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So weit ich das überblicken kann, kommt es darauf an, ob Dornröschen je Münzwurf einmal gefragt wird (1/2), oder ob die Anzahl Befragungen unabhängig ist von den Münzwürfen (1/3).
Wahrscheinlichkeitsrechnung ist etwas sehr Schönes. Mit einfachsten Mittel kann man Menschen verwirren.
Unter der Annahme, dass die Münze nur Kopf oder Zahl zeigen kann, ist die Wahrscheinlichkeit für den EXTERNEN Beobachter ganz klar 0,5. Aber das ist hier überhaupt nicht gefragt.
"Die Frage" an Dornröschen ist „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?“
Ähnlich wie beim Ziegen Problem (mit 1001 Türen statt 3 Tüten) lässt sich durch Modifikation des Experiments das Problem dieser Frage verdeutlichen.
Nehmen wir an wir quälen Dornröschen. Alle 365 Tage wird die Münze geworfen. Dornröschen bekommt von dem Münzwurf nichts mit. Sofern sie morgens aufwacht, betritt abends ein Diener ihren Raum und bringt ihr ein neues Schlafmittel.
Fall 1 Kopf wurde geworfen
Dornröschen wird ein Schlafmittel gegeben was 365 Nächte hält. Nach 365 Nächten erwacht sie. Es wird ihr "die Frage" gestellt . Das Experiment beginnt von vorne
Fall 2 Zahl wurde geworfen
Dornröschen wird ein Schlafmittel gegeben was nur eine Nacht hält , sie bekommt aber jeden Abend ein neues Schlafmittel was wieder nur eine Nacht hält. Morgens wird ihre "Die Frage" gestellt. Nach 365 Tagen beginnt das Experiment von vorne
Aus Sicht des externen Beobachters gibt es nur diese zwei Fälle….Kopf oder Zahl….egal wie die nächsten 365 verlaufen, ändert sich der Münzwurf nicht mehr. das Experimnet läuft weiter
Aus Sicht von Dornröschen (interner Beobachter) erwacht Sie immer morgens und bekommt abends ein Schlafmittel...in manchen Jahren wird sie nur einmal geweckt in anderen Jahren wird sie 365 Mal geweckt. Dornröschen weiß aber nichts davon.
"Die Frage" an Dornröschen ist „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?“
Unabhängig wie häufig Dornröschen bis zum nächsten Münzwurf geweckt wird , verändert sich die Wahrscheinlichkeit des Münzwurfes nicht. Nur weil Dornröschen manchmal häufiger geweckt wird, hat dies keinen Einfluss auf den Münzwurf.
In manchen Jahren wird Dornröschen halt nur einmal gefragt, in anderen Jahren wird Dornröschen 365 mal gefragt.
Aber wie wird Dornröschen nun "die Frage" beantworten? Hat sie ein System, einen Grundsatz oder vertraut sie ihren Gefühlen?
Ein paar Beispiele für mögliche Grundsätze
1. Sie könnte sich auf ihre Gefühle vertrauen.... heute so morgen so….ohne Ihre Antwort zu begründen. Ihre Antwort beeinflusst ihr Leben aus ihrer Sicht nicht, je nachdem wie die Münze geworfen, wurde bekommt sie unterschiedliche Schlafmittel. Aus ihrer Sicht wird immer nach dem Aufwachen gefragt und abends bekommt sie ein Schlafmittel, sie weiss aber nicht wie lange sie schläft.
2. Vielleicht sagt sie aber auch IMMER ZAHL...Sie gibt IMMER die gleiche Antwort …. Dörnröschen ist also Meinungsstabil.
3. Vielleicht sagt sie aber auch IMMER KOPF...Sie gibt IMMER die gleiche Antwort …. Dörnröschen ist also Meinungsstabil.
4. Vielleicht beeinflusst die Dauer des Schlafs ihre Entscheidung …nehmen wir folgende Regel an…. Wenn sie mehr als 48 Stunden schläft sagt sie Kopf , sonst Zahl ….Ohne zu wissen warum, würde sie dann IMMER die richtige Antwort geben.
5. Vielleicht beeinflusst die Dauer des Schlafs ihre Entscheidung …nehmen wir folgende Regel an…. Wenn sie mehr als 48 Stunden schläft sagt sie Zahl , sonst Kopf ….Ohne zu wissen warum, würde sie dann IMMER die falsche Antwort geben.
6. Vielleicht traut Dornröschen ihren Gefühlen nicht, und führt deshalb ein ideales Zufallsexperiment durch. So würde sie dann an 50 % der Tage Kopf und an 50% der Tage Zahl antworten.
Und hier zeigt sich doch der ganze Unsinn der ursprünglichen Frage. Niemand kennt die Grundsätze für die Antworten von Dornröschen. Es gäbe unendlich viele Möglichkeiten
Zusammengefassung des eigentlichen Problems
Das Ergebnis des idealen Münzwurfes ist Kopf oder Zahl.
