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Die Erklärung und das Ergebnis sind falsch.
Denn: Wolke+Wolke +Wolke= 12
Bedeutet: Wolke =4
Unten steht aber nicht Wolke + Wolke sondern:
Wolke Wolke was bedeutet 44
Dem entsprechend müssen die Zahlen 5 und -6 mit 44 Mal genommen werden. Ergebnis also 232 und -276

Liebe Redaktion,
kleiner Hinweis: der Beweis von Gödel, dass die KH innerhalb von ZFC nicht widerlegt werden kann, stammt aus 1938 und nicht - wie im Artikel (S. 16, rechte Spalte, Mitte) angeführt - aus 1940. Cohens "Gegenstück" stammt tatsächlich aus 1963.

Mit welchen Gewicht kann man möglichst gut wiegen?

Ich lese immer wieder sehr gerne die interessanten mathematischen Aufgaben. Beim obigen Rätsel bin ich aber mit der präsentierten Lösung nicht einverstanden.

Es gibt nämlich nicht zwei, sondern drei Möglichkeiten für einen Gewichtsstein: dieser wird gar nicht verwendet (0), dieser liegt in der rechten Waagschale (+1) und dieser liegt (als Gegengewicht) in der linken Waagschale (-1), wo sich auch das zu ermittelnde Gewicht befindet. Da negative Gewichte sowie Gewicht mit 0 nicht existieren, gibt es so insgesamt ((3 hoch n) - 1) / 2 Möglichkeiten. Die Gewichte müssen Potenzen von 3 sein: 1, 3, 9, 27, usw.
Die Gewichte lassen sich wie folgt wiegen:

1 = 1
2 = 3 - 1
3 = 3
4 = 3 +1
5 = 9 - 3 - 1
6 = 9 - 3
7 = 9 + 1 - 3
8 = 9 - 1
9 = 9
10 = 9 + 1
usw.
Mit diesem System braucht man stets weniger Gewichtssteine, als würde man Potenzen von 2 verwenden.

Die ursprüngliche Aufgabe mit 40 lässt sich so auch korrekt beantworten: 40 = 27 + 9 + 3 + 1, man sieht sehr einfach, dass 40 sich nicht als Summe von Potenzen von 2 schreiben lässt.

Wenn ich lese, dass etwas dem Klima nützt oder freundlich zu ihm ist, zieht sich mir der Magen zusammen. Es wird suggeriert, dass das Klima eine Art Organismus sei, der gerade so wie er jetzt ist, gesund und richtig ist. Wissenschaftlich betrachtet ist das absurd.
Diese Sprache beleuchtet nebenbei auch die Widersprüchlichkeit, mit der sich die Tonangebenden, sagen wie mal die "Progressiven", auf "die Wissenschaft" berufen, sofern es ihre Argumentation zu stützen scheint.
Klima ist einfach die Bezeichnung für die statistischen Wetterdaten eines größeren Zeitraums. Punkt. Dem kann man nicht "schaden". Hier in der Region ist die Grube Messel, mit Tieren einer viel wärmeren Zeit wie Krokodilen. War das die Hölle auf Erden, eine Zeit des Leidens für das Klima? Natürlich nicht. Die Annahme, dass der statische Status Quo das einzig Akzeptable sei, und man sogar über Geo-Engineering nachdenkt, ist höflich gesagt unsinnig. Was es aber gibt, sind die Interessen der Menschen am Status Quo. Weiter lässt sich das hier und jetzt nicht ausführen.

Da wir meist wie selbstverständlich die klassische Logik benutzen ist uns meist nicht klar,
dass unsere Beweise und Folgerungen stark von der benutzten Logik abhängen.

Ich habe eine neue Aussagenlogik, die Stufenlogik entwickelt,
die um eine zusätzliche Dimension erweitert ist, die Stufen 0, 1, 2, 3, …
Man kann sich das wie bei den reellen Zahlen vorstellen, die zu den komplexen Zahlen erweitert werden.

