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Ich sehe das auch so wie Ramon in Beitrag 36. (und vmtl. einige andere Beiträge mit der selben Aussage): die Diskussion entsteht nur durch die Unklarheit der Fragestellung.

Wenn man sich das Problem in der hier geschriebenen Fassung ansieht, steht dort:

""Dornröschen erklärt sich bereit, an einem Experiment teilzunehmen, [...]""
-> Es ist mit hoher Wahrscheinlichkeit so gemeint, dass Dornröschen über den gesamten Ablauf Bescheid weiß.

und:

""Er stellt ihr nach jedem Aufwachen aber eine Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?""
-> Es wird keine explizite Frage an den Leser gestellt, das Problem ist aber ziemlich eindeutig so zu verstehen: "Was soll Dornröschen sagen um diese Frage objektiv richtig zu beantworten?"

So weit sind sich wohl auch die meisten einig.

Nun zum kontroversen Teil:
Ich persönlich finde die Bedeutung der Formulierung ""Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?"" wiederum ziemlich eindeutig: "Wie hoch ist JETZT die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze DES LETZTEN WURFES »Kopf« gezeigt HAT?".
Dornröschen wird ja nicht gefragt "Wie hoch WAR AM SONNTAG die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« zeigen WIRD?"

Und ja, die Wahrscheinlichkeit hat sich seit letztem Sonntag tatsächlich geändert: von 1/2 zu 1/3
(das Ergebnis des Wurfes hatte ja auch eine Auswirkung: sie wird öfter/weniger geweckt)

Bitte im vorletzten Absatz in "Jane Austins Romane" den Nachnamen zu "Austen" bzw. "Austens" korrigieren. - Danke für den Hinweis auf dieses interessant klingende Buch!

Diese Diskussion ist aus philosophischer Sicht sehr interessant.
Wenn das Problem formal dargestellt wird, kann aus dem Gegebenen doch nur das herauskommen, was Marian schon dargestellt hat.
Da ich kein Mathematiker bin, kann ich es formal nicht darstellen. Wie sieht also die zugrunde liegende Formel aus?

Philosophisch gibt es einen Konsens, dass deskriptive und normative Aussagen in Argumenten nur in ganz engen Grenzen gemischt werden dürfen. Nach der Diskussion hier müsste man noch formale Aussagen hinzunehmen.
Mich erinnert das sehr an das Barbier-Paradoxon und die Russelsche Antinomie. Russel hatte, 15 Jahre nachdem er die Antinomie veröffentlicht hatte, das Paradoxon formuliert, weil die Antinomie wohl sehr schwer verständlich war.

Dann bliebe noch die Frage nach den Enthymemen. In einer von
einer Mathematikerin geschriebenen Mathematikkolumne muss ich doch davon ausgehen, dass der Begriff 'Wahrscheinlichkeit' im mathematischen Sinn vorausgesetzt wird. Ich nehme an, dass es da eine klare Definition gibt?

Die Mathematik liefert auf ein eindeutig gestellte Problem entweder keine Antwort - wie Kurt Gödel gezeigt hat, oder genau eine, aber niemals zwei. Dass Philosopen und Mathematiker auf unterschiedliche Antworten kommen, liegt nicht an der zweideutigkeit der Mathematik, sondern an der Zweideutigkeit der Fragestellung. Strengenommen ist das Dornröschenproblem nur eine Strategie, um zu verschleieren, dass die Frage zweideutig gestellt ist.

Eine Münze ist streng genommen kein mathematischer Begriff. Aber sie wird gerne als Prototyp genommen, für eine binäre Zufallsverteilung in der beide Werte mit Wahrscheinlichkeit 0.5 auftreten. Die Frage also, ob Kopf oder Zahl geworfen wurde, ist also per Definition gegeben und sie beträgt 0,5.

Das Dornröschen Problem ist aber so gestellt, dass man ganz leicht auf eine ander Fragestellung geführt wird. 'Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Antwort Kopf richtig'? Die Frage unterscheidet sich von der ersten Frage, weil durch die unterschiedliche Anzahl an Aufwachereignissen die Gewichtung geändert wurde.

Nach streng mathematischer Logik ist das Thema also ganz banal. Aus psychologischer Sicht ist es aber total spannend. Denn es zeigt, wie oft wir davon überzeugt sind zu wissen wovon wir reden, ohne es tatsächlich in der ganzen Bandbreite erfasst und geklärt zu haben.

