertriebenes) Beispiel zum Covid-China-Italien-Vergleich :
Land A:
Altersstufe 10-19: 2 T. von 100 Erkrankten: 2%
Altersstufe 70-79: 40 T. von 1000 Erkrankten : 4%
Gesamt: 42 von 1100: 3,8%
Land B:
Altersstufe 10-19: 30 T. von 1000 Erkrankten: 3%
Altersstufe 70-79: 5 T. von 100 Erkrankten: 5%
Gesamt: 35 von 1100: 3,1%
(Im Original-Diagram/Text sind keine Grundmengen, also konkrete Zahlen von Erkrankten, angegeben; zusätzlich verwirrt die Unterscheidung "Erkrankte" und "erkannte Fälle" - von denen wohl die Mehrheit nicht krank war).
Im China-Italien-Vergleich wird der Effekt zwar durch die Unterschiede in den Ländern sichtbar - er entsteht aber bereits durch die Betrachtung der Gesamt-Menge, statt der Einzel-Gruppen.
Intuitiv besseres Beispiel: Die Villa Kunterbunt soll neu gestrichen werden.
Für das Wohnzimmer wird Blau in Weiß 1:10 zu "Himmelblau" gemischt und die Küche Gelb in Weiß 1:10 "Sandgelb". Von den Mischungen war noch Farbe übrig, das wurde zusammenschüttet und der Flur gestrichen. Aber statt des Grüns, dass nach Anleitung mit 1:1 Blau-Gelb entstehen sollte, ist es ein leicht grünlicher Blau-Ton geworden. Was war passiert? Vom Wohnzimmer waren noch 5 Liter übrig, von der Küche nur 1 Liter.
Im China-Italien-Vergleich hat man mit der Mischung der unterschiedlich großen Mengen implizit vorausgesetzt, dass die Unterscheidung nach Alter irrelevant sein muss. Wären die Mengen deutlich unterschiedlich, wäre auch das intuitiv klar.
Beispiel: In einem Gebäude sind 10% der Menschen infiziert. Der Statistiker weißt darauf hin, dass die Einstufung nach Alter schwierig ist, da große Mengenunterschiede der Altersgruppen vorhanden sind. Mit dem Hinweis, dass es sich bei dem Gebäude um ein Schule handelt, wäre das jedem auch so klar gewesen.
Will man nach Alter unterscheiden und die Gesamtheit betrachten ergibt das nur Sinn, wenn man den Durchschnitt der Prozente berechnet - oder man sich für jede Gruppe die gleich Anzahl Leute heraus pickt. Im China-Italien-Vergleich hätte man also explizit auf die unterschiedlichen Mengen hinweisen müssen.
Oder Besser: nicht beides zusammen in ein Diagramm setzen. Selbst wenn keine Vorschrift dagegen existiert - praktisch ist das nicht.
[17]: Ken Ross. "A Mathematician at the Ballpark: Odds and Probabilities for Baseball Fans (Paperback)" Pi Press, 2004. ISBN 0-13-147990-3. 12–13
[18]: Statistics available from Baseball-Reference.com: Data for Derek Jeter; Data for David Justice.
Betrifft: Verwirrung mit Grundrechenarten
13.03.2022, Julia GrothDenn leider wurde in der groß vorangestellten Aufgabe ein Rechenzeichen vergessen! Dort steht groß und deutlich: 8:2 (2+2)=?
Was also soll mit den beiden Teilergebnissen aus (8:2) und (2+2) passieren?
Da gibt es bei dieser Schreibweise vier Möglichkeiten: "+,-,*,:"
Aus dem Text wird dann klar, dass es sich um eine Multiplikation handeln soll, aber so wie es da steht, ist das Ergebnis wirklich nur ein Fragezeichen!
Die zwei Kugeln und ihr Ort
13.03.2022, Martin NischangNur ein kleiner Schönheitsfehler hat sich eingeschlichen.
Schon beim ersten Blick auf die Grafik "Stöße zweier Kugeln", in der man von oben nach unten verfolgen soll, was passiert, wurde mir etwas mulmig. Und auch wenn die Grafik nur symbolisch ist, sind doch die Kugeln zumindest in unserer Alltagsvorstellung nicht unendlich klein; so wie eben dargestellt.
Wieso sollten nun eine gleich schwere Kugel nach der Übertragung ihrer Bewegungsenergie durch den Stoß gegen die andere Kugel noch ihren Ort wechseln ? Bei Reibungsfreiheit würde die von links kommende blaue Kugel am Ort ihrer Berührung der roten Kugel zum Stillstand kommen.
