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Laut Aufgabenstellung gilt nicht zwingend a ≠ b. Daher muss dieser Fall zwingend zusätzlich betrachtet werden. Natürlich ist dieser Fall trivial, denn in diesem Fall sind die beiden Terme (x-a)/b und (x-b)/a für alle x identisch (Für a = b ≠ 0).

Dennoch springt jedem Mathematiker beim letzten Rechenschritt

x⋅(a-b) = (a-b)⋅(a+b)
==> x = a+b

sofort ins Auge, dass dieser Schritt nur für a ≠ b gültig ist, da ansonsten bei diesem Rechenschritt durch 0 dividiert wird.

Dementsprechend sollte jeder Mathematiker an dieser Stelle einen entsprechenden Hinweis geben.

Für ( a - b ) = 0 // a = b existieren unendlich viele Lösungen in x.
- welche in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden könnten -

mfg

Guten Morgen Frau Bischoff,
mit Interesse habe ich Ihre Kolumne gelesen und finde sie sehr gelungen.
In einem Satz möchten Sie die Menge der diskutierten Zahlen über die rationalen Zahlen hinaus erweitern und führen als Beispiele für irrationale Zahlen die Wurzel aus -2 an. Das ist nicht unbedingt falsch, aber irreführend, weil die Wurzel aus -2 nicht nur irrational sondern auch imaginär ist.
Gemeint haben Sie sicher die Wuzel aus 2 (die gnügt ja als Beispiel).
Viele Grüße
Niklas Peinecke

Es ist nur ein kleines Detail. Nachdem die Summe der vier Gleichungen vorliegt, steht unter der geschweiften Klammer K. Da die Klammer den Term -b - gr - r - ge umfasst, ist das allerdings gleich -K. Und damit ergibt dann 4k + (-K) auch 3K.

Das Diagonalargument kann kein Beweis sein, da es vorraussetzt, daß die Anzahl an Stellen gleich der Anzahl von Werten ist! Für 2 Stellen im Dezimalsystem gib es 100 Werte, es können jedoch nur 2 Werte nach dem Diagonalarbument eingetragen werden.
Wendet man das Diagonalargument auf natürliche Zahlen an, "wären" die laut Ergebnis auch unabzählbar.
Als Alternative kann man sich alle Natürlichen Zahlen auf einer unendlichen Liste vorstellen und dann vor jeden Eintrag ein "0," setzen.
Die natürlichen Zahlen sind lückenlos und damit ist auch der Bereich hinter dem Komma lückenlos und damit abzählbar !

Hallo Fr. Bischoff, ich habe einige Anmerkungen zu dem schönen Artikel (Stand: 23. Juni 2023):
1. "Lässt man zusätzlich zu den rationalen Zahlen auch irrationale Werte wie die Wurzel aus minus zwei, Pi oder die Chaitinsche Konstante zu ..." Statt "minus zwei" ist hier wohl "zwei" gemeint.
2. "Erstes Diagonalargument von Cantor | Man kann alle rationalen Zahlen auflisten, indem man den Pfeilen folgt und alle unechten Brüche ignoriert." Das Bild zeigt nicht die Auflistung ALLER rationalen Zahlen, sondern nur eine der POSITIVEN rationalen Zahlen.
3. "Dabei handelt es sich um einen Widerspruchsbeweis: Man beginnt mit der Annahme, es gäbe abzählbar unendlich viele reelle Zahlen und ..." Diese Formulierung reicht nicht; es muss heißen: "... es gäbe NUR abzählbar viele reelle Zahlen ...".
4. Bei der Beschreibung des zweiten Cantorschen Diagonalarguments:
4a. Es ist nicht definiert, wie zu verfahren ist, wenn die um 1 zu erhöhende Ziffer den Wert "9" hat, denn "10" ist ja keine Ziffer. Man muss hier wohl die 0 nehmen, aber das steht nicht da.
4b. Es wird behauptet, dass die konstruierte Zahl "irrational" ist. Das ergibt sich nicht direkt aus der Konstruktion; es ist aber auch völlig irrelevant. Es genügt, dass die konstruierte Zahl wieder eine reelle Zahl ist.
4c. Der Beweis drückt sich um die Tatsache herum, dass die Darstellung reeller Zahlen als unendlicher Dezimalbruch nicht ganz eindeutig ist. Zum Beispiel stellen die beiden folgenden verschiedenen Folgen dieselbe reelle Zahl dar:
0,4999999...
0,5000000...
5. "Die neun Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (zusammen mit dem Auswahlaxiom) genügen, um die uns bekannte Mathematik aufzubauen." Es sind in Wirklichkeit unendlich (!) viele Axiome, da die sogenannten Assonderungs"axiom" und Ersetzungs"axiom" in Wirklichkeit Schemata, sind, aus denen sich unendlich viele Axiome durch Einsetzen in das Schema ergeben.
6. "Oder das Paarmengenaxiom, wonach zwei Mengen mit denselben Elementen gleich sind." Was hier beschrieben wird, ist nicht das Paarmengenaxiom, sondern das Extensionalitätsaxiom. Das Paarmengenaxiom selbst besagt, dass es zu zwei Mengen eine neue (Paar-)menge gibt, die genau die beiden vorherigen als Element enthält.

