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Hallo,
man kann (zugegeben exotische) Logiken konstruieren,
in denen Gödels Beweise nicht mehr funktionieren
und trotzdem Arithmetik möglich ist.

Eine solche habe ich (aufbauend auf der Reflexionslogik von Prof. Ulrich Blau)
"erfunden", die "Stufenlogik".
Diese erweitert die klassische Aussagenlogik um einen Parameter / eine Dimension, die "Stufe" (mit Werten 0,1,2,3,...).
Ähnlich wie bei der Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen,
werden so viel mehr Probleme lösbar.

Grundlegend ist, dass Aussagen unterschiedliche Wahrheitswerte je Stufe haben können, also W(A, Stufe 1) = wahr und W(A, Stufe 2) = falsch.
Zudem sind Aussagen mit Stufen hierarchisch, d.h. eine Aussage B über eine Aussage A in Stufe k gehört mindestens zu Stufe k+1.

Die Stufenlogik kennt daher kein Begründungstrillemma, löst den Lügnersatz auf und hat bei der Cantorschen Diagonalisierung keinen Widerspruch,
benötigt also keine überabzählbaren Mengen.

Es lässt sich leicht eine "Stufenmengenlehre" definieren, dazu natürliche Zahlen und eine Arithmetik.

Da Widerspruchsbeweise nur innerhalb einer Stufe gelten, muss man bei Beweisen jeweils darauf achten, ob Stufenwechsel auftreten.

Dies ist z.B. beim Beweis der Eindeutigkeit von Primzahlzerlegungen der Fall,
weshalb es in Stufenlogik unterschiedliche Primzahlzerlegungen in unterschiedlichen Stufen geben kann.
Das macht die Gödelisierung mit Stufenlogik schon kaum möglich.

Zusätzlich klappt der Widerspruchsbeweis von Gödel nicht mehr, da auch dort ein Stufenwechsel auftritt.

Positiv kann man Algorithmen mit Stufen definieren, die nicht mehr dem Halteproblem der Informatik unterworfen sind.

Alles in allem nicht schlecht für eine Außenseitertheorie ...

Details dazu finden sich (über Jahre gewachsen) unter:
https://www.ask1.org/threads/stufenlogik-trestone-reloaded-vortrag-apc.17951/

Gruß Trestone

Die Autorin geht in Ihrem Buch z. T. von Prämissen aus, die zumindest fraglich, wenn nicht sogar falsch sind.

Beispiel 1: Sie erläutert am Beispiel der Herstellung eines Kuchenteigs (S. 86 ff), dass die unvermischten Bestandteile einen Zustand niedrigerer Entropie darstellten, der Teig selbst nach der Fertigstellung einen Zustand deutlich höherer Entropie habe. Denn alle Bestandteile (Fußn 1) seien weitgehend statistisch homogen verteilt, deshalb hohe Entropie. Das ist aber falsch, denn Dispersionen sind hoch strukturiert und weisen eine niedrigere Entropie auf als die einfache Summe der Bestandteile.(Fußn 2) Hier widerspricht sie ihrem eigenen Anspruch, wonach Theorien unsere Beobachtungen erklären können müssen; die von ihr dargestellte Theorie erklärt aber die bekannten Beobachtungen an Dispersionen nicht (auch ein „Kuchenteig“ ist eine Dispersion). (Fußn 3)

Beispiel 2: In vielerlei Hinsicht werden die Eigenschaften der Quanten (der Elementarteilchen mit ihrer „Unschärfe“) als Grundlage von allem angesehen, was wir auf der makroskopischen Ebene beobachten. So heißt es auf S. 122 (und wird danach weiter ausgeführt), dass die tiefste Ebene der Organisation der Materie „bestimmt“, was auf den höheren Ebenen geschieht. Auf der tiefsten Ebene finde man die fundamentalen Gesetze der Physik, und aus denen leiteten sich alle weiteren Gesetze auf höheren Ebenen ab. Dabei missachtet sie, dass die sog. „umweltbedingte Quanten-Dekohärenz“ genau die Unschärfe und alle weiteren Eigenschaften der Quanten verschwinden lässt: Schon Atome verhalten sich nicht mehr wie Quanten, Moleküle und dann Zellen erst recht. (Die Dekohärenz wurde theoretisch von H. D. Zeh dargelegt und experimentell von Serge Haroche nachgewiesen, wofür der letztere den Nobelpreis erhielt.) Generell entstehen auf höheren Ebenen der Organisation der Materie, beginnend mit den Atomen, aufgrund der Wechselwirkung der verschiedenen Bestandteile eines dynamischen Systems jeweils neue Phänomene und Gesetzmäßigkeiten, das nennt man „Emergenz“ (oder auch: „Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile.“)

