Ihre Beiträge sind uns willkommen! Schreiben Sie uns Ihre Fragen und Anregungen, Ihre Kritik oder Zustimmung. Wir veröffentlichen hier laufend Ihre aktuellen Zuschriften.
In dem Artikel wird das für Vögel und Insekten gewonnene Gesetz zwischen Körpermasse und Fluggeschwindigkeit auch auf Flugzeuge extrapoliert (Abb. S 40 unten, Text S. 41). Demnach steigt die Fluggeschwindigkeit mit der Masse hoch 0,17.
Stimmt das bei Flugzeugen wirklich? Wohl kaum! Heutige Strahlflugzeuge (Transporter, Passagierflugzeuge aller Größen, Businessjets) haben weit gestreute Massen und fliegen alle knapp unterhalb der Schallgeschwindigkeit (Mach 0,8-0,9). Weder fliegen kleinere Strahlflugzeuge (Businessjets, Kampfflugzeuge) langsamer, noch fliegen große Schneller. Hier gelten viel mehr Parameter als nur die Masse, z.B. Kunden-/ Missionanforderungen, Zeit, Antriebstechnik, Kosten, Widerstand im transsonischen Bereich bzw. Nähe zur Schallgeschwindigkeit. Diese lassen sich nicht auf die Masse reduzieren, bzw. sind von ihr unabhängig. Gerade einige kleine Businessjets sind heute die schnellsten Zivilflugzeuge. Die Concorde hingegen flog mit doppelter Schallgeschwindigkeit und war bei weitem nie eines der größten Flugzeug.
Stellungnahme der Redaktion
Die Formel der Autoren für den Zusammenhang zwischen Körpermasse und Fluggeschwindigkeit bezieht sich auf Mittelwerte für Insekten, Vögel und Flugzeuge. Wie das Diagramm auf S. 40 unten zeigt, streuen wie die Werte für Flugzeuge auch die Werte für Vögel über einen großen Bereich.
Dr. Michael Springer
Meine intensive kreative Arbeit mit dem Surfer als Spielerei "ohne Sinn und Verstand" zu bezeichnen, finde ich stark. Auch den Satz "so etwas passiert eben, wenn nur herumprobiert, aber nicht gedacht wird", der sich wie die obige Bemerkung auf Bianca Violet bezieht, aber sicher auch mir gilt, finde ich im Ton unangemessen.
Ich wusste, dass meine strittige Gleichung 0=0 bedeutet (daher auch die Titel:"Unmögliche Figur"), aber die vielen verschiedenartigen Bilder, die ich mit dem anscheinend ungenau rechnenden Programm schaffen konnte, finde ich durchaus großartig und faszinierend, und der Ausdruck Pseudozufälligkeiten scheint mir nicht angebracht.
Auch ich freue mich, wenn ich ein gutes Arbeits-Ergebnis mittels eines genauen Plans erhalte (die eher mathematische Seite), künstlerische Arbeit aber lebt auch vom spontanen und überraschenden Einfall. Und ein angeblich "zufällig entstandenes hübsches Ergebnis" erfordert eine Menge gestalterischer Arbeit; mit dem Surfer könnte man nämlich auch viel "Schrott" produzieren.
Ich habe die Arbeit mit dem Surfer jedenfalls als sehr aktiv und begeisternd erlebt.
Außerdem steht in der Ausschreibung ausdrücklich: "Mathematische Vorkenntnisse sind hilfreich, aber nicht Bedingung."
Daraus könnte man ja wohl folgern, dass beim Mathekunst-Wettbewerb die Betonung entweder auf der Mathematik oder der Kunst liegen könnte. Wie hätte denn z. B. jemand wie ich (gymnasiale Mathematikkenntnisse + 2 Semester Naturwissenschaftler-Mathematik) gezielt komplizierte Figuren konstruieren sollen?
Hätten wir "Künstler" mit wenig Mathematik-Kenntnissen uns nicht beteiligen sollen?
Nein – dazu hat es viel zu viel Spaß gemacht!
In diesem Artikel haben Sie auf der Seite 26 oben links geschrieben, dass der Abstand zu sehr weit entfernten Galaxien mit Überlichtgeschwindigkeit wachsen kann. Aber nach meinen Kenntnissen der Relativitätstheorie wäre das unmöglich. Denn die Theorie besagt, dass sich kein Objekt schneller als das Licht bewegen kann. Selbst wenn sich zwei Objekte, beide mit Lichtgeschwindigkeit, in entgegengesetzte Richtungen bewegen, entspricht die Gesamtgeschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit. Aber das ist in diesem Fall nicht besonders wichtig, da im Text ebenfalls steht, dass sich die Milchstraße im Zentrum des expandierenden Universums befindet und sich somit nicht oder nur sehr langsam bewegt.