Laut der Grafik: Der Zusammenstoß findet einen Kugelradius weiter rechts statt, und während der Bewegung der roten Kugel nach rechts ist die blaue Kugel erneut einen Kugelradius weiter rechts dargestellt. Bei der Rückkehr der roten Kugel spielt sich das ganze rückwärts ab, die Kugelorte bei Zusammenstoß und danach sind also wieder verschoben.
Diese Darstellung ist falsch, und sollte bitte korrigiert werden.
Freundliche Grüße aus der Stadt der Magdeburger Halbkugeln ;-)
Martin Nischang
Könnte die Apokalypse früher kommen?
12.03.2022, Andreas M. HinzDort wird nämlich die unbewiesene Annahme verwendet,
dass die größte Scheibe nur einmal bewegt wird. Das ist zwar in diesem Fall wahr, nicht aber im allgemeinen. Will man z.B. eine Verteilung von drei Scheiben, in der die größte auf der ersten Stange liegt, die beiden anderen auf der zweiten, überführen in die umgekehrte Situation, also mit der größten Scheibe auf der zweiten Stange, den beiden kleineren auf der ersten, so läuft die größte Scheibe zweimal in der einzigen optimalen Lösung (der Länge 5). Die mathematische Theorie des Turms von Hanoi ist inzwischen ein
aktives Teilgebiet der Diskreten Mathematik geworden. Man findet vieles hierzu in dem Buch "The Tower of Hanoi-Myths and Maths" von Andreas M. Hinz, Sandi Klavzar und Ciril Petr, das 2018 in zweiter Auflage bei Birkhäuser in Cham erschienen ist.
Bruchrechnen
12.03.2022, JeffVerwirrung mit Grundrechenarten
12.03.2022, Michael Furleres herrscht keine Einigkeit oder Meinungshoheit über die Eindeutigkeit der Lesart, darüber also, ob der weggelassene Punktoperator gleichrangig oder vorrangig zu lesen ist [(a/b)c) oder a/(bc)].
Viele fragen nicht nach Absicht oder Intention hinter der Notation und interpretieren strikt PEMDAS folgend den fehlenden Operator als eine gleichrangige Multiplikation. Wolfram, Google, manche Computer Taschenrechner lesen also automatisch (a/b)c .
Libreoffice Calc fragt immerhin nach, ob die eingegebene Formel in diese Richtung korrigiert werden soll.
Unterstellt man der Schreibweise allerdings Absicht, erscheint es berechtigt a/bc als a/(bc), bzw. als a/b/c, und damit bc als Nenner eines Bruches zu lesen. Der fehlende Operator wird als eine vorrangig auszuführende Multiplikation bzw. eine gleichrangige Division interpretiert. Das wissenschaftliche Kalkulationsprogramm SpeedCrunch geht ebenfalls von dieser Lesart aus.
Man sollte besser nicht über die Richtigkeit der einen oder anderen Lösung streiten, oder die eine oder andere Lesart als einzige Wahrheit präsentieren, sondern darauf hinweisen, daß immer Klammern verwendet werden sollten um internationale Eineindeutigkeit zu erzielen.
Fallt nicht auf Clickbait-Aufgaben herein
12.03.2022, Thomas HubrichDas dargestellte Problem ist allerdings vielmehr eines, das polarisieren soll und Aufmerksamkeit generieren. Zum einen wird das Divisionssymbol verwendet, was zumindest bei mir ab der Sekundarstufe keine Anwendung mehr fand. Dieser Term lässt sich ohne Müheso schreiben, dass er auf den ersten Blick wirklich eindeutig ist. Möglicherweise haben niedrige Klassenstufen die wenigsten Probleme damit, weil sie stark das Regelwerk befolgen und diese Bivalente Schreibweise erst gar nicht zu Gesicht bekommen. Abseits davon gibt es in den wirklich zahlreichen Begründungen für die 1 als Äquivalent des Terms die durchaus nachvollziehbare Argumentation, dass das fehlende Multiplikationszeichen an der Klammer tatsächlich stärker bindet.
Als Beispiel: 1 : (2x+2y) -> 1 : 2(x+y)
Ich kann das Prinzipienreiten auf PEDMAS (oä) verstehen. Aber das war nie Ziel der "Aufgabe". Hier geht es nicht um Aufklärung oder Lösen eines Rätsels sondern wie eingangs gesagt um Aufmerksamkeit und Kontroverse durch eine oberflächlich mehrdeutige und nicht gebräuchliche Schreibweise.
Danke