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Sehr geehrte Frau Bischoff,
die halbe Ableitung von f=x liegt zumindest so wie angegeben (−√(4/π)·√x ) nicht zwischen f=x und f=1, da sie durch das Minuszeichen gespiegelt wird.
Viele Grüße
In den 70er Jahren wurde (vielleicht heute noch?) das Mathematikbuch "Der Gottesbeweis" von Dr. Paul Mönnig ,am Erzbischöflichen Friedrich-Spee-Kolleg in Neuss als Pflichtlehrbuch angewendet.Der Autor selbst war mein Mathelehrer.Seine Professur wurde ihm wohl wegen dieser Anmaßung genommen,sagt man.
Auch Kollegen am gleichen Institut verzweifelten manchmal an der Materie.
Hallo,
ich habe vor längerer Zeit gelesen, dass Katzen im freien Fall ihre Blase entleeren, damit eben diese beim Aufprall nicht platzt. An eben diesem Platzen sterben wohl häufig Katzen nach einem Fall bis zu ca 7 Stockwerken. Bei längerem Freifall reicht hingegen die Zeit, um die Blase ausreichend zu leeren.
Während meines Studiums vor etlichen Jahren wurde in der Quantentheorie-Vorlesung dieser Umstand behauptet, aber zu meinem Leidwesen nicht bewiesen. Es ist interessant, dass der experimentelle(!) beweis erst jetzt kürzlich erfolgt ist.
Leider bin ich nicht (mehr) so firm mit der Bra/Ket-Schreibweise im Nature-Originalartikel (doi:10.1038/s41586-021-04160-4), um die Argumentation im Detail nachzuvollziehen. Einige grundsätzliche Überlegungen möchte ich dennoch dazu anstellen:
Die komplexem Zahlen sind eine orientierte reelle normierte Divisionsalgebra mit Eins, wobei strenge Multiplikativität der (Betrags-)Norm vorausgesetzt wird (|z₁z₂| = |z₁| |z₂|). Damit sind die komplexen Zahlen als ein spezieller 2D-Vektorraum (mit invertiebarem Vektorprodukt) bis auf Isomorphie festgelegt.
Gleichungen der Quantentheorie in Real- und Imaginärteil aufzuteilen, bedeutet für sich genommen also erst Mal nichts. Dagegen muss der Verzicht auf Multiplikation und Division der Zweiervektoren Auswirkungen haben (d. h. Lücken hinterlassen), die experimentell überprüfbar sind. Offenbar ist dazu das von den Autoren vorgeschlagene und durchgeführte Experiment in der Lage (nicht aber der gewöhnliche Bell-Test - womöglich kommt der Unterschied daher, dass hier ein Tensorprodukt eingeht).
Man könnte also ein Experiment ersinnen, das prüft, ob die Vertauschbarkeit der Skalare(!) bei Multiplikation immer gewährleistet ist. Ist das nicht der Fall, dann wäre zumindest eine Eweiterung auf Quaternionen angesagt (die rein imaginären Quaternionen vertauschen nicht und bilden einen reellen 3D-Vektorraum, siehe https://www.spektrum.de/kolumne/quaternionen-von-komplexen-zahlen-zu-tomb-raider/2109450).
Wenn sich auch die Assoziativität als nicht gewährleistet hearusstellen würde, blieben die besagten Oktonionen).
Bin gespannt, ob die weiteren Untersuchungen der Autoren in diese Richtung gehen.
Nach weiterer Recherche habe ich einen Hinweis zur Frage der Lorentz-Transformationen gefunden. Man benötigt dazu Biquaternionen, d. h. eine Komplexifizierung der Quaternionen (gleiche Rechenregeln, aber mit den komplexen Zahlen als Skalarraum). Es gibt dann zwei verschiedene Komplex-Konjugierte:
q* = a - ib -jc -kd und ~q = a + i~b + j~c + k~d
Im Raum M := {q|~q = q*} gilt q* * q = ~q * q = q * q* = q * ~q = a² - b² -c² -d²,
was zur Invarianten im Minkowskiraum passt. Dazu wird M als reeller 4D-Vektorraum aufgefasst. Allerdings ist bei diesen Konstrukten die reelle Achse immer fest, nur i,j,k sind variabel, solange sie zusammenpassen.