Der externe Beobachter kennt das Ergebnis des idealen Münzwurfes (Kopf oder Zahl)
Der Interne Beobachter weiß nichts über das Ergebnis des Münzwurfes
Der Externe Beobachter weiß nichts über die Grundsätze von der Antwort von Dornröschen (interne Beobachter)
Daher ist es für uns als externe Beobachter unmöglich, eine verlässliche Aussage über den internen Beobachter zu treffen.
Ich hoffe die Lösung gefällt … es is 23:26 Uhr Rechtschreibfehler dürft ihr behalten. Gendermüll auch...
Feedback an kollektiv@web.de
Dornröschens Antwort hat keinen definierten Zweck oder irgendeine Folge: Wenn Dornröschen mithilfe eines Orakels die richtige Antwort kennen würde (über die angeblich so gerne gestritten wird), dann wäre es noch immer vollkommen egal, ob sie die Lösung "verrät", "lügt" oder einfach schweigt.
Das Brimborium um den komplexen Testaufbau erweckt verschiedene Konnotationen und Assoziationen, mit denen jeder Rätsler die relevanten Lücken in der vermeintlichen mathematischen Frage füllt.
Vielleicht tue ich der originalen Fragestellung und seinen Bearbeitern unrecht, aber wenn der Artikel das halbwegs treffend zusammenfasst, dann die vermeintlichen Lösungen ganz offensichtlich keine Antworten auf eine Frage aus der Stoachstik: Dornrösen müsste oder sollte so antworten, oder sie müsste aufgrund einer Argumentation etwas sagen?
Für mich aus mathematischer Sicht ein Schweizer Käse oder nur Quark, aber dennoch ein interessantes Experiment: Nicht mit K.O.-Tropfen an einer Märchenprinzessin, sondern an allen, die sich mit der Frage selbst und ihren Lösungsversuchen beschäftigen.
vielleicht stehe ich ja auf dem Schlauch, aber so ganz verstehe ich die Aufgabe noch nicht.
Die Aufgabenstellung für Dornröschen lautet ja wohl: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?
Nun, wenn Dornröschen den Versuchsaufbau kennt und vor allem weiß, dass die Münze sich ideal verhält, lautet ihre Antwort 1/2. Dafür braucht man auch den Zirkus mit dem einmaligen oder mehrmaligen Wecken nicht. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine ideale Münze nach einem Wurf Kopf zeigt ist 1/2, egal, was die Münze tatsächlich gezeigt hat, oder? Das weiß auch Dornröschen, also antwortet sie montags und dienstags immer 1/2. Und damit hat sie jeden (!) Tag Recht. Fertig!
Etwas ganz anderes wäre es gewesen, wenn der Versuchsaufbau so aussähe. Dornröschen wird geweckt und kann 1 € auf Kopf oder Zahl setzen. Ist es richtig, erhält sie die doppelte Summe, bei falsch ist das Geld futsch. In diesem Falle kann Dornröschen 1 € dazugewinnen, wenn sie auf Kopf setzt, aber sie gewinnt 2 € (am Montag und am Dienstag) dazu, wenn sie auf Zahl setzt. Das ist ein Verhältnis von 1:2 und sie ist deshalb gut beraten, immer auf Zahl zu setzen.
Oder habe ich etwas Wesentliches überlesen / übersehen?
Eigentlich sind es zwei verschiedene Wahrscheinlichkeiten:
1.) Die Wahrscheinlichkeit für den Wurf Kopf oder Zahl = 1/2
2.) Die beste Option für Dornröschen das geworfene Ereignis zu erraten:
da sie zweimal bei Zahl und einmal bei Kopf geweckt wird ist die beste Option natürlich Zahl (2/3) sprich: es bleibt 1/3 für Kopf
Es sind genau genommen zwei unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten welche hier Rücksichtslos durcheinander gebracht werden.
In der Beschreibung des Artikels wird gesagt, dass Dornröschen bei Zahl zweimal aufgeweckt und zweimal befragt wird. Und sie weiß nicht, ob sie das erste Mal aufgewacht ist oder das zweite Mal. Wenn ich eine Münze werfe, ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl jeweils 50%. Aber das Aufwachen und die Befragung über den Münzwurf ist eben nicht gleichzusetzen mit dem Münzwurf selbst. Dornröschen kann beim Aufwachen nicht davon ausgehen, dass zuletzt ein unabhängiger Münzwurf stattgefunden hat. Stattdessen wird der Fall "Münzwurf ergab Zahl" in Bezug auf die Befragung künstlich verdoppelt. Also ich bin ziemlich überzeugt, dass aus der Perspektive der befragten Person die korrekte Antwort für die Wahrscheinlichkeit dass der letzte tatsächlich erfolgte Münzwurf Kopf ergeben hat nur 1/3 beträgt. Etwas anderes wäre es wenn das Experiment immer nach dem ersten Aufwachen abgebrochen wird. So schienen das einige Kommentatoren/innen verstanden zu haben. Aber dann wäre das ganze Gedankenexperiment mit einem einfachen Münzwurf gleichzusetzen und das Schlafmittelexperiment nur prosaisches Beiwerk.