Die verstorbene Großmutter ist auch nicht mehr, wie im Buch behauptet wird, letztlich doch noch in Form von „ewiger Information“ irgendwo und irgendwie im Universum enthalten, und theoretisch sei jede Information jederzeit nachvollziehbar. Nein, „Information“ bleibt nicht ewig erhalten: Der Anstieg der Entropie im Maßstab des Universums vernichtet Information, vermutlich in Schwarzen Löchern. Daneben ist es nämlich wichtig zu verstehen: Entropie sinkt lokal im Zusammenhang mit dem Aufbau komplexer Strukturen (sog. „dissipativer Strukturen“), sei es in Dispersionen, oder beim Wachstum der Pflanzen und Tiere, beim Beginn des Lebens und der Evolution, der Entwicklung der Komplexität von Gesellschaften, bei der Entstehung und weiteren Entwicklung von Galaxien. Außerhalb dieser jeweiligen offenen Systeme, im Gesamtmaßstab des Universums, steigt die Entropie an.

Beispiel 3: In Kapitel 7 wird behauptet, es gebe bisher keine Theorie, die die Komplexität in unserer Welt erklären könne. Also die komplexen Strukturen, die wir überall finden, in Pflanzen, Ökosystemen, in menschlichen und auch den tierischen Gesellschaften, der Wirtschaft und sogar auch der Galaxien im Universum. Das stimmt ganz einfach nicht, denn es gibt schon lange die sog. „Nicht-Gleichgewichts-Thermodynamik“, für deren Entwicklung Ilya Prigogine 1977 den Nobelpreis erhielt (die ich hier in der Kürze natürlich nicht darlegen kann).4

Aus allein schon diesen 3 Beispielen ergibt sich, dass die Welt nicht, wie Frau Dr. Hossenfelder glaubt und den Lesern darzulegen versucht, „deterministisch“ (oder gar „superdeterministisch“) ist: Die Entwicklung der Komplexität der Welt ist nicht vorausschauend berechenbar, aus der Vergangenheit ergibt sich nicht eindeutig bestimmt die Zukunft. Wenn man rückwärts betrachtet erklären, verstehen, beschreiben oder sogar berechnen kann, warum und wie etwas passiert ist, heißt das noch lange nicht, dass man es auch vorwärts (wenn man noch nicht weiß, was geschehen wird) gesehen hätte berechnen können; denn rückwärts sieht (und berücksichtigt) man die anderen zum Zeitpunkt der Ereignisse vorliegenden alternativen Entwicklungsmöglichkeiten nicht, die gibt es nicht mehr, vorwärts aber sehr wohl!

Die Theorien, die die Autorin lediglich andeutet (jedenfalls nicht hinreichend erklärt), macht keine überprüfbaren Voraussagen, sie hilft uns nicht, die Welt besser zu verstehen, und wir können keine Experimente entwerfen, mit denen wir sie verifizieren oder falsifizieren können (hier benutze ich Formulierungen, wie sie die Autorin selbst häufig verwendet). Und wir brauchen sie nicht, um das, was wir beobachten, zu erklären – weil die Nicht-Gleichgewichts-Thermodynamik die Dynamik und Komplexität der Welt hinreichend gut erklärt und tragfähige Anleitungen liefert, die Theorie zu verifizieren und detaillierter auszugestalten. Alles, was in der Zukunft geschieht, hat zwar seine Ursachen in der Vergangenheit, aber die Komplexität von Ursachen erlaubt ständig mehrere unterschiedliche Wege in der Zukunft, das wissen wir aus unseren eigenen Entscheidungen – und im Universum ist es auch in der unbelebten Materie nicht anders. Und manche weiteren, nach Ansicht der Autorin direkt aus „fundamentalen“ physikalischen Gesetzen ableitbaren Schlussfolgerungen über die gesamte Welt und unser Leben darin sind alles andere als direkt ableitbar, im Gegenteil: sogar sehr zweifelhaft.

Fußnoten:
1) u. a. die Zuckermoleküle und die Mehl-“Moleküle“ (wie die Autorin schreibt), die es aber so gar nicht im Teig gibt, weil Mehl im Teig nicht molekular gelöst, sondern in Form von Teilchen dispergiert vorliegt, im Gegensatz zum Zucker, der molekular gelöst vorliegt
2) Vgl. https://www.researchgate.net/publication/202290104_Critical_Shear_Rate_-_the_Instability_Reason_for_the_Creation_of_Dissipative_Structures_in_Polymers
3) Lösungen und Dispersionen sind absolut gegensätzliche Systeme, die ersteren befinden sich im thermodynamischen Gleichgewicht, die letzteren sind nicht-Gleichgewichts-Systeme.

Ich fasele in Dauerschleife darüber, dass sich die Eigenschaften der Atome aus unserer Existenz erklären lassen. Das heißt, was auch immer die Physik, ob Quanten, Einstein, whatever, beschreibt, sehe ich auch bei Menschen – in ihrem Verhalten und ihrer Psyche.

