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Wenn Sie die über 100 Publikationen durchsehen, werden Sie feststellen, dass kaum eine mathematische Publikation aufgelistet ist, sondern fast durchwegs in philosophisch orientierten Journalen diskutiert wird. Wenn Sie irgendeine/n Wahrscheinlichkeitstheoretiker/in fragen, werden Sie die Antwort erhalten, dass die Fragestellung nicht korrekt formuliert ist. Die Fragestellung ist umgangssprachlich formuliert, und wenn man bei mathematischen Fragestellungen nicht deutlich auf korrekte mathematische Formulierung achtet, ist es möglich, mehrdeutige oder widersprüchliche Ergebnisse zu erhalten.

Was man unbedingt verstehen muss, wenn man mit Hilfe mathematischer Betrachtungen reale (oder wie in diesem Fall scheinbar reale) Situationen analysiert, ist das Folgende: Bevor mathematische Methoden angewendet werden können, muss zunächst ein mathematisches Modell geschaffen werden, das die Situation abbildet. Dieses Modell (das vollständig in mathematischen Begriffen formuliert wird) kann dann analysiert werden. Das Ergebnis dieser Analyse ist dann eine Aussage über das mathematische Modell. Diese Aussage muss danach wieder auf die reale Situation übertragen werden. Wie wertvoll diese übertragene Aussage dann in der realen Situation ist, hängt nicht zuletzt von der Güte der Modellierung ab.

Einige Antworten in der Liste legen bereits eindeutig dar, wodurch die "Verwirrung" zustande kommt. Daher gehe ich nicht wieder darauf ein, weise aber darauf hin, dass von den Halvern und den Thirdern zwei unterschiedliche Modelle für den Dornröschenfall zugrunde gelegt werden. Im einen Modell ist die korrekte Antwort 1/2, im anderen Modell ist die korrekte Antwort 1/3. Der Streit ist also kein mathematischer Streit, sondern ein Streit darüber, wie die Fragestellung korrekt zu modellieren ist. Es ist daher keine mathematische Kontroverse, sondern maximal eine philosophische Kontroverse. Es spaltet auch nicht die Mathewelt, wie Ihnen jede/r Mathematiker/in bestimmt gerne bestätigen wird.

Ich bin klar im 50:50 Lager!
Eine Münze wird geworfen -> 50:50 - Kopf:Zahl
Dann wird irgendjemand irgendwann gefragt, wie ein einmaliger Münzwurf wohl ausgegangen ist. Das ändert aber nichts an der Wahrscheinlichkeit des Ausgangs des Münzwurfs. Dieser kann nur so oder so ausgegangen sein, also 50:50.
Wer wann dazu befragt wird ist unerheblich. Genauso ist unerheblich, ob mit dem Ausgang des Münzwurfs Ereignisketten ausgelöst werden ... Gewonnen/Verloren ... Aufwecken/erneut Narkotisieren ... Die Bedingungen des Experiments verlangen ja gerade, dass Dornröschen nicht weiß, welche Ereigniskette ausgelöst wurde. Auf Wahrscheinlichkeiten jenseits 50:50 kommt man nur, wenn Nebenbedingungen in die Überlegungen Einbezogen werden. Das schließen die Bedingungen des Experiments aber ja gerade aus!

Ich halte das Problem für informationstheoretisch ausserordentlich interessant, weil es die Bedeutung des Kontextes für die Information zeigt. Der Kontext ist, was Dornröschen, beziehungsweise was der Experimentator weiss. Diese Sichtweisen oder Horizonte bestimmen das Wissen und somit auch die Wahrscheinlichkeiten.

Deshalb ist ein Halb genauso richtig wie ein Drittel. Es kommt auf die Sicht und das jeweilige Vorwissen an:

Sicht Dornröschen:
Das ist die subjektive Sicht. Dornröschen weiss nicht, wie oft sie schon geweckt wurde, und was für ein Tag das ist. Sie muss deshalb mit fünf Fällen rechnen:
1. Montag Kopf
2. Montag Zahl
2. Dienstag Zahl
3. Mittwoch Kopf
5. Mittwoch Zahl
Weil Schneewittchen mit Zahl häufiger geweckt wird, ist Zahl für sie subjektiv wahrscheinlicher. Bei Zahl wird sie dreimal geweckt, bei Kopf zweimal.
Somit ist die subjektive Wahrscheinlichkeit für Kopf 2/5.