Ich hoffe, diese Anmerkungen sind hilfreich.

In Ihrem Artikel schreiben Sie u.a.:
Egal, wie nahe sich zwei Punkte sind, zwischen ihnen kann man einen weiteren Punkt ausmachen, der für eine reelle Zahl steht. Und diese Kontinuität verhindert, dass sich die reellen Zahlen auflisten lassen.
Dies ist nun keinesfalls eine Besonderheit der reellen Zahlen. Auch zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen sind immer noch weitere rationale Zahlen. Damit ist klar, dass dieser "Beweis" keiner ist.

Sehr geehrte Frau Bischoff,

Mit großem Vergnügen lese ich Ihre Kolumne. Vielen Dank für die vielen interessanten Themen, von denen ich ab und zu erst durch ihre Ausführungen erfahre.
Ab einer Stelle könnten Sie vielleicht die heutige Ausgabe korrigieren. Sie schreiben, dass es zwischen je zwei reellen Zahlen immer eine weitere reelle Zahl gibt, und dass u.a. das ein Grund für die Überabzählbarkeit wäre. Diese Eigenschaft haben jedoch auch schon die rationalen Zahlen.
Die richtige Begründung der Überabzählbarkeit folgt dann ja auch direkt im Anschluss.

Freundliche Grüße,
Hans Schnabel

Guten Tag Frau Bischoff,
ich lese Ihre Kolumne immer wieder gerne.
ich habe beim Lesen dieses Textes gesehen, dass Sie die 0 zu den natürlichen Zahlen zählen. Da hat sich mir die Frage gestellt, warum die 0 manchmal zu den natürlichen Zahlen gezählt wird und machmal nicht
Ich fände es wäre sicherlich ein spannendes Thema für eine zukünftige Kolumne

Was hat denn Gödel in seinen Unvollständigkeitssätzen nun
genau bewiesen (und was hat er damals nicht bewiesen)?
1. Er hat z.B. bewiesen, dass ab einer gewissen "Komplexität" (bzw. "Mächtigkeit") einer mathematischen Theorie, diese Theorie nicht selbst seine eigenen Konsistenz (d.h. Widerspruchsfreiheit) beweisen kann (d.h. dieses nicht mit den Mitteln der Theorie bewiesen werden kann).
2. Er hat bewiesen, dass solche Theorien entweder unvollständig sind (d.h. es Aussagen in der Theorie gibt, die wahr sind, aber nicht innerhalb der Theorie, d.h. mit den Mitteln der Theorie, bewiesen werden kann) oder inkonsistent sind.

Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze implizieren allerdings nicht, dass innerhalb jeder Theorie für jede dort nicht beweisbare Aussage die Aussage nun wahr oder falsch sein muss. D.h. eine Aussage A, welche in einer (konsistenten) Theorie T nicht beweisbar ist, kann auch "indeteminiert" sein, d.h. die Theorie T könnte mit dem Axiom "A ist wahr" konsistent sein und die Theorie T könnte auch mit dem Axiom "A ist falsch" konsistent sein (wobei man sich allerdings aussuchen müßte, welches der beiden Axiome man zur Theorie hinzunehmen wollen würde, da eine Theorie T mit Hinzunahme der beiden Axiomen nun inkonsistent wäre).

Ansonsten gelten die Gödelschen Unvollständigkeitssätze erstmal nur für mathematische Theorien (und nicht für die Mathematik insgesamt aufgefasst als eine einzige mathematische Theorie), aber dann stellt sich die Frage, ob die Mathematik selbst eine mathematische Theorie ist (wobei dann die Frage wäre, ob die Mathematik in sich konsistent wäre oder nicht) oder ob das eher Metamathematik wäre (und man sich dann mit Personen wie Hilbert u.ä. unterhalten müßte oder sollte, was diese davon halten würden - vgl. "Krise" in der Mathematik Anfang des 20ten Jahrhunderts).

Für die "Kontinuumshypothese" stellt sich nun die Frage, ob diese Hypothese nun "indeterminiert" ist oder ob die Hypothese wahr oder falsch ist. Und nur weil man keinen Widerspruch (oder Beweis) bisher gefunden hat, heißt nicht, dass es keinen solchen Beweis (oder Widerspruch) gibt, wobei
es natürlich einen Beweis (und einen Widerspruch) der Hypothese gäbe, wenn nun ZF (Zermelo-Fränkel-Mengenlehre) bzw. ZFC (ZF mit Auswahlaxiom) inkonsistent wäre. Die Frage stellt sich allerdings, ob die Widerspruchsfreiheit von ZF (bzw. ZFC) schon bewiesen wurde oder nicht - und nur weil man im Gegensatz zur sogenannten "naiven Mengenlehre", in der es z.B. das sogenannte Russelsche Paradox gibt, noch kein Paradoxon gefunden hat, heißt noch nicht, dass es kein solches Paradoxon dort gibt.

ps. Die neun Axiome der Zermelo-Fraenkel Mengelehre (zusammen mit dem Auswahlaxiom) genügen, um die Mengenlehre so aufzubauen, wie die Mengenlehre (und damit Mengen) in den anderen Teilgebieten der Mathematik (bisher) genutzt bzw. benötigt werden.

Liebe Frau Bischoff,

in Ihren Artikel haben sich ein paar Ungenauigkeiten eingeschlichen:

"Die bisher vorgestellten Mengen haben also alle dieselbe Kardinalität. Doch die reellen Zahlen durchbrechen das Muster. Lässt man zusätzlich zu den rationalen Zahlen auch irrationale Werte wie die Wurzel aus minus zwei, ..." suggeriert, dass die Wurzel aus minus zwei eine reelle Zahl sei.

"Grund dafür ist eine wichtige Eigenschaft der reellen Zahlen: Zwischen zwei Zahlen liegt stets eine weitere reelle Zahl." Das kann nicht sein, da dies auch für die rationalen Zahlen gilt (z.B. arithmetisches Mittel), welche (wie zuvor gezeigt) abzählbar sind. Der Grund liegt eher in der Vollständigkeit der reellen Zahlen.

"Oder das Paarmengenaxiom, wonach zwei Mengen mit denselben Elementen gleich sind." Das Paarmengenaxiom besagt, dass es zu zwei Mengen eine dritte gibt, die die beiden als Elemente enthält. "Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen EIemente enthalten" ist das Extensionalitätsaxiom.

Herzliche Grüße

Stefan Friedrich

Im Artikel steht, der Grund für die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen wäre der, dass "wischen zwei Zahlen [...] stets eine weitere reelle Zahl [liege]."
Das kann eigentlich nicht der Grund, denn zwischen zwei Zahlen liegt auch stets eine rationale Zahl. Dass die rationalen Zahlen kein Kontinuum bilden, ist meines Wissens nach eine Definition aus der Maßtheorie, wonach die Vereinigung höchstens abzählbar unendlich vieler Nullmengen wieder eine Nullmenge ergibt.