Bei den 2 Lagern werden verschiedene Fragen betrachtet:
1) Auf die Frage nach der "Wahrscheinlichkeit für Zahl" stimmt die Antwort 1/2 IMMER!!!
2) Wenn Dornröschen aber auf Kopf oder Zahl tippen muss (ist aber laut Text nicht die Frage), dann kann sie auch falsch liegen. Bei der Frage nach einem Tipp (Kopf oder Zahl) ist in 1/3 der Fragen Kopf richtig und in 2/3 der Fragen Zahl. Also sollte sie sich immer für Zahl entscheiden (und tippt in 2/3 der Fälle richtig und in 1/3 falsch).
Zitat: "Schließlich könnte man die Münze auch werfen, bevor man Dornröschen in den Schlaf schickt. Durch den Ablauf des Experiments gewinnt sie keinerlei neue Informationen, ... "
Das ist falsch. Sie gewinnt die neue Information, daß sie aufgeweckt wurde, ein Ereignis, das bei "Kopf" doppelt so häufig einritt wie bei Zahl. Deshalb ist die Wahrscheinlichket für "Kopf" doppelt so hoch wie die für "Zahl".
Da die Bezeichnungen fehlen, hier zur Aufklärung: Fängt man mit A an der Spitze oben an, so folgen gegen den (oder im) Uhrzeigersinn die Ecken B, C, D und E. Strecke CD liegt also unten, in deren Mitte M liegt. Die Figur wird in drei Dreiecke zerlegt, indem A mit C und A mit D verbunden wird.
Die in der Lösung angegebene Fläche ist korrekt.
Die Herleitungen sind Mathematisch richtig, aber in Bezug zur Fragestellung nicht.
Für die Frage: Wurde am Montag Kopf oder Zahl geworfen, sind die Ereignisse MZ und Dz nicht unabhängig. Daher dürfen für diese keine eigenen Wahrscheinlichkeiten angegeben werden. Sie sind mathematisch 1 Ereignis. Somit habe ich nur die Wahl zwischen MK und MZ und diese Wahrscheinlichkeit ist in dem Beispiel 1/2.
Für die Frage: ist es Montag oder Dienstag schaut die Sache anders aus. Da keine Korrelation zwischen dem Ereignis Wecken und dem Münzwurf besteht (geweckt wird immer), kann jedes Wecken als unabhängiges Ereignis gesehen werden. Da es aber 2 Aktionen für den Montag und nur 1 für den Dienstag gibt ist die Wahrscheinlichkeit, dass es Montag ist 2/3 und das es Dienstag ist 1/3. Sinngemäß kann die Frage nach der Seite, die sie beim Wecken sieht gesehen werden: 2 Aktionen für Z 1 Aktion für K. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Frage ist wieder Z 2/3 K 1/3
Aus der Sicht des Mittwoch und der Frage wie oft wurdest du geweckt, ist somit der Fall 1 relevant. (es gibt nur 2 unabhängige Möglichkeiten, die mit je 50% Wahrscheinlichkeit eintreten: 1x wecken (immer Montag) oder 2x wecken (immer Montag und Dienstag)
Ich habe mal gelernt, dass zunächst eine Ergebnismenge definiert werden muss, bevor man Wahrscheinlichkeiten angeben kann. Das hängt z. B. damit zusammen, dass auch für sogenannte Ereignisse Wahrscheinlichkeiten existieren; Ereignisse sind aber Teilmengen der Ergebnismenge, d. h. ohne die Ergebnismenge kann ich gar keine Ereignisse festlegen.
Ein Beispiel für unterschiedliche Ergebnismengen zu einem Zufallsversuch ist der Wurf mit zwei Würfeln, bei dem man sich für die Summe der Augenzahlen interessiert.
Eine mögliche Ergebnismenge ist:
S={2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}. Eine andere ist die Menge der geordneten Zahlenpaare:
T={(1|1);(1|2);...;(1|6);(2|1);...;(2|6);...;...;...;(6|1);...(6|6)}.
Für die Ergebnismenge S liegt kein Laplace-Experiment vor, weil z. B. die Augensumme/das Ergebnis 7 viel häufiger ist als die Augensumme/das Ergebnis 2. Für die Ergbnismenge T ist der Versuch ein Laplace-Experiment, weil alle 36 Ergebnisse/Zahlenpaare die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Nun zu Dornröschen. Sie wird nur zum Münzwurf befragt, also zur Ergebnismenge
S={Kopf;Zahl} und folglich ist die Wahrscheinlichkeit von Kopf
P({Kopf})=1/2.