Die Autoren schreiben, dass ein Schwimmer zum Vorankommen um eine Körperlänge eine "Arbeit leisten" [sic] muss, die dem Anheben eines Wasservolumens gleich seinem Körpervolumen auf eine Höhe etwa gleich seiner Körpergröße entspricht. Meinen die Autoren physikalische Arbeit
(Energie) oder doch eher physikalische Leistung (Arbeit pro Zeit)?
In konkreten Zahlen müsste ich circa 70 Liter Wasser auf etwa 1,7 Meter Höhe heben. Benutze ich einen Flaschenzug mit vielen Rollen und lasse mir 2 Tage Zeit, so ist die Anstrengung, also die zu erbringende physikalische Leistung, sehr klein. Vermutlich soll eher die Leistung gleichgesetzt werden. Das Hochheben sollte also in derselben Zeit passieren, wie die Fortbewegung. Da ich 50 Meter in etwa 50 Sekunden schwimmen kann, müsste ich die 70 Kilogramm Wasser in knapp 1,7 Sekunden auf 1,7 Meter Höhe heben. Mit 1 Meter pro Sekunde zu schwimmen über fast eine Stunde ist anstrengend aber möglich. Aber eine Stunde lang alle 1,7 Sekunden 70 Kilo auf Körperhöhe zu stemmen, halte ich für komplett unmöglich.
Wo ist der Denkfehler: die Autoren beschreiben ganz richtig, dass ich beim Schwimmen das Wasser anheben muss, damit es an meinem Körper vorbeilaufen kann, da es nicht kompressibel ist und daher nicht zur Seite oder nach unten "ausweichen" kann. Leider vergessen die Autoren anscheinend, dass das angehobene Wasser hinter meinem Körper wieder runterfließt. Dadurch geht die potentielle Energie, die ich durch Hochheben des Wassers hineingesteckt habe, dem Wasser verloren. Als Energiesenken kommen in Frage: Wärme durch Reibung, kinetische Energie durch Strömung. Insbesondere Letztere sorgt vermutlich für einen Saugeffekt, der die Arbeit, die ich durch Hochheben verrichte, weit gehend ausgleicht. Schwimme ich kontinuierlich, so muss ich die Arbeit des Hochhebens nur einmal beim Start verrichten, und bekomme sie nach meinem letzten Schwimmzug sogar wieder zurück.
Stellungnahme der Redaktion
Die Rechnung der Autoren ist eine grobe Schätzung allein schon deshalb, weil der Schwimmkörper (Fisch oder Mensch) als Würfel behandelt wird.
Ein würfelförmiger Mensch hätte aber nicht die übliche Körperhöhe, sondern wäre nur knapp 1 Meter hoch und lang. Wenn ein Mensch sich z.B. mit den Beinen vom Beckenrand abstößt, um in Wasser horizontal 1 Meter voranzukommen, entspricht dies nach dem Ansatz der Autoren ungefähr der Arbeit, die er aufwendet, um aus sitzender Position aufzustehen (Höhendifferenz ca 1 Meter). Das erscheint nicht unplausibel.
Michael Springer
Ich finde es persönlich schade, dass über k3dsurf so etwas in Umlauf gebracht wird wie "ist nur für einfache algebraische Gleichungen geeignet". Immerhin bewältigt k3dsurf auch die Sartis-Sextik, eine Fläche vom Grad sechs mit 48 gewöhnlichen Doppelpunkten (http://www.jotero.com/bilder/k3dsurf/sartis_sextic.png).
Siehe auch die Seite von k3dsurf: http://k3dsurf.sourceforge.net/
Ich könnte viele schöne Modelle zeigen, die man mit k3dsurf und gleichzeitig mit Surfer erzeugen könnte.
Mir geht es aber um die Fertigung von neuen Flächen und Designformen und nicht um den mathematisch-wissenschaftlichen Aspekt ;)
Es ist noch nicht lange her, dass Sie mir anlässlich meiner in der 70er Jahren entwickelten transzendenten Herzformel schrieben, die Beschränkung auf „algebraische Flächen“ sei zur Vermeidung von Ausuferung nicht verhandelbar. Nun sind die aus Rechenunzulänglichkeiten entstandenen Pseudozufallsprodukte weder rechnerunabhängig reproduzierbar, noch werden sie durch die mitgeteilten Formeln zutreffend beschrieben, noch stellen sie überhaupt algebraische Flächen dar. Künstlerische Freiheit daher in allen Ehren, aber meines Erachtens erfüllen die visualisierten Rechenfehler, so beeindruckend sie vom ästhetischen Standpunkt aus mitunter auch sein mögen, die Wettbewerbsbedingungen nicht.
Stellungnahme der Redaktion
Das ist in der Tat ein Punkt, der in den Wettbewerbsbedingungen – da nicht vorgesehen – nicht vorab geklärt worden ist. Die Jury (deren Mitglied ich bin) wird darüber zu entscheiden haben; um der Entscheidung nicht ungebührlich vorzugreifen, halte ich mich mit meiner persönlichen Meinung zurück.
