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vielen Dank für die schönen mathematische Artikel im Heft 04/22
"KI statt Bauchgefühl", "Langlands-Programm" und auch das Interview "Die Brückenbauerin". In allen genannten Beiträgen spielen Querverbindungen zwischen ganz verschiedenen Gebieten eine Rolle.
Interessante Aufgaben und Problemstellungen gibt es in allen mathematischen Disziplinen. Es scheinen sich aber einige wenige Teilgebiete herauszukristallisieren, die für die Problemlösungen prädestiniert sind und gewissermaßen den harten Kern der Mathematik bilden.
Die Gruppentheorie fasst die verschiedensten Objekte zusammen und kategorisiert sie.
Und schließlich lassen sich viele Problemstellungen graphentheoretisch beschreiben und durch Untersuchung der Graphen mit leistungsfähigen Algorithmen lösen.
Eine Weltformel, die die gesamte Mathematik erklärt, wird es wohl nicht geben, vielleicht jedoch eine Übersetzung weiter Teile der Mathematik in wenige Grundstrukturen (wie zB. Graphen, modulare Formen, ...).
Es bleibt sehr spannend, ich wünsche mir viele weitere ähnliche Artikel.
Herzliche Grüße
Lutz Muche, Freiberg
wie im ersten teil dargestellt, geht es genau um den unterschied, ob es sich um eine endliche darstellung oder um eine unendliche darstellung mit grenzwerten handelt.
ebensogut könnte man anzweifeln ob 1,0=1 oder 3,14...=pi ist.
man kann in dem zusammenhang auch offene und abgeschlossene mengen diskutieren. zum beispiel ist 1-epsilon element von [0,1), aber 0,9 periode und 1 sind es nicht.
man kann auch sagen das 0,9 periode in einer epsilon umgebung von 1 ist, daraus folgt aber noch kein ungleich 1.
die diskussion mit aufrunden von 0,999 ergibt sich nur im falle einer endlichen darstellung. dies tritt zum beispiel häufig beim vergleich reeller zahlen und maschinenzahlen (die naturgemäß endliche darstellungen sind). dann gibt es viele rechnungen zur fehlerfortpflanzung oder stabilitätsanalysen.
der verweis auf nichtstandart analysis ist so FALSCH.
in der nichtstandard analysis werden die reellen zahlen um hyperreelle zahlen erweitert. so gibt es außer 0,9 periode (dem grenzwert) auch die hyperreelle zahl (0.9;0.99;0.999;...). Diese 2 Zahlen sind VERSCHIEDEN.
Erstere ist auch in nichtstandart analysis gleich 1, letztere nicht.
Das Problem (welches gar keins ist) entsteht nur dadurch, dass vorab keine Definitionen postuliert werden und von unterschiedlichen Konzepten und "Sprachen" ausgehend ein Widerspruch aufgezeigt werden soll.
Auf ähnlichem Niveau, nur etwas simpler, funktioniert der "Beweis", dass fast jeder Mensch 11 Finger haben soll: Beide Hände offen zeigen, an der ersten Hand von 10 beginnend rückwärts zählen, bei der 6 ankommen und die weiteren 5 Finger der anderen Hand hinzuaddieren - als 10-jährige fand ich das (noch) faszinierend.
Wenn unklar ist, worüber gesprochen wird, bleibt immer eine Unschärfe zurück. Aus Schlampigkeit und Verlust des Überblicks über das Große Ganze.
Wenn ich stumpf über die Bedeutung des Symbols "=" nachdenke kann bereits dadurch 0,333... nicht 1/3 sein. 0,333...= 0,333 und 1/3 = 1/3 wären in diesem Bezugsrahmen die einzig korrekten Aussagen.
Wenn ich beides als Symbol für etwas andere werte muss ich erklären, für welches Konzept in welchem Zusammenhang. Die Aussage "Nuss = Nuss" ist ebenso richtig wie falsch, wenn ich die Frucht dem Werkzeug gedanklich gegenüber stelle.
Archimedes von Syrakus hatte Recht, Georg Cantor ist darüber verzweifelt und der Versuch, die Mathematik von der Philosphie zu trennen und zu einer "harten" Wissenschaft zu machen hat zu einer ziemlich sinnentleerten Zombifizierung dieses wundervollen Bauplans des Universums (Eins!) geführt.
@ Paul S:
Herzlichen Dank für Ihre Annäherung an Borges' Aleph, ich habe Ihre Ausführungen mit Genuss gelesen...
Herzlichen Dank für Ihre
0.9 Periode 9 ist wohl rein als Zahl gesehen zwar kleiner als 1, aber ohne praktische Relevanz. Brüche haben eine sehr hohe praktische Relevanz, denn wir haben viele Relationen, die wir gerade mit Brüchen verstehen. Darum, wenn man 0.9 Periode 9 als Bruch verstehen will, macht es durchaus sind, dass man mit 3/3 auf 1 kommt.
Hier hat sich noch ein Fehlerteufel reingeschlichen, ich zitiere:
"Genau dieses Ergebnis hat man wohl erwartet, denn 0,9999…9 mit Neunen bis zur n-ten Stelle entspricht einer Eins, abzüglich 0,00…01 mit der 1 an der (n+1)-ten Stelle."
Richtig müsste es lauten:
Genau dieses Ergebnis hat man wohl erwartet, denn 0,9999…9 mit Neunen bis zur n-ten Stelle entspricht einer Eins, abzüglich 0,00…01 mit der 1 an der n-ten Stelle.
Stellungnahme der Redaktion
Danke für die Anmerkungen! Ich habe die entsprechenden Fehler im Text behoben.
VG, Manon Bischoff
Hier hat sich der Fehlerteufel reingeschlichen, ich zitiere:
"Damit erhält man: 0,9 · (1+⅒ + ⅒2 + … + ⅒n). Nun kann man die 0,9 als 1 – ⅒ umschreiben, um eine schönere Formel zu erhalten, die nur die Zahl ⅒ und 1 enthält: (1 – ⅒) · (⅒ + ⅒2 + … + ⅒n)."
Richtig müsste es lauten:
Damit erhält man: 0,9 · (1+⅒ + ⅒2 + … + ⅒n). Nun kann man die 0,9 als 1 – ⅒ umschreiben, um eine schönere Formel zu erhalten, die nur die Zahl ⅒ und 1 enthält: (1 – ⅒) · (1+⅒ + ⅒2 + … + ⅒n) #2.
Damit stimmt auch wieder die Conclusio: #2 == 1 - 1/10^n+1.
So haben wir es zumindest in der Schule gelernt. Wer also als Ergebnis einer Rechnung irgendwo ein \(x.\overline{9}\) anstatt x + 1 hingeschrieben hat, hat einen Punkt Abzug bekommen! Und wenn es in der Abiturprüfung war.
Die Definition für reelle Zahlen lautet: Jede nicht-leere Intervallschachtelung, deren Länge gegen Null tendiert, liefert eine reelle Zahl.
Demnach sind 0.9999... und 1 ein und dasselbe Ding, da die beiden Ausdrücke durch dieselbe Intervallschachtelung dargestellt werden können. Intervallschachtelungen sind quasi die "verbindliche" Darstellung einer reellen Zahl.
Natürlich ist es Wurscht, ob man versucht eine 1 mit unendlich vielen Nullen harauszupicken/darzustellen oder eine 0 mit unendlich vielen Neunern.