Ich habe gerade noch die Kommentare weiter oben gelesen. Hans Genssler hat schon einmal im meinem Sinne geantwortet. Ramon hat etwas ähnliches geschrieben, verirrt sich dann aber in einer etwas umständlichen Beschreibung.

Grundsätzlich, Herr Schwägerl, ist Ihr Beitrag sehr begrüßenswert insofern als er den Atomausstieg als richtig und sinnvoll einordnet. Ich fand ihn aber trotzdem etwas enttäuschend, weil er die positiven Seiten einer nachhaltigen Energiewirtschaft nur unzureichend darlegt und noch dazu Zweifel an seiner prinzipiellen Durchführbarkeit sät. Da hätte ich mir eine genauere Darstellung gewünscht. Zuerst verstärken Sie noch die Zweifel am Atomausstieg, indem Sie alle Argumente dafür relativ ausführlich darlegen; und erst dann versuchen Sie diese zu entkräften, was aber m.E. nicht so richtig ankommt. Tatsache ist doch folgendes:
1. Die Atomenergie war von Anfang an nicht versicherbar; der Staat hat immer das volle Risiko eines potenziellen GAUs oder Super-GAUs getragen. Zum Glück kam es in Deutschland nie zu einem GAU oder auch nur einem ansatzweise ähnlich schlimmen Unfall.
2. Ebensowenig hat man sich viele Jahre mit der Frage der Endlagerung des Atommülls beschäftigt. Dass dieser in großen Mengen anfallen würde, war von Anfang an bekannt; schließlich gab es Test-Reaktoren, die zwar die technische Machbarkeit des Konzepts zeigten; aber auch, was dabei entsteht. Auch die Halbwertszeiten aller zu erwartenden Abfallprodukte waren bekannt.
3. Ok; diese Fakten wurden bekanntermaßen großzügigst und aus "wirtschaftlichen" Gründen ignoriert. Und die heute verfügbaren nachhaltigen Energiekonzepte waren damals tatsächlich nicht verfügbar; insofern darf man heute nur begrenzt Steine in die Vergangenheit werfen.
Trotzdem sind die Vorteile der heute technisch und wirtschaftlich machbaren nachhaltigen Energieerzeugung nur schwach herausgearbeitet; als da sind:
1. Sowohl Windkraft- als auch Photovoltaikanlagen produzieren heutzutage die Kilowattstunde zu wesentlich niedrigeren Kosten als es ein Weiterbetriieb von AKWs jemals ermöglichen würde.
2. Schon für den vorhandenen Atommüll hat man auch heute noch kein Konzept für dessen Endlagerung. Warum also sollten wir noch mehr produzieren? Mit Wind- und Sonnenkraft hat man dieses Problem nicht ...
3. Wir könnten heute viel weiter sein, wenn die Regierung Merkel die anfänglich von der rotgrünen Regierung auf den Weg gebrachte Förderung nicht systematisch hintertrieben hätte. Deutschland war etliche Jahre führend in der Produktion von Photovoltik-Technik, bevor die Merkel-Regierung (insbesondere Herr Altmaier) behauptet hat, das wäre alles nicht wirtschaftlich und nicht konkurrenzfähig im Vergleich mit Kernkraft- und Kohlekraftwerken. Und man hat ungerührt zugeschaut, wie die entsprechenden Firmen bankrott gingen und die Technik an China verramscht wurde. Hingegen hatten frühere "schwarze" Regierungen nie ein Problem damit AKWs mit Milliardenbeträgen an Förderung bauen und betreiben zu lassen
4. Das Argument, dass wir zu wenig Speicher haben, um "Dunkelflauten" und Winter mit "nachhaltiger" Energie überstehen zu können, ist heute natürlich richtig; es zeigt aber nur, dass wir (hoffentlich noch) nicht schnell genug sind. Leider sind auch heute noch viel zu viele Bremser in Politik und Wirtschaft unterwegs, die die Zeichen der Zeit aus welchen Gründen auch immer hintertreiben. An dieser Stelle besteht erheblicher Nachholbedarf.
5. Es sagt niemand, dass das alles einfach ist - was in Jahrzehnten entstanden ist und sich aus praktischer Sicht durchaus bewährt hat, kann man nicht "mit einem Fingerschnipp" ändern. Zum Beispiel werden wir noch viel Forschungsarbeit leisten müssen, um bezahlbare und leistungsfähige Stromspeicher bereitstellen zu können. Auch verbesserte Wikungsgrade von Photovoltaikanlagen und/oder Winkraftwerken sind sicher noch möglich. Dies sichert aber andererseits auch viele zukunftsträchtige und hochqualifizierte Arbeitsplätze, die gerade wir in Deutschland auch in Zukunft dringend brauchen. Nebenbei würde dies auch unsere Abhängigkeit von China vermindern; zumindest wenn man die neue Technik dann auch bei uns in Deutschland oder zumindest Europa produziert.
Mein persönliches Fazit: Lassen Sie uns alles Mögliche tun, um auf dem Weg in Richtung nachhaltige Energiewirtschaft mit voller Kraft voranzukommen. Unsere Kinder und Enkel werden es uns danken.
Mit freundlichen Grüßen