Im Minkowski-Vektorraum ändert sich jedoch auch die Zeitachse bei einem Boost (Übergang zu einem gegenüber dem urspünglichen mit konstanter Geschwindigkeit bewegten System: Zeitdehnung). Man muss also fragen, welche Symmetrieoperationen (Transformationen) den Lichtkegel {q|q* * q = 0} in sich abbilden. Es passt daher alles nicht so gut zusammen wie die Drehungen im 3D-Vektorraum und die (gewöhnlichen) Quaternionen.
Zum Artikel "Von komplexen Zahlen zu Tomb Raider" von Maon Bischoff:
Zur Axiomatik der Quaternionen habe ich fogende Frage:
Eine relle, normierte Divisionsalgebra mit Eins der Dimension 4 ist (bei Vorausgesetzter strenger Multiplikativität der Norm) laut Wikipedia (bis auf Isomorphie) identisch mit dem Quaternionenraum ℍ. Sie muss daher als innere direkte Summe aus den reellen und den rein imaginären Quaternionen darstellbar sein, wobei letztere einen orientierten euklidischen (also insbes. reellen) 3D-Vektorraum bilden. Dies bedeutet, eine (bis auf die 1 nicht eindeutig bestimmte) Basis 1,i,j,k zu finden, die den Multiplikationsregeln für Quaternionen genügt.
Leider habe ich dazu weder im Internet nirgends einen Beweis gefunden noch selbst einen zustande gebracht.
Könnten Sie vielleicht bei Gelegenheit in ihrer Rubrik "Fabelhafte Welt der Mathematik" einen solchen Beweis skizzieren, der mit möglichst wenig mathematischen Hilfsmitteln (etwa aus der Gruppentheorie) auskommt?
Der axiomatische Ansatz scheint mir sehr elegant, weil er in der Freiheit der Wahl von i,j,k gleich auf die Drehungen führt, um verschieden gewählte i,j,k ineinander überzuführen.
Hintergrund:
1. Konstruktiver Ansatz
Gewöhnlich werden die Quaternionen als 4D-Vektorraum ℍ konstruiert, entweder über Quadrupel im ℝ⁴ oder äquivalent mittels der Cayley–Dickson-Konstruktion als Paare im ℂ², jeweils versehen mit einer geeingneten Definition eines Vektorprodukts und Betragsnorm und/oder Komplex-Konjugation.
Diese Konstruktionen haben aber mehr Struktur als eigentlich benötigt wird, insbsondere eine feste Basis 1,i,j,k. Wie aus dem Artikel hervorgeht, kann man aber anstelle von i,j,k (Basis im Raum der rein imaginären Quaternionen ℍₚᵤᵣₑ) jede andere Basis benutzen, die aus ihr durch eine Drehung hervorgeht.
2. Halbaxiomatischer Ansatz
Von diesen - im Sinn der Quaternionen - Artefakten - kann man sich frei machen durch einen „halbaxiomatischen“ Ansatz ℍ := ℝ × ℍₚ = ℝ ⊕ℍₚ (aüßere direkte Summe von Vektorräumen, mengentheoretisch: kartesisches Mengenprodukt), wobei ℍₚ ein beliebiger orientierter euklidischer (also reeller) 3D-Vektorraum ist. In einem solchen Vektorraum gibt es das eindeutig bestimmte total antisymmetrische Vektorprodukt (Kreuzprodukt).
Produkt:
p * q := (ab - A • B) + aB + bA + A × B
für p = (a,A) = a⊕A, q=(b,B) = b⊕B mit a,b∈ℝ, A,B∈ℍₚ und dem Skalarprodukt A • B in ℍₚ
Komplex-Konjugiertes:
~p = (a, -A) = a ⊕ (-A)
Betrag:
|p| := √(a² + ||A||²) mit der kanonischen Längenorm ||A|| im euklidischen Vektorraum, somit ist ~p * p * p * ~p = |p|².