Das Unterfangen wird aber, egal was man anstellt, schon aus dem Grunde scheitern, weil es unedlich lange dauern und unedlich viel Energie = Arbeit benötigen würde. An dieser Stelle machen die Mathematiker schon immer einen Gedankenfehler, weil sie nicht arbeiten müssen :-)).
Also die klare Konsequenz ist:
in unserer, so sehr endlichen Welt gilt 1,00000 ..... ungleich 0, 999999.....
egal was man anstellt.
Ich wage es fast nicht, dies hier zu schreiben, da es sich um ein über 70 Jahre altes Rätsel handelt. Aber meiner Ansicht nach macht die Münze auf ihrem Weg vier ganze Umdrehungen.
Wenn man die gelbe Münze in der Lösungsskizze lediglich um den Mittelpunkt der (oberen) orangenen Münze rotieren lässt, ist das natürlich nur eine Drittel Umdrehung (120°).
Lässt man sie jedoch über den Rand der orangenen Münze abrollen (was die Aufgabenstellung vorgibt), so rollt sie gleichzeitig über 1/3 ihres eigenen Randes ab. Es ergibt sich für diesen einen Teilvorgang eine Rotation von 2/3 einer vollen Umdrehung. Da dieser Teilvorgang sechs Mal wiederholt wird, ergibt sich eine Gesamtrotation von 6*2/3 = 4 Umdrehungen.
Meines Erachtens kann man das auch leicht in der Lösungsskizze verdeutlichen, indem man in die rotierende Münze einen Radius als Hilfslinie einzeichnet, der die Rotation anzeigt.
Die Uneindeutigkeit der Zahldarstellung ist eine implizite (und scheinbar irritierende) Eigenschaft unseres Stellenwertsystems, das uns andererseits großen Komfort in der praktischen Verarbeitung von Zahlen bietet. Die Idee, dass wir deswegen neue Objekte in der Menge der reellen Zahlen akzeptieren müssen (etwa "Infinitesimale" oder Zahlen, die "kleiner als jede reelle Zahl" sind), ist keine zweckdienliche Erweiterung der Menge der reellen Zahlen, sondern eine abstruse Rückprojektion von formalen Eigentümlichkeiten der (im Grunde beliebigen) Zahldarstellung in den mathematischen Apparat der reellen Zahlen. Die "unendlich kleinen Größen", erfunden vor 400 Jahren von Bonaventure Cavalieri für das "Prinzip der Indivisiblen", waren ein erster Einstieg in die Infinitesimalrechnung. Aber schon damals haben kluge Köpfe die Idee der unendlich kleinen Größen als logisch zu riskante Konstruktion abgelehnt (und doch wurde das Konzept noch etliche Male wieder ausgegraben).
Aus der Sicht der reellen Zahlen gibt es also stets nur die eine Zahl, die man auf verschiedene Weise schreiben kann. Insofern macht die Frage, ob 1 gleich 0,999... ist, mathematisch gar keinen Sinn. Die Frage, ob die beiden Schreibweisen zwei voneinander unterscheidbare Werte bezeichnen könnten oder müssten oder der Größe nach geordnet werden könnten, hat es im Ernst nie gegeben. Die "Beweise" für die Gleichheit, die Frau Bischoff beschreibt, waren natürlich keine Beweise, sondern eigentlich nur Beispiele dafür, dass die beiden Schreibweisen sich miteinander vertragen und widerspruchsfrei in den mathematischen Formalismus einfügen. Zugleich zeigen diese Beispiele, dass der Versuch, die hinter den unterschiedlichen Darstellungen versteckten mathematischen Objekte zu unterscheiden, die Einführung ganz unsinniger Hilfskonstrukte erfordert.
Die Mathematiker der letzten 300 Jahre haben die doppelten Darstellungen vielleicht manchmal als "Schönheitsfehler" des Stellenwert-Systems, aber sicher nie als reparaturbedürftigen Defekt in der Definition der reellen Zahlen empfunden. Und selbst dieser "Schönheitsfehler" wurde 1872 ganz nebenbei durch Dedekind in seinem Aufsatz "Stetigkeit und Irrationalzahlen" gelöst, in dem er die reellen Zahlen als Grenzwerte ("limes") von rationalen Folgen erklärte ("Dedekindscher Schnitt") und dadurch die nebeneinander existierenden Welten der Grenzwerte und der reellen Zahlen miteinander zur Deckung brachte .
Das wars dann: 0,999... beschreibt nämlich gerade die rationale Folge, die durch die rationalen Zahlen 9/10, 99/100, 999/1000, ... erzeugt wird. Der Grenzwert dieser Folge ist genau 1,0. "Reelle Zahlen" und "Grenzwerte von Folgen" sind einfach nur zwei Ausdrücke für die selbe Sache - nun also nicht mehr nur zwei "zufällig" mögliche alternative Schreibweisen, sondern definitiv das selbe Ding, wobei die Schreibweise 0,999... eine der unendlich vielen möglichen Folgen andeutet, die 1,0 als Grenzwert haben. Auch die Frage der "Größer-/Kleiner-Ordnung" der Grenzwerte hatte Dedekind in seinem Aufsatz von 1872 im gleichen Sinne erledigt erledigt. Kurzum: "gleicher Grenzwert bedeutet GLEICHHEIT".
Darum also: "Was soll denn nun noch diese Diskussion?"
Zur Vollständigkeit der reellen Zahlen hatte ich schon etwas in meinem ersten Leserbeitrag zu dieser Kolumne geschrieben.
Nun zu der Konstruktion von reellen Zahlen, welche zwischen 0,999... und 1 liegen, falls 0,999... < 1 ist (da ja die reellen Zahlen vollständig sind¹).
Falls 0,999... < 1 ist, so gilt für (1+0,999...)/2 nun
0,999... < (1+0,999...)/2 < 1, wie man dann leicht nachrechnen kann ;-). Die Zahl (1+0,999...)/2 wäre dabei übrigens der Mittelwert zwischen den Zahlen 0,999... und 1.
Weiter wären dann für jede natürliche Zahl n und jede natürliche Zahl m (wobei ich 0 als keine natürliche Zahl ansehe, auch wenn dieses manche Professoren machen) nun auch
0,999... < (n+ m * 0,999...)/(n+m) < 1.
Seien nun x und y zwei solcher Zahlen, d.h. z.B. x=(n+m*0,999...)/(n+m) und z=(l+k*0,999...)/(l+k), wobei l und k auch zwei natürliche Zahlen (mit n ungleich l und m ungleich k) sind. Dann kann man mit x und z auch wieder weitere Zahlen konstruieren, welche zwischen 0,999... und 1 liegen.
Z.B. würden die Zahlen (n * z + m * x)/(n+m) für beliebige
natürliche Zahlen n und m nun zwischen 0,999... und 1 liegen (wobei n und m nicht notwendigerweise die gleichen natürlichen Zahlen bezeichnen müssen, wie die zur Nutzung der Definition von c genutzten n und m).
Diese Konstruktion kann man nun, genauso wie man unendliche Kettenbrüche konstruieren kann, nun unendlich oft fortsetzen.
(Der Leser mache sich bitte hierbei klar, dass, sofern man nun
0,999... = 1 annimmt, auch die ganzen oben konstruierten Zahlen nun auch jeweils 1 ergeben würde).