Die Idee eine anderen Kommentators, nämlich sich ein Spiel auszudenken, ist dabei ganz interessant: Das Spiel könnte so lauten: Wenn Dornröschen aufgeweckt wird und sie rät richtig, dann erhält sie 50 Euro. Wenn sie sich irrt, dann muss sie 50 Euro zahlen. Welche Spielstrategie soll sie wählen?
Sie sollte natürlich "Zahl" wählen, denn, wenn das Ergebnis "Zahl" war, dann wird sie zweimal gefragt und erhält folglich zweimal 50 Euro. Wenn das Ergebnis des Münzwurfs "Kopf" war, dann würde sie nur einmal 50 Euro erhalten können.
Mit dieser Strategie ist ihr Gewinnerwartungswert folgender:
E(Gewinn)=1/2*100Euro + 1/2*(-50)Euro=25Euro
Die 1/3-Fraktion argumentiert so, als müsse man dieses Spiel so bewerten:
E(Gewinn)=2/3*100Euro + 1/3*(-50)Euro=50Euro, was offenbar keinen Sinn ergibt.bDas liegt daran, dass die beiden "Zahl-Ergebnisse", nämlich (M/Z) und (D/Z), sowohl in die Wahrscheinlichkeit, als auch in den Gewinn einfließen.
Wie auch immer betrachtet die 1/3-Fraktion die Ergebnismenge
T={(M/K);(M/Z),(D/Z)}, aber nicht mit den Wahrscheinlichkeiten 1/2, 1/4 und 1/4, wie ein anderer Kommentator richtig anmerkte.
Vielleicht hilft es, wenn man die zeitliche Abfolge in den Ergebnissen deutlicher macht, also erst Münzwurf, dann Tag:
U={(K/M),(K/D),(Z/M),(Z/D)} mit den Wahrscheinlichkeiten
1/2, 0, 1/4, 1/4.
Wenn Dornröschen mit der Wahrscheinlichkeit p beim Aufwecken die Antwort "Kopf" gibt, dann liegt sie mit der Wahrscheinlichkeit
P=2/3 - 1/3•p richtig. Lösungsansatz: Male ein Baumdiagramm.
Unabhängig davon zeigt die Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% die Seite Kopf, sofern sie nicht auf dem Rand stehen bleibt, gestohlen wird oder in ein Mauseloch rollt und dergleichen Unwägbarkeiten, was in Märchenschlössern ja nicht auszuschliessen ist.
Die Unsicherheit ist nur ein semantisches Problem. Es ist nicht klar was die Frage "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?" exakt bedeuten soll.
Es wird nach einer subjektiven Wahrscheinlichkeit gefragt. Objektiv ist die Münze bereits gefallen und hat einen eindeutigen Status, da besteht keinerlei Unsicherheit mehr, es ist Kopf oder Zahl. Das Ergebnis wurde bereits gemessen, Dornröschen kennt nur das Ergebnis nicht. Da nach einer subjektiven Wahrscheinlichkeit gefragt wird, ist es wichtig anzugeben aus wessen Perspektive - das fehlt. Das macht das Problem aber nicht schwierig oder interessant, nur unsauber definiert.
Die 1/3 Fraktion interpretiert es aus Dornröschens Perspektive:
Wie hoch ist die wahrscheinlichkeit aus meiner Perspektive das ich den aktuellen Zustand der Münze korrekt bezeichne wenn ich sage es ist "Kopf". Oder anders gesagt: Bei unendlicher Wiederholung des Experiments, welchen Anteil an "Kopf" werde ich nach dem Wecken sehen. Hier ist 1/3 offensichtlich richtig, und das lässt sich auch trivial experimentell prüfen.
Die 1/2 Fraktion interpretiert es aus Sicht eines externen Beobachters, bzw. der Perspektive vor dem Wurf:
Wie hoch war die Wahrscheinlichkeit aus Sicht vor dem Münzwurf, bzw. wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit pro Experiment (nicht pro aufwachen) Kopf zu sehen. Hier ist natürlich 1/2 richtig, was man mit Dornröschen macht beeinflusst natürlich die Münze nicht. Dornröschen würde mit dieser Antwort nicht das Verhältnis der Ergebnisse nach dem Aufwachen richtig vorhersagen, also in einer gameshow "rate was die Münze zeigt" klar verlieren, aber danach wäre nach dieser Interpretation ja auch nicht gefragt.