Wenn man Dornröschen nur am Montag oder Dienstag aufweckt und am Mittwoch schlafen lässt, gibt es nur drei Fälle:
1. Montag Kopf
2. Montag Zahl
2. Dienstag Zahl
In diesem Fall ist die subjektive Wahrscheinlichkeit für Kopf 1/3.
Die Sicht Experimentator ist davon unterschieden, weil der Experimentator weiss, wie oft Schneewittchen schon geweckt wurde. Er weiss auch, was für ein Tag es ist. Somit hat er eine "objektivere" Sicht als Schneewittchen. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf sind in diesem Fall:
Am Montag 1/2
Am Dienstag 0 falls Zahl und 1 falls Kopf → somit ebenfalls 1/2
Am Mittwoch 1/2

Das Problem stellt sich also nur, wenn man eine Antwort erwartet, die für alle Beteiligten gleich wahr ist.
Diejenigen, die sich für 1/3 entscheiden, geben der "subjektiven" Sicht von Schneewittchen recht, diejenigen die für 1/2 stimmen, dem "objektiven" Experimentator.
Man kann das Schneewittchen-Problem somit auch als Psychotest sehen: Wie "objektiv"/"subjektiv" denkt jemand? Identifiziert er sich leichter mit dem passiven Opfer oder mit dem allwissenden Experimentator?

So weit ich das überblicken kann, kommt es darauf an, ob Dornröschen je Münzwurf einmal gefragt wird (1/2), oder ob die Anzahl Befragungen unabhängig ist von den Münzwürfen (1/3).

Wahrscheinlichkeitsrechnung ist etwas sehr Schönes. Mit einfachsten Mittel kann man Menschen verwirren.
Unter der Annahme, dass die Münze nur Kopf oder Zahl zeigen kann, ist die Wahrscheinlichkeit für den EXTERNEN Beobachter ganz klar 0,5. Aber das ist hier überhaupt nicht gefragt.

"Die Frage" an Dornröschen ist „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?“

Ähnlich wie beim Ziegen Problem (mit 1001 Türen statt 3 Tüten) lässt sich durch Modifikation des Experiments das Problem dieser Frage verdeutlichen.

Nehmen wir an wir quälen Dornröschen. Alle 365 Tage wird die Münze geworfen. Dornröschen bekommt von dem Münzwurf nichts mit. Sofern sie morgens aufwacht, betritt abends ein Diener ihren Raum und bringt ihr ein neues Schlafmittel.

Fall 1 Kopf wurde geworfen
Dornröschen wird ein Schlafmittel gegeben was 365 Nächte hält. Nach 365 Nächten erwacht sie. Es wird ihr "die Frage" gestellt . Das Experiment beginnt von vorne

Fall 2 Zahl wurde geworfen
Dornröschen wird ein Schlafmittel gegeben was nur eine Nacht hält , sie bekommt aber jeden Abend ein neues Schlafmittel was wieder nur eine Nacht hält. Morgens wird ihre "Die Frage" gestellt. Nach 365 Tagen beginnt das Experiment von vorne

Aus Sicht des externen Beobachters gibt es nur diese zwei Fälle….Kopf oder Zahl….egal wie die nächsten 365 verlaufen, ändert sich der Münzwurf nicht mehr. das Experimnet läuft weiter

Aus Sicht von Dornröschen (interner Beobachter) erwacht Sie immer morgens und bekommt abends ein Schlafmittel...in manchen Jahren wird sie nur einmal geweckt in anderen Jahren wird sie 365 Mal geweckt. Dornröschen weiß aber nichts davon.

"Die Frage" an Dornröschen ist „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?“
Unabhängig wie häufig Dornröschen bis zum nächsten Münzwurf geweckt wird , verändert sich die Wahrscheinlichkeit des Münzwurfes nicht. Nur weil Dornröschen manchmal häufiger geweckt wird, hat dies keinen Einfluss auf den Münzwurf.
In manchen Jahren wird Dornröschen halt nur einmal gefragt, in anderen Jahren wird Dornröschen 365 mal gefragt.

Aber wie wird Dornröschen nun "die Frage" beantworten? Hat sie ein System, einen Grundsatz oder vertraut sie ihren Gefühlen?