Die Nutzung solcher Zahlen wäre allerdings recht unhandlich, da man eben Brüche n/m (für natürliche oder ganze Zahlen n und m - mit m ungleich 0, da Division durch 0 nicht erlaubt ist) nun nicht in eine Schreibweise im Zehnerdezimalsystem konvertieren kann (darf), sofern sich nun dabei eine periodische Zahl ergeben würde (also die g-adische Entwicklung nicht nach einer endlichen Stelle "abbrechen" würde), da die g-adische Entwicklung (bzw. periodische Zahl) nun jeweils nicht dem "zugehörigen" Bruch entsprechen würde. Genauso dürfte man dann übrigens Zahlen im Zehnerdezimalsystem, sofern die Darstellung nun periodisch wäre, nun nicht in einem Bruch umwandeln. Damit würden sich nun größere Probleme ergeben nun solche "Kettenbrüche" (der "unendlichen oder endlichen Art") zu vereinfachen.
Nun kann man allerdings nicht nur mit natürlichen Zahlen (wie m und n) als Koeffizienten nun, sofern man 0,999... < 1 annimmt, Zahlen (n+m*0,999...)/(n+m) konstruieren, welche
zwischen 0,999... und 1 liegen, sondern kann anstelle der natürlichen Zahlen auch beliebige positive rationale Zahlen nehmen (bzw. sogar allgemeiner beliebige positive reelle Zahlen). D.h. für jedes paar von positiven rationalen (bzw. positiven reellen) Zahlen
a und b wäre dann auch die Zahl (a*1 + b * 0,999...)/(a+b)
= (a + b * 0,999...)/(a+b) nun zwischen 0,999... und 1.
Recht witzig wird dieses Ganze dann, wenn man für die
positive reelle Zahl a nun a=0,999... setzt und z.B. für
b nun 1 setzt. Dann hätte man nun die Zahl
(0,999... * 1+ 1* 0,999...)/(1+0,999...)=
(0,999...+ 0,999...)/(1,999...)=(2*0,999...)/(1,999...).
An dieser Stelle kann man sich dann (weiter) überlegen, dass natürlich auch für jede natürliche Zahl n dann die Zahl (n*0,999...)/(n-1+0,999...) zwischen 0,999... und 1 liegen würde.
Natürlich kann man auch für a und b nun jeweils Zahlen
der Form (0,999...)^n (mit beliebigen positiven reellen Zahlen) betrachten. Also z.B. die Zahl ((0,999...)^n * 1 + (0,999...)^m * 0,999...)/((0,999...)^n+(0,999...)^m).
Oder man könnte auch die Zahl ((0,999...)^(0,999...)*1+ 1* 0,999...)/((0,999...)^(0,999...)+1)
betrachten.
Auch wäre dann die Zahl (0,999...)^(0,999...) zwischen
0,999... und 1 und allgemeiner auch die Zahlen
(0,999...)^((0,999...)^(0,999...)),
(0,999...)^((0,999...)^((0,999...)^(0,999...))), ...
Der Fantasie bzgl. der Komplexität der Konstruktion ist dabei keine Grenzen gesetzt, sofern man nur sicherstellt, dass (a) die jeweils dabei konstruierten Zahlen bzw. konstruierte Darstellung einer Zahl (wenn man nun 0,999... = 1 annimmt), dann auch wirklich jeweils 1 ergibt, (b) in dem Term, welcher zur Konstruktion der Zahl genutzt wird der Term 0,999... vorkommt, welcher sich nicht wegkürzen läßt (sofern man 0,999... < 1 annimmt), und (c)
der Term auch nicht zu 0,999... vereinfacht werden kann (sofern man 0,999... < 1 annimmt; Aussagen ohne Beweis, da der Beweis trivial wäre² ;-) ).
Eine Preisfrage, welche sich dann in vielen Fällen stellen würde, wäre, ob nun gewisse Darstellungen von Zahlen nun jeweils die
gleiche Zahl darstellen oder nicht, wobei dann eine Beantwortung der jeweiligen Frage dann in vielen Fällen alles andere als trivial wäre (wobei ich diese Aussage für trivial halte und deshalb keine weitere Begründung oder ähnliches dafür angebe - siehe Fußnote 2 bzgl. einem Kommentar zum Wort "trivial"). Man könnte sich überlegen, dass für gewisse Paare von Darstellungen von Zahlen nun die Entscheidung, ob beide Darstellungen die gleiche Zahl darstellen, nun mindestens so kompliziert sein könnte, wie die Lösung des Postschen Korrespondenzproblems (oder - "äquivalent" - die Lösung des allgemeinen Halteproblems bei Turingmaschinen), obwohl bei Annahme von 0,999...= 1 nun beide Darstellungen (des Paares) nun jeweils die Zahl 1 darstellen würden.
ps. Ich kenne nur eine Person, welche nun Spaß an der Nutzung von obigen konstruierten Zahlen haben würde (weitere mögliche Personen, wären übrigens real existierende Varianten der Comic-Figuren Black Hat und Danish der XKCD-Comics).
¹) Also jede Cauchy-Folge über den reellen Zahlen (bzw. Cauchy-Folge dessen Folgenglieder alles reelle Zahlen sind) auch einen Grenzwert in den reellen Zahlen hat.
²) Das Wort trivial wird übrigens gerne von Mathematik-Professoren (und Mathematik-Professorinnen) genutzt, wenn diese keinen Bock haben einen langen Beweis für eine Behauptung aufzuschreiben, wobei im Einzelfall der etwaige lange Beweis dann sogar fehlerhaft sein könnte (bzw. unvollständig wäre) oder aber die Behauptung eigentlich falsch ist. Ich überlasse es dem Leser zu entscheiden, ob ich aus einem analogen Grund nun auf einen Beweis der Aussage/Behauptung verzichtet habe (oder nur um diese Fußnote schreiben zu können nun das Wort trivial im obigen Text genutzt habe).
Die Begründung, weswegen die Münze sich 3 statt 2 Mal um sich selbst drehte, fand ich irreführend. Da selbst wenn die Orangen Kugeln entlang einer Graden angeordnet wären dieser Effekt auftreten würde. Es liegt vielmehr daran, das die gelbe Kugel beim Übergang auf die nächste orangene Kugel immer einen Öffnungswinkel von 60° überstreicht. Dies liegt daran, das drei gleichgroße Kugeln, die je zwei Kontakt Punkte mit einander besitzen, einen gleichseites Dreieck bilden. Das was sich, abhängig von der Anordnung der orangenen Kugeln, verändert ist die Winkeländerung die durch rollen auf einer orangenen Kugel entsteht.
1/3 ist eine nicht gelöste Gleichung, 0,3333... ist eine schlecht gelöste Gleichung. Wenn Mathematiker nicht wissen, wie sie Zahlen schreiben können, kann die Wirklichkeit doch nix dafür.
Wenn Sie davon ausgehen, dass bei 1/3 das exakt korrekte Ergebnis herauskommen würde, muss es sich von dem „so ungefähr“-Wert 0,3333... unterscheiden, welcher gegen das korrekte Ergebnis strebt, ohne es jemals erreichen zu können, und Sie können nicht von einem aufs andere schließen. Sie runden beim Rechnen und Umrechnen, weil Sie sonst in alle Ewigkeit Dreien schreiben müssten, und selbst wenn Sie unsterblich würden, gleich am Anfang würde Ihnen das Universum ausgehen, das Sie bekritzeln könnten. Doch die gerundete Zahl ist nicht mit der identisch, die Mathe Ihnen vorschreibt: Die Möglichkeiten des Mathematikers werden von der Unendlichkeit begrenzt, mag er sie zur Kenntnis nehmen oder nicht.
