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Die Verwirrung zwischen den Wahrscheinlichkeiten 1/2 und 1/3 für Kopf rührt wohl daher, dass der Begriff "Wahrscheinlichkeit" hier nicht explizit definiert wird. Im Allgemeinen ist das das Verhälnis von günstigen Fällen zu möglichen Fällen.
Für einen objektiven Beobachter beträgt die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" natürlich 1/2. Wenn man das Experiment aber sehr oft durchführt, sollte die schlafende Schöne auf die Frage "Zeigte die Münze Kopf?" immer mit "Nein" antworten. Damit liegt sie in 2/3 aller Fälle richtig. Mit dieser Frage braucht man den Begriff "Wahrscheinlichkeit" gar nicht.
(Ich habe das Experiment mit verschiedenen Antworten und Antwort-Wahrscheinlichkeiten über 100.000 mal am Computer durchspielen lassen.)
Wird hier immernoch diskutiert :-), hat denn keiner gewürfelt?
Also gut, Dornröschenkostüm ausziehen und die Münze beiseite legen. Statt dessen nehmen wir jetzt eine Schachtel mit Schrödingers sprechender Katze darin. Bei Kopf wird sie sofort und endgültig vergiftet, und bei Zahl bleibt sie unversehrt. Was die Mathematiker jetzt erst mühsam zu lernen scheinen, haben wir Physiker - wie so üblich - schon lange gelöst!
Jetzt öffnen wir also die Schachtel, und fragen die putzmuntere Katze: "Was zeigt die Münze?" Na, Zahl natürlich!
Denn aus der Information, dass die Katze überhaupt antworten kann, folgt zwinged, dass die Münze Zahl zeigen muss.
Klingt irgendwie nach einem Alltagsexperiment, das in Dauerschleife durchgeführt wird: Komasaufen + Wer ist der Vater?
Wenn wir von Extremfällen reden, sehe ich hier vor allem, dass die Wahrscheinlichkeit der richtigen Vorhersage beim Experimentator theoretisch bei 100 Prozent liegt, in der Praxis strebt sie gegen 100 Prozent, denn man hat ihm anscheinend Drogen zur Verfügung gestellt, und gegen Versuchung ist keiner gefeit. Also würden auch hier Feinheiten vom Beobachter und seinem Bezugssystem geregelt: Also seiner Willensstärke, seinen Arbeitsbedingungen, wie gut die Aufsicht über den Medizinschrank funktioniert, und ob ihn sein Ehepartner gerade nervt.
Ich sehe also, dass sich die Wahrscheinlichkeit, je nach Beobachter, verändert. Und Sie schildern mir, dass sich die Wahrscheinlichkeit je nach Mathematiker, der sie berechnet, verändert. Und dass beim praktischen Versuch jeweils das gleiche Ergebnis herauskommt, auch wenn sich die Wahrscheinlichkeit mit der Versuchsanordnung zu ändern scheint, sodass jede der beiden Fraktionen Argumente für ihre Sichtweise findet – die der Wirklichkeit anscheinend völlig schnuppe sind, die zieht einfach ihr Ding durch, bei dem sich Kopf und Zahl auf magische Weise absprechen, in etwa genau gleich oft zu kommen.
Ich sehe also einfach den Allmächtigen Druck am Werk – den Druckausgleich, das Streben nach Gleichgewicht, das „=“, das alle Zufälle und alle Statistik des Universums regelt. Egal, welchen Standpunkt der Beobachter einnimmt, egal, wie sich die Wahrscheinlichkeit für ihn darstellt – Kraft und Gegenkraft regeln das schon. Irgendwie, über tausend und eine Ecke, hinter sieben Flüssen, hinter sieben Bergen, bei den sieben Zwergen mit den dreizehn Füßen (Bergwerksunfall).
Vielleicht liegt der Fehler in der Prämisse. Sie müssen sich nicht für eine der beiden Fraktionen entscheiden. Sondern einfach akzeptieren, dass der Beobachter Teil des Systems ist, das er beobachtet, und auch Mathematik relativ ist – also nur den einzigen Standpunkt beschreiben kann, den wir in der Wirklichkeit kennen: Den subjektiven.
