Kommentare - - Seite 49

Ich habe mit großem Interesse den wirklich guten Artikel "Primzahltest: Wie erzeugt man eine illegale Primzahl?" von Manon Bischoff gelesen. Leider ist der kleine Fermatsche Satz etwas schlampig wiedergegeben. Die allg. Version besagt, dass für eine beliebige ganze Zahl a und eine beliebige Primzahl p a^p kongruent zu a modulo p ist. Die im Artikel verkürzte Fassung (die nichts anderes aussagt, dass a^(p-1) kongruent zu 1 modulo p ist) gilt nur, wenn a kein Vielfaches von p ist!

Sie scheinen die Serie Numbers nicht zu kennen. Dort wurden mit Hilfe der Mathematik Kriminalfälle gelöst. In den ersten Staffeln wurden die Lösungsansätze tatsächlich relativ häufig ausführlich erklärt und visualisiert.

Ludwig Knoblauchs Kritik ist nur dann berechtigt, wenn man die Bedingung, dass "A, B, C, D und E fünf verschiedene Ziffern" sein sollen, bewusst lax auslegt. Wenn man es so versteht, dass alle fünf Ziffern jeweils paarweise verschieden sein sollen, dann gibt es entweder eine oder drei Lösungen.

Denn es geht aus der Aufgabe tatsächlich nicht klar hervor, ob auch die Umkehrzahl eine echte fünfstellige Zahl sein muss, oder ob eine führende 0 erlaubt ist. Im letzteren Fall gibt es zusätzlich zu 87912 die weiteren Lösungen 65340 und 87120. Um mir logisches Kopfzerbrechen (und ein mögliches Scheitern damit ...) zu ersparen, habe ich mit einem einfachen Script alle fünfstelligen Zahlen durchprobiert.

Leider ist (a) die Aufgabenstellung ungenau und (b) die Lösung falsch.

(a) In der Aufgabenstellung sollte man erwähnen, dass auch die Umkehrzahl nicht mit Null beginnen darf und spiegelbildliche Zahlen nicht als Lösung gelten, andernfalls erhält man sehr sehr viele triviale und einen weiteren Haufen nicht-trivialer Lösungen. Ich vermute auf Grund der im Artikel angegebenen Lösung, dass der Rätselsteller solche Lösungen vermeiden wollte. Gleichwertig, aber knapper, wäre die Forderung, dass das ganzzahlige Verhältnis der beiden Zahlen zwischen 2 und 9 (inklusive) liegen soll.

(b) Aber auch dann ist die Lösung nicht, wie behauptet, eindeutig! Tatsächlich gibt es *ZWEI* Lösungen:
87912 = 21978 * 4 wie im Artikel angegeben
UND außerdem:
98901 = 10989 * 9 !!!

Den logischen Fehler in der Beweisführung zu finden (die ja zu beweisen scheint, dass es nur eine Lösung geben kann) überlasse ich gerne der Redaktion.

Mit leisem Schmunzeln
Ludwig Knoblauch

Dass es sich beim angegebenen Dreieck um das Spiegelbild handelt, wird erst klar, wenn man weiß, dass zwei Längen an einem Winkel für die Kongruenz von Dreiecken hinreichend sind(und diese Bedingung erfüllt ist). Das ist bei Ihren Lesern aber kein selbstverständliches Vorwissen.

Und @Herr Lundin/ @Herr Dietrich: Der zweite Winkel des gelben Dreiecks ist in der Aufgabenstellung nicht gegeben(genau hinsehen!) . Wie erschließen Sie ihn sich, ohne die Lösung zu benützen?

Werden die Dreiecke BCG und EFG jeweils an ihren Hypothenusen gespiegelt, so stellt man mit den bekannten Winkeln fest, dass die Katheten BG und FG (die Seiten des Quadrats, also gleich lang sind) die gleiche Höhe im gelben Dreieck CEG bilden. Damit ist der gesuchte Winkel bei C gleich 65°, und entsprechend der Winkel des gelben Dreiecks bei E gleich 70°. Die Winkelsumme beträgt -- wie in jedem ebenen Dreieck -- 45° + 65° +70° = 180°.