Es ist zwar furchtbar pingelig (aber so ist sie, die Mathematik):
Von 32 bis 99 sind es 68 Natürliche Zahlen.
Tut auch gar nichts zur Sache.

Deine Frage: was ist mit der Wahrscheinlichkeit, wenn man hintereinander mehrmals eine Münze wirft?
Du hast hintereinander 9 mal eine Zahl geworfen. Da kann man spontan sagen: Entweder sagtest du es so, oder die Ausführung deines Wurfes war 9 mal die gleiche (die entspricht einer unfairen Münze). Ändert sich deine Ausführung nicht, dann wirds du ständig 9 werfen. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit deines Wurfsstiles 1, also 100%
Nach der mathematischen Auffassung liegt die Wahrscheinlichkeit zwischen null und eins. Also kein Problem mit deinem Münzenwurf. Je mehr jemand eine Zahl hintereinander werfen kann, desto geschickter ist beim Wurf.
Deiner Wurfmuster mit 9 mal Zahlen gehört zu dem Matrix-Muster von:
2^9=512. So ist die Wahrscheinlichkeit deines Wurfmusters unter dem Matrix-Muster 1/512.
Hast Zeit und Lust deine persönliche Wahrscheinlichkeit in Bezug auf die 9 Matrix-Muster zu bestimmten, dann:
Man führe 512 mal die 9 Würfe aus. Dann zähle man die verschiedenen Mustern zusammen=m. Damit wird die Wahrscheinlichkeit m/512.
Allgemein kann man hier sagen:
Subjektive (kann auch Computer sein) Wahrscheinlichkeit eines Münzenwurfes=m/2^n in Bezug auf Matrix-Muster.
Noch: zwischen 0 und 1 liegt in Bezug auf Münzenwurf der 1/2. Der Wert 1/2 ist ein Gränzwert, um den herum die subjektive Werte liegen. Den Wert 1/2 zu schaffen, ist auch so schwer zu schaffen wie 1.

Kurz hatte ich überlegt, ob ich den Beitrag überhaupt lesen sollte. Zwar ist von Christian Schwägerl als hervorragender Kenner der Materie bekannt. Gleiches gilt aber für mich - und ich hätte nur ungern einem Ex-Kollegen Über- oder Untertreibungen oder gar gedankliche Fehler vorgeworfen, wenn ich sie denn entdeckt hätte. Habe ich aber nicht! Meine Hochachtung für Christian Schwägerl - und für Spektrum! Der Autor benennt klar die Situation - und die eigentlichen Versäumnisse. Danke für diese klaren Worte!

Die Problem der "Sleeping Beauty" geht, da sind sich Elga, Wikipedia und weiter Quellen einig, auf "unpublished work" zurück - dementsprechend beschränke ich mich auf die Darstellungen des Problems nach Elga und im Artikel:

Bischoffs Zusammenfassung endet eigentlich nach Darstellung des recht konstruierten Experiments, in dessen Verlauf der Experimentator der Testperson Fragen zu Wahrscheinlichkeiten stellt. Die einzige Frage geht an Dornröschen - sie geht überhaupt nicht an den Leser!

Auch ich habe mir da erst mal meine eigene Fragestellung hineingedeutet - aber wenn jeder eine andere Frage beantwortet, dann haben die Antworten auch nichts miteinander zu tun.