In dem Artikel von M. du Sautoy wird kurz angedeutet, dass sich die Drehgruppe des 15-Ecks aus den Drehgruppen des Pentagons und des Dreiecks zusammensetzen lässt. In seinem Buch "Symmetry" präzisiert du Sautoy die Möglichkeiten der Drehgruppen wie folgt: "If you take a regular two-dimensional polygon with a prime number of sides, then the rotational symmetries of this prime-sided shape cannot be built from those of smaller objects. Not only that, but these prime-sided figures are the building blocks for the symmetries of all the other regular two-dimensional polygons." Du Sautoy gibt mit dem regulären 105-Eck ein weiters Beispiel, dess Drehgruppe sich aus den Drehgruppen eines "eingeschriebenen" Dreiecks, Pentagons und 7-Ecks erstellen lässt.
Wie funktioniert diese Methode aber, wenn es sich bei dem regulären zweidimensionalen n-Eck beispielsweise um ein 9-Eck handelt (oder ein anderes Polygon, dessen Anzahl von Ecken dem Quadrat einer Primzahl entspricht)? Die Drehgruppe des Nonagons lässt sich zwar als das Produkt der Drehgruppen zweier Dreiecke beschreiben, allerdings ist mir nicht klar, wie man diese Tatsache ähnlich bildlich darstellen kann, wie es für das 15-Eck im Heft 5/08, S. 88 gezeigt ist. Funktioniert diese Methode im Fall des Nonagons und der "eingeschriebenen" Dreiecke nicht oder gibt es eine Möglichkeit, diesen Fall ähnlich anschaulich zu zeigen?
Stellungnahme der Redaktion
Es funktioniert auf jeden Fall nicht so schön wie bei teilerfremden Faktoren. Eine Untergruppe der Neunecksgruppe ist die Gruppe der Drehungen um Vielfache von drei Neunteln (= einem Drittel) des Vollwinkels. Das ist die Symmetriegruppe eines Dreiecks, das man ins Neuneck einbeschreiben kann.
Damit hat man einen Faktor der Zerlegung. Aber der andere Faktor! Offiziell ist es eine Gruppe von Nebenklassen. Ihre Elemente sind so etwas wie die Elemente der ursprünglichen Neunecksgruppe "modulo der Dreiecksgruppe"; das heißt, zwei Elemente, die sich nur um eine oder zwei Drittelsdrehungen unterscheiden, werden miteinander identifiziert. Natürlich hat diese Gruppe ebenfalls drei Elemente und ist damit isomorph zur Dreiecksgruppe. Aber eine anschauliche Darstellung dafür will mir nicht einfallen.
Ich sammle das Spektrum seit der ersten Ausgabe. Die Jahrgänge 1978-1997 sind bereits gebunden. Die letzten 11 Jahrgänge warten noch auf den Einband. (Ich hoffe, der Buchbinder hat das Design noch vorrätig.)
Was bedeutet Spektrum für mich? Eine Sammlung des aktuellen naturwissenschaftlichen Wissens.
Gerade bei einem Verlag mit diesem Ruf sollte man auch an alternative Betriebssysteme denken!
Ich weiß nicht, was "surfer" ist, aber k3dsurf (k3dsurf.sourceforge.net) ist zumindest eines, das gleiches leistet und für Linux geeignet ist (wie man sich denken kann, schätze ich Windows nicht sonderlich).
Stellungnahme der Redaktion
Surfer wurde ursprünglich in Linux entwickelt, und der Linux-Quellcode ist auf der Website des Wettbewerbs erhältlich (zum Installieren). Wenn es nur um das Betriebssystem geht, benötigt mal also keine Alternative zu Surfer.
Wenn ich mich richtig erinnere, basiert das Programm k3dsurf auf Triangulierungen und ist nur für einfache algebraische Gleichungen geeignet. Es ist daher auch keine richtige Alternative zu Surfer, sondern eine andere Art von Visualisierungsprogramm.
Andreas Matt
Wenn man von z. B.
x^2*y^2+y^2*z^2+z^2*x^2-x*y*z
oder
x^2+y^2+z^2+2*x*y*z-1
die Darstellungen in K3DSurf und Surfer vergleicht, dann wird schnell klar, wo hier das Problem liegt: Die Topologie der Fläche ist eine andere, d. h. in der Darstellung von K3DSurf werden wesentliche mathematische Eigenschaften der Fläche nicht korrekt wiedergegeben.
Christian Stussak, Universität Halle
k3dsurf ist ein Programm, das 3D-Modelle triangulierter Flächen anzeigt.
Solche Software ist für viele Aufgaben gut geeignet, versagt aber bei den Flächen, für die Surfer gedacht ist: algebraische Flächen mit Singularitäten.
Es ist das, was in dem ursprünglichen Spektrum-Artikel beschrieben wurde: Es werden zuerst viele kleine Dreiecke berechnet und die dann angezeigt.