Die Lösungsvorschläge in anderen Kommentaren, dass man doch einfach die Winkelsumme im Dreieck verwenden könne, funktionieren nicht, da der gegebene Winkel von 70° nicht Innen- sondern Außenwinkel ist.

Falls man aber nicht erkennt, dass man ein kongruentes Dreieck konstruieren kann (2 Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gleich -> Dreiecke sind kongruent), kann man nach der trivialen Berechnung der 4 Winkel, die auch in der Musterlösung berechnet worden sind, 4 Gleichungen für die übrigen 4 unbekannten Winkel in der Figur aufstellen und dieses Gleichungssystem lösen, was zugegebenermaßen weniger elegant ist.

Die Lösungsvorschläge in anderen Kommentaren, dass man doch einfach die Winkelsumme im Dreieck verwenden könne, funktionieren nicht, da der gegebene Winkel von 70° nicht Innen- sondern Außenwinkel ist.

Falls man aber nicht erkennt, dass man ein kongruentes Dreieck konstruieren kann (2 Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gleich -> Dreiecke sind kongruent), kann man nach der trivialen Berechnung der 4 Winkel, die auch in der Musterlösung berechnet worden sind, 4 Gleichungen für die übrigen 4 unbekannten Winkel in der Figur aufstellen und dieses Gleichungssystem lösen, was zugegebenermaßen weniger elegant ist.

Die Folge stimmt nicht

Die Lösung ist doch viel zu kompliziert!
Ohne viel Aufwand im Kopf zu rechnen, 180° (ein flaches Dreieck hat in Summe immer einen Gesamt Innenwinkel von 180°) - 70° -45° = 65°

Ergänzend zum ersten Kommentar (dort hat sich auch ein Fehler eingeschlichen - zu korrigieren ist in der letzten Zeile x=44/... zu x=11/...), muss es beim Kosinussatz an zwei Stellen y^2 heißen: y^2=100+... bzw. y^2=144+... Beim Gleichsetzen eliminiert sich der Fehler. Wenn das bitte korrigiert werden könnte. Vielen Dank.

Der folgende Absatz im Text ist ungenau:
"Keeler fand heraus, dass man zunächst die Menge unterteilen: in eine, die von 1 bis i läuft, und eine andere, die von i+1 bis n geht. Dann vertauscht man jedes falsch platzierte Element der ersten Menge mit x und jedes der zweiten Sammlung mit y. Ganz am Ende wechselt man noch x mit i+1 und y mit 1 aus: (1, x)(2, x) (3, x)... (i, x) · (i+1, y) (i+2, y) … (n, y) · (i+1, x) · (1, y). Unabhängig davon, wie man i gewählt hat, landet man nach diesen Vertauschungen bei einer geordneten Menge (ohne Beachtung von x und y): (1, 2, 3, … , i, i+1, …, n). Tatsächlich spielt es dabei auch keine Rolle, auf welche Art die Objekte ursprünglich angeordnet waren. Die Methode funktioniert immer."

Dieses gilt nur, sofern man annimmt, dass die Menge eben genau ein Zyklus ist, also - in der Sprache der Körper und Geister/Charaktere - der Körper von 1 nun den Charakter von i, der Körper von i dann den Charakter von j, der Körper von j dann den Charakter von k usw. enthält, bis man bei einem Körper (den letzten betrachteten Körper) nun den Charakter von 1 vorfindet. Weiterhin muss nun die Menge in der Reihenfolge dieses Zyklus vorliegen, d.h. man numeriert die Elemente so um, dass nun im Körper von 1 der Charakter von 2, im Körper von 2 der Charakter von 3 usw. ist (und dem entsprechend dann im Körper von m - bei einer Zykluslänge von m - der Charakter von 1 ist). Anschließend kann man so, wie im zitierten Absatz beschrieben (wobei dort dann m=n wäre), dafür sorgen, dass die Körper von 1 bis n (bzw. m) nun den richtigen Charakteren zugeordnet werden¹.