Elgas eigene Darstellung räumt immerhin mit einem Missverständnis auf, denn es hat immerhin eine ausformulierte Fragestellung: "When you are first awakened, to what degree ought you believe that the outcome of the coin toss is Heads?" Elga ist nämlich Philosoph, und auch die vielen anderen Artikel gehören in die Philosophie, und beschäftigen sich mit Erkenntnis.

Aber danach wird es in Elga's Paper unscharf und widersprüchlich:
1) "Degree of believe" hat nichts direkt mit einee Wahrscheinlichkeit zu tun.
2) Man muss die Eigenschaft der Münze kennen, um überhaupt die Häufigkeit der Beobachtungen zu kennen. Dann kann man sich zwar darüber streiten, wie das Dornröschen herausfindet, aber wenn Dornröschen auf etwas anderes "tippt", dann ist das ein Widerspruch - aber ein folgenloser, wie bereits gesagt.
3) Das ganze Verwirrspiel wird dann noch erweitert mit dem Vergessen und den mehrfachen "Erkenntnissen" im Falle von Tails.

Vielleicht kann mich ja ein gelernter Philosoph eines anderen überzeugen, aber für mich eine reine Scheindiskussion ohne mathematischen Erkenntnisgewinn und mit philosophisch unklarer Zielrichtung.

Aber psychologisch und wissenschaftstheoretisch ein spannendes Experiment! Einer vermeintlich gutaussehnden Märchenprinzessin mit traumatischer Vergangenheit werden für fragwürdige Experimente K.O.-Tropfen verabreicht, und mit Stochastikgrundwissen kann man ihr scheinbar beistehen - bei dem reißerischen Setting scheint ein Hirn erstaunlich unwissenschaftlich zu reagieren....

selbstverständlich ist die Lösung mit der Quadratischen Gleichung korrekt und im allgemeinen gültig
allerdings (Mathematikys sind faul lt. Prof EWeitz)
springt mich die Lösung
1 x 60 (nein) 2 x 30 (nein) 3 x 20 (nein) 4 x 15 (nein)
5 x 12 (JA, denn 5+12=17)
geradezu an...

Für einen Physiker ist das Problem eindeutig die unklare Aufgabengstellung. Es ist nicht klar, welche Wahrscheinlichkeit gemeint ist.
Von außen betrachtet (z.B. aus Sicht Experimentator) ist die Wahrscheinlichkeit 1/2, alles andere widerspräche allen Grundlagen der Statistik, aus Sicht des gerade aufgewachten Dornröschens - in der Form, wie in der Aufgabenstellung impliziert - dürfte es wohl 1/3 sein.
Sobald man das - physikalisch gesprochen - Bezugssystem festlegt, ist m.E. die Antwort klar.
Eine Frage der Philosophie ist das sicherlich nicht, wäre für die Mathematik auch ziemlich traurig. Für mich ist der Streit ziemlich absurd.

Leider zeigt die Lösung nicht, wie die Quadratformel aufgelöst wird, um die Werte 5 und 12 für a und b zu erhalten.

Wenn Sie die über 100 Publikationen durchsehen, werden Sie feststellen, dass kaum eine mathematische Publikation aufgelistet ist, sondern fast durchwegs in philosophisch orientierten Journalen diskutiert wird. Wenn Sie irgendeine/n Wahrscheinlichkeitstheoretiker/in fragen, werden Sie die Antwort erhalten, dass die Fragestellung nicht korrekt formuliert ist. Die Fragestellung ist umgangssprachlich formuliert, und wenn man bei mathematischen Fragestellungen nicht deutlich auf korrekte mathematische Formulierung achtet, ist es möglich, mehrdeutige oder widersprüchliche Ergebnisse zu erhalten.

Was man unbedingt verstehen muss, wenn man mit Hilfe mathematischer Betrachtungen reale (oder wie in diesem Fall scheinbar reale) Situationen analysiert, ist das Folgende: Bevor mathematische Methoden angewendet werden können, muss zunächst ein mathematisches Modell geschaffen werden, das die Situation abbildet. Dieses Modell (das vollständig in mathematischen Begriffen formuliert wird) kann dann analysiert werden. Das Ergebnis dieser Analyse ist dann eine Aussage über das mathematische Modell. Diese Aussage muss danach wieder auf die reale Situation übertragen werden. Wie wertvoll diese übertragene Aussage dann in der realen Situation ist, hängt nicht zuletzt von der Güte der Modellierung ab.

