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Man kann auch - als Erweiterung - die Ergebnisse der einzelnen Spieler ermitteln: 19, 21, 25, 28, 30.

Die Herleitung überlasse ich als kleine Übung den Knobelfreunden ;)

Aus der Lösung lässt sich schließen, das die drei Ziffern einer narzistischen Zahl auch verschieden sein müssen - dies hätte wohl auch in der Aufgabenstellung erwähnt werden sollen !!

Die verlangte Bedingung ergibt:
3(R^2 - r^2) = R^3 - r^3
Teilt man beide Seiten durch 1 = R - r ergibt sich:
3(R + r) = (R^3 - r^3) / (R - r) = R^2 + Rr + r^2
Die dritten Potenzen sind damit weg. Nun wendet man R = r + 1 an:
3(2r + 1) = (r+1)^2 + (r+1)r + r^2.
Fasst man Terme mit gleichen Potenzen von r zusammen, folgt direkt:
3r^2 - 3r - 2 = 0
Wird die Gleichung mit 3 multipliziert und x = 3r gesetzt, ergibt sich:
x^2 - 3x - 6 = 0
Die positive Lösung ist somit (sqrt ist die Quadratwurzelfunktion):
x = 3/2 + sqrt(9/4 + 6) = 3/2 + sqrt(33)/2
Division durch 3 ergibt die Lösung für r. Dabei wurde von Anfang an die Längeneinheit 1m verwendet, d.h. R und r sind die Maßzahlen der in Metern gemessenen Radien.

@Herr Funk: Ihre mit Maßeinheit behaftete Gleichung besagt (zunächst), dass eine Fläche gleich einem Volumen ist. Das ist ein Widerspruch. Der ist vermeidbar, wenn man, wie die Aufgabe sagt, die Fläche in Quadratmetern und das Volumen in Kubikmetern misst. Anders gesagt, Ihre Gleichung müsste noch auf der linken Seite durch m^2 und auf der rechten durch m^3 geteilt werden. Dies führt dazu, dass die Gleichung nur noch von dem Term r/m abhängig ist. Und r/m ist die Maßzahl des in Metern gemessenen Radius.

Ohne die Mathematik zu bemühen: Es scheint mir unmöglich, einen Zeit beanspruchenden Vorgang in einem begrenzten (endlichen) Zeitraum "unendlich oft" zu wiederholen, wenn man das allgemeine Verständnis von "unendlich" annimmt.
Kann eine Zahl >0 im Dezimalsystem durch wiederholtes Halbieren als Ergebnis 0 erreichen - entsprechende Rechengenauigkeit vorausgesetzt? Mir drängt sich da immer gern 1/3 im Dezimalsystem auf.
Ich würde die Fragestellung selbst in Frage stellen. Nach zwei Minuten wurden sehr sehr viele, aber nicht unendlich viele Schaltvorgänge getätigt.

4π(r + 1)^2 − 4πr^2 = π(r + 1)^3/3 − 4πr^3/3 hier fehlt rechts beim ersten Summanden ein Faktor 4
Da es mir als Physiker widerstrebt die Einheiten wegzulassen, sieht es bei mir so aus: 4π(r + 1m)^2 − 4πr^2 = 4π(r + 1m)^3/3 − 4πr^3/3
ergibt: 1/2 (1 + √(11/3)) m
Natürlich müßte r als physikalische Größe kursiv geschrieben werden, damit ist dann auch klar, daß es sich bei m um eine physikalische Einheit handelt.

denn die häufigsten Frösche, die Grasfrösche, schweigen auch ohne Klimawandel den ganzen Sommer, da sie nur während der kurzen Laichzeit zu Frühjahrsbeginn laut knarren, nicht quaken.

Guten Tag Herr Stork,

vielen Dank, dass Sie sich des Themas angenommen haben! Ich war entsetzt, dass still und leise diese Regelung umgesetzt wurde ohne dass es eine umfassende Berichterstattung dazu gegeben hätte und dieser so wichtige Aspekt für Naturschutz in der Landwirtschaft einfach zunichte gemacht wurde. Ich sehe es ähnlich kritisch wie Sie, dass es nicht dabei bleibt, dass die Flächen nur temporär zur Nutzung frei gegeben werden.

Danke also für Ihre kritische und mahnende Stimme!

Viele Grüße
Johanna Ruhnau

Viele Medien wären besser damit beraten, Leser und/oder Zuhörer nicht ständig mit den Begriffen STUNDENKILOMETER, kaemha oder "Sachen" zur Angabe von Geschwindigkeiten zu penetrieren.
Z.B. 170 STUNDENKILOMETER = in 170 Stunden ein Kilometer.
Etwas muss man schon wissen, damit keiner merkt, daß man nichts weiß.

Ich finde unsere Kultur der Heuchelei immer wieder lustig: 99 Leute machen's offensichtlich, bei 1 könnte es nur zufällig so aussehen als ob, und um diesem Einen kein Unrecht zu tun, dürfen wir all den Anderen auch nichts unterstellen. Es kann sich nicht nur einer in der Masse verstecken, sondern auch die Masse hinter einem.