Ein paar Beispiele für mögliche Grundsätze
1. Sie könnte sich auf ihre Gefühle vertrauen.... heute so morgen so….ohne Ihre Antwort zu begründen. Ihre Antwort beeinflusst ihr Leben aus ihrer Sicht nicht, je nachdem wie die Münze geworfen, wurde bekommt sie unterschiedliche Schlafmittel. Aus ihrer Sicht wird immer nach dem Aufwachen gefragt und abends bekommt sie ein Schlafmittel, sie weiss aber nicht wie lange sie schläft.
2. Vielleicht sagt sie aber auch IMMER ZAHL...Sie gibt IMMER die gleiche Antwort …. Dörnröschen ist also Meinungsstabil.
3. Vielleicht sagt sie aber auch IMMER KOPF...Sie gibt IMMER die gleiche Antwort …. Dörnröschen ist also Meinungsstabil.
4. Vielleicht beeinflusst die Dauer des Schlafs ihre Entscheidung …nehmen wir folgende Regel an…. Wenn sie mehr als 48 Stunden schläft sagt sie Kopf , sonst Zahl ….Ohne zu wissen warum, würde sie dann IMMER die richtige Antwort geben.
5. Vielleicht beeinflusst die Dauer des Schlafs ihre Entscheidung …nehmen wir folgende Regel an…. Wenn sie mehr als 48 Stunden schläft sagt sie Zahl , sonst Kopf ….Ohne zu wissen warum, würde sie dann IMMER die falsche Antwort geben.
6. Vielleicht traut Dornröschen ihren Gefühlen nicht, und führt deshalb ein ideales Zufallsexperiment durch. So würde sie dann an 50 % der Tage Kopf und an 50% der Tage Zahl antworten.

Und hier zeigt sich doch der ganze Unsinn der ursprünglichen Frage. Niemand kennt die Grundsätze für die Antworten von Dornröschen. Es gäbe unendlich viele Möglichkeiten

Zusammengefassung des eigentlichen Problems
Das Ergebnis des idealen Münzwurfes ist Kopf oder Zahl.
Der externe Beobachter kennt das Ergebnis des idealen Münzwurfes (Kopf oder Zahl)
Der Interne Beobachter weiß nichts über das Ergebnis des Münzwurfes
Der Externe Beobachter weiß nichts über die Grundsätze von der Antwort von Dornröschen (interne Beobachter)
Daher ist es für uns als externe Beobachter unmöglich, eine verlässliche Aussage über den internen Beobachter zu treffen.

Ich hoffe die Lösung gefällt … es is 23:26 Uhr Rechtschreibfehler dürft ihr behalten. Gendermüll auch...
Feedback an kollektiv@web.de

Dornröschens Antwort hat keinen definierten Zweck oder irgendeine Folge: Wenn Dornröschen mithilfe eines Orakels die richtige Antwort kennen würde (über die angeblich so gerne gestritten wird), dann wäre es noch immer vollkommen egal, ob sie die Lösung "verrät", "lügt" oder einfach schweigt.

Das Brimborium um den komplexen Testaufbau erweckt verschiedene Konnotationen und Assoziationen, mit denen jeder Rätsler die relevanten Lücken in der vermeintlichen mathematischen Frage füllt.

Vielleicht tue ich der originalen Fragestellung und seinen Bearbeitern unrecht, aber wenn der Artikel das halbwegs treffend zusammenfasst, dann die vermeintlichen Lösungen ganz offensichtlich keine Antworten auf eine Frage aus der Stoachstik: Dornrösen müsste oder sollte so antworten, oder sie müsste aufgrund einer Argumentation etwas sagen?

Für mich aus mathematischer Sicht ein Schweizer Käse oder nur Quark, aber dennoch ein interessantes Experiment: Nicht mit K.O.-Tropfen an einer Märchenprinzessin, sondern an allen, die sich mit der Frage selbst und ihren Lösungsversuchen beschäftigen.

Liebe Manon Bischoff,

vielleicht stehe ich ja auf dem Schlauch, aber so ganz verstehe ich die Aufgabe noch nicht.

Die Aufgabenstellung für Dornröschen lautet ja wohl: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?

Nun, wenn Dornröschen den Versuchsaufbau kennt und vor allem weiß, dass die Münze sich ideal verhält, lautet ihre Antwort 1/2. Dafür braucht man auch den Zirkus mit dem einmaligen oder mehrmaligen Wecken nicht. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine ideale Münze nach einem Wurf Kopf zeigt ist 1/2, egal, was die Münze tatsächlich gezeigt hat, oder? Das weiß auch Dornröschen, also antwortet sie montags und dienstags immer 1/2. Und damit hat sie jeden (!) Tag Recht. Fertig!

