Kommentare - - Seite 6

Bei der Anwendung der pq-Formel hat sich ein Fehler eingeschlichen.
Der goldene Schnitt entspricht (1+√5)/2, und nicht ½(1 + ½√5).

Die Lösung ist leider nicht korrekt, soweit ich sehe: Die Annahme, dass die Winkel gleich sind, ist nicht fundiert und wird auch nicht vorausgesetzt, wie auch die Illustration schon zeigt.

Ich möchte auf eine wichtige Konsequenz des Umstandes hinweisen, dass es nicht nur zwischen zwei reellen Zahlen immer wieder eine reelle gibt (und so ad infinitum), sondern auch zwischen zwei rationalen Zahlen immer wieder eine rationale.

Vielleicht nämlich ist man versucht, das kontraintuitive Moment der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen (d.h.: Überabzählbarkeit als die Weise, in der die Menge der reellen Zahlen eine „größere“ Mächtigkeit besitzt als die der natürlichen, obwohl diese bereits eine unendliche Menge ist) durch Rekurs auf die Zahlengerade erklärend zu entschärfen – und zwar auf der Basis der Auffassung, dass zwischen zwei reellen Zahlen immer wieder eine weitere reelle Zahl liegt, d.h. also, kurz gesagt, mit der Dichte der reellen Zahlen. Eine Dichte ist aber eben auch schon mit Bezug auf die rationalen Zahlen festzustellen, die jedoch gerade nicht überabzählbar, sondern abzählbar unendlich sind. Daraus ergibt sich, dass die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen nicht durch Bezugnahme auf ihre Dichte auf der Zahlengerade intuitiv näherzubringen ist.

Nun könnte man auf die Idee kommen, eine Veranschaulichung herbeizuführen, indem man den Unterschied der Dichte der rationalen Zahlen von der der reellen genauer beschreibt – eine Möglichkeit, die z.B. durch eine Formulierung wie „ℚ liegt dicht in ℝ“ scheinbar nahegelegt wird. Dies kann jedoch ebenfalls fehlleiten: Dann nämlich, wenn man ohne weitere Erklärung behauptet, es gäbe zusätzlich zu den rationalen Zahlen noch weitere Zahlen (die irrationalen), dieser Sachverhalt bewirke gewissermaßen einen höheren Grad an „Dichte“ und dem „dichter“ des „Nebeneinanderliegens“ entspräche schließlich ein „Mehr“ an Zahlen. Die Anführungszeichen deuten schon das Problem an: Man läuft Gefahr, das Verhältnis zwischen den rationalen Zahlen und den reellen Zahlen falsch zu interpretieren wie zuvor schon das zwischen den rationalen Zahlen und den natürlichen. Bereits hier führt die Intuition bekanntermaßen in die Irre, sofern man meint, es gäbe mehr rationale Zahlen als natürliche, da doch bei den ersteren noch die (echten) Brüche „dazukommen“. Das ist falsch, da ℚ und ℕ gleichmächtig sind. Die Intuition führt demnach 1. zu der falschen Vorstellung, es gäbe mehr rationale Zahlen als natürliche. Und sie kann 2. zu der falschen Auffassung führen, die reellen Zahlen seien in dem Sinne „dichter“ angeordnet als die rationalen, als es von ihnen „mehr“ gäbe als rationale: Das Verhältnis ist aber nicht das eines „Mehr“ im üblichen Sinne, d.h. so wie wir es im Zusammenhang mit endlichen Mengen kennen.

Die Idee der überabzählbaren Unendlichkeit als eine besondere Form eines „Mehr“ gegenüber der abzählbaren Unendlichkeit wartet weiterhin darauf, dass man ihr das kontraintuitive Moment und ihren begrifflichen Umschreibungen die Anführungszeichen nimmt.