Keiner hat gesagt, dass die Mathe immer eindeutige Antworten geben muss. Sie neigt nur dazu. Wenn der Beobachter die richtigen Daten hat, sie dementsprechend verknüpft und dabei nicht pfuscht, sind die Antworten richtig. Doch hier haben wir mehrere Beobachter.
Wobei ich unverschämterweise davon ausgehe, dass dementsprechende Experimente in ausreichender Zahl durchgeführt worden sind, sonst wäre die Lösung des Problems ja, jedem Beteiligten eine zu knallen. Falls sich die Experimente in zwei Gruppen einteilen lassen sollten, von denen jede für eine Sichtweise spricht, und sie deswegen als „nicht aussagekräftig“ klassifiziert wurden, oder irgend so ein Quatsch, lege man die ganze Gang übers Knie und lasse sie vorhersagen, welche Hinterbacke hinterher rot ist, wenn man beide drei Stunden lang abwechselnd verhaut. An meiner Argumentation würde allerdings auch das nicht viel ändern, sondern ihr nur mehr Substanz verleihen.
So wie es im Artikel geschildert wird, geht man das Problem falsch an.
Zitat: "Er stellt ihr nach jedem Aufwachen aber eine Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« zeigt?"
Da Dornröschen keine Information zur Vorgeschichte, aber in der Schule hoffentlich gut aufgepasst hat, wird sie 50 % antworten. Das ist nun mal die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Münzwurfs, von den anderen Münzwürfen hat sie keine Kenntnis, also auch nicht, ob es überhaupt welche gab. Sie wird demzufolge nur von einem einzigen Münzwurf ausgehen müssen. Die Frage war ja nur, was sie sagen wird und nicht, welche möglichen Varianten in Betracht gezogen werden sollten. Und da ist 50 % für eine einigermaßen gebildete Person die einzig sinnvolle Antwort.
Oder ist das Problem falsch aus irgendeiner der Weltsprachen übersetzt worden?
Bei der Positionsbeschreibung zu 1/3 sind ein bedingte und nicht bedingte Wahrscheinlichkeiten etwas durcheinander geraten.
Gemeint ist doch wohl nicht P(M, Z) = P(M, K) = ½ sondern P(Z|M) = P(K|M) = ½. Allerdings würde der Ansatz zu 1/2 führen, kann auch nicht gemeint sein.
Einfach mal angewandte Experimentalmathematik leben, Dornröschenkostüm anziehen, auf die Couch legen und fröhlich Münzen schnippen. Es kommt etwa 1/3 raus, und zwar weil Dornröschen den Versuch bei Zahl einen zusätzlichen Tag erlebt. In ihrem Erleben wacht sie doppelt so häufig neben einer Münze auf, die Zahl zeigt.
Es ist ein Wahrscheinlichkeitsbaum mit zwei Ästen gleicher Wahrscheinlichkeit, dessen einer Ast aber doppelt so hoch gewichtet worden ist. Die Fragestellung zielt auf das gewichtete Ergebnis, also lautet die richtige Antwort 1/3.
Wer auf 1/2 kommt, hat sich nicht in Dornröschen hinein versetzt, sondern schaut als ewig Wacher von außen zu, und wertet deshalb die Gewichtung der Äste im Wahrscheinlichkeitsbaum nicht aus. So wird im Aufgabentext aber nicht gefragt, und deshalb ist 1/2 die falsche Antwort.
Die Verwirrung erscheint dem Textverständnis geschuldet.
Kann ich mir nicht vorstellen, denn die Antwort ist einfach. Die Frage nach der Wahrscheinlichkeit wird aus verschiedenenen Blickwinkeln gestellt, daher ist die Antwort bzw. Wahrscheinlichkeit auch abhängig von der Perspektive.