Die 1 in ℝ vermittelt zusammen mit jeder beliebigen rechtshändigen Orthonormalbasis e₁,e₂,e₃ in ℍₚ einen Darstellungsisomorphismus von ℝ ⊕ℍₚ nach dem oben konstruierten Quaternionenraum ℝ⁴ mit dem Quaternionenprodukt und den Basisvektoren 1,i,j,k wie oben. Es ist dabei der Kommutator [p, q] := p*q-q*p = 2 A × B, so dass man das Vektorprodukt auf alle Quaternionen ausdehnen kann per p × q := 1/2 [p, q] = 1/2(p*q - q*p) = A × B.
Vertauschung von Multiplikator und Multiplikand im Quaternionenprodukt gehen einher mit einem Vorzeichenwechsel des Kreuzproduktes und der Orientierung von ℍₚ.
3. Rein axiomatischer Ansatz
Nach Wikipedia:
Eine relle, normierte Divisionsalgebra mit Eins der Dimension 4 ist (bis auf Isomorphie) identisch mit dem Quaternionenraum ℍ. Dabei wird als Verträglichkeitsaxiom die Multiplikativität der Norm gefordert |p*q| = |p| |q| (= |q*p|). Wie bei den Dimensionen 1 (ℝ) und 2 (ℂ) sind solche Divisionsalgebren im Produkt kommutativ.
Diese Isomporphie muss also bedeuten, dass eine solche Divisionsalgebra als (innere) direkte Summe der von der 1 aufgespannten reellen Achse und einem orientierten euklidischen 3D-Vektorraum (der rein imaginären Quaternionen) darstellen lässt. Es genügt zusätzlich zur 1 eine Basis i,j,k zu finden, so dass die Multiplikationsregeln für Quaternionen erfüllt sind.
Herzlichen Dank einstweilen für den Artikel über Quaternionen und Drehungen!
Der Ursprung der ABC-Vermutung ist der Bereich der elliptischen Kurven.
So lässt es sich gut verstehen, dass die Fachleute die arithmetischen Folgen als möglicher Beweis fürs ABC-Problem nicht in Betracht genommen haben.
Die Funktion c=a+b gibt allgemein die Berechnung von c an.
Zu verschiedenen arithmetischen Folgen kann damit c gehören. Ob c zur welchen Folge gehört, das gibt die Funktion nicht an.
Wird die Eigenschaft zwischen Rad(abc) und c untersucht, dann kann man auf den Primzahlsatz von Dirichlet nicht verzichten.
1.) Schritt: ggT(a,b)=1
Ich schreibe b in Bezug a um.
b=ka+r. So: c=a+ka+r=(k+1)a+r
Nach dem Dirichlets Satz: ist ggT((k+1), r)=1, dann befinden sich in der Folge unendlich viele Primzahlen.
2.) Schritt: ich gebe k+1 und r Werte an.
Zum Beispiel: Sei k+1=3^m und r=5^j
Die beiden haben den ggT=1. m ist größer als 1, j ist größer als 1.
Die beiden sind multiplikativ hochpotenten Zahlen.
Ist c=p(Prim), dann ist Rad(abc)>c, was die Vermutung besagt.
Diese arithmetische Folge ist eine Teilmenge von (k+1)a+r (ggT((k+1),r)=1), damit hat jede Teilmenge die gleiche Eigenschaft.
Bemerkung: Ist ggT((k+1),r) größer als 1, dann kann (notwendige Voraussetzung) c ein ABC-Treffer sein: Rad(abc)
Ob sie genügend ist, man müsse weitere Überlegungen treffen.
Schlusswort: Der Mathematiker liegt mit seinem Beweis richtig.
Seit Jahren nun, versuche ich eine Definition für 'Zahl' zu finden. Auf die Fährte gesetzt hat mich die Lektüre von Russell, B.: Einführung in die mathematische Philosophie. Meiner Verlag, 2. Auflage 2006, Originalausgabe von 1919.
Nun bin ich durch einen anderen Artikel von Ihnen, in dem Sie ganz selbstverständlich {\displaystyle \mathbb {N} _{0}=\{0;1;2;3;\ldots \}} für die natürlichen Zahlen annahmen, wieder interessiert. Die Verwendung von 0 als natürlicher Zahl setzt ja die Akzeptanz der Peano-Axiome voraus. Nun haben aber Russell und Whitehead bei ihrem 1+1=2 Beweis dafür plädiert möglichst sparsam mit Axiomen umzugehen (und Gödel hat ja mit seinem ontologischen Gottesbeweis gezeigt, was mit dem Einsatz von Theoremen und Axiomen möglich ist).