0,33333... + x = 1/3. Wenn wir schon pingelig werden, dann richtig.
Mathe ist nicht präzise, denn die Wirklichkeit ist nicht präzise. Sie ist Zahlen nach Malen: Sie gibt die Grammatik des Universums wieder, die Geometrie. In der Geometrie entspricht sie dem Punkt. Damit wir eine Linie bekommen, müssen zwei Punkte existieren, die voneinander getrennt sind. Wodurch? Durch gar nichts: 101. Das Nichts ist eine der Großmächte des Universums, die Kraft, die die Raumzeit schafft: Nur durch die Nullen zwischen den Einsen wird die Unendlichkeit möglich. Weswegen wir wohl seit jeher den Tod mit Ende und Ewigkeit gleichsetzen, auch wenn die Frage bleibt, woher wir das wissen konnten.
Die Sache ist die: Wenn ich dem Punkt keine eigenen Maße zubillige, hat er in allen Dimensionen die Länge 0, verschwindet also im Nichts. Das heißt, in jeder Dimension, deren Bestandteil er sein will, muss er eine Länge haben, die über 0 hinausgeht: Er kann nicht kleiner werden, als „strebt gegen 0“ Lichtjahre, Kilometer, Nanometer. Er muss selbst in Punkte unterteilbar sein. Und die dann natürlich – auch.
Und genau das sehen wir in der Wirklichkeit: Wenn Sie den kleinsten gemeinsamen Baustein der Materie suchen, indem Sie Quarks zerbröseln, haben Sie einen verflucht sicheren Arbeitsplatz. Der kleinste Baustein der Materie, das kleinste mögliche Teilchen, ist das Teilchen. Ob man es Galaxienhaufen nennt, Mensch, Kieselstein, Sie finden immer Klümpchen, die aus Klümpchen bestehen und neue Klümpchen bilden, indem sie sich vernetzen.
Wir sehen ein Fraktal: Ein leicht gestörtes, zitterndes, vibrierendes Muster, das sich stets wiederholt, ein Zerrspiegelkabinett, immer wieder der gleiche Mist in unendlichen Variationen, alles ist irgendwie gleich, doch nichts ist exakt gleich, und, so groß die Unterschiede auch werden können, die Geometrie setzt ihnen Grenzen. Die Grundformen der Geometrie: Der endliche Punkt, die unendliche Gerade, der Kreis, der die Endlichkeit des Punktes mit der Unendlichkeit der Gerade verbindet – beherrschen alles. Schauen Sie sich um – kennen Sie im gesamten Universum irgendein Objekt, das nicht aus diesen Formen zusammengepuzzelt wäre?
Das Universum ist eine Zeichnung – vom Grundprinzip her sehr simpel, Stift und Papier, danach wird’s schnell kompliziert. Was wohl erklärt, warum hier ein intelligenter Mensch einem Honk Mathe erklärt, und der Honk dem intelligenten Menschen das Universum.
Wenn Sie sich die Sache grafisch vorstellen, gibt es zwischen 0 und 1 eigentlich keine Zahlen. Die Bruchzahlen gehen bereits in eine andere Dimension, sie befinden sich schon auf einer perspektivisch verkürzten Achse, die in der unendlichen Tiefe der Null versinkt. Hier nervt Mathe ganz besonders mit Mehrdeutigkeit, denn wenn wir heranzoomen, kann die 1 auch für Unendlichkeit stehen, da die Strecke zwischen 0 und 1 in unendlich viele Abschnitte unterteilt werden kann – wenn die 1 zur Unendlichkeit wird, kann jede Bruchzahl zur neuen 1 werden. Wenn Sie möchten, können Sie Pi nachspüren, indem Sie sich diese in der Tiefe gehende Achse als Kurve vorstellen und dann versuchen, versteckte Regelmäßigkeiten hinterm Pi-Komma zu suchen – die sich aus zwei Dimensionen und perspektivischer Verschiebung ergeben dürften. Mathe bringt Aspekte der Wirklichkeit oft durcheinander, überlagert sie, manchmal zeigt sich dadurch eine tiefere Wahrheit, manchmal verwirrt es nur.
1/0=E. Wenn ich mir angucke, was passiert, wenn ich Teilchen zerbrösele, entstehen dabei immer mehr Teilchen, die eigenständig wirken: Wir nehmen das als Energie wahr. Anders gesagt, wenn ich Einsen durch Nullen teile, wandle ich Materie in Energie um. Spüren Sie den Hauch der Weltformel in Ihrem Nacken? Einstein und Darwin hecheln da wie zwei obszöne Anrufer am Telefon. Und das Ding war die ganze Zeit da, der Taschenrechner lieferte das korrekte Ergebnis: DIV/0, eine unbestimmte, nicht greifbare Wirkung.
Unlösbare Widersprüche halten die Welt am Laufen – würde keine 0 die 1 und 1 abstoßen, trennen, würden sie ja zu einer zusammenfallen, das Universum würde kollabieren. Es gibt Leute, die in Mathematik die göttliche Ordnung des Universums sehen. Doch das Universum enthält auch Tod und Teufel: Nichts und Chaos, Unendlichkeit und Unbestimmtheit, die alle Ordnung durcheinander bringen und auf Trab halten. Die Mathe hüpft von 1 zu 1 in Quantensprüngen, weil alles im Universum es auch tut, anders geht’s nicht, nicht nur der Mathematiker flieht vor Tod und Teufel. Doch wenn dabei Quatsch herauskommt, wie „1 lässt sich nicht durch 0 teilen, ist verboten“, maßt sie sich göttliche Macht an, und scheitert an der Anmaßung. Wenn ich mir die Augen heraussteche, brauche ich die Sonne nicht zu sehen, doch ich kann mir auch keine Blümchen erklären.
Mathe beschreibt kein Paralleluniversum und keine höhere Ordnung. Sie spiegelt unser Universum und unsere Ordnung. So weit ich es als Honk erkennen kann, entsteht manch ein Geheimnis der Mathematik einfach aus Fehlern in ihrer Struktur – sie spiegelt nicht so perfekt, wie sie glaubt. Und so entsteht das Paralleluniversum der Mathematiker, das mit dem unseren ausreichend übereinstimmt, um sich von ihm Hamburger zu kaufen, denn diese Hamburger brauchen die Hirne, in denen es überleben kann, ohne sich um die Physik der Wirklichkeit Sorgen zu machen. Es ist einfach Genetik, eine Mutation, ein Abbild mit Kopierfehlern hat die passende ökologische Nische gefunden. Mäuse fliehen in Löcher, Nerds in Mathe, keiner mag es, von Katzen oder Schulhof-Putins drangsaliert zu werden. Man kann kein System beobachten, ohne dessen Bestandteil geworden zu sein, und je mehr Macht der Beobachter darin hat, desto mehr wird sich ihm das System fügen, ob er will oder nicht.
Ist 0,999... =1? In der Realität ist die Sache klar, da müssen Sie mit Unschärfen leben. In der Mathematik gibt es keine Antwort, die gefunden werden kann, da eine Mathematik, die ohne Unschärfen auskommen will, solche Antworten nicht findet, sondern erschafft.