Mit Stufenlogik gibt es viel weniger Widersprüche und Widerspruchsbeweise.
Denn eine Aussage A muss jeweils einer Stufe k zugeordnet werden, um einen Wahrheitswert zu besitzen.
Und dabei kann die Aussage A z.B. in Stufe k wahr sein und in Stufe k+1 falsch, ohne dass dies ein Widerspruch ist.

Im Diagonalisierungsbeweis von Cantor treten nun mit Stufenlogik unterschiedliche Stufen auf, also kein Widerspruch mehr.

In der Mengenlehre, die sich mit Stufenlogik definieren lässt
gibt es daher nur ein Unendlich
(das abzählbar Unendliche der natürlichen Zahlen).

Die Menge aller Mengen ist dort auch eine (abzählbare) Menge.

Auch viele andere klassischen Beweise (Begründungstrilemma, Halteproblem der Informatik
und wohl auch die Gödelschen Unvollständigkeitssätze)
gelten mit Stufenlogik nicht mehr,
wie ich meine ein Grund, sich näher mit ihr zu befassen.

(Denn für den Alltag wenn die Wahrheiten nicht stufenabhängig sind
ergeben beide die gleichen Resultate.)

Wer vor Details und meiner eigenwilligen Notation nicht zurückschreckt,
hier ein Link zur Stufenlogik:
https://www.ask1.org/threads/stufenlogik-trestone-reloaded-vortrag-apc.17951/

Gruß
Trestone

Die Fragestellung verrät indirekt mangels Angaben, dass das Verhältnis der Flächensumme der Halbkreise zum Vollkreis fix ist und nicht vom Verhältnis der Halbkreise zueinander abhängt. Wenn man nun den einen maximiert und den anderen auf Null staucht, kommt man auf einen Halbkreis mit gleichem Radius wie der Vollkreis.

Ich möchte eine Alternative Lösung vorschlagen, die zugleich ein schönes Verhältnis offenbart, welches man zur Konstruktion einer solchen Figur nutzen kann.
Mann ziehe eine senkrechte Hilfslinie durch den Mittelpunkt M und verbinde die Punkte M und D sowie M und E mit Strecken vom Radius r. Der Winkel zwischen MD und der Hilfslinie sei Alpha und der zwischen ME und der Hilfslinie sei Beta. Dann ist a = r*sin(Alpha) und b = r*sin(Beta) und es gilt:
r*sin(Alpha) + r*sin(Beta) = r*cos(Alpha) + r*cos(Beta).
Bringt man die Alphas nach links und die Betas nach rechts und teilt durch r, dann wird daraus:
sin(Alpha) - cos(Alpha) = -sin(Beta) + cos(Beta)
Beide Seiten mit 1/Wurzel(2) = sin(Pi/4) = cos(pi/4) multipliziert und die Additionstheoreme angewandt ergibt:
sin(Alpha - pi/4) = sin(-Beta + Pi/4)
Daraus folgt fast unmittelbar: Beta = Pi/2 - Alpha
Diese Winkelbeziehung lässt sich sehr schön für die Konstruktion nutzen!
Ferner gilt für die Summe der Flächen der Halbkreise mit Beta = Pi/2 - Alpha:
a^2*pi/2 + b^2*Pi/2
= r^2*sin(Alpha)^2*Pi/2 + r^2*sin(Pi/2 - Alpha)^2*Pi/2
= r^2*Pi/2*(sin(Alpha)^2 + cos(Alpha)^2)
= r^2*Pi/2, was der halben Fläche des großen Kreises entspricht.

Schöne geometrische Herleitung, nimmt man jedoch Lösbarkeit an, vereinfacht sich das Problem auf einen Halbkreis mit dem Radius des Vollkreises und einem mit Radius Null.

Verkleinert man den kleinen Halbkreis, wird er im Grenzfall zu einem Punkt und der große übernimmt 1/2 der Fläche.