Etwas ganz anderes wäre es gewesen, wenn der Versuchsaufbau so aussähe. Dornröschen wird geweckt und kann 1 € auf Kopf oder Zahl setzen. Ist es richtig, erhält sie die doppelte Summe, bei falsch ist das Geld futsch. In diesem Falle kann Dornröschen 1 € dazugewinnen, wenn sie auf Kopf setzt, aber sie gewinnt 2 € (am Montag und am Dienstag) dazu, wenn sie auf Zahl setzt. Das ist ein Verhältnis von 1:2 und sie ist deshalb gut beraten, immer auf Zahl zu setzen.

Oder habe ich etwas Wesentliches überlesen / übersehen?

Eigentlich sind es zwei verschiedene Wahrscheinlichkeiten:
1.) Die Wahrscheinlichkeit für den Wurf Kopf oder Zahl = 1/2

2.) Die beste Option für Dornröschen das geworfene Ereignis zu erraten:
da sie zweimal bei Zahl und einmal bei Kopf geweckt wird ist die beste Option natürlich Zahl (2/3) sprich: es bleibt 1/3 für Kopf

Es sind genau genommen zwei unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten welche hier Rücksichtslos durcheinander gebracht werden.

In der Beschreibung des Artikels wird gesagt, dass Dornröschen bei Zahl zweimal aufgeweckt und zweimal befragt wird. Und sie weiß nicht, ob sie das erste Mal aufgewacht ist oder das zweite Mal. Wenn ich eine Münze werfe, ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl jeweils 50%. Aber das Aufwachen und die Befragung über den Münzwurf ist eben nicht gleichzusetzen mit dem Münzwurf selbst. Dornröschen kann beim Aufwachen nicht davon ausgehen, dass zuletzt ein unabhängiger Münzwurf stattgefunden hat. Stattdessen wird der Fall "Münzwurf ergab Zahl" in Bezug auf die Befragung künstlich verdoppelt. Also ich bin ziemlich überzeugt, dass aus der Perspektive der befragten Person die korrekte Antwort für die Wahrscheinlichkeit dass der letzte tatsächlich erfolgte Münzwurf Kopf ergeben hat nur 1/3 beträgt. Etwas anderes wäre es wenn das Experiment immer nach dem ersten Aufwachen abgebrochen wird. So schienen das einige Kommentatoren/innen verstanden zu haben. Aber dann wäre das ganze Gedankenexperiment mit einem einfachen Münzwurf gleichzusetzen und das Schlafmittelexperiment nur prosaisches Beiwerk.

Bei den 2 Lagern werden verschiedene Fragen betrachtet:
1) Auf die Frage nach der "Wahrscheinlichkeit für Zahl" stimmt die Antwort 1/2 IMMER!!!
2) Wenn Dornröschen aber auf Kopf oder Zahl tippen muss (ist aber laut Text nicht die Frage), dann kann sie auch falsch liegen. Bei der Frage nach einem Tipp (Kopf oder Zahl) ist in 1/3 der Fragen Kopf richtig und in 2/3 der Fragen Zahl. Also sollte sie sich immer für Zahl entscheiden (und tippt in 2/3 der Fälle richtig und in 1/3 falsch).

Zitat: "Schließlich könnte man die Münze auch werfen, bevor man Dornröschen in den Schlaf schickt. Durch den Ablauf des Experiments gewinnt sie keinerlei neue Informationen, ... "
Das ist falsch. Sie gewinnt die neue Information, daß sie aufgeweckt wurde, ein Ereignis, das bei "Kopf" doppelt so häufig einritt wie bei Zahl. Deshalb ist die Wahrscheinlichket für "Kopf" doppelt so hoch wie die für "Zahl".

Da die Bezeichnungen fehlen, hier zur Aufklärung: Fängt man mit A an der Spitze oben an, so folgen gegen den (oder im) Uhrzeigersinn die Ecken B, C, D und E. Strecke CD liegt also unten, in deren Mitte M liegt. Die Figur wird in drei Dreiecke zerlegt, indem A mit C und A mit D verbunden wird.
Die in der Lösung angegebene Fläche ist korrekt.