Das Grundmuster ist recht einfach – in großen Massen heben sich individuelle Eigenschaften auf, es bleibt nur der gemeinsame Nenner übrig. Für die Masse macht es keinen Unterschied, ob eine Handlung intelligent oder dumm ist, denn für sie ist es nur Bewegung: Wärme, die man ihr zuführt. In der Politik sehen wir zum Beispiel, dass Europäer dumm wie Brot sind, obwohl der einzelne europäische Bürger oder Anführer denen der restlichen Welt in nichts nachsteht: Es fehlt die CPU, die Bündelung, die Zentralregierung, der Zellkern, der irgendeine Form von Organisation oder Intelligenz auf die Masse übertragen könnte. So bekommt man einen Bottich politischer Diarrhö, der sich durch simple Physik erklären lässt: Geld, Wohlstand, wirken stabilisierend, sie sind Masse. Derzeit rutschen sie in die Tiefe, von Moskau nach Washington, was wirkt, als würde Eis schmelzen, das Europa in fester Form gehalten hat. Die Lawine der aufgeladenen, aktiveren, aggressiveren Teilchen, die ihre Energie als Schwingungen und Propaganda vor sich hertreiben, folgt von Ost nach West, und die langsamere Welle Westeuropas staut die schnellere Welle Mitteleuropas auf, sodass zwischen Russland und Westen ein Wall aus Mini-Putins entsteht. Die Eiszeit geht zu Ende, die globale Erwärmung macht vor nichts halt.

Ich kann also nicht sagen, ob Atome, Luftmoleküle, meine eigenen Körperzellen intelligent sind oder nicht – selbst wenn jede Hautschuppe ein Einstein wäre, ich würde es nicht merken, da ich nur die Masse und ihre Handlungen beobachten kann.

Ich sehe auch einen sehr direkten Zusammenhang zwischen Gefühlen, Temperatur und Aggregatzuständen – Menschen sind binär, wenn sie satt sind, bewegen sie sich nicht, sind sie hungrig, bewegen sie sich. Strom an bremst, Strom aus aktiviert, was dann aber nach Außen genau umgekehrt wirkt – schließlich muss man Physiker sein, um zu wissen, dass ein gefrorener Gletscher mehr Energie enthält, als eine Lawine ohne Eis drin. Masse und Energie sind eben relativ, der Unterschied liegt im Auge des Betrachters. All unsere Ideologien, Gedanken, Gefühlswallungen, sind bloß diffuse Strahlung, die den Zustand ausdrückt, in dem sich ein Mensch befindet: Oft schalten wir auch sehr schnell zwischen Passiv und Aktiv hin und her.

Im Grunde sind wir ein Riesencomputer, der so viele 1-Bit-Chips enthält, dass aus Digital Analog wird, denn mit großen Mengen lassen sich zwischen 0 und 1 unendlich viele Grautöne simulieren. Unsere Gefühle wirken wie eine Flüssigkeit, die durch uns strömt und uns als eine Art Bildschirm behandelt, bei dem wir die Pixel sind, und sie das Meer, das sie bildet, indem sie sie in unterschiedliche Zustände schaltet, die wir weiterreichen, ohne unsere Position auf dem Bildschirm zu verändern. Dabei spielt der Vektor eine wichtige Rolle – die Trumpisten in den USA wurden durch die Islamisten geboostet, doch auch, wenn sie im gleichen Takt ticken, die Ausrichtung der vorher bereits von den gleichen Kräften, die die Islamisten radikalisiert haben, radikalisierten Rechten war entgegengesetzt. Weiteres können Sie von Wissenschaftlern erfragen, die sich mit dem Verhalten von Flüssigkeiten und mit Meeresströmungen beschäftigen.

Was so ein 1-Bit-Chip tut, entscheidet allerdings der vergleichbare Riesencomputer in seinem Kopf, der auch ihn mit Grautönen feintunen kann, um das Tröpfchen an seinen Platz in der Welle anzupassen. Es gibt starke Parallelen zwischen Hirn, Gesellschaft und Quantenphysik: Unterschiedliche Meinungen, Realitäten, Zustände, Wahrheiten, die parallel existieren, immer wieder in potenzielle Zustände zerfallen, die nur lokal wahr sind, aber zu einer größeren, gemeinsamen Realität kollabieren können. Hier spielt Darwinismus eine Rolle, der Quantenkollaps der Paralleluniversen von Katze und Maus. In Wirklichkeit bildet die gemeinsame Realität ein Kompromiss, bei dem Masse und Energie der Beteiligten eine Rolle spielen: Macht ist Recht, der Stärkere hat einen größeren Einfluss auf das Ergebnis, als der Schwächere. Dennoch, was auch immer von der Maus übrig bleibt, geistert durch die Katzenwelt mit. Wiederum Feintuning durch einen Binärschalter, der eigentlich aus unzähligen, darwinistischen 0/1-Schaltern besteht, die im Magen der Katze wirken.