Sehr schönes Rätsel... nur eine Frage zu den Begriffen: Ist es die Chance oder die Wahrscheinlichkeit? Die Chance ist doch das Verhältnis der Anzahl günstiger zu ungünstiger Ereignisse, während die Wahrscheinlichkeit das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl Gesamtereignisse darstellt.
... man muss sich darüber klar werden, dass man eben nicht alle rationalen Zahlen als Dezimalbrüche schreiben kann, man bildet also nur eine Teilmenge der rationalen Zahlen ab. Das wird zum Beispiel bei 1/3 klar, welches in Dezimalschreibweise zu einem "periodische Dezimalbruch" führt. Und genau hier fängt die Ungenauigkeit in der Begrifflichkeit an. Ein periodischer Dezimalbruch ist eine Reihe, die gegen einen Grenzwert konvergiert. Und dieser Grenzwert ist der eigentliche Bruch (0,3333... -> Grenzwert 1/3). Nur gehört dieser Grenzwert nicht mehr zur Menge der Dezimalbrüche. Wenn man jetzt die Begrifflichkeit der Dezimalbrüche um eine periodische Darstellung erweitert, dann muss man in Gedanken immer vergegenwärtigen, dass 0,33333.... ein Symbol für den Grenzwert ist (und nicht die Reihe selbst) und dieser Grenzwert ist eben 1/3 und 1/3 ist eben kein Dezimalbruch. Einigt man sich auf diese Definition, dann hat man die Menge der Dezimalbrüche erweitert auf die Menge der rationalen Zahlen (und damit gilt 0,9999... ist der Grenzwert der Reihe und dieser Grenzwert ist 1 und damit wieder ein Dezimalbruch bzw.eine ganze Zahl). Übrigens kann man auf diese Art und Weise auch alle irrationalen Zahlen fassen, in dem man jede irrationale Zahl als eine Reihe von rationalen Zahlen darstellt und die irrationale Zahl (zB pi) als ihren Grenzwert begreift, der interessanterweise nicht mehr rational ist. In dieser Begrifflichkeit leistet übrigens das Cauchy'sche Konvergenzkriterien sehr gute Dienste, da es Konvergenz definieren kann, ohne einen Grenzwert zu bemühen, denn dieser liegt ja außerhalb der Zahlenmenge, die man gerade betrachtet (seien es im Übergang von Dezimalbrüchen zu rationalen Zahlen oder im Übergang von rationalen zu irrationalen Zahlen).
Brücken in der Mathematik
23.03.2022, Lutz Muchevielen Dank für die schönen mathematische Artikel im Heft 04/22
"KI statt Bauchgefühl", "Langlands-Programm" und auch das Interview "Die Brückenbauerin". In allen genannten Beiträgen spielen Querverbindungen zwischen ganz verschiedenen Gebieten eine Rolle.
Interessante Aufgaben und Problemstellungen gibt es in allen mathematischen Disziplinen. Es scheinen sich aber einige wenige Teilgebiete herauszukristallisieren, die für die Problemlösungen prädestiniert sind und gewissermaßen den harten Kern der Mathematik bilden.
Die Gruppentheorie fasst die verschiedensten Objekte zusammen und kategorisiert sie.
Und schließlich lassen sich viele Problemstellungen graphentheoretisch beschreiben und durch Untersuchung der Graphen mit leistungsfähigen Algorithmen lösen.
Eine Weltformel, die die gesamte Mathematik erklärt, wird es wohl nicht geben, vielleicht jedoch eine Übersetzung weiter Teile der Mathematik in wenige Grundstrukturen (wie zB. Graphen, modulare Formen, ...).
Es bleibt sehr spannend, ich wünsche mir viele weitere ähnliche Artikel.
Herzliche Grüße
Lutz Muche, Freiberg
fehldarstellung, eindeutig 0,9 periode immer =1
23.03.2022, Andre Brennebensogut könnte man anzweifeln ob 1,0=1 oder 3,14...=pi ist.
man kann in dem zusammenhang auch offene und abgeschlossene mengen diskutieren. zum beispiel ist 1-epsilon element von [0,1), aber 0,9 periode und 1 sind es nicht.
man kann auch sagen das 0,9 periode in einer epsilon umgebung von 1 ist, daraus folgt aber noch kein ungleich 1.
die diskussion mit aufrunden von 0,999 ergibt sich nur im falle einer endlichen darstellung. dies tritt zum beispiel häufig beim vergleich reeller zahlen und maschinenzahlen (die naturgemäß endliche darstellungen sind). dann gibt es viele rechnungen zur fehlerfortpflanzung oder stabilitätsanalysen.
der verweis auf nichtstandart analysis ist so FALSCH.
in der nichtstandard analysis werden die reellen zahlen um hyperreelle zahlen erweitert. so gibt es außer 0,9 periode (dem grenzwert) auch die hyperreelle zahl (0.9;0.99;0.999;...). Diese 2 Zahlen sind VERSCHIEDEN.
Erstere ist auch in nichtstandart analysis gleich 1, letztere nicht.
https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahl
Taschenspielertrick
23.03.2022, DianaAuf ähnlichem Niveau, nur etwas simpler, funktioniert der "Beweis", dass fast jeder Mensch 11 Finger haben soll: Beide Hände offen zeigen, an der ersten Hand von 10 beginnend rückwärts zählen, bei der 6 ankommen und die weiteren 5 Finger der anderen Hand hinzuaddieren - als 10-jährige fand ich das (noch) faszinierend.
Wenn unklar ist, worüber gesprochen wird, bleibt immer eine Unschärfe zurück. Aus Schlampigkeit und Verlust des Überblicks über das Große Ganze.
Wenn ich stumpf über die Bedeutung des Symbols "=" nachdenke kann bereits dadurch 0,333... nicht 1/3 sein. 0,333...= 0,333 und 1/3 = 1/3 wären in diesem Bezugsrahmen die einzig korrekten Aussagen.
Wenn ich beides als Symbol für etwas andere werte muss ich erklären, für welches Konzept in welchem Zusammenhang. Die Aussage "Nuss = Nuss" ist ebenso richtig wie falsch, wenn ich die Frucht dem Werkzeug gedanklich gegenüber stelle.
Archimedes von Syrakus hatte Recht, Georg Cantor ist darüber verzweifelt und der Versuch, die Mathematik von der Philosphie zu trennen und zu einer "harten" Wissenschaft zu machen hat zu einer ziemlich sinnentleerten Zombifizierung dieses wundervollen Bauplans des Universums (Eins!) geführt.
@ Paul S:
Herzlichen Dank für Ihre Annäherung an Borges' Aleph, ich habe Ihre Ausführungen mit Genuss gelesen...
Herzlichen Dank für Ihre
Brüche sind praktisch
23.03.2022, MichelNoch ein Fehler
22.03.2022, Oliver H. Ohly"Genau dieses Ergebnis hat man wohl erwartet, denn 0,9999…9 mit Neunen bis zur n-ten Stelle entspricht einer Eins, abzüglich 0,00…01 mit der 1 an der (n+1)-ten Stelle."
Richtig müsste es lauten:
Genau dieses Ergebnis hat man wohl erwartet, denn 0,9999…9 mit Neunen bis zur n-ten Stelle entspricht einer Eins, abzüglich 0,00…01 mit der 1 an der n-ten Stelle.