Die Herleitungen sind Mathematisch richtig, aber in Bezug zur Fragestellung nicht.
Für die Frage: Wurde am Montag Kopf oder Zahl geworfen, sind die Ereignisse MZ und Dz nicht unabhängig. Daher dürfen für diese keine eigenen Wahrscheinlichkeiten angegeben werden. Sie sind mathematisch 1 Ereignis. Somit habe ich nur die Wahl zwischen MK und MZ und diese Wahrscheinlichkeit ist in dem Beispiel 1/2.
Für die Frage: ist es Montag oder Dienstag schaut die Sache anders aus. Da keine Korrelation zwischen dem Ereignis Wecken und dem Münzwurf besteht (geweckt wird immer), kann jedes Wecken als unabhängiges Ereignis gesehen werden. Da es aber 2 Aktionen für den Montag und nur 1 für den Dienstag gibt ist die Wahrscheinlichkeit, dass es Montag ist 2/3 und das es Dienstag ist 1/3. Sinngemäß kann die Frage nach der Seite, die sie beim Wecken sieht gesehen werden: 2 Aktionen für Z 1 Aktion für K. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Frage ist wieder Z 2/3 K 1/3
Aus der Sicht des Mittwoch und der Frage wie oft wurdest du geweckt, ist somit der Fall 1 relevant. (es gibt nur 2 unabhängige Möglichkeiten, die mit je 50% Wahrscheinlichkeit eintreten: 1x wecken (immer Montag) oder 2x wecken (immer Montag und Dienstag)

Ich habe mal gelernt, dass zunächst eine Ergebnismenge definiert werden muss, bevor man Wahrscheinlichkeiten angeben kann. Das hängt z. B. damit zusammen, dass auch für sogenannte Ereignisse Wahrscheinlichkeiten existieren; Ereignisse sind aber Teilmengen der Ergebnismenge, d. h. ohne die Ergebnismenge kann ich gar keine Ereignisse festlegen.

Ein Beispiel für unterschiedliche Ergebnismengen zu einem Zufallsversuch ist der Wurf mit zwei Würfeln, bei dem man sich für die Summe der Augenzahlen interessiert.
Eine mögliche Ergebnismenge ist:
S={2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}. Eine andere ist die Menge der geordneten Zahlenpaare:
T={(1|1);(1|2);...;(1|6);(2|1);...;(2|6);...;...;...;(6|1);...(6|6)}.
Für die Ergebnismenge S liegt kein Laplace-Experiment vor, weil z. B. die Augensumme/das Ergebnis 7 viel häufiger ist als die Augensumme/das Ergebnis 2. Für die Ergbnismenge T ist der Versuch ein Laplace-Experiment, weil alle 36 Ergebnisse/Zahlenpaare die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Nun zu Dornröschen. Sie wird nur zum Münzwurf befragt, also zur Ergebnismenge
S={Kopf;Zahl} und folglich ist die Wahrscheinlichkeit von Kopf
P({Kopf})=1/2.

Die Idee eine anderen Kommentators, nämlich sich ein Spiel auszudenken, ist dabei ganz interessant: Das Spiel könnte so lauten: Wenn Dornröschen aufgeweckt wird und sie rät richtig, dann erhält sie 50 Euro. Wenn sie sich irrt, dann muss sie 50 Euro zahlen. Welche Spielstrategie soll sie wählen?

Sie sollte natürlich "Zahl" wählen, denn, wenn das Ergebnis "Zahl" war, dann wird sie zweimal gefragt und erhält folglich zweimal 50 Euro. Wenn das Ergebnis des Münzwurfs "Kopf" war, dann würde sie nur einmal 50 Euro erhalten können.
Mit dieser Strategie ist ihr Gewinnerwartungswert folgender:
E(Gewinn)=1/2*100Euro + 1/2*(-50)Euro=25Euro

Die 1/3-Fraktion argumentiert so, als müsse man dieses Spiel so bewerten:
E(Gewinn)=2/3*100Euro + 1/3*(-50)Euro=50Euro, was offenbar keinen Sinn ergibt.bDas liegt daran, dass die beiden "Zahl-Ergebnisse", nämlich (M/Z) und (D/Z), sowohl in die Wahrscheinlichkeit, als auch in den Gewinn einfließen.

Wie auch immer betrachtet die 1/3-Fraktion die Ergebnismenge
T={(M/K);(M/Z),(D/Z)}, aber nicht mit den Wahrscheinlichkeiten 1/2, 1/4 und 1/4, wie ein anderer Kommentator richtig anmerkte.

Vielleicht hilft es, wenn man die zeitliche Abfolge in den Ergebnissen deutlicher macht, also erst Münzwurf, dann Tag:
U={(K/M),(K/D),(Z/M),(Z/D)} mit den Wahrscheinlichkeiten
1/2, 0, 1/4, 1/4.

Leider fehlen in der Lösung die Kennzeichnung der Knoten (A,B,C,etc)!