Ich würde sagen dass das ganze Problem absichtlich misstverständlich formuliert ist um diese Debatte zu erzeugen. Die ganze Dornröschen Struktur impliziert das man Dornröschens Perspektive annehmen soll. Die Frage an sich ist dann aber wieder allgemein gestellt und fragt nach "Kopf gezeigt hat" und nicht "jetzt Kopf zeigt".
Mit einem einzigen Satz der klarstellt was eigentlich die Frage ist, würde man die ganze Diskussion sofort auflösen.
Für mich ist die Ausgangsfrage zu ungenau gestellt für eine eindeutige Antwort.
Aus meinem Bauchverständnis ist es aber 1/2. Die Münze wird nur ein einziges Mal geworfen. Am Dienstag wird die Münze kein weiteres Mal geworfen sondern lediglich gefragt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist.
Man vermischt also 2 Mengen miteinander: den tatsächlichen Münzwurf und die Anzahl der Schätzungen, bzw. welcher Tag ist. Die Menge an Schätzungen beeinflusst also nicht die Wahrscheinlichkeit, ob Kopf oder Zahl geworfen wurde. 1/3 wird dann nur verständlich als Arguement, wenn Dornröschen annehmen muss, das Montag=Dienstag, also ein weiteres Mal die Münze geworfen würde. Aber ein nettes Experiment um zu erklären, ob eine Regel unbekannte Wirkungen hat (haben könnte).
Verschiedene Varianten
14.04.2023, Harald BauchLeute verwirren
14.04.2023, Klaus S.Unter der Annahme, dass die Münze nur Kopf oder Zahl zeigen kann, ist die Wahrscheinlichkeit für den EXTERNEN Beobachter ganz klar 0,5. Aber das ist hier überhaupt nicht gefragt.
"Die Frage" an Dornröschen ist „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?“
Ähnlich wie beim Ziegen Problem (mit 1001 Türen statt 3 Tüten) lässt sich durch Modifikation des Experiments das Problem dieser Frage verdeutlichen.
Nehmen wir an wir quälen Dornröschen. Alle 365 Tage wird die Münze geworfen. Dornröschen bekommt von dem Münzwurf nichts mit. Sofern sie morgens aufwacht, betritt abends ein Diener ihren Raum und bringt ihr ein neues Schlafmittel.
Fall 1 Kopf wurde geworfen
Dornröschen wird ein Schlafmittel gegeben was 365 Nächte hält. Nach 365 Nächten erwacht sie. Es wird ihr "die Frage" gestellt . Das Experiment beginnt von vorne
Fall 2 Zahl wurde geworfen
Dornröschen wird ein Schlafmittel gegeben was nur eine Nacht hält , sie bekommt aber jeden Abend ein neues Schlafmittel was wieder nur eine Nacht hält. Morgens wird ihre "Die Frage" gestellt. Nach 365 Tagen beginnt das Experiment von vorne
Aus Sicht des externen Beobachters gibt es nur diese zwei Fälle….Kopf oder Zahl….egal wie die nächsten 365 verlaufen, ändert sich der Münzwurf nicht mehr. das Experimnet läuft weiter
Aus Sicht von Dornröschen (interner Beobachter) erwacht Sie immer morgens und bekommt abends ein Schlafmittel...in manchen Jahren wird sie nur einmal geweckt in anderen Jahren wird sie 365 Mal geweckt. Dornröschen weiß aber nichts davon.
"Die Frage" an Dornröschen ist „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?“
Unabhängig wie häufig Dornröschen bis zum nächsten Münzwurf geweckt wird , verändert sich die Wahrscheinlichkeit des Münzwurfes nicht. Nur weil Dornröschen manchmal häufiger geweckt wird, hat dies keinen Einfluss auf den Münzwurf.
In manchen Jahren wird Dornröschen halt nur einmal gefragt, in anderen Jahren wird Dornröschen 365 mal gefragt.
Aber wie wird Dornröschen nun "die Frage" beantworten? Hat sie ein System, einen Grundsatz oder vertraut sie ihren Gefühlen?
Ein paar Beispiele für mögliche Grundsätze
1. Sie könnte sich auf ihre Gefühle vertrauen.... heute so morgen so….ohne Ihre Antwort zu begründen. Ihre Antwort beeinflusst ihr Leben aus ihrer Sicht nicht, je nachdem wie die Münze geworfen, wurde bekommt sie unterschiedliche Schlafmittel. Aus ihrer Sicht wird immer nach dem Aufwachen gefragt und abends bekommt sie ein Schlafmittel, sie weiss aber nicht wie lange sie schläft.
2. Vielleicht sagt sie aber auch IMMER ZAHL...Sie gibt IMMER die gleiche Antwort …. Dörnröschen ist also Meinungsstabil.
3. Vielleicht sagt sie aber auch IMMER KOPF...Sie gibt IMMER die gleiche Antwort …. Dörnröschen ist also Meinungsstabil.
4. Vielleicht beeinflusst die Dauer des Schlafs ihre Entscheidung …nehmen wir folgende Regel an…. Wenn sie mehr als 48 Stunden schläft sagt sie Kopf , sonst Zahl ….Ohne zu wissen warum, würde sie dann IMMER die richtige Antwort geben.