Also ich hätt einfach den hohen Pfosten geteilt in A (Spitze), B (jener Punkt am Pfosten, der im Schattenwurf der Grenze zwischen Bodenschatten und Mauerschatten entspricht) und C (Basis). Da der Bodenschatten doppelt so lang ist wie der des kleinen Pfosten, ist B-C auch doppelt so hoch = 4 Meter. Und A-B? Nun, der obere senkrechte Pfostenteil und der senkrechte Mauerschatten bilden zusammen mit den schräg verlaufenden, aber parallelen Strahlen ein Parallelogramm. Ist der Schatten 4 m, ists der obere Pfostenteil auch. Somit habe ich 4 + 4. Nur eine Verhältnisrechnung, und ein abgelesener Wert.

Nun habe ich das Buch nicht gelesen, würde es aber gerne. Ich vermute aber, dass der CO2-Fussabdruck eines eBooks deutlich geringer wäre als der des gebundenen Buchs. Außerdem brauche ich dann keinen Regalplatz dafür.

Schade eigentlich, dass es das Buch nur gebunden gibt.

der Ausdruck "CO2-Verbrauch" (anstatt Erzeugung, mehrmals so ausgedrückt !!) durch den Anbau von Bananen oder durch Flächenbrände ist - wenn auch nur in der elektronischen Version von Spektrum - inakzeptabel und sollte in einer wissenschaftliche Zeitschrift in dieser Form nicht auftauchen dürfen....liest denn niemand, was da veröffentlicht wird ??

Ehrlich, der Artikel ist seltsam geschrieben und wird nie tatsächlich konkret. Die Abzählbarkeit wird noch gut und konkret erklärt, steht so ja auch in vielen Quellen. Danach bleibt es bei Allgemeinposten in der Erzählung: X hatte eine Frage und hatte eine Idee A … Y sah das aber anders und hatte eine andere Idee B … sie arbeiten weiter … An keiner Stelle werden diese Ideen ausreichend erklärt, um dem Leser einen echten Wissensgewinn im Thema jenseits der Erzählung über X und Y zu verschaffen.
Mein Fazit war am Ende leider: das war jetzt vergeudete Zeit.

Wenn man partout kein Tschernobyl zusammengewürfelt bekommt, erhöht man halt die Zahl der Würfel, irgendwann klappt's schon. Wieder mal die Tyrannei der blinden Vernunft – ich will einen Schokoriegel? Ich esse einen Schokoriegel. Wenn der Arzt vorm Herzinfarkt warnt, ist er ein Traumtänzer, denn wenn ich bislang nicht gestorben bin, werde ich auch nie sterben. So wird man schön fett, träge und kommt bei der kleinsten Anstrengung ins Schwitzen. Wir können uns weder erinnern noch vorausdenken, jeder Sonnenaufgang und jeder Sonnenuntergang ein Schwarzer Schwan, ein völlig unvorhersehbares Ereignis, das uns aus den Bahnen wirft. Der Vergleich mit dem Fettsack ist durchaus angemessen, hinter Politik und Physiologie steckt die gleiche Physik. Hat was mit Masseträgheit und dem Aufbau stabiler, hocheffizienter Netzwerke zu tun, die dann schwer zu knacken und zu verändern sind.

Was an der Öko-Bewegung nervt, ist die esoterische Komponente: Wir sind gerade in Stimmung für eine Weltuntergangssekte, und sie eignet sich prächtig dazu, zu einer zweckentfremdet zu werden. Sie schwebt über allem, rettet den Planeten vor dem Klima-Teufel, er ist das größte Problem, ignoriert alles andere. Wenn mich ein Bär und eine Horde Wölfe anfallen, ist der Bär das größte Problem, doch darum können sich die Wölfe ja kümmern, wenn er das kleinste gerissen hat, vielleicht werden sie doch noch an dem satt, was sie ihm von meinem Kadaver entwenden können. Entweder ich kümmere mich um Bär und Wölfe gleichzeitig, oder ich kann mir beides sparen. Die Chance, sie einzeln zu erledigen, habe ich verpasst. Der Fettsack bekommt ja auch Herz-, Gelenk- und Rückenprobleme gleichzeitig, die ziehen nicht eine Nummer, stellen sich brav in einer Schlange an und warten, bis der Schalter aufmacht.