Surfer benutzt Raytracing, um direkt ein Bild der Fläche zu erzeugen, was besser mit numerischen Instabilitäten an den singulären Punkten (die interessanten Punkte der Fläche) umgehen kann. Objekte der Differentialgeometrie werden hingegen sehr oft durch triangulierte 3D-Modelle beschrieben.
Ein absolut begeisternder Artikel, der nun endlich schlüssig die Anordnung der Gas und Gesteinsplaneten erklärt. Hat mir sehr gefallen.
Eine Frage bleibt jetzt noch offen: wieso hat sich der Wasserstoff im Zentrum des Ganzen zur Sonne zusammengetan? H ist ja ein Gas, das bei größeren Zusammenballungen einen Gegendruck aufbaut, der sicher nicht leicht zu überwinden ist. Und wieso ist ausgerechnet der Wasserstoff nicht nach jenseits der "Schneegrenze" verblasen worden, wie die anderen Gase?
Dazu hätte man gern auch noch einen Artikel. Dann könnte man endlich das Gefühl haben, in einem einleuchtenden Planetensystem zu leben.
Vor knapp 50 Jahren begann Dr. N. J. Stowell nach einem Themenwechsel von der zerstörerischen Atomforschung als Neuling auf dem Gebiet der Gehirnstromforschung [NA]. Er legte Grundlagen für „Finger-Abdruckmuster“ des Gehirns [GR]. In Verbindung mit Dr. Lawrence A. Farwell – der nun wieder als eigentlicher Erfinder der Gehirn-Fingerabdruck-Technologie war – wurde ein Patent zur „Fingerabdruck-Technologie“ des Gehirn unter dem Namen MERMER® eingereicht (memory and encoding related multifaceted electroencephalographic response).
In einem anderen Beitrag [DW] wird festgestellt: Brain 'fingerprints' could revolutionize justice system (Die Gehirn-“Fingerabdrücke“ könnten das Justizsystem revolutionieren). Dabei geht es u. a. um die Erkennung: ist die Aussage wahr – oder nicht war. Die im Beitrag [FL] geschilderten Entwicklungen stellen eine Weiterentwicklung dar.
Vielen Dank für den aufschlussreichen Artikel von Uriban Wiesing. Seinen Argumenten ist nur wenig entgegenzustellen. Dennoch hätte ich mir um einer ausgewogenen Darstellung wegen gewünscht, dass im gleichen Heft auch eine Stimme der "Lebensschützer" zu Wort kommt. Aber dies wird wahrscheinlich durch eine Flut von Leserbriefen ausgeglichen werden.
Das bloße Spielen mit vorgegebenen Computerprogrammen mag ja seinen besonderen Reiz ausüben, aber es hat nur noch wenig mit Mathematik zu tun, wenn es ohne Sinn und Verstand geschieht. So wundert sich Bianca Violet aus Berlin zu Unrecht über eigenartige Ergebnisse, da sie lediglich Schmutzeffekten aufgesessen ist, die aus simplen Rechenungenauigkeiten resultieren.
Die Gleichung „xyz = 0“ verkörpert nur die Ebenen des Achsenkreuzes, gleichgültig, in welche Potenz man sie erhebt. Höhere Potenzen überfordern allenfalls den Rechner und führen gegebenenfalls zu Aufhängern, auftretende Unschärfen sind das Resultat von Rundungsfehlern und keine neuen algebraischen Flächen.
Ähnliches gilt für „(xx+yy+zz)^15 = 0“, da aus einer Kugel mit dem Radius 0 nichts Sinnvolles mehr werden kann, gleichgültig, in welche mathematisch nichts mehr verändernde Potenz man sie erhebt. Und „(x+y+z)^0.5 = 0“ ist überhaupt nicht erlaubt, da das Programm keine Wurzeln aus Variablen verarbeiten kann. Das Katzenauge muss also ein Relikt aus früheren Versuchen sein. Im übrigen würde die Wurzel gar nichts verändern, da die Wurzel aus 0 immer noch 0 ist. So etwas passiert eben, wenn nur herumprobiert, aber nicht gedacht wird. Analoges gilt auch für das unendlich dünne Rohr „(x^2+y^2)^5 = 0“, bei welchem die Potenz ebenfalls mathematisch irrelevant ist.
Liebe Frau Violet, denken Sie doch nur mal ein klein wenig nach, dann ist keine Ihrer Formen mehr unerklärlich, auch nicht der Artefakt „(xxyy)^5“.
Hiltrud Heinrich aus Darmstadt schreibt zu ihrer Formel „xy*xz*yz-x^2z^2y^2 = 0“: „Fest steht, dass sich die Skulptur, die durch die obige Gleichung zustande kommt, völlig anders verhält als alles,was ich sonst so ausprobiert habe. Bei Veränderung der Position um 1° entsteht nämlich jedesmal eine neue Ansicht statt einer kleinen Verschiebung der Position. Das bedeutet: Es gibt 3*360 verschiedene Ansichten plus unzählige Variationen durch Verschiebung des Zoom-Balken. Kann das jemand erklären?“ Das kann ich leicht erklären. Wenn Sie sich Ihre Formel genau anschauen, bemerken Sie, dass dort „0 = 0“ steht, woraus nichts Großartiges mehr resultieren kann. Was Sie erstaunt, sind nichts als aus Rechenungenauigkeiten entstandene Pseudozufälligkeiten.