Zu meiner Schande muss ich gestehen, den Russell nicht sorgfältig genug gelesen zu haben und bin nunmehr auf Freges Grundlagen der Arithmetik gestoßen; das ist ziemlich harter Stoff für einen 68jährigen Philosophiestudenten.
Jedenfalls habe ich den Eindruck, dass das Thema Definition Zahl nicht ausdiskutiert ist. Ist dem so?
Eine Zahl ist reich, wenn die Summe ihrer Teiler *größer* ist als die Zahl selbst.
Beispiel: 12 ist eine reiche Zahl, weil 1+2+3+4+6 > 12
324 ist auch eine reiche Zahl, weil seine Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108 und 162 sind und deren Summe 523 ergibt. Mit Potenzen hat das zunächst (vordergründig) nichts zu tun.
Der Unternehmer ist sehr schlau. Er bietet einen Millionen Dollar dem an, der in der IUT-Theorie einen ernsthaften Fehler gefunden hat. Er vertraut absolut dem Mathematiker Mochizuki. Eine Arbeit 20 Jahre lang im Alleingang.
Ehrlich gesagt, ich glaube dem Mathematiker auch, dass er die ABC-Vermutung bewiesen hat.
Definition als Beweis. Absolut schlau. Es ist mehr als ein Axiom. Der Mathematiker müsse eine sehr tiefes komplexes Denken haben.
Die Fachleute verstehen seine Styl nicht. Vielleicht sollten die Fachleute seine Sprache lernen.
Die gewöhnliche Fachwelt ist mal halt auch so. Möchte jemand die Mathematik verstehen, dann zuerst muss ihre Sprache lernen.
Jürgen hat Recht, viele Leser wissen nicht, was die Vermutung vermutet.
Ich musste auch der nachhaken, um den Artikel und die ABC-Vermutung zu verstehen.
Also mit der Küchensprache:
Wenn a und b hochpotente Zahlen sind, dann ist c (c=a+b) keine hochpotente Zahl.
Die Funktion ist harmlos, also gehört ihr auch mal wohl ein harmloser Beweis, den die Fachleute übersehen haben. Den gibt es, wenn die Fachleute die einfachen Eigenschaften der Funktion untersuchen.
Meiner meinung nach ist die Lösung , mit der Milchflasche nicht ganz korrekt. Wenn ich mit der Formel p=w*100/G rechne ergibt sich folgende Rechnung p=(18+14)*100/(2*26)
Damit ist p=61,54%
Der Aufmacher ist ein zu wenig reißerisch. Eigentlich viel zu reißerisch.
Beim Lesen habe ich immer auf den Moment gewartet, an dem erklärt wird, wie diese revolutionäre Entdeckung die Grundfesten der bekannten Welt erschüttert. Etwas in der Größenordnung von Gödels mathematischem Beweis der Unvollständigkeit und Widersprüchlichkeit in allem Wissen.
Auch deshalb, weil die Abendnachrichten ebenso wenig wie die Tageszeitungen Leitartikel dazu veröffentlicht haben, um die Bevölkerung auf den Schock vorzubereiten, dass nichts weniger als die Wahrheit allen logischen Denkens auf dem Spiel steht.
Jetzt wissen wir also, dass es nicht nur "sehr schwierig" ist, wenn man sich mittags zum Buffet verabreden will, sondern etwas genauer "wie schwierig". Und dass zwei Teams, ohne voneinander zu wissen einen Gutteil ihres Lebens damit verbracht haben, diese neue Zahl zu berechnen. Wir freuen uns für sie. Man sollte mehr miteinander reden.
Mathematiker/innen sind scheinbar leicht zu begeistern. Vielleicht einfach mal die Erwartungen etwas niedriger halten. An der Berechnung des Wahrheitsgehelts von Ankündigungen wird wohl noch gearbeitet.
statt diesem Schritt
(x–2) + (x+2) + 2x + x/2 = 45 | gleichnamig machen
sollte erst zusammengefasst und dann multipliziert werden
4x + x/2 = 45 | ‧2
8x + x = 90
usw.