Einige Antworten in der Liste legen bereits eindeutig dar, wodurch die "Verwirrung" zustande kommt. Daher gehe ich nicht wieder darauf ein, weise aber darauf hin, dass von den Halvern und den Thirdern zwei unterschiedliche Modelle für den Dornröschenfall zugrunde gelegt werden. Im einen Modell ist die korrekte Antwort 1/2, im anderen Modell ist die korrekte Antwort 1/3. Der Streit ist also kein mathematischer Streit, sondern ein Streit darüber, wie die Fragestellung korrekt zu modellieren ist. Es ist daher keine mathematische Kontroverse, sondern maximal eine philosophische Kontroverse. Es spaltet auch nicht die Mathewelt, wie Ihnen jede/r Mathematiker/in bestimmt gerne bestätigen wird.

Ich bin klar im 50:50 Lager!
Eine Münze wird geworfen -> 50:50 - Kopf:Zahl
Dann wird irgendjemand irgendwann gefragt, wie ein einmaliger Münzwurf wohl ausgegangen ist. Das ändert aber nichts an der Wahrscheinlichkeit des Ausgangs des Münzwurfs. Dieser kann nur so oder so ausgegangen sein, also 50:50.
Wer wann dazu befragt wird ist unerheblich. Genauso ist unerheblich, ob mit dem Ausgang des Münzwurfs Ereignisketten ausgelöst werden ... Gewonnen/Verloren ... Aufwecken/erneut Narkotisieren ... Die Bedingungen des Experiments verlangen ja gerade, dass Dornröschen nicht weiß, welche Ereigniskette ausgelöst wurde. Auf Wahrscheinlichkeiten jenseits 50:50 kommt man nur, wenn Nebenbedingungen in die Überlegungen Einbezogen werden. Das schließen die Bedingungen des Experiments aber ja gerade aus!

Ich halte das Problem für informationstheoretisch ausserordentlich interessant, weil es die Bedeutung des Kontextes für die Information zeigt. Der Kontext ist, was Dornröschen, beziehungsweise was der Experimentator weiss. Diese Sichtweisen oder Horizonte bestimmen das Wissen und somit auch die Wahrscheinlichkeiten.

Deshalb ist ein Halb genauso richtig wie ein Drittel. Es kommt auf die Sicht und das jeweilige Vorwissen an:

Sicht Dornröschen:
Das ist die subjektive Sicht. Dornröschen weiss nicht, wie oft sie schon geweckt wurde, und was für ein Tag das ist. Sie muss deshalb mit fünf Fällen rechnen:
1. Montag Kopf
2. Montag Zahl
2. Dienstag Zahl
3. Mittwoch Kopf
5. Mittwoch Zahl
Weil Schneewittchen mit Zahl häufiger geweckt wird, ist Zahl für sie subjektiv wahrscheinlicher. Bei Zahl wird sie dreimal geweckt, bei Kopf zweimal.
Somit ist die subjektive Wahrscheinlichkeit für Kopf 2/5.

Wenn man Dornröschen nur am Montag oder Dienstag aufweckt und am Mittwoch schlafen lässt, gibt es nur drei Fälle:
1. Montag Kopf
2. Montag Zahl
2. Dienstag Zahl
In diesem Fall ist die subjektive Wahrscheinlichkeit für Kopf 1/3.
Die Sicht Experimentator ist davon unterschieden, weil der Experimentator weiss, wie oft Schneewittchen schon geweckt wurde. Er weiss auch, was für ein Tag es ist. Somit hat er eine "objektivere" Sicht als Schneewittchen. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf sind in diesem Fall:
Am Montag 1/2
Am Dienstag 0 falls Zahl und 1 falls Kopf → somit ebenfalls 1/2
Am Mittwoch 1/2

Das Problem stellt sich also nur, wenn man eine Antwort erwartet, die für alle Beteiligten gleich wahr ist.
Diejenigen, die sich für 1/3 entscheiden, geben der "subjektiven" Sicht von Schneewittchen recht, diejenigen die für 1/2 stimmen, dem "objektiven" Experimentator.
Man kann das Schneewittchen-Problem somit auch als Psychotest sehen: Wie "objektiv"/"subjektiv" denkt jemand? Identifiziert er sich leichter mit dem passiven Opfer oder mit dem allwissenden Experimentator?