Ich selbst habe bei meinem kurz vor Toresschluss erstellten Beitrag „Herz“ zwar auch probiert, aber nicht wahllos, sondern zielgerichtet und nach einem genauen Plan, so dass ich am Ende die Genugtuung hatte, kein nur zufällig entstandenes hübsches Ergebnis erzielt zu haben, sondern exakt das Ergebnis, das ich mir vorgenommen hatte.
Stellungnahme der Redaktion
Vorsicht! Dies ist kein Wettbewerb in Mathematik, sondern in Kunst mit mathematischen Mitteln. Traditionell nehmen sich Künstler die Freiheit, die ihnen zur Verfügung stehenden Mittel ihrem vorgesehenen Zweck zu entfremden. Das haben Bianca Violet, Hiltrud Heinrich und einige andere hier zweifellos getan. Ich sehe auch in diesem Wettbewerb keinen Anlass, das zu beanstanden.
Nachdem – mehr oder weniger durch Zufall – die Möglichkeit entdeckt ist, durch Zweckentfremdung des Programms interessante Bilder zu erzeugen, möchte der Mathematiker in mir natürlich diesen Rundungsfehlern auf den Grund gehen, schon um den bisherigen Zufall gezielt steuern zu können. In einem Einzelfall haben die Autoren von "Surfer" das schon getan; Ergebnisse sollen im Augustheft veröffentlicht werden.
Gelten diese Gesetze auch für Flugzeuge?
06.06.2008, Daniel Schiller, KölnStimmt das bei Flugzeugen wirklich? Wohl kaum! Heutige Strahlflugzeuge (Transporter, Passagierflugzeuge aller Größen, Businessjets) haben weit gestreute Massen und fliegen alle knapp unterhalb der Schallgeschwindigkeit (Mach 0,8-0,9). Weder fliegen kleinere Strahlflugzeuge (Businessjets, Kampfflugzeuge) langsamer, noch fliegen große Schneller. Hier gelten viel mehr Parameter als nur die Masse, z.B. Kunden-/ Missionanforderungen, Zeit, Antriebstechnik, Kosten, Widerstand im transsonischen Bereich bzw. Nähe zur Schallgeschwindigkeit. Diese lassen sich nicht auf die Masse reduzieren, bzw. sind von ihr unabhängig. Gerade einige kleine Businessjets sind heute die schnellsten Zivilflugzeuge. Die Concorde hingegen flog mit doppelter Schallgeschwindigkeit und war bei weitem nie eines der größten Flugzeug.
Die Formel der Autoren für den Zusammenhang zwischen Körpermasse und Fluggeschwindigkeit bezieht sich auf Mittelwerte für Insekten, Vögel und Flugzeuge. Wie das Diagramm auf S. 40 unten zeigt, streuen wie die Werte für Flugzeuge auch die Werte für Vögel über einen großen Bereich.
Dr. Michael Springer
Antwort auf "Unmögliche Figuren" von Dipl.-Ing. Norbert Derksen
04.06.2008, Hiltrud Heinrich, DarmstadtIch wusste, dass meine strittige Gleichung 0=0 bedeutet (daher auch die Titel:"Unmögliche Figur"), aber die vielen verschiedenartigen Bilder, die ich mit dem anscheinend ungenau rechnenden Programm schaffen konnte, finde ich durchaus großartig und faszinierend, und der Ausdruck Pseudozufälligkeiten scheint mir nicht angebracht.
Auch ich freue mich, wenn ich ein gutes Arbeits-Ergebnis mittels eines genauen Plans erhalte (die eher mathematische Seite), künstlerische Arbeit aber lebt auch vom spontanen und überraschenden Einfall. Und ein angeblich "zufällig entstandenes hübsches Ergebnis" erfordert eine Menge gestalterischer Arbeit; mit dem Surfer könnte man nämlich auch viel "Schrott" produzieren.
Ich habe die Arbeit mit dem Surfer jedenfalls als sehr aktiv und begeisternd erlebt.
Außerdem steht in der Ausschreibung ausdrücklich: "Mathematische Vorkenntnisse sind hilfreich, aber nicht Bedingung."
Daraus könnte man ja wohl folgern, dass beim Mathekunst-Wettbewerb die Betonung entweder auf der Mathematik oder der Kunst liegen könnte. Wie hätte denn z. B. jemand wie ich (gymnasiale Mathematikkenntnisse + 2 Semester Naturwissenschaftler-Mathematik) gezielt komplizierte Figuren konstruieren sollen?
Hätten wir "Künstler" mit wenig Mathematik-Kenntnissen uns nicht beteiligen sollen?