5. Vielleicht beeinflusst die Dauer des Schlafs ihre Entscheidung …nehmen wir folgende Regel an…. Wenn sie mehr als 48 Stunden schläft sagt sie Zahl , sonst Kopf ….Ohne zu wissen warum, würde sie dann IMMER die falsche Antwort geben.
6. Vielleicht traut Dornröschen ihren Gefühlen nicht, und führt deshalb ein ideales Zufallsexperiment durch. So würde sie dann an 50 % der Tage Kopf und an 50% der Tage Zahl antworten.
Und hier zeigt sich doch der ganze Unsinn der ursprünglichen Frage. Niemand kennt die Grundsätze für die Antworten von Dornröschen. Es gäbe unendlich viele Möglichkeiten
Zusammengefassung des eigentlichen Problems
Das Ergebnis des idealen Münzwurfes ist Kopf oder Zahl.
Der externe Beobachter kennt das Ergebnis des idealen Münzwurfes (Kopf oder Zahl)
Der Interne Beobachter weiß nichts über das Ergebnis des Münzwurfes
Der Externe Beobachter weiß nichts über die Grundsätze von der Antwort von Dornröschen (interne Beobachter)
Daher ist es für uns als externe Beobachter unmöglich, eine verlässliche Aussage über den internen Beobachter zu treffen.
Ich hoffe die Lösung gefällt … es is 23:26 Uhr Rechtschreibfehler dürft ihr behalten. Gendermüll auch...
Feedback an kollektiv@web.de
Es gibt keine Anforderung an Dornröschens Antwort
14.04.2023, MarkusDas Brimborium um den komplexen Testaufbau erweckt verschiedene Konnotationen und Assoziationen, mit denen jeder Rätsler die relevanten Lücken in der vermeintlichen mathematischen Frage füllt.
Vielleicht tue ich der originalen Fragestellung und seinen Bearbeitern unrecht, aber wenn der Artikel das halbwegs treffend zusammenfasst, dann die vermeintlichen Lösungen ganz offensichtlich keine Antworten auf eine Frage aus der Stoachstik: Dornrösen müsste oder sollte so antworten, oder sie müsste aufgrund einer Argumentation etwas sagen?
Für mich aus mathematischer Sicht ein Schweizer Käse oder nur Quark, aber dennoch ein interessantes Experiment: Nicht mit K.O.-Tropfen an einer Märchenprinzessin, sondern an allen, die sich mit der Frage selbst und ihren Lösungsversuchen beschäftigen.
Merkwürdige Aufgabenstellung
14.04.2023, Thorsten Reimersvielleicht stehe ich ja auf dem Schlauch, aber so ganz verstehe ich die Aufgabe noch nicht.
Die Aufgabenstellung für Dornröschen lautet ja wohl: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?
Nun, wenn Dornröschen den Versuchsaufbau kennt und vor allem weiß, dass die Münze sich ideal verhält, lautet ihre Antwort 1/2. Dafür braucht man auch den Zirkus mit dem einmaligen oder mehrmaligen Wecken nicht. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine ideale Münze nach einem Wurf Kopf zeigt ist 1/2, egal, was die Münze tatsächlich gezeigt hat, oder? Das weiß auch Dornröschen, also antwortet sie montags und dienstags immer 1/2. Und damit hat sie jeden (!) Tag Recht. Fertig!
Etwas ganz anderes wäre es gewesen, wenn der Versuchsaufbau so aussähe. Dornröschen wird geweckt und kann 1 € auf Kopf oder Zahl setzen. Ist es richtig, erhält sie die doppelte Summe, bei falsch ist das Geld futsch. In diesem Falle kann Dornröschen 1 € dazugewinnen, wenn sie auf Kopf setzt, aber sie gewinnt 2 € (am Montag und am Dienstag) dazu, wenn sie auf Zahl setzt. Das ist ein Verhältnis von 1:2 und sie ist deshalb gut beraten, immer auf Zahl zu setzen.
Oder habe ich etwas Wesentliches überlesen / übersehen?
Grosses Fragezeichen!
14.04.2023, Johannes Ensthaler1.) Die Wahrscheinlichkeit für den Wurf Kopf oder Zahl = 1/2
2.) Die beste Option für Dornröschen das geworfene Ereignis zu erraten:
da sie zweimal bei Zahl und einmal bei Kopf geweckt wird ist die beste Option natürlich Zahl (2/3) sprich: es bleibt 1/3 für Kopf
Es sind genau genommen zwei unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten welche hier Rücksichtslos durcheinander gebracht werden.