Aus Sicht von Dornröschen ist die Antwort klar 50%. Sie wacht auf, wirft eine Münze, und schläft wieder ein. Sie führt ein Einzelexperiment durch, völlig lösgelöst von den vorherigen Würfen, also ist aus ihrer Sicht die Wahrscheinlichkeit 50%. Siehe Kommentar #3.
Der Fragesteller jedoch meint bei der Frage (unausgesprochen) etwas anderes, denn er hat - wie beim bekannten Ziegenexperiment - die Information über die vorherigen Würfe. Wenn er Dornröschen nach der Wahrscheinlichkeit ihres Einzelwurfs fragt, dann fragt er eigentlich: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, *zum zweiten mal hintereinander* Zahl zu werfen? Wüßte dies Dornröschen, wäre ihre Antwort eine andere...
Das Problem ist also kein mathematisches, sondern ein sprachliches.
So wie es im Artikel geschildert wird, geht man das Problem falsch an.
Zitat: "Er stellt ihr nach jedem Aufwachen aber eine Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« zeigt?"
Da Dornröschen keine Information zur Vorgeschichte, aber in der Schule hoffentlich gut aufgepasst hat, wird sie 50 % antworten. Das ist nun mal die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Münzwurfs, von den anderen Münzwürfen hat sie keine Kenntnis, also auch nicht, ob es überhaupt welche gab. Sie wird demzufolge nur von einem einzigen Münzwurf ausgehen müssen. Die Frage war ja nur, was sie sagen wird und nicht, welche möglichen Varianten in Betracht gezogen werden sollten. Und da ist 50 % für eine einigermaßen gebildete Person die einzig sinnvolle Antwort.
Oder ist das Problem falsch aus irgendeiner der Weltsprachen übersetzt worden?
Folgende Anmerkung zum Extremfallbeispiel zwei (pro 1/2 -Fraktion):
Im Beweis Adam Elga geht m.E. essentiell ein, dass die Münze symmetrisch ist:
But your credence that the coin will land Heads (after learning that it is Monday) ought to be the same as the conditional credence P(H1|H1 or T1).So P(H1|H1or T1)=1/2,and hence P(H1)=P(T1).
Wird die WS für den ersten Zweig (K, M) bzw. für K erhöht wird, dann vermindert sich die von T1 entsprechend bzw. ggf. ist WS für den zweiten Zweig dann geringer als für den ersten ! Zum Bespiel könnte ein Würfel statt einer Münze geworfen werden und und bei den Zahlen > 1 wird der erste Zweig durchlaufen und im Fall = 1 der Zweite; - dann ist die Wette auf Kopf beim aufwachen "gewonnen" ... .
Ich möchte der 1/2-Fraktion beim Dornröschen-Problem eine Wette anbieten: Bei jedem Wecken zahlt ihr mir 50€, bei Kopf gibt's von mir 110€. Nehmt ihr die Wette an? Können wir gerne jede Woche die nächsten Jahre spielen.
Der Trick bzw. die Schwierigkeit bei Sleeping Beauty ist vor allem eine sprachliche. Die Fragen "Was ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf beim Münzwurf?", "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sieht der Experimentator Kopf?" und "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sieht Dornröschen beim Wecken Kopf?" klingen ähnlich, sind aber verschieden.
Dornröschen müsste auf "Wie war die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf Kopf landet?" mit 1/2 antworten, auf die Frage "Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt jetzt Kopf?" mit 1/3.
Was ist der Sinn des Experimenten? Die Beantwortung der Frage führt zur klaren Meinung.
Der Sinn: Was ist die Wahrscheinlichkeit des Münzenwurfs? (Hier wird Dornröschen ständig gefragt, wenn sie geweckt wurde. Es heißt: der Münzenwurf ist wichtig und wann sie geweckt wurde, ist es völlig egal.)
Eine Münze hat drei Fläche. Also, die Wahrscheinlichkeit ist 1/3.
Werden nur der Kopf oder die Zahl in Betracht gezogen, so beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/2.