Dafür, dass in der Quantenwelt andere Gesetze wirken sollen, habe ich noch nie einen Beweis gesehen. Ich sehe nur, dass da die Zeit schneller fließt, was ja auch nach Einstein logisch ist: Wir haben die weitaus größere Masse, also dürfte eine Sekunde für uns viele Jahre, Jahrtausende, Jahrmillionen in der Quantenwelt sein. Ein Quantencomputer nützt die l a n g s a m s t e n Vorgänge der Zwergenwelt, denn die schnellen können wir kaum wahrnehmen – sie zerfallen in flimmernde Wellen, Wahrscheinlichkeiten, Möglichkeiten, die nur messbar sind, wenn sie anhalten. Also das Gleiche, was für Sie die Straße draußen ist – weil Sie zu wenig Informationen erhalten, können Sie nur alle nützen, die Sie zu Straßen allgemein haben, und die überlagern und vermischen sich, zeigen bloß den gemeinsamen Nenner: Siehe oben. Was auch immer auf der Schrödinger-Straße passiert – ich nehme an, Sie gehen nicht davon aus, wenn Sie den Karton aufmachen, bzw. aus dem Fenster gucken, wäre da der Amazonas, in dem kleine Marsmännchen nach Bürostühlen angeln. Sie haben eine so-ungefähr-Vorstellung aus gemeinsamen Nennern aller Straßen, einen Straßen-Algorithmus, mit dem Ihr Hirn alle Straßen der Welt verarbeitet, ob er sie sieht, kennt oder nicht.

Das anthropische Prinzip erklärt sich aus Darwinismus und Druckausgleich – alle Teilchen des Universums tun das, was wir tun: Versuchen, sich mit der Umwelt in Gleichgewicht zu halten. Haben Sie mehr Energie, platzen Sie, haben Sie weniger Energie, werden Sie zermalmt – all das lässt sich in Rein- und Mischform in der Gefühlswelt beobachten. Weil im Universum nichts überlebt, was sich nicht im Gleichgewicht halten kann, können nur Universen entstehen, die für alles darin so aussehen, als wären sie extra dafür geschaffen, dessen Existenz zu stützen. Dass sie zumindest eine Zeitlang stabil bleiben müssen, ist auch klar.

Alle Intelligenz dient der individuellen Anpassung eines Teilchens. In größeren Mengen geht sie stufenweise flöten, und muss von Urschleim auf neu konstruiert werden. Wenn ich mir unsere Staaten ansehe, beruhen sie auf einem Grundgedanken, der auch die ganze Evolution auslösen könnte: Lasst uns zusammenarbeiten, um ein größeres Teilchen zu bilden, das den Druck im Innern besser verteilt, sodass wir größere Schwankungen überleben können. Wie wir, alles im Universum, das Universum selbst, scheint ein Staat bloß eine Blubberblase in irgendeiner kosmischen Ursuppe zu sein. Die Blase besteht aus Blubberblasen und formt Blubberblasen, indem sich alles durch Kanäle vernetzt, die dem Druckausgleich dienen. Woraus bestehen die Kanäle wohl? Wenig überraschend – Blubberblasen. Und was schwimmt darin? Auch keine Überraschungen. Das Universum hat einen dicken Urknall, denn schließlich ist jede Blubberblase eine Explosion, die verlangsamt abläuft, und verhält sich wie das Universum als Ganzes.

Nun könnte ich behaupten, bloß weil der Mensch absolut nichts tut, was nicht alle andere Materie tun würde, heißt das noch lange nicht, dass sie genauso Bewusstsein und Gefühle hätte wie wir. Worauf Ockham mit dem Picard-Facepalm antworten würde. Wie wahrscheinlich ist das? Ohne Bewusstsein, keine Gefühle, keine Wahrnehmung, keine Aktivität: Kein Kraftfeld. Der Zustand 0 im Extrem, Schwarz ohne Graustufen, keine Gravitation, keine Strahlung, keine Wirkung, ein Klotz, der passiv vom Strom mitgetragen wird, die Schwarze Null, fleischgeworden als CSU. Jegliche Wirkung würde darin versinken, und nur daran könnte man es erkennen, der Sog würde einen Sarg gestauter Materie von unendlicher Dichte darum bilden, einen Spiegel, an dem alles abprallt, was das Universum, das Leben und der ganze Rest als Physik, Realität, Logik ansehen. Als würde man mit dem Söder reden: Ein Schwarzes Loch, verpackt in einen Spiegel, der einem sagt, was man gerade hören will, und nur als Hall durchlässt, was er hören will.

(Merke, die kosmischen Schwarzen Löcher dürften zu wenig Masse zur Verfügung haben, um einen festen Spiegel-Mantel zu bilden, aber alle Teilchen dürften eins in sich tragen. Ein Atom wäre dann schon ein Netzwerk Schwarzer Löcher, und damit wären mehrere Atome vielleicht ein ganzer Galaxienhaufen. Wie schnell würden Galaxien ticken, wenn wir sie so sehr verkleinern würden, wenn alle Strecken darin entsprechend kürzer würden? Wie schnell würden sie all ihre Schaltkreise schließen? So viel zur Zeitdilatation.)