Liebe Frau Bischoff,
vielen Dank für diesen sehr kurzweiligen und lesenswerten Artikel.
Allerdings ist mir aufgefallen, dass Ihre Berechnung der Anzahl der Nachbarn zu 20 · (49-3) · (49-4) · (49-5) = 1 821 600 gleich aus mehreren Gründen falsch ist.
1) Sie berücksichtigen nicht die Reihenfolge der drei zusätzlichen Zahlen. D.h. die Tupel {1,2,3,10,11,12} , {1,2,3,11,10,12} usw. zählen Sie alle mit.
2) Nachbarn mit 4 oder mehr gleichen Zahlen werden mehrfach gezählt als {1,2,3,4,x,y}, {1,2,4,3,x,y} usw.
Zusammengenommen wird das Tupel {1,2,3,4,5,6} in Ihrer Rechnung 120 Mal gezählt, obwohl es doch gar kein Nachbar von sich selbst sein kann.

Rechnet man etwas genauer, so gibt es:
Binom(6,3)*Binom(43,3)=246820 Nachbarn, die in genau drei Zahlen überein stimmen.
Binom(6,4)*Binom(43,2)=13545 Nachbarn, die in genau vier Zahlen überein stimmen.
Binom(6,5)*Binom(43,1)=258 Nachbarn, die in genau fünf Zahlen überein stimmen.
In Summe hat jeder Knoten also genau 260623 Nachbarn.
Wir können die Anzahl der erforderlichen Tipps also abschätzen: 13983816/(260623+1)=53.655
Die untere Grenze sind also 54 Tipps, um garantiert einen Dreier zu bekommen.

Danke für Ihren Beitrag, der aus mathematischer Sicht einiges Bedenkenswertes enthält, wenn auch der Erwerb von 700.000 Lottoscheinen für einen Gewinn von 700.000 (Pfund oder Dollar?) noch nicht einmal mathematisch überzeugt. Tun Sie aber sich selbst und Ihrer Leserschaft einen Gefallen: verzichten Sie auf "lohnenswert". Das Wort existiert nicht, auch wenn es sozusagen "schreib-historisch" nachgewiesen ist. Der ursprüngliche Gebrauch ging auf eine vermutbar vermeintliche Hörvertrautheit zurück. Es gibt "lobenswert" - dass aber etwas wert sei, sich zu lohnen, also des lohnens wert, ist semantisch ein tautologischer Knoten. Auch die erweiterte Herleitung: es sei wert, belohnt zu werden, überzeugt schon deshalb nicht, weil es dann "belohnenswert" hieße.

Irgendwie berücksichtigt diese Theorie nicht die tägliche Erfahrung, dass der erste, sichere, zunächst verschmähte Parkplatz beim zweiten Anfahren bereits von einem vorsichtigeren Verkehrsteilnehmer besetzt sein könnte.

Wir haben reelle Zahlen, hier können wir definieren, dass infinitesimal kleine Unterschiede vernach!ässigt werden. Dann ist 0,999...=1 als Grenzwert.
Robinson hat gezeigt, dass die reellen Zahlen dem Standardteil der hyperreellen Zahlen entsprechen. Unendlich und unendlich klein sind keine reellen Zahlen. Aber es gibt nichtreelle Zahlen, die infiniten und die infinitesimalen Zahlen. Eine infinitesimale Zahl hat einen Betrag, der kleiner ist als die kleinste positive reelle Zahl, er ist also infinitesimal größer als 0 oder 0. Es gibt also unendlich viele Hyperreelle Zahlen, die zwischen 0.999... und 1 liegen, und jeweils eine, die mit ihnen übereinstimmt. Als Hyperreelle Zahl ist 0,999... also kleiner als 1. Aber der Standardteil ist gleich.
Letztlich hängt die Lösung davon ab, wdlches Zahlenspiel ich spiele: reell bzw. rational, oder hyperreell oder vielleicht auch surreal.

Interressieren würden mich praktische Anwendungsmöglichkeiten der Einsteinparkettierung. Hut, Schildkröte und Gespenst.