Danke für die Anmerkungen! Ich habe die entsprechenden Fehler im Text behoben.
VG, Manon Bischoff
Kleiner Fehler
22.03.2022, Oliver H. Ohly"Damit erhält man: 0,9 · (1+⅒ + ⅒2 + … + ⅒n). Nun kann man die 0,9 als 1 – ⅒ umschreiben, um eine schönere Formel zu erhalten, die nur die Zahl ⅒ und 1 enthält: (1 – ⅒) · (⅒ + ⅒2 + … + ⅒n)."
Richtig müsste es lauten:
Damit erhält man: 0,9 · (1+⅒ + ⅒2 + … + ⅒n). Nun kann man die 0,9 als 1 – ⅒ umschreiben, um eine schönere Formel zu erhalten, die nur die Zahl ⅒ und 1 enthält: (1 – ⅒) · (1+⅒ + ⅒2 + … + ⅒n) #2.
Damit stimmt auch wieder die Conclusio: #2 == 1 - 1/10^n+1.
Die Zahl 0.99999... gibt es gar nicht
22.03.2022, Stefan EnsslenDie Definition für reelle Zahlen lautet: Jede nicht-leere Intervallschachtelung, deren Länge gegen Null tendiert, liefert eine reelle Zahl.
Demnach sind 0.9999... und 1 ein und dasselbe Ding, da die beiden Ausdrücke durch dieselbe Intervallschachtelung dargestellt werden können. Intervallschachtelungen sind quasi die "verbindliche" Darstellung einer reellen Zahl.
Es gibt keine Unendlichkeit.
22.03.2022, Almun HublaDas Unterfangen wird aber, egal was man anstellt, schon aus dem Grunde scheitern, weil es unedlich lange dauern und unedlich viel Energie = Arbeit benötigen würde. An dieser Stelle machen die Mathematiker schon immer einen Gedankenfehler, weil sie nicht arbeiten müssen :-)).
Also die klare Konsequenz ist:
in unserer, so sehr endlichen Welt gilt 1,00000 ..... ungleich 0, 999999.....
egal was man anstellt.
Die Münze macht vier Umdrehungen!?
19.03.2022, Reinhold KrayerWenn man die gelbe Münze in der Lösungsskizze lediglich um den Mittelpunkt der (oberen) orangenen Münze rotieren lässt, ist das natürlich nur eine Drittel Umdrehung (120°).
Lässt man sie jedoch über den Rand der orangenen Münze abrollen (was die Aufgabenstellung vorgibt), so rollt sie gleichzeitig über 1/3 ihres eigenen Randes ab. Es ergibt sich für diesen einen Teilvorgang eine Rotation von 2/3 einer vollen Umdrehung. Da dieser Teilvorgang sechs Mal wiederholt wird, ergibt sich eine Gesamtrotation von 6*2/3 = 4 Umdrehungen.
Meines Erachtens kann man das auch leicht in der Lösungsskizze verdeutlichen, indem man in die rotierende Münze einen Radius als Hilfslinie einzeichnet, der die Rotation anzeigt.
Was habe ich übersehen?
Was soll diese Diskussion?
19.03.2022, Ludwig KnoblauchAus der Sicht der reellen Zahlen gibt es also stets nur die eine Zahl, die man auf verschiedene Weise schreiben kann. Insofern macht die Frage, ob 1 gleich 0,999... ist, mathematisch gar keinen Sinn. Die Frage, ob die beiden Schreibweisen zwei voneinander unterscheidbare Werte bezeichnen könnten oder müssten oder der Größe nach geordnet werden könnten, hat es im Ernst nie gegeben. Die "Beweise" für die Gleichheit, die Frau Bischoff beschreibt, waren natürlich keine Beweise, sondern eigentlich nur Beispiele dafür, dass die beiden Schreibweisen sich miteinander vertragen und widerspruchsfrei in den mathematischen Formalismus einfügen. Zugleich zeigen diese Beispiele, dass der Versuch, die hinter den unterschiedlichen Darstellungen versteckten mathematischen Objekte zu unterscheiden, die Einführung ganz unsinniger Hilfskonstrukte erfordert.
Die Mathematiker der letzten 300 Jahre haben die doppelten Darstellungen vielleicht manchmal als "Schönheitsfehler" des Stellenwert-Systems, aber sicher nie als reparaturbedürftigen Defekt in der Definition der reellen Zahlen empfunden. Und selbst dieser "Schönheitsfehler" wurde 1872 ganz nebenbei durch Dedekind in seinem Aufsatz "Stetigkeit und Irrationalzahlen" gelöst, in dem er die reellen Zahlen als Grenzwerte ("limes") von rationalen Folgen erklärte ("Dedekindscher Schnitt") und dadurch die nebeneinander existierenden Welten der Grenzwerte und der reellen Zahlen miteinander zur Deckung brachte .
Das wars dann: 0,999... beschreibt nämlich gerade die rationale Folge, die durch die rationalen Zahlen 9/10, 99/100, 999/1000, ... erzeugt wird. Der Grenzwert dieser Folge ist genau 1,0. "Reelle Zahlen" und "Grenzwerte von Folgen" sind einfach nur zwei Ausdrücke für die selbe Sache - nun also nicht mehr nur zwei "zufällig" mögliche alternative Schreibweisen, sondern definitiv das selbe Ding, wobei die Schreibweise 0,999... eine der unendlich vielen möglichen Folgen andeutet, die 1,0 als Grenzwert haben. Auch die Frage der "Größer-/Kleiner-Ordnung" der Grenzwerte hatte Dedekind in seinem Aufsatz von 1872 im gleichen Sinne erledigt erledigt. Kurzum: "gleicher Grenzwert bedeutet GLEICHHEIT".
Darum also: "Was soll denn nun noch diese Diskussion?"
Reelle Zahlen zwischen 0,999... und 1 (mit einer ihrer Darstellungen), falls man 0,999... < 1 definiert
19.03.2022, Björn StuhrmannNun zu der Konstruktion von reellen Zahlen, welche zwischen 0,999... und 1 liegen, falls 0,999... < 1 ist (da ja die reellen Zahlen vollständig sind¹).
Falls 0,999... < 1 ist, so gilt für (1+0,999...)/2 nun
0,999... < (1+0,999...)/2 < 1, wie man dann leicht nachrechnen kann ;-). Die Zahl (1+0,999...)/2 wäre dabei übrigens der Mittelwert zwischen den Zahlen 0,999... und 1.
Weiter wären dann für jede natürliche Zahl n und jede natürliche Zahl m (wobei ich 0 als keine natürliche Zahl ansehe, auch wenn dieses manche Professoren machen) nun auch
0,999... < (n+ m * 0,999...)/(n+m) < 1.
Seien nun x und y zwei solcher Zahlen, d.h. z.B. x=(n+m*0,999...)/(n+m) und z=(l+k*0,999...)/(l+k), wobei l und k auch zwei natürliche Zahlen (mit n ungleich l und m ungleich k) sind. Dann kann man mit x und z auch wieder weitere Zahlen konstruieren, welche zwischen 0,999... und 1 liegen.
Z.B. würden die Zahlen (n * z + m * x)/(n+m) für beliebige
natürliche Zahlen n und m nun zwischen 0,999... und 1 liegen (wobei n und m nicht notwendigerweise die gleichen natürlichen Zahlen bezeichnen müssen, wie die zur Nutzung der Definition von c genutzten n und m).