Gefühle sind absolut – ich kann sie nicht weiter hinterfragen, sondern muss sie als feste Komponenten hinnehmen: Die Klötzchen waren im Lego-Baukasten Universum schon drin, und nichts im Baukasten erklärt mir, wo der Baukasten herkommt, auch wenn alles darin sinnvoll zusammenpasst. Und sie bewegen mich. Sie bewirken, dass ich die Materie um mich herum bewege, sie zu großen Massen auftürme oder mit ihr zu Wellen verschmelze. Ich habe absolut keinen Grund, anzunehmen, dass sich alle andere Materie von mir unterscheidet, bis auf die Tatsache, dass sie nicht mit mir redet. Doch dann wären so ziemlich alle heißen Frauen genauso tote Materie, wie ich für sie bin. Wieso sollte ich also annehmen, dass Gefühle und Bewusstsein, die Kräfte, die mich bewegen, nicht alles bewegen, das sich im Prinzip genauso verhält wie ich? Bei Ihren Mitmenschen funktioniert der Ansatz doch, selbst auf Hunde und Katzen lässt er sich übertragen. Weil ich mich selbst so toll finde? Ich kann mit dem Finger auf unzählige Arten vermeintlich toter Materie zeigen, die sich auch alle so verhalten, wie Leute, die sich selbst toll finden.

Es gibt im Grunde nur drei Arten von Bedürfnissen: Wir wollen Sicherheit, das bremst und bildet Massen, wir wollen Freiheit, das bewegt und verändert, was wir als Energie wahrnehmen, wir wollen Ruhe und Frieden, das schaltet das Ganze ab, bewirkt einen unendlichen Zerfall, sodass unendlich viel feingemahlene, instabile, zusammenhanglose Pampe entsteht, die wir als Raumzeit bezeichnen (die Wirklichkeit hat eine Stillstands-0 und eine Nichtsein-0, der Grund, warum die Computerwissenschaftler manchmal von 0 zählen, als wäre die Ziffer Null die Zahl 1, wir bringen zwei verschiedene Arten Null durcheinander, die sich aber auch öfter selbst durcheinander bringen). Im Grunde sollten wir also nicht vom Binär-, sondern vom Dreifach-Schalter sprechen: Menschen bewegen sich, bewegen sich nicht, oder sind nicht da, und spielen damit im Untoten-Limbus Wünsch-dir-was mit Schrödingers Katze. Ja, nein, vielleicht, +-0. Ihr Wille hängt davon ab, auf welchen Wunsch gerade der meiste Strom fließt. Strom ist Energie, die will was bewirken, aber es ist ihr egal, was. Insofern ist sie frei. Es ist Materie, die ihr feste Schalter, Aufgaben, Marionetten zum Spielen gibt. Und die Raumzeit – die Bühne, denn der Tod zerlegt alles Spielzeug in Lego-Steine, die Ursuppe, mit der ein neues Spiel beginnen kann, sodass die Zeit nie endet. Die Kräfte schließen einander aus, doch sie brauchen einander auch, um ihre Ziele zu verwirklichen, deswegen bleibt ihnen nur der ewige Machtkampf, das Kreisen um einen Kompromiss, den sie nie finden können. Yin und Yang und das Nichts dazwischen, oder eher, jede Kraft steht zwischen den beiden anderen, wie im Kreis so üblich.

Emergent heißt: Mehr Strom drauf = mehr Netzwerkbildung = ein gemeinsames Bewusstsein mit mehr Daten drin. Wirkt wie das, was jeder von uns erlebt, wenn er morgens aufwacht: Da taucht auch erst mal ein vages Etwas aus dem Nichts auf, das bereits bewusst ist, aber sonst nur Dunkelheit enthält, und erst stufenweise wird der Rest des Hirns dazu geschaltet. Strom weg, Hirn weg, Relax In Paradise, neues Madenfutter, altes Rezept, kennt man alles. Dennoch bleiben Energie und Masse erhalten – nur der Schalter klickt und geht auf Zerfall, das Netzwerk wird aufgelöst und von Schrödingers Laster über die Straße verschmiert, wobei die Katze lokal definitiv tot ist, sich aber global in potenzielle kleine Bröckchen und Tröpfchen auflöst, die alle ihrem eigenen Lebensweg folgen: Eine diffuse Wolke potenzieller Zustände, die aus unzähligen, sehr binären Quanten-Kollapsen bestehen. Ein Bewusstsein tot, viele lokale erwachen, das Katzengespenst wird im Tod mächtiger, als es als lebender Obi-Wan je war, deswegen wird der Geist von hungrigen Hunden aus der Materie befreit, der dann der Meute diffuser, schwacher, miauender Flüchtlinge eine Heimat bietet, falls sie sich integrieren können (falls nicht, geht's hinten raus, ins Moira-Klo oder zu Wagner). Kennt man auch alles aus der Psychologie, wo der Kollaps eines Netzwerks, das Herausbrechen aus dem hypnotischen Alltagstrott, dem Flow, den roboterhaften Kreisläufen, die viel zu selbstverständlich waren, um sie wahrzunehmen, als Aufwachen empfunden wird.