Der Vergleich ist ad absurdum...bei beiden, dem Tauchboot sowie dem Flüchtlingsboot, war man sich der Gefahr wohl bewusst...über beides wird und wurde berichtet... bei dem Flüchtlingsboot habe ich in soweit kein Verständnis, da durch vorherige Unglücke die Gefahr bekannt sein müsste und zudem noch Hilfe abgelehnt wurde...wie lange muss über so ein Unglück berichtet werden, der Autorin ihrer Meinung nach?
Bei dem aktuellen Fall der Titan, wird in ein bis zwei Wochen ebenfalls kein Wort mehr darüber verloren...beide Unglücke hatten/haben ihre Aufmerksamkeit in den Medien und die Menschen
lechzen schon nach neuen Sensationsnachrichten...

Ja, vielleicht wäre es besser gleich alle abzuholen, die zu uns kommen und hier ein sorgloses Leben auf unsere Kosten führen wollen.
Unser Wohlstand ist übrigens nicht vom Himmel gefallen, sondern wurde von den Generationen seit dem ,2.Weltkrieg hart erarbeitet. Die hatten auch nichts, und haben mit ungeheurem Fleiß und Verzicht unser Land wieder aufgebaut anstatt einfach davonzulaufen.
Wir haben selber schon genug Leute, die dem Staat auf der Tasche liegen oder sich auf der Straße ankleben anstatt zu arbeiten.
Wer soll denn in Zukunft unser Wohlstandsniveau erhalten?
Oder wollen wir dann, solidarisch wie wir sind, lieber alle in Armut leben ?
Träumen ist ja was schönes, aber man sollte es auf die Nacht beschränken.

Wenn ich die Überschrift lese, könnte ich schon brechen, aber nicht weil ich Seekrank bin. Da werden Äpfel mit Birnen verglichen - eine tragische Geschichte mit der anderen in Zusammenhang gebracht, weil "Boot" darin vorkommt und zudem wird durch diesen Artikel kein einziger Mensch mehr oder weniger gerettet, auch nicht durch unsere Aufmerksamkeit. Egal ob arm oder reich, allen Menschen in Not sollte natürlich geholfen werden. Menschen, welche unbemerkt sterben, gibt es auf der ganzen Welt, außer vielleicht in China - die Frage lautet: von wem unbemerkt? Und dann so tun, als wenn von Flüchtlingsbooten nicht genügend Berichte gezeigt wurden; aber bemessen wir danach unser Mitgefühl. Ich kann mir kaum vorstellen, daß die Autorin so etwas schreiben würde, wenn ihre Angehörigen oder sie selbst einer dieser Tragödie durchmachen müsste, egal ob im Schlauch- , im U-Boot oder in einer Gondel! Wird dem Leser vielleicht ein schlechtes Gewissen eingeredet, weil wir alle diesem Vermisstenfall ja so viel mehr Aufmerksamkeit und Anteilnahme schenken und woher weiß sie das? Das wir das überhaupt können, verdanken wir doch den "besessenen" Medien, die dem Geschehen so viel Aufmerksamkeit schenken. Man sollte doch so ehrlich sein und das wissen wir alle: Dramatische Nachrichten, umso doller umso toller und das gilt für die Medien sowohl auch für den neugierigen Medienkonsument. Das ist ihr tägliches Brot, damit verdienen sie ihr Geld. Nachrichten kommen, Nachrichten gehen. Berichten Sie doch zur Abwechslung mal wieder über gerettete / nicht gerettete Flüchtlinge in Schlauchbooten mit einer Prise Krieg! Zum Lachen, wenn's nicht traurig wäre! Nicht zu vergessen: Danke an alle See- / Retter!!! Entschuldigung, daß ich mich auskotzen musste.