Rückfrage zu fraktionalen Ableitungen
29.07.2023, Dr. Thomas OettingerSehr geehrte Frau Bischoff,
die halbe Ableitung von f=x liegt zumindest so wie angegeben (−√(4/π)·√x ) nicht zwischen f=x und f=1, da sie durch das Minuszeichen gespiegelt wird.
Viele Grüße
Dr. Paul Mönnig (Ex-Prof.,aberkannt)
28.07.2023, Peter VischAuch Kollegen am gleichen Institut verzweifelten manchmal an der Materie.
Entleerung der Blase
19.07.2023, Maik Justusich habe vor längerer Zeit gelesen, dass Katzen im freien Fall ihre Blase entleeren, damit eben diese beim Aufprall nicht platzt. An eben diesem Platzen sterben wohl häufig Katzen nach einem Fall bis zu ca 7 Stockwerken. Bei längerem Freifall reicht hingegen die Zeit, um die Blase ausreichend zu leeren.
Notwendigkeit komplexer Zahlen in der Quantentheorie
19.07.2023, Ernst SauerweinWährend meines Studiums vor etlichen Jahren wurde in der Quantentheorie-Vorlesung dieser Umstand behauptet, aber zu meinem Leidwesen nicht bewiesen. Es ist interessant, dass der experimentelle(!) beweis erst jetzt kürzlich erfolgt ist.
Leider bin ich nicht (mehr) so firm mit der Bra/Ket-Schreibweise im Nature-Originalartikel (doi:10.1038/s41586-021-04160-4), um die Argumentation im Detail nachzuvollziehen. Einige grundsätzliche Überlegungen möchte ich dennoch dazu anstellen:
Die komplexem Zahlen sind eine orientierte reelle normierte Divisionsalgebra mit Eins, wobei strenge Multiplikativität der (Betrags-)Norm vorausgesetzt wird (|z₁z₂| = |z₁| |z₂|). Damit sind die komplexen Zahlen als ein spezieller 2D-Vektorraum (mit invertiebarem Vektorprodukt) bis auf Isomorphie festgelegt.
Gleichungen der Quantentheorie in Real- und Imaginärteil aufzuteilen, bedeutet für sich genommen also erst Mal nichts. Dagegen muss der Verzicht auf Multiplikation und Division der Zweiervektoren Auswirkungen haben (d. h. Lücken hinterlassen), die experimentell überprüfbar sind. Offenbar ist dazu das von den Autoren vorgeschlagene und durchgeführte Experiment in der Lage (nicht aber der gewöhnliche Bell-Test - womöglich kommt der Unterschied daher, dass hier ein Tensorprodukt eingeht).
Beim Ausblick erwähnen die Autoren, dass selbst die komplexen Zahlen u. U. nicht ausreichen könnten. Mir kommen dazu die Spektrum-Artikel zum Thema Oktonionen und Standardmodell in den Kopf (https://www.spektrum.de/magazin/oktonionen-koennten-geheimnisse-des-standardmodells-lueften/1626470 und https://www.spektrum.de/magazin/oktonionen-acht-dimensionen-fuer-das-standardmodell/1645938), auch wenn es da nicht um Quantentheorie im Allgemeinen geht.
Man könnte also ein Experiment ersinnen, das prüft, ob die Vertauschbarkeit der Skalare(!) bei Multiplikation immer gewährleistet ist. Ist das nicht der Fall, dann wäre zumindest eine Eweiterung auf Quaternionen angesagt (die rein imaginären Quaternionen vertauschen nicht und bilden einen reellen 3D-Vektorraum, siehe https://www.spektrum.de/kolumne/quaternionen-von-komplexen-zahlen-zu-tomb-raider/2109450).
Wenn sich auch die Assoziativität als nicht gewährleistet hearusstellen würde, blieben die besagten Oktonionen).
Bin gespannt, ob die weiteren Untersuchungen der Autoren in diese Richtung gehen.
Ergänzung zu "5. Verallgemeinerung möglich?"
19.07.2023, Ernst Sauerweinq* = a - ib -jc -kd und ~q = a + i~b + j~c + k~d
Im Raum M := {q|~q = q*} gilt q* * q = ~q * q = q * q* = q * ~q = a² - b² -c² -d²,
was zur Invarianten im Minkowskiraum passt. Dazu wird M als reeller 4D-Vektorraum aufgefasst. Allerdings ist bei diesen Konstrukten die reelle Achse immer fest, nur i,j,k sind variabel, solange sie zusammenpassen.