Die Wahrscheinlichkeit 1/3 sagt lediglich aus: beim Wurf gibt es drei Möglichkeiten. Aber, wie oft die Möglichkeiten ausfallen, dazu sagt nichts aus. Bei der 1/2 gilt das gleiche.
Eine Folge des Münzenwurfs kann daher über die Wahrscheinlichkeit nichts aussagen. Da kann man nur spekulieren, aber mathematisch nichts sagen.
Kurz gesagt: Die Wahrscheinlichkeit des Münzenwurfs lässt sich durch Experimenten nicht bestätigen.
Nun, ein (fairer) Münzwurf hat immer die Wahrscheinlichkeit 1/2. Die Geschichte drum herum ist egal. Die Frage lautet: "Wie Wahrscheinlich ist es, das Kopf gefallen ist?" - Das ist, schlicht und ergreifend 1/2. Denn der Münzwurf hat nichts damit zu tun, an welchem Tag Dornröschen das gefragt wird, auch nicht in dem 1 Mio. mal Beispiel. Man neigt dazu, die Frage, "mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Montag / Dienstag?" beantworten zu wollen.
Das Rätsel ist so clever formuliert, dass man einer Art Scheinkorrelation unterliegt (hat der Tag was mit dem Münzwurf zu tun? --> nein, natürlich nicht, ein Tag ändert nix an einem Münzwurf).
Es gibt zwei Situationen, in denen Montag sein kann und nur eine, in der Dienstag sein kann. Damit beantwortet sich die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für den Tag mit 1/3, aber nicht die der Frage nach dem Wurfergebnis. Es ist sogar so, dass die 1/3 Wahrscheinlichkeit für den Tag nur zu Stande kommen kann, weil die Münzwahrscheinlichkeit 1/2 ist. Bsp: Man nehme einen Würfel und nur die 1 führt dazu, dass Dornröschen bis Dienstag schläft. Dann hätten wir 6 Möglichkeiten für Montag und eine für Dienstag. Dann ändert sich die Wahrscheinlichkeit für die Frage nach dem Tag, der Würfel hat weiter seine 1/6 Chance für eine bestimmte Möglichkeit. Die Tageswahrscheinlichkeit korreliert mit der Wahrscheinlichkeit für den Münzwurf (respektive Würfel). aber nicht umgekehrt. Das auslösende Ereignis muss unabhängig der Folgen betrachtet werden.
Ähnliche Rätsel gibt es z.B. mit der damaligen Gameshow "Geh aufs Ganze". Dort muss der Kandidat aus 3 Toren wählen. Hinter einem ist der Preis, hinter zweien die Niete. Er liegt also mit 2/3 Chance falsch, wenn er wählt. Nach der Wahl öffnet der Spielleiter ein nicht gewähltes Nietentor und fragt den Kandidaten dann, ob er bei seiner Wahl bleibt, oder das Tor wechseln will. Es sind noch zwei Tore übrig, eine Niete und ein Preis. Man könnte annehmen, es sei egal, was der Spieler tut, die Chancen seien jetzt 50:50, da es eine Niete und einen Preis gibt. Die Annahme ist aber falsch. Der Spieler hat vorher mit 2/3 ein falsches Tor gewählt und das ist auch immer noch so, dass er mit 2/3 auf einem falschen liegt, er hat ja noch nicht gewechselt. Das Tor wird auch nicht richtiger, dadurch, dass der Spielleiter eine Information über ein anderes Tor teilt. Der Spieler sollte in der Konsequenz besser wechseln.
Das Dornröschen Rätsel funktioniert m.E. nach dem gleichen Prinzip. Der Anästhesist kann durch das Aufwecken und Fragen nichts dazu beisteuern, dass die Münze mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 ein bestimmtes Ergebnis produziert hat. Er kann die Vergangenheit nicht ändern. Man kann ja schlecht ein vergangenes Ereignis mit Wissen über Folgeereignisse bewerten, welches erst danach zur Verfügung steht (was im Business gerne passiert um Menschen, für ihre Fehler verantwortlich zu machen...).