Ich habe 5 Jahre nach diesem Maßstab gehandelt und würde argumentieren, dass dieses Verhalten sehr gut skaliert. Die zerbrochene Bierflasche muss ich nicht aufheben, aber nach ~10 beseitigten Flaschen kann man sich ziemlich sicher sein, dass es eine andere Person vor Schaden bewahrt. Zudem senkt es für mich und andere die Kriminalität in der Umgebung und senkt Risikofaktoren für häusliche Gewalt.

Gut skalieren auch alle Eingriffe in Kreislaufsysteme. Den Wasserkreislauf für mich und andere sauber halten - das zahlt sich noch über Jahre aus.

Auch das Eingreifen in zerstrittene Familien hat einen Wert, nämlich den, dass diese dort anhängenden Personen dann wiederum sinnvoller / gut agieren können. Innerhalb dieser Blasen ist den Betroffenen oft gar nicht möglich ihr Problem zu erkennen und daher suchen die sich auch keine Hilfe. Es genügt der Versuch - alles hat seine Grenzen. Der Gegenwert sind Hinweise was man im eigenen Leben übersieht und neue Strategien für hingenommene Missstände. Unbezahlbar.

Ich bin mit meiner Entlohnung für diese Supererogation sehr zufrieden, ich habe ein schönes Leben dafür erhalten und kann es nur empfehlen. Man kann es übertreiben, aber ich werde auch in Zukunft die Bierflaschen und Kippenstummel wegräumen, bei Hilfebedürftigen Personen nicht wegsehen.

Sie schreiben: "Zusätzliche Leitungen sollten den Stromtransport eigentlich verbessern, doch in manchen Fällen können sie die gegenteilige Wirkung haben und zu einer Überlastung führen"

Das stimmt aber nur, wenn nicht zu jedem Zeitpunkt die Energieflüsse im Netz optimal gesteuert werden. In Ihrem Rechenbeispiel würde das bedeuten, dass in der Variante mit dem Tunnel der Tunnel ab einem Durchfluss von 734 Fahrzeugen vom Start zum Ziel abgeschaltet wird und jeweils die Hälfte den Weg über A bzw. B nimmt. Bei 732 Fahrzeugen benötigen die über den Tunnel 15 Minuten und 38,4 Sekunden pro Fahrzeug. Je die Hälfte über A und B (ohne Tunnel) benötigt 15 Minuten und 38,6 Sekunden pro Fahrzeug.

Bei 734 Fahrzeugen hat sich das gedreht: 15 Minuten und 40,8 Sekunden pro Fahrzeug zu 15 Minuten und 40,2 Sekunden pro Fahrzeug.

Dass ein Netz durch den zusätzlichen Einbau einer neuen Verbindung schlechter dasteht als ohne diesen ist unlogisch sofern man diese Verbindung jederzeit bis zu Abschaltung abschwächen kann. Denn dann hat man ja wieder den ursprünglichen Zustand.

Dass das Ansprüche an die Regelung stellt mag durchaus stimmen. Ein komplexes lastverteilungsabhängiges Netzwerk-Optimierungsproblem.

Im folgenden Abschnitt sollte es wohl Vier-Zustand-Turingmaschine heißen. Die Aussage ist bei drei Zuständen natürlich dennoch richtig ;-)

[...] Denn 20 Jahre später gelang es Alan Brady, BB(4) zu bestimmen: Die höchste Anzahl an Rechenschritten beträgt 107. Falls eine Drei-Zustand-Turingmaschine länger läuft, dann wird sie mit Sicherheit endlos weiterlaufen. [...]

Hallo Fr. Bischoff, in ihren schönen Artikel hat sich ein Fehler eingeschlichen. Sie schreiben:

Es gibt Netzwerke, die keiner Karte entsprechen. Das ist immer dann der Fall, wenn sich die Kanten eines Graphen schneiden und nicht entwirren lassen, ein Beispiel dafür ist das »Haus vom Nikolaus«.