Das Entarten in Religion ist bereits recht weit fortgeschritten: Die Mächtigen predigen und kassieren und gehen mit schlechtem Beispiel voran, während der Pöbel den Gürtel enger schnallen und Opfer bringen soll, seinen Glauben durch mehr oder weniger sinnlose Rituale und Endlosschleifen-Gebete festigen und aggressiv gegen Ketzer vorgehen, je weniger Handeln und Tatsachen, desto mehr Kanzel und heiße Luft und Ketzerhetze. Der Klima-Teufel mag real sein, doch die menschliche Natur ist es auch: Er holt uns morgen, das große Fressen lauert hier und jetzt. Im Mittelalter war der christliche Teufel noch realer, Satansskeptiker brauchten nur aus dem Fenster zu gucken, um bekehrt zu werden, hat's was genützt?

Kein Schaf will die Zukunft der Wölfe retten. Meine Probleme sind im Moment Inflation, Heizkosten, immer miesere Produktqualität im Supermarkt, kaputtes Gesundheitssystem, kaputtes Pflegesystem, kaputte Wirtschaft, ich mach mir Sorgen um Freunde und Familie, Leute, die nicht das Zeug zum Prepper oder Mad Max haben und eine funktionierende Gesellschaft dringend nötig haben. Ich sehe, dass der ganze Planet zum Krieg rüstet, sich um Aggro-Führer schart, um plündern zu gehen, weil die Weltwirtschaft, wie sie jetzt ist, es nicht packt, sowohl die Menschheit, wie ihre Korruption durchzufüttern. In den fetten Jahren mästen wir die Korruption, weil sie uns genug Futter übrig lässt, dass sie uns nicht stört, in den dürren Jahren ist sie dann groß und mächtig genug, um uns zu fressen, das Normalste von der Welt. Das ist real, das passiert gerade, weil es immer passiert, Sie können's quer durch die Geschichtsbücher lesen. Der Klima-Teufel hat Freunde mitgebracht, und sie machen eine Party, die nur die Stärksten überleben. Und ich, meine Familie, meine Freunde, gehören ganz sicher nicht zu den Stärksten, wir sind Schlachtvieh und Kanonenfutter. Wenn in der Zukunft kein Platz für meinesgleichen ist, wenn sie China, Putin, Taliban, Börsen, Trump, Amazon gehört, kann sie mir gar nicht kaputt genug sein. Wenn ich die Monster schon gezüchtet habe, nehme ich sie wenigstens mit ins Grab.

Wenn Sie mir nichts zu bieten haben, als noch so eine dahergelaufene Religion, schmeißen Sie sie auf den Komposthaufen zu den anderen, dort darf sie mit gären, bis der Haufen mal wieder Feuer fängt und uns die Bude überm Kopf niederbrennt. Es gehört zu jedem anständigen Weltuntergang dazu, dass die Welt locker gerettet werden könnte, aber nicht wird, weil sie schon vorher morsch und verrottet war und zu viele keinen Sinn mehr darin sehen. So eine Welt brennt wie Zunder.

Erdgas und Kernkraftwerke sind nicht die Sorte Gas und Atomenergie, die mir im Moment die größten Sorgen bereiten. Natürlich müssen sie weg. Doch bevor Sie mir den Bären aufbinden, ziehen Sie mir ein paar Wolfszähne aus dem Hintern.

Wie sollte die Energiewende ohne diese beiden verlässlichen Träger aussehen? Ohne Speicherkapazität wird eine reine Versorgung aus Wind und Solar nicht funktionieren. Zusätzlich wird der Energiebedarf massiv steigen, statt weniger zu werden. Die Elektromobilität tut da ihr Übriges. Und ich bin mir noch nichtmal sicher, ob der Atomstrom nach der jetzigen Frist noch in die Verlängerung geht. Beim Gas haben wir den Vorteil, dass man auf künftige Technologien hoffen kann, die nur noch Wasserstoff oder Ähnliches verbrennen.

Fazit: Rein vom Klimaaspekt ist das sicherlich ein Taschenspielertrick erster Güte, aber mit etwas Realismus sehe ich da keine großen Alternativen. Außer massenweise Strom außerhalb der EU einzukaufen bei Flauten.