Die Möglichkeiten 8 als Produkt zu schreiben sind bekannterweise 1x8 und 2x4. Wenn man die Zahlenkombinationen für die Werte n-4 und m-4 einsetzt, kommt man auf n=5 & m =12, und n=6 und m=8
¹= vgl. erste zwei Sätze Musterlösung der Redaktion.
Zum "Dornröschen-Problem"
11.04.2023, Ralf SteffensFür einen objektiven Beobachter beträgt die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" natürlich 1/2. Wenn man das Experiment aber sehr oft durchführt, sollte die schlafende Schöne auf die Frage "Zeigte die Münze Kopf?" immer mit "Nein" antworten. Damit liegt sie in 2/3 aller Fälle richtig. Mit dieser Frage braucht man den Begriff "Wahrscheinlichkeit" gar nicht.
(Ich habe das Experiment mit verschiedenen Antworten und Antwort-Wahrscheinlichkeiten über 100.000 mal am Computer durchspielen lassen.)
Anderes Extrem
11.04.2023, Fritz ReichmannAlso gut, Dornröschenkostüm ausziehen und die Münze beiseite legen. Statt dessen nehmen wir jetzt eine Schachtel mit Schrödingers sprechender Katze darin. Bei Kopf wird sie sofort und endgültig vergiftet, und bei Zahl bleibt sie unversehrt. Was die Mathematiker jetzt erst mühsam zu lernen scheinen, haben wir Physiker - wie so üblich - schon lange gelöst!
Jetzt öffnen wir also die Schachtel, und fragen die putzmuntere Katze: "Was zeigt die Münze?" Na, Zahl natürlich!
Denn aus der Information, dass die Katze überhaupt antworten kann, folgt zwinged, dass die Münze Zahl zeigen muss.
Des Einen Klarblick ist des Anderen Schielen
11.04.2023, Paul SWenn wir von Extremfällen reden, sehe ich hier vor allem, dass die Wahrscheinlichkeit der richtigen Vorhersage beim Experimentator theoretisch bei 100 Prozent liegt, in der Praxis strebt sie gegen 100 Prozent, denn man hat ihm anscheinend Drogen zur Verfügung gestellt, und gegen Versuchung ist keiner gefeit. Also würden auch hier Feinheiten vom Beobachter und seinem Bezugssystem geregelt: Also seiner Willensstärke, seinen Arbeitsbedingungen, wie gut die Aufsicht über den Medizinschrank funktioniert, und ob ihn sein Ehepartner gerade nervt.
Ich sehe also, dass sich die Wahrscheinlichkeit, je nach Beobachter, verändert. Und Sie schildern mir, dass sich die Wahrscheinlichkeit je nach Mathematiker, der sie berechnet, verändert. Und dass beim praktischen Versuch jeweils das gleiche Ergebnis herauskommt, auch wenn sich die Wahrscheinlichkeit mit der Versuchsanordnung zu ändern scheint, sodass jede der beiden Fraktionen Argumente für ihre Sichtweise findet – die der Wirklichkeit anscheinend völlig schnuppe sind, die zieht einfach ihr Ding durch, bei dem sich Kopf und Zahl auf magische Weise absprechen, in etwa genau gleich oft zu kommen.
Ich sehe also einfach den Allmächtigen Druck am Werk – den Druckausgleich, das Streben nach Gleichgewicht, das „=“, das alle Zufälle und alle Statistik des Universums regelt. Egal, welchen Standpunkt der Beobachter einnimmt, egal, wie sich die Wahrscheinlichkeit für ihn darstellt – Kraft und Gegenkraft regeln das schon. Irgendwie, über tausend und eine Ecke, hinter sieben Flüssen, hinter sieben Bergen, bei den sieben Zwergen mit den dreizehn Füßen (Bergwerksunfall).
Vielleicht liegt der Fehler in der Prämisse. Sie müssen sich nicht für eine der beiden Fraktionen entscheiden. Sondern einfach akzeptieren, dass der Beobachter Teil des Systems ist, das er beobachtet, und auch Mathematik relativ ist – also nur den einzigen Standpunkt beschreiben kann, den wir in der Wirklichkeit kennen: Den subjektiven.