Für eine beliebige Menge, welche nun mehr als einem Zyklus enthält (bei der weiterhin - ohne Beschränkung der Allgemeinheit - angenommen wird, dass keiner der Charaktere anfänglich im richtigen Körper ist), zerlegt man die Menge zuerst in Zyklen und bringt dann für jeden Zyklus nun die Charaktere (auf die angegebene Art und Weise, d.h. mit dem angegebenen Algorithmus) in ihre richtigen Körper. Bei einer ungeraden Anzahl von Zyklen muss man zum Schluss noch x und y tauschen, bei einer geraden Anzahl von Zyklen muss man dieses nicht machen (ohne Beweis, da der Beweis offensichtlich/trivial ist ;-) ).

Die Anzahl der notwendigen Körpervertauschungen, bei n Körpern und k verschiedenen Zyklen (wobei stillschweigend angenommen ist, dass anfänglich kein Charakter im richtigen Körper ist - u.a. um häßliche 1-er Zyklen zu vermeiden), wäre dann übrigens n+2k (für k gerade) und n+2k (für k ungerade), wobei dieses auch die minimale Anzahl von notwendigen Körpervertauschungen ist (wobei ich hier aus Faulheit auf den zugehörigen Beweis verzichte und der zugehörige Beweis - aus meiner Sicht - außerdem offensichtlich ist ;-) ).

ps. Das mindestens zwei weitere Elemente (Körper) notwendig sind sollte klar sein, da eben bei jedem Körper mit einem falschen Charakter, nun zuerst der Charakter aus dem Körper entfernt werden muss, wobei zumindest am Anfang bei dem Körpertausch nicht der richtige Charakter in den Körper kommen kann, und weiter dann bei einem weiteren Körpertausch nun anschließend der richtige Charakter in den Körper hineingetauscht werden muss (aber dieses eben nicht mit dem zusätzlichen Element/Körper passieren darf, mit dem man den falschen Charakter anfänglich entfernt hatte). Man muss sich dann halt nur noch den zugehörigen Algorithmus (oder Strategie) überlegen, damit man nicht in die Bredoullie kommt, dass in dem Zusatzelement (Zusatzkörper), mit dem man einen falschen Charakter aus einem Körper entfernt hatte, dann später der (richtige) Charakter für den Körper steckt. Wobei jeder Mathematikstudent auch beim Ansehen der Folge zumindest zu dieser Erkenntnis (frühzeitig) gekommen sein sollten bzw. sogar, bevor die Globetrotter das Problem gelöst hatten, sogar selbst auf den zugehörigen Beweis gekommen sein sollten².

¹) Unter der zusätzlichen Annahme, dass Keiner der Charaktere über ihren richtigen Körper lügen würde (ein Kandidat dafür wäre z.B. Bender oder auch Flexo, welcher allerdings in der Folge, sofern ich es richtig in Erinnerung habe, nicht vorkommt).

²) In allen anderen Fällen, sollten Mathematikstudenten (bzw. -Studentinnen) überlegen, ob Sie nicht doch besser was anderes studieren sollten ;-).

Wer bei Rätseln zu Zahlenfolgen partout nicht auf die Lösung kommt oder einfach eine Lust hat selbst nachzudenken, der kann sich mit der "On-Line Encyclopedia of Integer Sequences" (OEIS) behelfen. Die Folge zu dem aktuellen Rätsel findet sich unter: http://oeis.org/A000203

Mit mathematischem Gruß
Mike Winkler

Als ich die Rezension las, erschien u.a. die Werbung für den VoltPlug, mit dem man seine Stromrechnung um 80% reduzieren kann. Typische Werbung für technisch Ungebildete. Achten Sie mal auf Ihre Werbung.

in ihrem Beitrag "wie groß ist die Wurzel" befindet sich ein Tippfehler, nähmlich ist die 32 hier falsch, dahin gehört 3 hoch 2, (10^7-1)^2/32 wäre gar nicht erst eine ganze Zahl