Das stimmt so nicht. Das Haus vom Nikolaus lässt sich in die Ebene einbetten, was man leicht sieht, indem man eine der Diagonalen "nach außen" verlegt.

Die ganze Sache hat einen klitzekleinen Haken.
Bei der Fleissigen Biber Funktion wird grundsätzlich davon ausgegangen, dass initial auf dem gesamten Band 0en stehen.
Bei der Turingmaschine für die Goldbach Vermutung ist aber das initiale Band nicht nur mit 0en beschrieben. Damit klappt der im Artikel beschriebene Ansatz nicht.

Man überlege auch einfach, dass eine universelle Turingmaschine eben auch nur eine endliche Anzahl von (internen) Zuständen hat, und das eigentlich auszuführende Programm der universellen Turingmaschine auch auf dem Band steht (quasi als eine Art zusätzliche Eingabe). Wir hätten hier also, falls es möglich wäre, ein Paradoxon. Wobei das Paradoxon daraus bestehen würde, dass eben einseits die universelle Turingmaschine den Wert jeder berechenbaren Funktion für jede endliche Eingabe berechnet können würde, aber dann dieser Wert nicht nur endlich wäre, sondern auch kleiner als der Wert von 2^(k*BB(n)), wobei k eine Konstante und n die Anzahl der internen Zustände der universellen Turingmaschine wäre, sein müßte. Dieses ist aber nicht möglich.

Genauso hätte man den Widerspruch, dass eine universelle Turingmaschine auch (einerseits) entscheiden könnte, ob nun eine Zahl eine Primzahl ist oder nicht, aber andererseits, sofern die Anzahl der Stellen der zu testenden Zahl nun (in binär Darstellung) größer als k*BB(n) wäre, nun die universelle Turingmaschine dann doch vor dem Lesen der gesamten Eingabe die Entscheidung fällen müßte, wobei nur vom jeweils nicht gelesenen Rest der Zahl abhängen würde, ob die zu testende Zahl eine Primzahl wäre oder nicht, und somit, bei einer deterministischen Turingmaschine, die Turingmaschine bei jeweils gleicher gelesenen Zeichenkette die gleiche Entscheidung fällen müßte, unabhängig davon, ob die zu testende Zahl wirklich eine Prinzahl ist oder nicht. Nur damit könnte die universelle Turingmaschine (mit n internen Zuständen) eben doch nicht für jede Zahl testen, ob die Zahl eine Primzahl ist. Dieses ist ein Widerspruch.

ps. Die "Maximal Shift Function" bestimmt die Maximale Anzahl von Rechenschritten bei Turingmaschinen vom BB-Typ (d.h. bei "leerer" Eingabe, d.h. nur 0en initial auf dem Band). Die Fleissige Biber (BB-Funktion) "nur" die maximale Anzahl von 1en, die eine solche Turingmaschine (bei "leerer" Eingabe) auf das Band schreiben kann. (Der Wert der "Maximal Shift Funktion" ist größer als der BB-Wert bei gleicher Anzahl von Zuständen, es gibt aber eine obere Schranke bei der "Maximal Shift Function" bei welcher der BB-Wert der einzige Parameter des Terms der oberen Schranke ist).

pps. Bei der Beschränkung der Anzahl der Rechenschritte einer Turingmaschine muss zwingend auch die Anzahl der Stellen des Bandes berücksichtigt werden, welche initial eben nicht "leer" sind. Man kann einfach eine Turingmaschine mit 3 Zuständen definieren, welche bei einer geeigneten Eingabe am Anfang auf dem Band, anschließend nach mehr als 2^(BB(3)) Schritten erst anhält oder bei der auch anschließend mehr als 2^(BB(3)) 1en auf dem Band stehen (bzw. sogar mehr als 2^(BB(3)) zusätzliche 1en auf das Band geschrieben wurden) und die Turingmaschine trotzdem anhält.