Keiner hat gesagt, dass die Mathe immer eindeutige Antworten geben muss. Sie neigt nur dazu. Wenn der Beobachter die richtigen Daten hat, sie dementsprechend verknüpft und dabei nicht pfuscht, sind die Antworten richtig. Doch hier haben wir mehrere Beobachter.
Wobei ich unverschämterweise davon ausgehe, dass dementsprechende Experimente in ausreichender Zahl durchgeführt worden sind, sonst wäre die Lösung des Problems ja, jedem Beteiligten eine zu knallen. Falls sich die Experimente in zwei Gruppen einteilen lassen sollten, von denen jede für eine Sichtweise spricht, und sie deswegen als „nicht aussagekräftig“ klassifiziert wurden, oder irgend so ein Quatsch, lege man die ganze Gang übers Knie und lasse sie vorhersagen, welche Hinterbacke hinterher rot ist, wenn man beide drei Stunden lang abwechselnd verhaut. An meiner Argumentation würde allerdings auch das nicht viel ändern, sondern ihr nur mehr Substanz verleihen.
falsche Herangehensweise
10.04.2023, JürgenZitat: "Er stellt ihr nach jedem Aufwachen aber eine Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« zeigt?"
Da Dornröschen keine Information zur Vorgeschichte, aber in der Schule hoffentlich gut aufgepasst hat, wird sie 50 % antworten. Das ist nun mal die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Münzwurfs, von den anderen Münzwürfen hat sie keine Kenntnis, also auch nicht, ob es überhaupt welche gab. Sie wird demzufolge nur von einem einzigen Münzwurf ausgehen müssen. Die Frage war ja nur, was sie sagen wird und nicht, welche möglichen Varianten in Betracht gezogen werden sollten. Und da ist 50 % für eine einigermaßen gebildete Person die einzig sinnvolle Antwort.
Oder ist das Problem falsch aus irgendeiner der Weltsprachen übersetzt worden?
Bedingte W'keit ist P(Z|M), nicht P(M, Z)
10.04.2023, Martin FehndrichGemeint ist doch wohl nicht P(M, Z) = P(M, K) = ½ sondern P(Z|M) = P(K|M) = ½. Allerdings würde der Ansatz zu 1/2 führen, kann auch nicht gemeint sein.
1:2
10.04.2023, ChrisRätsel mit Eder
10.04.2023, FranzWahrscheinlichkeitsbaum mit gewichteten Ergebnissen
10.04.2023, Fritz ReichmannEs ist ein Wahrscheinlichkeitsbaum mit zwei Ästen gleicher Wahrscheinlichkeit, dessen einer Ast aber doppelt so hoch gewichtet worden ist. Die Fragestellung zielt auf das gewichtete Ergebnis, also lautet die richtige Antwort 1/3.
Wer auf 1/2 kommt, hat sich nicht in Dornröschen hinein versetzt, sondern schaut als ewig Wacher von außen zu, und wertet deshalb die Gewichtung der Äste im Wahrscheinlichkeitsbaum nicht aus. So wird im Aufgabentext aber nicht gefragt, und deshalb ist 1/2 die falsche Antwort.
Die Verwirrung erscheint dem Textverständnis geschuldet.
Warum streiten Experten darüber 20 Jahre lang?
09.04.2023, MichaelWAus Sicht von Dornröschen ist die Antwort klar 50%. Sie wacht auf, wirft eine Münze, und schläft wieder ein. Sie führt ein Einzelexperiment durch, völlig lösgelöst von den vorherigen Würfen, also ist aus ihrer Sicht die Wahrscheinlichkeit 50%. Siehe Kommentar #3.
Der Fragesteller jedoch meint bei der Frage (unausgesprochen) etwas anderes, denn er hat - wie beim bekannten Ziegenexperiment - die Information über die vorherigen Würfe. Wenn er Dornröschen nach der Wahrscheinlichkeit ihres Einzelwurfs fragt, dann fragt er eigentlich: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, *zum zweiten mal hintereinander* Zahl zu werfen? Wüßte dies Dornröschen, wäre ihre Antwort eine andere...