Ist halt das, was man so den perfekten Sturm nennt, eine Kettenreaktion, wie auch in einem brennenden Haus: Das Sofa brennt, also gießt man Wasser drauf, doch schon brennen die Gardinen, also rennt man mit seinem Wasserglas dorthin, aber das Sofa wurde nicht richtig gelöscht, also steht's gleich wieder in Flammen – alles Wasser, alle Mühe verdampft, weil man keine Zeit, keine Mittel hat, sich einem Brandherd zu widmen, man rennt zum Wasserhahn, bis man zusammenbricht und hinnimmt, dass die Bude verbrennt.

Ist ein generelles Prinzip, der Grund, warum so vieles in der Welt zyklisch verläuft: Wie ein Schneepflug schieben wir eine Mauer aus Problemen vor uns hin, die stets größer wird, bis wir von ihr begraben werden. Der Schneepflug namens Zeit hat keine Bremsen, weswegen Konservative auch nur den Kurs halten können – am Ende bewahren sie nur den Verfall bis zum bitteren Ende.

Ist auch der Grund, warum ich dagegen bin, in Australien Katzen abzuschießen, um bedrohte Vögel zu retten – das funzt nur so lange, wie die Australier nichts Dringenderes zu tun haben. Katzen können ohne permanente ethnische Säuberung überleben, bedrohte Vogelarten nicht. Um sie zu retten, müsste ich völlig isolierte Reservate schaffen. Ist auch der Unterschied zwischen Mensch und Arier – perfekt ist man nur relativ zur Umwelt, Fehler sind Mutationen, Anpassungspotenzial. Wenn man sie ausmerzt, fällt man tot um, sobald ein Kaninchen zu oft furzt, also muss man überschüssige Kaninchenfürze so fürchten, wie Atomwaffen – man muss die perfekte Umwelt schaffen, jedes Detail totalitär kontrollieren. Perfektion gibt’s nicht ohne Paranoia und Kontrollwahn.

Was Sie also in der EU sehen, ist ein System, das perfekt funktioniert. Nur auf dem falschen Planeten. Den Planeten, auf dem es perfekt war, hat es längst getötet. Nennt man Krebs. Wir sind Teil dessen, was uns zerstört, wir retten, was uns tötet. Die Natur ist nicht in Gefahr, die regelt ihre Probleme schon. Wir sind es, die sich für die harte Tour entschieden haben, mit viel Leichen und Sauerei. Umweltschutz ist Menschenschutz, die Frösche und Felder schützen wir, weil wir sie brauchen, nicht, weil die Natur nicht ohne sie genauso gut dran wäre. Wenn wir die harte Tour wollen, haben sie halt Pech gehabt.

Es kann keinen Frieden geben, wo zwei Menschen nichts zu fressen haben, als einander. Bei uns ist unersättlicher Hunger eher ein Symptom von Fresssucht, der Hunger des Junkies. Wenn jetzt die halbe Welt richtig hungern muss, bleibt ihr nur das Brot der Nachbarn. Ich dachte mal, am Ende würden die Menschenmassen mit Äxten übereinander herfallen, dann bremste das Bevölkerungswachstum, die bettelarme zehnköpfige Familie wurde nach und nach durch den Konsumenten verdrängt, der so viele Ressourcen verbraucht, wie zwanzig Bettelarme, der kann sich dann auch bessere Waffen leisten, es sah nach Verteilungskämpfen zwischen Staaten und Blöcken aus, also das, was wir auch tatsächlich bekommen. Doch die Axt ist noch nicht aus dem Spiel. Warum nur einen Albtraum wahr machen, wenn wir alle gleichzeitig wahr machen können?

Wenn die Titanic sinkt, sinkt auch das Oberdeck. Auch die Sieger sind Verlierer und kriegen nasse Füße. Also verfallen sie in Panik, tun noch mehr von dem, was sie perfekt können, dem Einzigen, was sie können, und versenken die Titanic. Überspezialisierung trifft auf ihre Nebenwirkungen.

Alle richtigen Zeitpunkte haben wir ungenutzt verstreichen lassen, jetzt ist der falsche Zeitpunkt für alles, und dennoch müssen wir gerade jetzt alles auf einmal schaffen. Unsere geliebte billige Tour – viel wollen, wenig tun, alle echten Ressourcen der Fantasieressource Geld unterordnen – hat sich jedenfalls erledigt. So oder so.

In einem anderen Artikel hier wird eine Qualle beschrieben, die Unsterblichkeit erlangt, indem sie sich immer wieder verjüngt. Macht eigentlich auch alles andere so, nur setzt Verjüngung voraus, dass das Alte stirbt, und bei den meisten anderen Spezies werden, statt Zellen, Individuen entsorgt. Doch der Tod ist eine Wahl, kein Zwang – einfach nur die effizienteste, billigste, perfekteste Option.