Nein – dazu hat es viel zu viel Spaß gemacht!
Schneller als das Licht?
04.06.2008, Alexander Boulyga, WienDer Superschwimmer
04.06.2008, Harald Kirsch, Düsseldorf(Energie) oder doch eher physikalische Leistung (Arbeit pro Zeit)?
In konkreten Zahlen müsste ich circa 70 Liter Wasser auf etwa 1,7 Meter Höhe heben. Benutze ich einen Flaschenzug mit vielen Rollen und lasse mir 2 Tage Zeit, so ist die Anstrengung, also die zu erbringende physikalische Leistung, sehr klein. Vermutlich soll eher die Leistung gleichgesetzt werden. Das Hochheben sollte also in derselben Zeit passieren, wie die Fortbewegung. Da ich 50 Meter in etwa 50 Sekunden schwimmen kann, müsste ich die 70 Kilogramm Wasser in knapp 1,7 Sekunden auf 1,7 Meter Höhe heben. Mit 1 Meter pro Sekunde zu schwimmen über fast eine Stunde ist anstrengend aber möglich. Aber eine Stunde lang alle 1,7 Sekunden 70 Kilo auf Körperhöhe zu stemmen, halte ich für komplett unmöglich.
Wo ist der Denkfehler: die Autoren beschreiben ganz richtig, dass ich beim Schwimmen das Wasser anheben muss, damit es an meinem Körper vorbeilaufen kann, da es nicht kompressibel ist und daher nicht zur Seite oder nach unten "ausweichen" kann. Leider vergessen die Autoren anscheinend, dass das angehobene Wasser hinter meinem Körper wieder runterfließt. Dadurch geht die potentielle Energie, die ich durch Hochheben des Wassers hineingesteckt habe, dem Wasser verloren. Als Energiesenken kommen in Frage: Wärme durch Reibung, kinetische Energie durch Strömung. Insbesondere Letztere sorgt vermutlich für einen Saugeffekt, der die Arbeit, die ich durch Hochheben verrichte, weit gehend ausgleicht. Schwimme ich kontinuierlich, so muss ich die Arbeit des Hochhebens nur einmal beim Start verrichten, und bekomme sie nach meinem letzten Schwimmzug sogar wieder zurück.
Die Rechnung der Autoren ist eine grobe Schätzung allein schon deshalb, weil der Schwimmkörper (Fisch oder Mensch) als Würfel behandelt wird.
Ein würfelförmiger Mensch hätte aber nicht die übliche Körperhöhe, sondern wäre nur knapp 1 Meter hoch und lang. Wenn ein Mensch sich z.B. mit den Beinen vom Beckenrand abstößt, um in Wasser horizontal 1 Meter voranzukommen, entspricht dies nach dem Ansatz der Autoren ungefähr der Arbeit, die er aufwendet, um aus sitzender Position aufzustehen (Höhendifferenz ca 1 Meter). Das erscheint nicht unplausibel.
Michael Springer
Zur Ehrenrettung von k3dsurf
03.06.2008, Torolf Sauermann, HannoverSiehe auch die Seite von k3dsurf: http://k3dsurf.sourceforge.net/
Ich könnte viele schöne Modelle zeigen, die man mit k3dsurf und gleichzeitig mit Surfer erzeugen könnte.
Mir geht es aber um die Fertigung von neuen Flächen und Designformen und nicht um den mathematisch-wissenschaftlichen Aspekt ;)
Ein paar Demos mit k3dsurf :
http://www.evolution-of-genius.de/gallery/photos/jotero_iso_ball_3.jpg
http://www.evolution-of-genius.de/gallery/photos/iso_ball.jpg
http://www.evolution-of-genius.de/gallery/photos/bones_cube_jotero.jpg
http://www.evolution-of-genius.de/gallery/photos/UMARMUNG.jpg
Künstlerische Freiheit
03.06.2008, Dipl.-Ing. Norbert Derksen, KonstanzDas ist in der Tat ein Punkt, der in den Wettbewerbsbedingungen – da nicht vorgesehen – nicht vorab geklärt worden ist. Die Jury (deren Mitglied ich bin) wird darüber zu entscheiden haben; um der Entscheidung nicht ungebührlich vorzugreifen, halte ich mich mit meiner persönlichen Meinung zurück.
Christoph Pöppe
Rotationssymmetrien
03.06.2008, C. Grießmann, WächtersbachWie funktioniert diese Methode aber, wenn es sich bei dem regulären zweidimensionalen n-Eck beispielsweise um ein 9-Eck handelt (oder ein anderes Polygon, dessen Anzahl von Ecken dem Quadrat einer Primzahl entspricht)? Die Drehgruppe des Nonagons lässt sich zwar als das Produkt der Drehgruppen zweier Dreiecke beschreiben, allerdings ist mir nicht klar, wie man diese Tatsache ähnlich bildlich darstellen kann, wie es für das 15-Eck im Heft 5/08, S. 88 gezeigt ist. Funktioniert diese Methode im Fall des Nonagons und der "eingeschriebenen" Dreiecke nicht oder gibt es eine Möglichkeit, diesen Fall ähnlich anschaulich zu zeigen?