Das Problem ist also kein mathematisches, sondern ein sprachliches.
falsche Herangehensweise
09.04.2023, JürgenZitat: "Er stellt ihr nach jedem Aufwachen aber eine Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« zeigt?"
Da Dornröschen keine Information zur Vorgeschichte, aber in der Schule hoffentlich gut aufgepasst hat, wird sie 50 % antworten. Das ist nun mal die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Münzwurfs, von den anderen Münzwürfen hat sie keine Kenntnis, also auch nicht, ob es überhaupt welche gab. Sie wird demzufolge nur von einem einzigen Münzwurf ausgehen müssen. Die Frage war ja nur, was sie sagen wird und nicht, welche möglichen Varianten in Betracht gezogen werden sollten. Und da ist 50 % für eine einigermaßen gebildete Person die einzig sinnvolle Antwort.
Oder ist das Problem falsch aus irgendeiner der Weltsprachen übersetzt worden?
Anmerkung zum Extremfallbeispiel
09.04.2023, Dr. Joachim KuceraIm Beweis Adam Elga geht m.E. essentiell ein, dass die Münze symmetrisch ist:
But your credence that the coin will land Heads (after learning that it is Monday) ought to be the same as the conditional credence P(H1|H1 or T1).So P(H1|H1or T1)=1/2,and hence P(H1)=P(T1).
Wird die WS für den ersten Zweig (K, M) bzw. für K erhöht wird, dann vermindert sich die von T1 entsprechend bzw. ggf. ist WS für den zweiten Zweig dann geringer als für den ersten ! Zum Bespiel könnte ein Würfel statt einer Münze geworfen werden und und bei den Zahlen > 1 wird der erste Zweig durchlaufen und im Fall = 1 der Zweite; - dann ist die Wette auf Kopf beim aufwachen "gewonnen" ... .
Wette für die "halver" beim Dornröschen-Problem
09.04.2023, ThomasDer Trick bzw. die Schwierigkeit bei Sleeping Beauty ist vor allem eine sprachliche. Die Fragen "Was ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf beim Münzwurf?", "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sieht der Experimentator Kopf?" und "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sieht Dornröschen beim Wecken Kopf?" klingen ähnlich, sind aber verschieden.
Dornröschen müsste auf "Wie war die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf Kopf landet?" mit 1/2 antworten, auf die Frage "Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt jetzt Kopf?" mit 1/3.
Klare Meinung zur Wahrscheinlichkeit
09.04.2023, Otto MarkusDer Sinn: Was ist die Wahrscheinlichkeit des Münzenwurfs? (Hier wird Dornröschen ständig gefragt, wenn sie geweckt wurde. Es heißt: der Münzenwurf ist wichtig und wann sie geweckt wurde, ist es völlig egal.)
Eine Münze hat drei Fläche. Also, die Wahrscheinlichkeit ist 1/3.
Werden nur der Kopf oder die Zahl in Betracht gezogen, so beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/2.
Die Wahrscheinlichkeit 1/3 sagt lediglich aus: beim Wurf gibt es drei Möglichkeiten. Aber, wie oft die Möglichkeiten ausfallen, dazu sagt nichts aus. Bei der 1/2 gilt das gleiche.
Eine Folge des Münzenwurfs kann daher über die Wahrscheinlichkeit nichts aussagen. Da kann man nur spekulieren, aber mathematisch nichts sagen.
Kurz gesagt: Die Wahrscheinlichkeit des Münzenwurfs lässt sich durch Experimenten nicht bestätigen.
Scheinkorrelation?
09.04.2023, Sebastian Pospiechich bin Verfechter der Antwort 1/2! Warum?