Wäre die Planckzeit absolut exakt bestimmbar, würde man genau sagen können, in welchem Zustand die Lampe wäre, da es eine endliche Anzahl von Planckzeitabschnitten in 2 Minuten gibt.

Der letzte wirksame Impuls, der den Schalter steuert, schaltet die Lampe an oder aus. Danach würde der Schalter nicht mehr ansprechen.
Anders wäre es, wenn die Grandireihe die Impulslänge des Stromes steuert.
Dann wüden die Impulse immer kürzer werden und spätetstens mit dem Unterschreiten der Planckzeit könnte die Lampe nicht mehr leuchten.

Zählt man die Schaltvorgänge, so landet man unabhängig von der zugrunde liegende Reihe bei der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen.
Da die natürlichen Zahlen zur Hälfte gerade und ungerade sind, muß die Lampe mit der gleichen Wahrscheinlichkeit an oder aus sein. Einen Endpunkt kann es nicht geben.

Die Planckzeit definiert den kleinsten Zeitabschnitt für Wirkungen in der realen Welt. Geht man von einem kontinuierlichem Zeitmodell aus, sind kleinere Zeiträume denkbar, innerhalb derer jedoch keinerlei Wirkung möglich ist (und Zeit dadurch auch nicht mehr messbar wäre).
Die Lampe muß also aus sein, sobald die Plankzeit unterschritten wird.

Solange jedoch noch Wirkung erzielt wird, also ein Strom fließt, solange würden sich beide Zustände zu einer mittleren Leistung addieren.

Wenn man hingegen die Planckzeit in Frage stellt, und somit auch die Plancklänge und das Plancksche Wirkungsquantum, dann eröffnet man eine virtuelle Welt, in der, wenn man es weiter denkt, sich in einem unendlich kleinen Raumabschnitt ein unendlich goßes Universum auftun kann. Was die Lampe in dieser rein theoretischen Welt machen würde - who knows?

Sobald der Zeitraum nahe genug an 2 geht, ist nach Herrn Heisenberg für die Elektronen im Draht nicht mehr eindeutig bestimmbar, ob sie in Ruhe oder Bewegung sind und damit existieren nach Herrn Schrödinger beide Zustände als Superposition gleichzeitig.

Die Antwort ist also nicht 0 ODER 1, sondern 0 UND 1.

:-)

Hier wird eine Vorschrift für den Zustand der Lampe auf dem halboffenen Intervall [0,2) gegeben. Für jeden Zeitpunkt t<2 wissen wir Bescheid, aus der Problemstellung geht jedoch nichts hervor, was eine Entscheidung über den Wert bei t=2 zuließe, also ist nicht feststellbar, ob die Lampe zu diesem Zeitpunkt an oder aus ist. Denn, wie ja im Text demonstriert wird, der klassische Grenzwertbegriff funktioniert nicht.

Das Problem um die Thomson-Lampe als ungelöst zu bezeichnen finde ich daher irreführend, auch wenn es zutrifft, da das Problem so gestellt ist, dass es keine Lösung geben kann.

Die Effekthascherei, mit der der Wert S=1/2 hergeleitet wird, lässt sich übrigens ohne Weiteres auf die Spitze treiben. Durch geschicktes Aufteilen oder Umschreiben der Reihe zeigt man S=-S sowie S=mS mit einer beliebigen natürlichen Zahl m. Zusammen mit S=1-S kann man so für jede rationale Zahl q zeigen, dass S=q, was überdeutlich zeigt, dass hier etwas im Argen liegt: Der Grenzwert S existiert schlicht nicht.

Einigt man sich das unendlich ungefähr
1000000 oder
1000000000 oder
1000000000000 oder
...
1000000000000...000 ist
- jeder hat sein persönliches Unendlich! -
dann ist die Antwort experimentell schon gegeben
- Wechselspannung mit diesen Frequenzen kennt man.
Und "Lampen" in solchen Stromkreisene brennen eindeutig!
Selbst wenn man als Gedankenexperiment die Frequenzen weiter hoch treibt, die "Lampe" brennt immer (oder?)..
Also im Grenzwert auch! ;-)

MfG. S. N.

Das Endergebnis hängt eigentlich nur von einem Wert ab: der Zeitspanne, die man (Mensch oder Roboter oder eine Elektronik) mindestens benötigt, um einen Schaltvorgang durchzuführen. Der Wert dafür mag vielleicht sehr klein sein, aber er ist nicht Null, da der Schaltvorgang nicht in unendlich kurzer Zeit passieren kann.
Irgendwann vor Ablauf der zwei Minuten ist das Zeitintervall zwischen dem letzten Schaltvorgang und den zwei Minuten so klein, dass kein weiterer Schaltvorgang mehr durchgeführt werden kann. Somit bleibt die LED in dem Zustand, die sie nach dem letzten motorisch/physikalisch möglichen Schaltvorgang hatte.
Abhängig von der Dauer des minimal möglichen Schaltvorgangs kann man sogar ausrechnen, in welchem Zustand die LED nach zwei Minuten sein wird.