Anders gesagt, das Universum ist nicht so kompliziert, dass nicht bereits Menschen in der Zeit von Stein und Bronze das Rätsel nicht irgendwie geknackt hätten, einfach, indem sie es beobachteten und von sich selbst auf alles andere schlossen. Diese Teilerkenntnisse und begründeten Vermutungen sind in Religionen und anderen Hokuspokus hineingeflossen und mit irgendwelchem Quatsch vermengt, der den Priestern und Kaziken gerade in den Kram passte. Und auch die Wissenschaft kann nichts Anderes herausfinden. Im Grunde ist sie bloß eine Religion, die herausgefunden hat, wie das mit den Wundern geht. Wenn man vom Kindergarten in die Grundschule kommt, wird vieles von dem, was man sicher zu wissen glaubte, plötzlich sinnlos. Aber eben nicht alles. Wachsmalstift-Zeichnungen sind keine Physikbücher, aber Sonne, Häuser und Menschen verschwinden nicht aus der Realität, die sie abbilden.

Bringen Sie den üblichen Oh, Ah, Das kann nicht sein, mein Weltbild stürzt ein, also stürzt die Welt ein, ich werde wahnsinnig und wir müssen alle steeeerben! – Bullshit hinter sich, falls Sie's nötig haben, oder nehmen Sie's mit einem Schulterzucken hin, dann schalten Sie von Dualismus auf Animismus. Erst mal akzeptieren Sie die Möglichkeit. Den Dammbruch, der sie zur Wirklichkeit werden lässt, werden die Daten und die Logik bewirken. Und die Milch im Aldi wird davon nicht teurer, auch wenn es kein Zufall sein dürfte, dass beides korreliert. Kann aber auch die Physik erklären.

Die horizontal Kathete lautet BE, daher ist links zu korrigieren:

BC = √((BC)2 – (CE)2)

Es gibt einen einfacheren, schnelleren und eleganteren Lösungsweg:

xy = a⋅y ⋅ b⋅c/a⋅b ⋅ d⋅e/c⋅d ⋅ f⋅x/e⋅f = 2 ⋅ 3/1 ⋅ 4/2 ⋅ 6/3 = 2⋅3⋅2⋅2 = 24

Die hier gebrachte Definition des Begriffs mathematischer Konstante ist nicht die Allgemeinste (allerdings die Definition, welche z.B. auch auf mathworks oder dem deutschsprachigen Wikipedia-Artikel verwendet wird). Die Bedingungen, dass die Zahl reell und nicht-ganzzahlig ist, wird häufig weggelassen.

Aus dem Argument in Klammern bzgl. der Nicht-Ganzzahligkeit von mathematischen Konstanten kann man - sofern man dem Argument bzw. Begründung zustimmt - entweder folgern, dass alle rationalen Zahlen (welche nicht-ganzzahlig sind) nun mathematische Konstanten wären, oder aber mit einem (zu dem Argument bzgl. der Nicht-Ganzzahligkeit) analogen Argument zu dem Schluss kommen, dass eben alle rationalen Zahlen keine Konstanten sein könnten.

Der (Haupt-)Grund für das Ausschließen von Ganzen Zahlen in der Definition einer mathematischen Konstante (sofern dieses gemacht wird) ist eigentlich, dass man jeweils einfache Darstellungen der jeweiligen Zahlen (z.B. im Dezimalsystem) hat, so dass eine weitere Definition dieser Zahlen über eine Folge (oder (unendliche) Reihe) oder auf andere Art und Weise nicht nötig ist (und zwar auch dann nicht, wenn eine solche Zahl nun der Grenzwert einer wichtigen Folge oder Wert einer wichtigen unendlichen Reihe wäre - man spricht dann eher (nachdem man den Grenzwert bzw. den Wert ermittelt hat) nur davon, dass die Folge nun den Grenzwert hätte oder die Reihe den Wert hätte).

Die Einschränkung darauf, dass eine mathematische Konstante bitteschön reell sein sollte, liegt u.a. daran, dass man bei komplexen Zahlen diese näturlich - im Prinzip - in einen rellen Anteil und einen imaginären Anteil zerlegen kann (wobei auch bei den sogenannten Quanterionen, welche nur ein Schiefkörper, aber kein Körper, sind, solche Zahlen in andere Anteile zerlegen kann).