Nun, ein (fairer) Münzwurf hat immer die Wahrscheinlichkeit 1/2. Die Geschichte drum herum ist egal. Die Frage lautet: "Wie Wahrscheinlich ist es, das Kopf gefallen ist?" - Das ist, schlicht und ergreifend 1/2. Denn der Münzwurf hat nichts damit zu tun, an welchem Tag Dornröschen das gefragt wird, auch nicht in dem 1 Mio. mal Beispiel. Man neigt dazu, die Frage, "mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Montag / Dienstag?" beantworten zu wollen.
Das Rätsel ist so clever formuliert, dass man einer Art Scheinkorrelation unterliegt (hat der Tag was mit dem Münzwurf zu tun? --> nein, natürlich nicht, ein Tag ändert nix an einem Münzwurf).
Es gibt zwei Situationen, in denen Montag sein kann und nur eine, in der Dienstag sein kann. Damit beantwortet sich die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für den Tag mit 1/3, aber nicht die der Frage nach dem Wurfergebnis. Es ist sogar so, dass die 1/3 Wahrscheinlichkeit für den Tag nur zu Stande kommen kann, weil die Münzwahrscheinlichkeit 1/2 ist. Bsp: Man nehme einen Würfel und nur die 1 führt dazu, dass Dornröschen bis Dienstag schläft. Dann hätten wir 6 Möglichkeiten für Montag und eine für Dienstag. Dann ändert sich die Wahrscheinlichkeit für die Frage nach dem Tag, der Würfel hat weiter seine 1/6 Chance für eine bestimmte Möglichkeit. Die Tageswahrscheinlichkeit korreliert mit der Wahrscheinlichkeit für den Münzwurf (respektive Würfel). aber nicht umgekehrt. Das auslösende Ereignis muss unabhängig der Folgen betrachtet werden.
Ähnliche Rätsel gibt es z.B. mit der damaligen Gameshow "Geh aufs Ganze". Dort muss der Kandidat aus 3 Toren wählen. Hinter einem ist der Preis, hinter zweien die Niete. Er liegt also mit 2/3 Chance falsch, wenn er wählt. Nach der Wahl öffnet der Spielleiter ein nicht gewähltes Nietentor und fragt den Kandidaten dann, ob er bei seiner Wahl bleibt, oder das Tor wechseln will. Es sind noch zwei Tore übrig, eine Niete und ein Preis. Man könnte annehmen, es sei egal, was der Spieler tut, die Chancen seien jetzt 50:50, da es eine Niete und einen Preis gibt. Die Annahme ist aber falsch. Der Spieler hat vorher mit 2/3 ein falsches Tor gewählt und das ist auch immer noch so, dass er mit 2/3 auf einem falschen liegt, er hat ja noch nicht gewechselt. Das Tor wird auch nicht richtiger, dadurch, dass der Spielleiter eine Information über ein anderes Tor teilt. Der Spieler sollte in der Konsequenz besser wechseln.
Das Dornröschen Rätsel funktioniert m.E. nach dem gleichen Prinzip. Der Anästhesist kann durch das Aufwecken und Fragen nichts dazu beisteuern, dass die Münze mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 ein bestimmtes Ergebnis produziert hat. Er kann die Vergangenheit nicht ändern. Man kann ja schlecht ein vergangenes Ereignis mit Wissen über Folgeereignisse bewerten, welches erst danach zur Verfügung steht (was im Business gerne passiert um Menschen, für ihre Fehler verantwortlich zu machen...).
Lange Rede, kurzer Sinn: 1/2 ! :)
LG
Sebastian
Alternativer Lösungsweg
09.04.2023, Patrick Sabrowski2(n-2)(m-2)=nm¹ | Klammern auflösen
2nm -4n -4m +8=nm | +8-nm
nm -4n -4m +16= 8 | Klammern setzen
(n-4)(m-4)=8
Die Möglichkeiten 8 als Produkt zu schreiben sind bekannterweise 1x8 und 2x4. Wenn man die Zahlenkombinationen für die Werte n-4 und m-4 einsetzt, kommt man auf n=5 & m =12, und n=6 und m=8
¹= vgl. erste zwei Sätze Musterlösung der Redaktion.