Wie lang genau dauert das Experiment?
14.04.2023, M Ellguth2 verschiedene Fragestellungen
14.04.2023, Dr. G. Kroisandt1) Auf die Frage nach der "Wahrscheinlichkeit für Zahl" stimmt die Antwort 1/2 IMMER!!!
2) Wenn Dornröschen aber auf Kopf oder Zahl tippen muss (ist aber laut Text nicht die Frage), dann kann sie auch falsch liegen. Bei der Frage nach einem Tipp (Kopf oder Zahl) ist in 1/3 der Fragen Kopf richtig und in 2/3 der Fragen Zahl. Also sollte sie sich immer für Zahl entscheiden (und tippt in 2/3 der Fälle richtig und in 1/3 falsch).
Ich kann die 1/2-Position nicht nachvollziehen
14.04.2023, Paul FroehlichDas ist falsch. Sie gewinnt die neue Information, daß sie aufgeweckt wurde, ein Ereignis, das bei "Kopf" doppelt so häufig einritt wie bei Zahl. Deshalb ist die Wahrscheinlichket für "Kopf" doppelt so hoch wie die für "Zahl".
Fehlende Bezeichnungen der Ecken in der Lösung von: Wie lässt sich der Flächeninhalt bestimmen?
14.04.2023, KuchenDie in der Lösung angegebene Fläche ist korrekt.
Ein Frage der Fragestellung und Definition
14.04.2023, Gregor SchillerFür die Frage: Wurde am Montag Kopf oder Zahl geworfen, sind die Ereignisse MZ und Dz nicht unabhängig. Daher dürfen für diese keine eigenen Wahrscheinlichkeiten angegeben werden. Sie sind mathematisch 1 Ereignis. Somit habe ich nur die Wahl zwischen MK und MZ und diese Wahrscheinlichkeit ist in dem Beispiel 1/2.
Für die Frage: ist es Montag oder Dienstag schaut die Sache anders aus. Da keine Korrelation zwischen dem Ereignis Wecken und dem Münzwurf besteht (geweckt wird immer), kann jedes Wecken als unabhängiges Ereignis gesehen werden. Da es aber 2 Aktionen für den Montag und nur 1 für den Dienstag gibt ist die Wahrscheinlichkeit, dass es Montag ist 2/3 und das es Dienstag ist 1/3. Sinngemäß kann die Frage nach der Seite, die sie beim Wecken sieht gesehen werden: 2 Aktionen für Z 1 Aktion für K. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Frage ist wieder Z 2/3 K 1/3
Aus der Sicht des Mittwoch und der Frage wie oft wurdest du geweckt, ist somit der Fall 1 relevant. (es gibt nur 2 unabhängige Möglichkeiten, die mit je 50% Wahrscheinlichkeit eintreten: 1x wecken (immer Montag) oder 2x wecken (immer Montag und Dienstag)
Es geht um die Ergebnismenge
14.04.2023, Gregor AufeldEin Beispiel für unterschiedliche Ergebnismengen zu einem Zufallsversuch ist der Wurf mit zwei Würfeln, bei dem man sich für die Summe der Augenzahlen interessiert.
Eine mögliche Ergebnismenge ist:
S={2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}. Eine andere ist die Menge der geordneten Zahlenpaare:
T={(1|1);(1|2);...;(1|6);(2|1);...;(2|6);...;...;...;(6|1);...(6|6)}.
Für die Ergebnismenge S liegt kein Laplace-Experiment vor, weil z. B. die Augensumme/das Ergebnis 7 viel häufiger ist als die Augensumme/das Ergebnis 2. Für die Ergbnismenge T ist der Versuch ein Laplace-Experiment, weil alle 36 Ergebnisse/Zahlenpaare die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Nun zu Dornröschen. Sie wird nur zum Münzwurf befragt, also zur Ergebnismenge
S={Kopf;Zahl} und folglich ist die Wahrscheinlichkeit von Kopf
P({Kopf})=1/2.
Die Idee eine anderen Kommentators, nämlich sich ein Spiel auszudenken, ist dabei ganz interessant: Das Spiel könnte so lauten: Wenn Dornröschen aufgeweckt wird und sie rät richtig, dann erhält sie 50 Euro. Wenn sie sich irrt, dann muss sie 50 Euro zahlen. Welche Spielstrategie soll sie wählen?
Sie sollte natürlich "Zahl" wählen, denn, wenn das Ergebnis "Zahl" war, dann wird sie zweimal gefragt und erhält folglich zweimal 50 Euro. Wenn das Ergebnis des Münzwurfs "Kopf" war, dann würde sie nur einmal 50 Euro erhalten können.