Im Minkowski-Vektorraum ändert sich jedoch auch die Zeitachse bei einem Boost (Übergang zu einem gegenüber dem urspünglichen mit konstanter Geschwindigkeit bewegten System: Zeitdehnung). Man muss also fragen, welche Symmetrieoperationen (Transformationen) den Lichtkegel {q|q* * q = 0} in sich abbilden. Es passt daher alles nicht so gut zusammen wie die Drehungen im 3D-Vektorraum und die (gewöhnlichen) Quaternionen.
Quaternionen - Axiomatik versus Konstruktion
19.07.2023, Ernst SauerweinZur Axiomatik der Quaternionen habe ich fogende Frage:
Eine relle, normierte Divisionsalgebra mit Eins der Dimension 4 ist (bei Vorausgesetzter strenger Multiplikativität der Norm) laut Wikipedia (bis auf Isomorphie) identisch mit dem Quaternionenraum ℍ. Sie muss daher als innere direkte Summe aus den reellen und den rein imaginären Quaternionen darstellbar sein, wobei letztere einen orientierten euklidischen (also insbes. reellen) 3D-Vektorraum bilden. Dies bedeutet, eine (bis auf die 1 nicht eindeutig bestimmte) Basis 1,i,j,k zu finden, die den Multiplikationsregeln für Quaternionen genügt.
Leider habe ich dazu weder im Internet nirgends einen Beweis gefunden noch selbst einen zustande gebracht.
Könnten Sie vielleicht bei Gelegenheit in ihrer Rubrik "Fabelhafte Welt der Mathematik" einen solchen Beweis skizzieren, der mit möglichst wenig mathematischen Hilfsmitteln (etwa aus der Gruppentheorie) auskommt?
Der axiomatische Ansatz scheint mir sehr elegant, weil er in der Freiheit der Wahl von i,j,k gleich auf die Drehungen führt, um verschieden gewählte i,j,k ineinander überzuführen.
Hintergrund:
1. Konstruktiver Ansatz
Gewöhnlich werden die Quaternionen als 4D-Vektorraum ℍ konstruiert, entweder über Quadrupel im ℝ⁴ oder äquivalent mittels der Cayley–Dickson-Konstruktion als Paare im ℂ², jeweils versehen mit einer geeingneten Definition eines Vektorprodukts und Betragsnorm und/oder Komplex-Konjugation.
Diese Konstruktionen haben aber mehr Struktur als eigentlich benötigt wird, insbsondere eine feste Basis 1,i,j,k. Wie aus dem Artikel hervorgeht, kann man aber anstelle von i,j,k (Basis im Raum der rein imaginären Quaternionen ℍₚᵤᵣₑ) jede andere Basis benutzen, die aus ihr durch eine Drehung hervorgeht.
2. Halbaxiomatischer Ansatz
Von diesen - im Sinn der Quaternionen - Artefakten - kann man sich frei machen durch einen „halbaxiomatischen“ Ansatz ℍ := ℝ × ℍₚ = ℝ ⊕ℍₚ (aüßere direkte Summe von Vektorräumen, mengentheoretisch: kartesisches Mengenprodukt), wobei ℍₚ ein beliebiger orientierter euklidischer (also reeller) 3D-Vektorraum ist. In einem solchen Vektorraum gibt es das eindeutig bestimmte total antisymmetrische Vektorprodukt (Kreuzprodukt).
Produkt:
p * q := (ab - A • B) + aB + bA + A × B
für p = (a,A) = a⊕A, q=(b,B) = b⊕B mit a,b∈ℝ, A,B∈ℍₚ und dem Skalarprodukt A • B in ℍₚ
Komplex-Konjugiertes:
~p = (a, -A) = a ⊕ (-A)
Betrag:
|p| := √(a² + ||A||²) mit der kanonischen Längenorm ||A|| im euklidischen Vektorraum, somit ist ~p * p * p * ~p = |p|².