Danke für das nette Problem. Ich habe mir ein kleines Pythonprogramm geschrieben, welches alle Möglichkeiten durchgeht und damit die Zahl 169 (in Basis 10) und die dazugehörige Basis 4 für die Umkehrzahl als Lösung mit kleinster Basis gefunden, denn 961_{4}=9*16+6*4+1=169_{10}.
Zusätzlich hier noch die Liste aller möglichen Lösungen:
169 in Basis 10 = 961 in Basis 4
196 in Basis 10 = 691 in Basis 5
236 in Basis 10 = 632 in Basis 6
395 in Basis 10 = 593 in Basis 8
834 in Basis 10 = 438 in Basis 14
371 in Basis 10 = 173 in Basis 16
912 in Basis 10 = 219 in Basis 21
961 in Basis 10 = 169 in Basis 28
Liebe Grüße

Liebe Spektrum-Redaktion, liebe Frau Bischoff,

Ihr Artikel über Zero-Knowledge-Proofs (ZKP) stellt einige komplexe Sachverhalte aus der Berechenbarkeitstheorie anschaulich und verständlich dar. Ihre Beschreibung des Prinzips der ZKP, die ich selbst noch nicht kannte, fand ich einleuchtend und interessant zu lesen. Auch die Reduktion des 3SAT-Problems auf das Graphfärbungsproblem, welche eine klassische und sehr schöne Konstruktion auf diesem Gebiet darstellt, haben Sie anschaulich erklärt - und dabei gezeigt, dass Mathematik auch bunt und farbenfroh sein kann.

Allerdings ist Ihr Artikel durchzogen von einem fehlerhaften Leitmotiv über beweisbare mathematische Aussagen, und das Narrativ ist angetrieben von der Behauptung, jede solche Aussage ließe einen ZKP zu. Diese Behauptung ist leider völlig falsch. Sie entsteht, wie ich vermute, aus einer Verkettung einer größeren Zahl von Missverständnissen.

Das 3SAT-Problem ist die Aufgabe, für eine gegebene Konjunktive Normalform (CNF) mit dreistelligen Klauseln zu entscheiden, ob diese erfüllbar ist. Hier ist schon die erste Hürde: *Erfüllbarkeit* bedeutet, dass eine Belegung der vorkommenden propositionalen Variablen x_1, x_2, ... mit "wahr" und "falsch" *existiert*, sodass die Formel unter dieser Belegung zu "wahr" ausgewertet wird. "Beweisbarkeit" oder "Gültigkeit" einer Formel ist leider etwas anderes:
Eine Formel ist gültig, wenn sie *unter jeder möglichen Belegung* der Variablen zu "wahr" auswertet. Der Satz "Gibt es eine geeignete Kombination von »wahr« und »falsch« (beziehungsweise 1 und 0), dann ist die Aussage korrekt – und somit auch bewiesen (es liegt kein Widerspruch vor)." aus dem Artikel ist somit falsch. Leider werden die Begriffe Erfüllbarkeit und Beweisbarkeit hier nicht voneinander abgegrenzt und fälschlicherweise gleichgesetzt.

Anschließend wird das Erfüllbarkeitsproblem auf das Graphfärbungsproblem reduziert. Mit der vorhergehenden Beschreibung des ZKP für eine bestehende Färbung erhält man damit die Existenz eines ZKP für die Erfüllbarkeit jeder erfüllbaren CNF. Dank der NP-Vollständigkeit von 3SAT liefert das gleichzeitig auch die ZKP-Eigenschaft für jede Sprache in der Komplexitätsklasse NP. Das alleine ist schonmal eine bemerkenswerte Eigenschaft.

An dieser Stelle jedoch wird der Artikel sehr überenthusiastisch.
Zum Einen ist da das Problem Erfüllbarkeit vs Beweisbarkeit/Gültigkeit. Das Gültigkeitssproblem lässt sich tatsächlich mit dem Erfüllbarkeitsproblem in Beziehung bringen: Eine Formel in klassischer Aussagenlogik ist gültig genau dann, wenn ihre Verneinung *unerfüllbar* ist. Damit ist Gültigkeit also praktisch das Gegenteil des Erfüllbarkeitsproblems - beziehungsweise sein Komplement. Man sagt, Gültigkeit liegt in der Komplexitätsklasse CoNP der Probleme, deren Komplemente in NP liegen. Wir erhalten also keineswegs die ZKP-Eigenschaft für alle beweisbaren Aussagen - nur für die erfüllbaren.

Das Problem mit der Behauptung "Alle beweisbaren mathematischen Aussagen hätten einen ZKP" ist allerdings noch wesentlich größer. Es hängt an der folgenden Aussage über CNFs aus dem Artikel:
"Tatsächlich lässt sich jede mathematische Aussage in die folgende Form übertragen: (a1 ∨ b1 ∨ c1) ∧ (a2 ∨ b2 ∨ c2) ∧ … ∧ (an ∨ bn ∨ cn)".
Auch diese Aussage ist leider falsch.
Sie ist korrekt für Aussagen in klassischer Logik, welche lediglich aus Und-, Oder- und Nicht-Verknüpfungen von absoluten Atomaraussagen bestehen. Dieser Formalismus ist allerdings bei Weitem nicht ausreichend, um mathematische Aussagen in voller Allgemeinheit zu formulieren.