Diese Konstruktion kann man nun, genauso wie man unendliche Kettenbrüche konstruieren kann, nun unendlich oft fortsetzen.
(Der Leser mache sich bitte hierbei klar, dass, sofern man nun
0,999... = 1 annimmt, auch die ganzen oben konstruierten Zahlen nun auch jeweils 1 ergeben würde).
Die Nutzung solcher Zahlen wäre allerdings recht unhandlich, da man eben Brüche n/m (für natürliche oder ganze Zahlen n und m - mit m ungleich 0, da Division durch 0 nicht erlaubt ist) nun nicht in eine Schreibweise im Zehnerdezimalsystem konvertieren kann (darf), sofern sich nun dabei eine periodische Zahl ergeben würde (also die g-adische Entwicklung nicht nach einer endlichen Stelle "abbrechen" würde), da die g-adische Entwicklung (bzw. periodische Zahl) nun jeweils nicht dem "zugehörigen" Bruch entsprechen würde. Genauso dürfte man dann übrigens Zahlen im Zehnerdezimalsystem, sofern die Darstellung nun periodisch wäre, nun nicht in einem Bruch umwandeln. Damit würden sich nun größere Probleme ergeben nun solche "Kettenbrüche" (der "unendlichen oder endlichen Art") zu vereinfachen.
Nun kann man allerdings nicht nur mit natürlichen Zahlen (wie m und n) als Koeffizienten nun, sofern man 0,999... < 1 annimmt, Zahlen (n+m*0,999...)/(n+m) konstruieren, welche
zwischen 0,999... und 1 liegen, sondern kann anstelle der natürlichen Zahlen auch beliebige positive rationale Zahlen nehmen (bzw. sogar allgemeiner beliebige positive reelle Zahlen). D.h. für jedes paar von positiven rationalen (bzw. positiven reellen) Zahlen
a und b wäre dann auch die Zahl (a*1 + b * 0,999...)/(a+b)
= (a + b * 0,999...)/(a+b) nun zwischen 0,999... und 1.
Recht witzig wird dieses Ganze dann, wenn man für die
positive reelle Zahl a nun a=0,999... setzt und z.B. für
b nun 1 setzt. Dann hätte man nun die Zahl
(0,999... * 1+ 1* 0,999...)/(1+0,999...)=
(0,999...+ 0,999...)/(1,999...)=(2*0,999...)/(1,999...).
An dieser Stelle kann man sich dann (weiter) überlegen, dass natürlich auch für jede natürliche Zahl n dann die Zahl (n*0,999...)/(n-1+0,999...) zwischen 0,999... und 1 liegen würde.
Natürlich kann man auch für a und b nun jeweils Zahlen
der Form (0,999...)^n (mit beliebigen positiven reellen Zahlen) betrachten. Also z.B. die Zahl ((0,999...)^n * 1 + (0,999...)^m * 0,999...)/((0,999...)^n+(0,999...)^m).
Oder man könnte auch die Zahl ((0,999...)^(0,999...)*1+ 1* 0,999...)/((0,999...)^(0,999...)+1)
betrachten.
Auch wäre dann die Zahl (0,999...)^(0,999...) zwischen
0,999... und 1 und allgemeiner auch die Zahlen
(0,999...)^((0,999...)^(0,999...)),
(0,999...)^((0,999...)^((0,999...)^(0,999...))), ...
Der Fantasie bzgl. der Komplexität der Konstruktion ist dabei keine Grenzen gesetzt, sofern man nur sicherstellt, dass (a) die jeweils dabei konstruierten Zahlen bzw. konstruierte Darstellung einer Zahl (wenn man nun 0,999... = 1 annimmt), dann auch wirklich jeweils 1 ergibt, (b) in dem Term, welcher zur Konstruktion der Zahl genutzt wird der Term 0,999... vorkommt, welcher sich nicht wegkürzen läßt (sofern man 0,999... < 1 annimmt), und (c)
der Term auch nicht zu 0,999... vereinfacht werden kann (sofern man 0,999... < 1 annimmt; Aussagen ohne Beweis, da der Beweis trivial wäre² ;-) ).
Eine Preisfrage, welche sich dann in vielen Fällen stellen würde, wäre, ob nun gewisse Darstellungen von Zahlen nun jeweils die
gleiche Zahl darstellen oder nicht, wobei dann eine Beantwortung der jeweiligen Frage dann in vielen Fällen alles andere als trivial wäre (wobei ich diese Aussage für trivial halte und deshalb keine weitere Begründung oder ähnliches dafür angebe - siehe Fußnote 2 bzgl. einem Kommentar zum Wort "trivial"). Man könnte sich überlegen, dass für gewisse Paare von Darstellungen von Zahlen nun die Entscheidung, ob beide Darstellungen die gleiche Zahl darstellen, nun mindestens so kompliziert sein könnte, wie die Lösung des Postschen Korrespondenzproblems (oder - "äquivalent" - die Lösung des allgemeinen Halteproblems bei Turingmaschinen), obwohl bei Annahme von 0,999...= 1 nun beide Darstellungen (des Paares) nun jeweils die Zahl 1 darstellen würden.
ps. Ich kenne nur eine Person, welche nun Spaß an der Nutzung von obigen konstruierten Zahlen haben würde (weitere mögliche Personen, wären übrigens real existierende Varianten der Comic-Figuren Black Hat und Danish der XKCD-Comics).
¹) Also jede Cauchy-Folge über den reellen Zahlen (bzw. Cauchy-Folge dessen Folgenglieder alles reelle Zahlen sind) auch einen Grenzwert in den reellen Zahlen hat.
²) Das Wort trivial wird übrigens gerne von Mathematik-Professoren (und Mathematik-Professorinnen) genutzt, wenn diese keinen Bock haben einen langen Beweis für eine Behauptung aufzuschreiben, wobei im Einzelfall der etwaige lange Beweis dann sogar fehlerhaft sein könnte (bzw. unvollständig wäre) oder aber die Behauptung eigentlich falsch ist. Ich überlasse es dem Leser zu entscheiden, ob ich aus einem analogen Grund nun auf einen Beweis der Aussage/Behauptung verzichtet habe (oder nur um diese Fußnote schreiben zu können nun das Wort trivial im obigen Text genutzt habe).
Wie oft dreht sich die gelbe Münze um sich selbst?
19.03.2022, YoschNur unpräzise ist präzise
19.03.2022, Paul SWenn Sie davon ausgehen, dass bei 1/3 das exakt korrekte Ergebnis herauskommen würde, muss es sich von dem „so ungefähr“-Wert 0,3333... unterscheiden, welcher gegen das korrekte Ergebnis strebt, ohne es jemals erreichen zu können, und Sie können nicht von einem aufs andere schließen. Sie runden beim Rechnen und Umrechnen, weil Sie sonst in alle Ewigkeit Dreien schreiben müssten, und selbst wenn Sie unsterblich würden, gleich am Anfang würde Ihnen das Universum ausgehen, das Sie bekritzeln könnten. Doch die gerundete Zahl ist nicht mit der identisch, die Mathe Ihnen vorschreibt: Die Möglichkeiten des Mathematikers werden von der Unendlichkeit begrenzt, mag er sie zur Kenntnis nehmen oder nicht.