Die 1 in ℝ vermittelt zusammen mit jeder beliebigen rechtshändigen Orthonormalbasis e₁,e₂,e₃ in ℍₚ einen Darstellungsisomorphismus von ℝ ⊕ℍₚ nach dem oben konstruierten Quaternionenraum ℝ⁴ mit dem Quaternionenprodukt und den Basisvektoren 1,i,j,k wie oben. Es ist dabei der Kommutator [p, q] := p*q-q*p = 2 A × B, so dass man das Vektorprodukt auf alle Quaternionen ausdehnen kann per p × q := 1/2 [p, q] = 1/2(p*q - q*p) = A × B.
Vertauschung von Multiplikator und Multiplikand im Quaternionenprodukt gehen einher mit einem Vorzeichenwechsel des Kreuzproduktes und der Orientierung von ℍₚ.
3. Rein axiomatischer Ansatz
Nach Wikipedia:
Eine relle, normierte Divisionsalgebra mit Eins der Dimension 4 ist (bis auf Isomorphie) identisch mit dem Quaternionenraum ℍ. Dabei wird als Verträglichkeitsaxiom die Multiplikativität der Norm gefordert |p*q| = |p| |q| (= |q*p|). Wie bei den Dimensionen 1 (ℝ) und 2 (ℂ) sind solche Divisionsalgebren im Produkt kommutativ.
Diese Isomporphie muss also bedeuten, dass eine solche Divisionsalgebra als (innere) direkte Summe der von der 1 aufgespannten reellen Achse und einem orientierten euklidischen 3D-Vektorraum (der rein imaginären Quaternionen) darstellen lässt. Es genügt zusätzlich zur 1 eine Basis i,j,k zu finden, so dass die Multiplikationsregeln für Quaternionen erfüllt sind.
Herzlichen Dank einstweilen für den Artikel über Quaternionen und Drehungen!
Primzahlsatz von Dirichlet
19.07.2023, Otto MarkusSo lässt es sich gut verstehen, dass die Fachleute die arithmetischen Folgen als möglicher Beweis fürs ABC-Problem nicht in Betracht genommen haben.
Die Funktion c=a+b gibt allgemein die Berechnung von c an.
Zu verschiedenen arithmetischen Folgen kann damit c gehören. Ob c zur welchen Folge gehört, das gibt die Funktion nicht an.
Wird die Eigenschaft zwischen Rad(abc) und c untersucht, dann kann man auf den Primzahlsatz von Dirichlet nicht verzichten.
1.) Schritt: ggT(a,b)=1
Ich schreibe b in Bezug a um.
b=ka+r. So: c=a+ka+r=(k+1)a+r
Nach dem Dirichlets Satz: ist ggT((k+1), r)=1, dann befinden sich in der Folge unendlich viele Primzahlen.
2.) Schritt: ich gebe k+1 und r Werte an.
Zum Beispiel: Sei k+1=3^m und r=5^j
Die beiden haben den ggT=1. m ist größer als 1, j ist größer als 1.
Die beiden sind multiplikativ hochpotenten Zahlen.
Ist c=p(Prim), dann ist Rad(abc)>c, was die Vermutung besagt.
Diese arithmetische Folge ist eine Teilmenge von (k+1)a+r (ggT((k+1),r)=1), damit hat jede Teilmenge die gleiche Eigenschaft.
Bemerkung: Ist ggT((k+1),r) größer als 1, dann kann (notwendige Voraussetzung) c ein ABC-Treffer sein: Rad(abc)
Schlusswort: Der Mathematiker liegt mit seinem Beweis richtig.
Definition Zahl?
19.07.2023, Christian MaiNun bin ich durch einen anderen Artikel von Ihnen, in dem Sie ganz selbstverständlich {\displaystyle \mathbb {N} _{0}=\{0;1;2;3;\ldots \}} für die natürlichen Zahlen annahmen, wieder interessiert. Die Verwendung von 0 als natürlicher Zahl setzt ja die Akzeptanz der Peano-Axiome voraus. Nun haben aber Russell und Whitehead bei ihrem 1+1=2 Beweis dafür plädiert möglichst sparsam mit Axiomen umzugehen (und Gödel hat ja mit seinem ontologischen Gottesbeweis gezeigt, was mit dem Einsatz von Theoremen und Axiomen möglich ist).