Sowohl der Inhalt des Beitrags als auch die Formel haben einen ausgeprägten makroskopischen Charakter - in der Volkswirtschaftslehre wäre beides in der Makroökonomie zu Hause.

Makroökonomische Theorien und Argumentationen sind von einer deutlichen Ungenauigkeit geprägt, deren Ursache die statistische Natur der Makroökonomie ist und dazu führt, daß mathematische Graphen in Diagrammen in Wirklichkeit dicke Balken sein müssen, innerhalb deren grenzen Entwicklungen stattfinden können, die dem Verlauf des Balkens insgesamt zuwiderlaufen (können).

Genau diese statistische Natur und ihre Konsequenzen stecken auch in diesem Artikel und in der Formel, da die Milliarden einzelner Individuen auf der Erde zu einer Größe verdichtet werden und dann erst die untersuchende Betrachtung einsetzt.

Makro-Betrachtungen beruhen immer auf Prämissen über Homogenität der Akteure, der Parallelität ihres Handelns, Innovationsgeschehen und anderem mehr.

Besonders fatale Folgen zeigen sich in folgender Nebenbemerkung, die erkennbar nicht Teil der Aussage des Artikels sein soll: "zum Beispiel, wenn die Auswirkungen auf reiche Menschen überbewertet werden, weil sie ja mehr Geld verlieren können als arme."

Die Makro-Betrachtung wie auch mindestens eine ihre technischen Voraussetzungen führen dazu, daß Reichtum mit Geld gleichgesetzt wird - diese Gleichsetzung könnte falscher nicht sein, denn Häuser, Produktionsmaschinen, LKWs, die direkt oder indirekt Eigentum von "Reichen" sind, sind kein Geld und lassen sich auch nur selten innerhalb kurzer Zeit zu Geld machen und schon gar nicht zu dem Geldbetrag, mit dem sie bewertet werden.

Die angemerkte technische Voraussetzung der Makrobetrachtung besteht darin, daß alle Faktoren und Zusammenhänge miteinander addierbar sein müssen - das aber ist bei Kilowattstunden Strom und Tonnen Getreide nicht gegeben. Deshalb werden diese Mengen in Geld ausgedrückt und dadurch eine erhebliche Ungenauigkeit einhgeführt.

Diese Andeutungen sollten bei der Lektüre des Artikels beachtet werden.

Verwendet man die Parameterdarstellung
x(t) = 3 cos(t)
y(t) = sin(t)
findet man den Winkel zwischen x-Achse und der Geraden y = - x/2. Das 2te Keplersche Gesetz sagt, dass wenn hier die beiden Flächen gleich sind, dann auch die beiden eingeschlossenen Winkel gleich sein müssen. Der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden y = mx ergibt sich dann, wenn man den erhaltenen Winkel von 90° abzieht. Jetzt kann mit Hilfe des Tangens und der Koordinatendarstellung m errechnen und kommt ebenfalls auf den in der Lösung genannten Wert.

Herzlichen Dank für den hochinteressanten artikel. Obwohl ich an 1976, als der Computerbeweis herauskam, erinnern kann, waren mir die geschichtlichen Hintergründe ind früheren Fehlschläge unbekannt, genauso wie die weitere (teilweise) Reduktion der Beweislast. Zur aufgestellten Frage: "Werden wir einem mathematischen Beweis trauen, den eine KI geführt hat?":

KI ist angelernt. Das Lernmaterial kann fehlerhaft sein. Wie sollte man auch einen umfangreichen Computerbeweis per Beweisassistent überprüfen?

Etwas ganz anderes wäre es, wenn die KI einen "eleganten", einfach nachvollziehbaren Beweis fände. Den könnte man leicht überprüfen. Es könnte aber sein, dass die KI neue mathematische Felder erschließt, in die Mathematiker sich erst einarbeiten müssten. Das könnte Zeit benötigen, könnte aber weitere Erkenntnisse als Abfallprodukt liefern.