Es funktioniert auf jeden Fall nicht so schön wie bei teilerfremden Faktoren. Eine Untergruppe der Neunecksgruppe ist die Gruppe der Drehungen um Vielfache von drei Neunteln (= einem Drittel) des Vollwinkels. Das ist die Symmetriegruppe eines Dreiecks, das man ins Neuneck einbeschreiben kann.
Damit hat man einen Faktor der Zerlegung. Aber der andere Faktor! Offiziell ist es eine Gruppe von Nebenklassen. Ihre Elemente sind so etwas wie die Elemente der ursprünglichen Neunecksgruppe "modulo der Dreiecksgruppe"; das heißt, zwei Elemente, die sich nur um eine oder zwei Drittelsdrehungen unterscheiden, werden miteinander identifiziert. Natürlich hat diese Gruppe ebenfalls drei Elemente und ist damit isomorph zur Dreiecksgruppe. Aber eine anschauliche Darstellung dafür will mir nicht einfallen.
Christoph Pöppe
Leser der ersten Stunde
02.06.2008, Dr. Rüdiger Rodloff, MeinersenWas bedeutet Spektrum für mich? Eine Sammlung des aktuellen naturwissenschaftlichen Wissens.
Mit freundlichem Gruß
Rüdiger Rodloff
Nicht nur an Microsoft denken
02.06.2008, Roland Taschowsky, KonstanzIch weiß nicht, was "surfer" ist, aber k3dsurf (k3dsurf.sourceforge.net) ist zumindest eines, das gleiches leistet und für Linux geeignet ist (wie man sich denken kann, schätze ich Windows nicht sonderlich).
Surfer wurde ursprünglich in Linux entwickelt, und der Linux-Quellcode ist auf der Website des Wettbewerbs erhältlich (zum Installieren). Wenn es nur um das Betriebssystem geht, benötigt mal also keine Alternative zu Surfer.
Wenn ich mich richtig erinnere, basiert das Programm k3dsurf auf Triangulierungen und ist nur für einfache algebraische Gleichungen geeignet. Es ist daher auch keine richtige Alternative zu Surfer, sondern eine andere Art von Visualisierungsprogramm.
Andreas Matt
Wenn man von z. B.
x^2*y^2+y^2*z^2+z^2*x^2-x*y*z
oder
x^2+y^2+z^2+2*x*y*z-1
die Darstellungen in K3DSurf und Surfer vergleicht, dann wird schnell klar, wo hier das Problem liegt: Die Topologie der Fläche ist eine andere, d. h. in der Darstellung von K3DSurf werden wesentliche mathematische Eigenschaften der Fläche nicht korrekt wiedergegeben.
Christian Stussak, Universität Halle
k3dsurf ist ein Programm, das 3D-Modelle triangulierter Flächen anzeigt.
Solche Software ist für viele Aufgaben gut geeignet, versagt aber bei den Flächen, für die Surfer gedacht ist: algebraische Flächen mit Singularitäten.
Es ist das, was in dem ursprünglichen Spektrum-Artikel beschrieben wurde: Es werden zuerst viele kleine Dreiecke berechnet und die dann angezeigt.
Surfer benutzt Raytracing, um direkt ein Bild der Fläche zu erzeugen, was besser mit numerischen Instabilitäten an den singulären Punkten (die interessanten Punkte der Fläche) umgehen kann. Objekte der Differentialgeometrie werden hingegen sehr oft durch triangulierte 3D-Modelle beschrieben.
Henning Meyer, TU Kaiserslautern
Glücklich ohne Unterhalt?
02.06.2008, F. AicherHerzliche Grüße!
Absolut begeisternd
01.06.2008, Lothar BusoldEine Frage bleibt jetzt noch offen: wieso hat sich der Wasserstoff im Zentrum des Ganzen zur Sonne zusammengetan? H ist ja ein Gas, das bei größeren Zusammenballungen einen Gegendruck aufbaut, der sicher nicht leicht zu überwinden ist. Und wieso ist ausgerechnet der Wasserstoff nicht nach jenseits der "Schneegrenze" verblasen worden, wie die anderen Gase?
Dazu hätte man gern auch noch einen Artikel. Dann könnte man endlich das Gefühl haben, in einem einleuchtenden Planetensystem zu leben.
Weitergeführte Traditionen
01.06.2008, Klaus DeistungIn einem anderen Beitrag [DW] wird festgestellt: Brain 'fingerprints' could revolutionize justice system (Die Gehirn-“Fingerabdrücke“ könnten das Justizsystem revolutionieren). Dabei geht es u. a. um die Erkennung: ist die Aussage wahr – oder nicht war. Die im Beitrag [FL] geschilderten Entwicklungen stellen eine Weiterentwicklung dar.