Zu meiner Schande muss ich gestehen, den Russell nicht sorgfältig genug gelesen zu haben und bin nunmehr auf Freges Grundlagen der Arithmetik gestoßen; das ist ziemlich harter Stoff für einen 68jährigen Philosophiestudenten.
Jedenfalls habe ich den Eindruck, dass das Thema Definition Zahl nicht ausdiskutiert ist. Ist dem so?
Eine "reiche Zahl" ist anders definiert
18.07.2023, PedroBeispiel: 12 ist eine reiche Zahl, weil 1+2+3+4+6 > 12
324 ist auch eine reiche Zahl, weil seine Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108 und 162 sind und deren Summe 523 ergibt. Mit Potenzen hat das zunächst (vordergründig) nichts zu tun.
Fehler in HEMMES MATHEMATISCHE RÄTSEL
18.07.2023, Roland SchorrGibt es keine Möglichkeit mehr, direkt zu einem mathematischen Rätsel Feedback zu geben? Die Lösung in der Aufgabe zu Okterra ist falsch.
Früher gab es eine direkte Mail-Funktion hierzu.
(es müssen 18 Wege sein)
Beste Grüsse
der schlauer Unternehmer
18.07.2023, Otto MarkusEhrlich gesagt, ich glaube dem Mathematiker auch, dass er die ABC-Vermutung bewiesen hat.
Definition als Beweis. Absolut schlau. Es ist mehr als ein Axiom. Der Mathematiker müsse eine sehr tiefes komplexes Denken haben.
Die Fachleute verstehen seine Styl nicht. Vielleicht sollten die Fachleute seine Sprache lernen.
Die gewöhnliche Fachwelt ist mal halt auch so. Möchte jemand die Mathematik verstehen, dann zuerst muss ihre Sprache lernen.
Jürgen hat Recht, viele Leser wissen nicht, was die Vermutung vermutet.
Ich musste auch der nachhaken, um den Artikel und die ABC-Vermutung zu verstehen.
Also mit der Küchensprache:
Wenn a und b hochpotente Zahlen sind, dann ist c (c=a+b) keine hochpotente Zahl.
Die Funktion ist harmlos, also gehört ihr auch mal wohl ein harmloser Beweis, den die Fachleute übersehen haben. Den gibt es, wenn die Fachleute die einfachen Eigenschaften der Funktion untersuchen.
Hemmes Mathematische Rätzel
17.07.2023, Rüdiger TaubeDamit ist p=61,54%
Hmmm ...
17.07.2023, Robert OrsoBeim Lesen habe ich immer auf den Moment gewartet, an dem erklärt wird, wie diese revolutionäre Entdeckung die Grundfesten der bekannten Welt erschüttert. Etwas in der Größenordnung von Gödels mathematischem Beweis der Unvollständigkeit und Widersprüchlichkeit in allem Wissen.
Auch deshalb, weil die Abendnachrichten ebenso wenig wie die Tageszeitungen Leitartikel dazu veröffentlicht haben, um die Bevölkerung auf den Schock vorzubereiten, dass nichts weniger als die Wahrheit allen logischen Denkens auf dem Spiel steht.
Jetzt wissen wir also, dass es nicht nur "sehr schwierig" ist, wenn man sich mittags zum Buffet verabreden will, sondern etwas genauer "wie schwierig". Und dass zwei Teams, ohne voneinander zu wissen einen Gutteil ihres Lebens damit verbracht haben, diese neue Zahl zu berechnen. Wir freuen uns für sie. Man sollte mehr miteinander reden.
Mathematiker/innen sind scheinbar leicht zu begeistern. Vielleicht einfach mal die Erwartungen etwas niedriger halten. An der Berechnung des Wahrheitsgehelts von Ankündigungen wird wohl noch gearbeitet.
Hallo
16.07.2023, juergenABER ::
Was vermutet denn die Vermutung ?
Das sollte vielleicht einleitend dargelegt werden.
mfg
zusammenfassen
15.07.2023, Kuchen(x–2) + (x+2) + 2x + x/2 = 45 | gleichnamig machen
sollte erst zusammengefasst und dann multipliziert werden
4x + x/2 = 45 | ‧2
8x + x = 90
usw.