Mit dieser Strategie ist ihr Gewinnerwartungswert folgender:
E(Gewinn)=1/2*100Euro + 1/2*(-50)Euro=25Euro
Die 1/3-Fraktion argumentiert so, als müsse man dieses Spiel so bewerten:
E(Gewinn)=2/3*100Euro + 1/3*(-50)Euro=50Euro, was offenbar keinen Sinn ergibt.bDas liegt daran, dass die beiden "Zahl-Ergebnisse", nämlich (M/Z) und (D/Z), sowohl in die Wahrscheinlichkeit, als auch in den Gewinn einfließen.
Wie auch immer betrachtet die 1/3-Fraktion die Ergebnismenge
T={(M/K);(M/Z),(D/Z)}, aber nicht mit den Wahrscheinlichkeiten 1/2, 1/4 und 1/4, wie ein anderer Kommentator richtig anmerkte.
Vielleicht hilft es, wenn man die zeitliche Abfolge in den Ergebnissen deutlicher macht, also erst Münzwurf, dann Tag:
U={(K/M),(K/D),(Z/M),(Z/D)} mit den Wahrscheinlichkeiten
1/2, 0, 1/4, 1/4.
Zu Hemme 14.4 .23
14.04.2023, Eberhard GudowiusÄpfel und Birnen (Nachtrag)
14.04.2023, Hans GensslerP=2/3 - 1/3•p richtig. Lösungsansatz: Male ein Baumdiagramm.
Unabhängig davon zeigt die Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% die Seite Kopf, sofern sie nicht auf dem Rand stehen bleibt, gestohlen wird oder in ein Mauseloch rollt und dergleichen Unwägbarkeiten, was in Märchenschlössern ja nicht auszuschliessen ist.
Rein semantisches Problem
14.04.2023, RamonEs wird nach einer subjektiven Wahrscheinlichkeit gefragt. Objektiv ist die Münze bereits gefallen und hat einen eindeutigen Status, da besteht keinerlei Unsicherheit mehr, es ist Kopf oder Zahl. Das Ergebnis wurde bereits gemessen, Dornröschen kennt nur das Ergebnis nicht. Da nach einer subjektiven Wahrscheinlichkeit gefragt wird, ist es wichtig anzugeben aus wessen Perspektive - das fehlt. Das macht das Problem aber nicht schwierig oder interessant, nur unsauber definiert.
Die 1/3 Fraktion interpretiert es aus Dornröschens Perspektive:
Wie hoch ist die wahrscheinlichkeit aus meiner Perspektive das ich den aktuellen Zustand der Münze korrekt bezeichne wenn ich sage es ist "Kopf". Oder anders gesagt: Bei unendlicher Wiederholung des Experiments, welchen Anteil an "Kopf" werde ich nach dem Wecken sehen. Hier ist 1/3 offensichtlich richtig, und das lässt sich auch trivial experimentell prüfen.
Die 1/2 Fraktion interpretiert es aus Sicht eines externen Beobachters, bzw. der Perspektive vor dem Wurf:
Wie hoch war die Wahrscheinlichkeit aus Sicht vor dem Münzwurf, bzw. wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit pro Experiment (nicht pro aufwachen) Kopf zu sehen. Hier ist natürlich 1/2 richtig, was man mit Dornröschen macht beeinflusst natürlich die Münze nicht. Dornröschen würde mit dieser Antwort nicht das Verhältnis der Ergebnisse nach dem Aufwachen richtig vorhersagen, also in einer gameshow "rate was die Münze zeigt" klar verlieren, aber danach wäre nach dieser Interpretation ja auch nicht gefragt.
Ich würde sagen dass das ganze Problem absichtlich misstverständlich formuliert ist um diese Debatte zu erzeugen. Die ganze Dornröschen Struktur impliziert das man Dornröschens Perspektive annehmen soll. Die Frage an sich ist dann aber wieder allgemein gestellt und fragt nach "Kopf gezeigt hat" und nicht "jetzt Kopf zeigt".
Mit einem einzigen Satz der klarstellt was eigentlich die Frage ist, würde man die ganze Diskussion sofort auflösen.
Ausgangsfrage
14.04.2023, SebastianAus meinem Bauchverständnis ist es aber 1/2. Die Münze wird nur ein einziges Mal geworfen. Am Dienstag wird die Münze kein weiteres Mal geworfen sondern lediglich gefragt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist.
Man vermischt also 2 Mengen miteinander: den tatsächlichen Münzwurf und die Anzahl der Schätzungen, bzw. welcher Tag ist. Die Menge an Schätzungen beeinflusst also nicht die Wahrscheinlichkeit, ob Kopf oder Zahl geworfen wurde. 1/3 wird dann nur verständlich als Arguement, wenn Dornröschen annehmen muss, das Montag=Dienstag, also ein weiteres Mal die Münze geworfen würde. Aber ein nettes Experiment um zu erklären, ob eine Regel unbekannte Wirkungen hat (haben könnte).