[NA] ON THE TRACK OF A TRACT, CONTINUED
http://www.asa3.org/ASA/topics/NewsLetter70s/OCT74.html
[GR] Gupta, Sh., Kapoor, A. K.: Reported Crime and Actual Crime: A Mis-Match (A Study Among the Lahoulis of Himachal Pradesh)
http://bprd.nic.in/writereaddata/linkimages/Oct-Dec61-1015963739143.pdf
[DW] DeWitte, D.: Brain 'fingerprints' could revolutionize justice system. AN INDEPENDENT - NEWSPAPER IN IOWA'S TECHNOLOGY CORRIDOR, vom 07.06.2003
http://brainfingerprinting.com/Gazette.php
[FL] Fischer, L.: Hirnforschung - Gedankenlesen per Computer. Spektrogramm 29.05.2008
https://www.spektrum.de/artikel/957656&_z=798888
Ausgewogenere Darstellung?
01.06.2008, Prof. Dr. M. Beck, ZornheimSuperheld enttarnt!
01.06.2008, Stephan SchreyerUnmögliche Figuren
31.05.2008, Dipl.-Ing. Norbert Derksen, KonstanzDie Gleichung „xyz = 0“ verkörpert nur die Ebenen des Achsenkreuzes, gleichgültig, in welche Potenz man sie erhebt. Höhere Potenzen überfordern allenfalls den Rechner und führen gegebenenfalls zu Aufhängern, auftretende Unschärfen sind das Resultat von Rundungsfehlern und keine neuen algebraischen Flächen.
Ähnliches gilt für „(xx+yy+zz)^15 = 0“, da aus einer Kugel mit dem Radius 0 nichts Sinnvolles mehr werden kann, gleichgültig, in welche mathematisch nichts mehr verändernde Potenz man sie erhebt. Und „(x+y+z)^0.5 = 0“ ist überhaupt nicht erlaubt, da das Programm keine Wurzeln aus Variablen verarbeiten kann. Das Katzenauge muss also ein Relikt aus früheren Versuchen sein. Im übrigen würde die Wurzel gar nichts verändern, da die Wurzel aus 0 immer noch 0 ist. So etwas passiert eben, wenn nur herumprobiert, aber nicht gedacht wird. Analoges gilt auch für das unendlich dünne Rohr „(x^2+y^2)^5 = 0“, bei welchem die Potenz ebenfalls mathematisch irrelevant ist.
Liebe Frau Violet, denken Sie doch nur mal ein klein wenig nach, dann ist keine Ihrer Formen mehr unerklärlich, auch nicht der Artefakt „(xxyy)^5“.
Hiltrud Heinrich aus Darmstadt schreibt zu ihrer Formel „xy*xz*yz-x^2z^2y^2 = 0“: „Fest steht, dass sich die Skulptur, die durch die obige Gleichung zustande kommt, völlig anders verhält als alles,was ich sonst so ausprobiert habe. Bei Veränderung der Position um 1° entsteht nämlich jedesmal eine neue Ansicht statt einer kleinen Verschiebung der Position. Das bedeutet: Es gibt 3*360 verschiedene Ansichten plus unzählige Variationen durch Verschiebung des Zoom-Balken. Kann das jemand erklären?“ Das kann ich leicht erklären. Wenn Sie sich Ihre Formel genau anschauen, bemerken Sie, dass dort „0 = 0“ steht, woraus nichts Großartiges mehr resultieren kann. Was Sie erstaunt, sind nichts als aus Rechenungenauigkeiten entstandene Pseudozufälligkeiten.
Ich selbst habe bei meinem kurz vor Toresschluss erstellten Beitrag „Herz“ zwar auch probiert, aber nicht wahllos, sondern zielgerichtet und nach einem genauen Plan, so dass ich am Ende die Genugtuung hatte, kein nur zufällig entstandenes hübsches Ergebnis erzielt zu haben, sondern exakt das Ergebnis, das ich mir vorgenommen hatte.
Vorsicht! Dies ist kein Wettbewerb in Mathematik, sondern in Kunst mit mathematischen Mitteln. Traditionell nehmen sich Künstler die Freiheit, die ihnen zur Verfügung stehenden Mittel ihrem vorgesehenen Zweck zu entfremden. Das haben Bianca Violet, Hiltrud Heinrich und einige andere hier zweifellos getan. Ich sehe auch in diesem Wettbewerb keinen Anlass, das zu beanstanden.
Nachdem – mehr oder weniger durch Zufall – die Möglichkeit entdeckt ist, durch Zweckentfremdung des Programms interessante Bilder zu erzeugen, möchte der Mathematiker in mir natürlich diesen Rundungsfehlern auf den Grund gehen, schon um den bisherigen Zufall gezielt steuern zu können. In einem Einzelfall haben die Autoren von "Surfer" das schon getan; Ergebnisse sollen im Augustheft veröffentlicht werden.
Christoph Pöppe