0,33333... + x = 1/3. Wenn wir schon pingelig werden, dann richtig.
Mathe ist nicht präzise, denn die Wirklichkeit ist nicht präzise. Sie ist Zahlen nach Malen: Sie gibt die Grammatik des Universums wieder, die Geometrie. In der Geometrie entspricht sie dem Punkt. Damit wir eine Linie bekommen, müssen zwei Punkte existieren, die voneinander getrennt sind. Wodurch? Durch gar nichts: 101. Das Nichts ist eine der Großmächte des Universums, die Kraft, die die Raumzeit schafft: Nur durch die Nullen zwischen den Einsen wird die Unendlichkeit möglich. Weswegen wir wohl seit jeher den Tod mit Ende und Ewigkeit gleichsetzen, auch wenn die Frage bleibt, woher wir das wissen konnten.
Die Sache ist die: Wenn ich dem Punkt keine eigenen Maße zubillige, hat er in allen Dimensionen die Länge 0, verschwindet also im Nichts. Das heißt, in jeder Dimension, deren Bestandteil er sein will, muss er eine Länge haben, die über 0 hinausgeht: Er kann nicht kleiner werden, als „strebt gegen 0“ Lichtjahre, Kilometer, Nanometer. Er muss selbst in Punkte unterteilbar sein. Und die dann natürlich – auch.
Und genau das sehen wir in der Wirklichkeit: Wenn Sie den kleinsten gemeinsamen Baustein der Materie suchen, indem Sie Quarks zerbröseln, haben Sie einen verflucht sicheren Arbeitsplatz. Der kleinste Baustein der Materie, das kleinste mögliche Teilchen, ist das Teilchen. Ob man es Galaxienhaufen nennt, Mensch, Kieselstein, Sie finden immer Klümpchen, die aus Klümpchen bestehen und neue Klümpchen bilden, indem sie sich vernetzen.
Wir sehen ein Fraktal: Ein leicht gestörtes, zitterndes, vibrierendes Muster, das sich stets wiederholt, ein Zerrspiegelkabinett, immer wieder der gleiche Mist in unendlichen Variationen, alles ist irgendwie gleich, doch nichts ist exakt gleich, und, so groß die Unterschiede auch werden können, die Geometrie setzt ihnen Grenzen. Die Grundformen der Geometrie: Der endliche Punkt, die unendliche Gerade, der Kreis, der die Endlichkeit des Punktes mit der Unendlichkeit der Gerade verbindet – beherrschen alles. Schauen Sie sich um – kennen Sie im gesamten Universum irgendein Objekt, das nicht aus diesen Formen zusammengepuzzelt wäre?
Das Universum ist eine Zeichnung – vom Grundprinzip her sehr simpel, Stift und Papier, danach wird’s schnell kompliziert. Was wohl erklärt, warum hier ein intelligenter Mensch einem Honk Mathe erklärt, und der Honk dem intelligenten Menschen das Universum.
Wenn Sie sich die Sache grafisch vorstellen, gibt es zwischen 0 und 1 eigentlich keine Zahlen. Die Bruchzahlen gehen bereits in eine andere Dimension, sie befinden sich schon auf einer perspektivisch verkürzten Achse, die in der unendlichen Tiefe der Null versinkt. Hier nervt Mathe ganz besonders mit Mehrdeutigkeit, denn wenn wir heranzoomen, kann die 1 auch für Unendlichkeit stehen, da die Strecke zwischen 0 und 1 in unendlich viele Abschnitte unterteilt werden kann – wenn die 1 zur Unendlichkeit wird, kann jede Bruchzahl zur neuen 1 werden. Wenn Sie möchten, können Sie Pi nachspüren, indem Sie sich diese in der Tiefe gehende Achse als Kurve vorstellen und dann versuchen, versteckte Regelmäßigkeiten hinterm Pi-Komma zu suchen – die sich aus zwei Dimensionen und perspektivischer Verschiebung ergeben dürften. Mathe bringt Aspekte der Wirklichkeit oft durcheinander, überlagert sie, manchmal zeigt sich dadurch eine tiefere Wahrheit, manchmal verwirrt es nur.
1/0=E. Wenn ich mir angucke, was passiert, wenn ich Teilchen zerbrösele, entstehen dabei immer mehr Teilchen, die eigenständig wirken: Wir nehmen das als Energie wahr. Anders gesagt, wenn ich Einsen durch Nullen teile, wandle ich Materie in Energie um. Spüren Sie den Hauch der Weltformel in Ihrem Nacken? Einstein und Darwin hecheln da wie zwei obszöne Anrufer am Telefon. Und das Ding war die ganze Zeit da, der Taschenrechner lieferte das korrekte Ergebnis: DIV/0, eine unbestimmte, nicht greifbare Wirkung.
Unlösbare Widersprüche halten die Welt am Laufen – würde keine 0 die 1 und 1 abstoßen, trennen, würden sie ja zu einer zusammenfallen, das Universum würde kollabieren. Es gibt Leute, die in Mathematik die göttliche Ordnung des Universums sehen. Doch das Universum enthält auch Tod und Teufel: Nichts und Chaos, Unendlichkeit und Unbestimmtheit, die alle Ordnung durcheinander bringen und auf Trab halten. Die Mathe hüpft von 1 zu 1 in Quantensprüngen, weil alles im Universum es auch tut, anders geht’s nicht, nicht nur der Mathematiker flieht vor Tod und Teufel. Doch wenn dabei Quatsch herauskommt, wie „1 lässt sich nicht durch 0 teilen, ist verboten“, maßt sie sich göttliche Macht an, und scheitert an der Anmaßung. Wenn ich mir die Augen heraussteche, brauche ich die Sonne nicht zu sehen, doch ich kann mir auch keine Blümchen erklären.
Mathe beschreibt kein Paralleluniversum und keine höhere Ordnung. Sie spiegelt unser Universum und unsere Ordnung. So weit ich es als Honk erkennen kann, entsteht manch ein Geheimnis der Mathematik einfach aus Fehlern in ihrer Struktur – sie spiegelt nicht so perfekt, wie sie glaubt. Und so entsteht das Paralleluniversum der Mathematiker, das mit dem unseren ausreichend übereinstimmt, um sich von ihm Hamburger zu kaufen, denn diese Hamburger brauchen die Hirne, in denen es überleben kann, ohne sich um die Physik der Wirklichkeit Sorgen zu machen. Es ist einfach Genetik, eine Mutation, ein Abbild mit Kopierfehlern hat die passende ökologische Nische gefunden. Mäuse fliehen in Löcher, Nerds in Mathe, keiner mag es, von Katzen oder Schulhof-Putins drangsaliert zu werden. Man kann kein System beobachten, ohne dessen Bestandteil geworden zu sein, und je mehr Macht der Beobachter darin hat, desto mehr wird sich ihm das System fügen, ob er will oder nicht.
Ist 0,999... =1? In der Realität ist die Sache klar, da müssen Sie mit Unschärfen leben. In der Mathematik gibt es keine Antwort, die gefunden werden kann, da eine Mathematik, die ohne Unschärfen auskommen will, solche Antworten nicht findet, sondern erschafft.
Wie viele Lose sind in der Trommel?
19.03.2022, Christian BroichEine wichtige Erkenntnis liefert die Lösung des Problems ...
18.03.2022, Walter Graf