Denn um Mathematik in ihrer vollen Schönheit zu betreiben, braucht es die Möglichkeit, die Welt, die darin existierenden Objekte, und deren Relationen untereinander zu beschreiben. Dafür braucht man unter anderem formale Mittel, um Aussagen der Art "Für alle Objekte einer Art gilt..." oder "Es existieren Objekte, für die gilt..." zu formalisieren. Dies führt zur wesentlich mächtigeren Prädikatenlogik (erster Stufe), in deren Kern Variablen stellvertretend für Objekte stehen, und die atomaren Aussagen Prädikate sind, welche Variablen gewisse Eigenschaften attestieren. Darüberhinaus gibt es die Quantoren ∀ (für alle) und ∃ (es existiert), welche diese Variablen binden. Diese Prädikatenlogik bildet tatsächlich den Rahmen, in dem (fast) die gesamte moderne Mathematik gewebt wird.

Prädikatenlogische Aussagen lassen sich allerdings im Allgemeinen *nicht* auf die im Artikel beschriebenen CNFs reduzieren. Tatsächlich wäre das fatal und im Widerspruch zu der zentralen Erkenntnis, dass die Prädikatenlogik unentscheidbar ist - kein Computer kann jemals für alle möglichen solchen Aussagen entscheiden, ob sie wahr oder falsch sind.

Leider untergräbt dies auch das Leitmotiv des ZKP für die Riemann'sche Vermutung, welches sich durch den Artikel zieht. Denn diese Vermutung ist natürlich eine Aussage in Prädikatenlogik erster Stufe:
∀z ∈ C.ζ(z) = 0 ⇒ z ∈ −2N ∨ Re(z) = 1/2.
Als solche kann sie nicht in eine Konjunktive Normalform in klassischer Logik überführt werden, und ein ZKP lässt sich (mit den Argumenten des Artikels) nicht finden.

Ich möchte mich an dieser Stelle dafür entschuldigen, dem Artikel ein wenig das Rückgrat gebrochen zu haben. Gerade die theoretische Informatik wird gerne als sehr trocken und abstrakt wahrgenommen, und daher möchte ich Ihnen dafür danken, dass Sie sich die Mühe machen, diese Themen für ein breiteres Publikum aufzuarbeiten.

Mit freundlichen Grüßen,
Frederik Hennig

Die Rätselfrage hätte vielleicht lauten können, ob das Spiel fair ist? Bei Einsatz von 1€ ist der erwartete Gewinn abzgl. Einsatz: 2/21*9€-1€=-1/7€<0. Das Spiel ist also ein Verlustgeschäft für den Spieler.

Ein Zufallsspiel muss nicht notwendigerweise durch einen mathematischen Algorithmus (deterministisch) gesteuert werden. Das zeigen der Würfel, das Glücksrad oder das Roulett. Auch elektrische Vorgänge können praktisch nichtdeterministisch sein. In all diesen Fällen hat man grundsätzlich das Problem, dass das Zufallsexperiment schwer oder gar nicht auf seine Eigenschaften hin untersucht werden kann oder sich diese im Laufe der Zeit ändern (Verschleiß, Alterung). Auch mathematische Generatoren von Pseudozufallszahlen können schwere Fehler aufweisen (Forsythe, Malcolm, Moler: Computer Methods for Mathematical Computations, 1977).

Das geht einfacher und schneller:
- 8 Unbekannte und 7 Gleichungen d.h. eine Unbekannte kann als freier Parameter verwendet werden
- Setze also y = 1 und folge den weiteren Gleichungen
- Endet dann bei x = 24 und somit x * y = 24

arbeite den Kreis gegen den Uhrzeigersinn ab beginnend mit
fx=6, erweitern mit e ergibt links ef, was nach nächster Gleichung 3 ist,d.h.
3x=6e, erweitern mit d ergibt rechts de, was nach nächster Gleichung 4 ist, d.h.
3dx=24, erweitern mit c ...
6x=24c, erweitern mit b ...
6bx=24*3, erweitern a ...
6x=24*3a, erweitern mit y ...
6xy=24*3*2, ergo
xy=24

Auch ich kann mit dem Rätsel nicht viel anfangen, denn meiner Meinung nach sind zwei Schritte notwendig:
1) Finden einer passenden Folge - da habe ich keine Ahnung, wie mand das außer durch Raten und Probieren bewerkstelligen soll (da fehlt es mir an einer wohlüberlegten Vermutung), auch Schummeln half nicht (selbst bei den in der
On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®) zur Verfügung stehenden Folgen konnte ich weder für die angegebenen Folge noch für eine mit den deren Quadratwurzeln etwas annähernd ähnliches finden - vielen Dank an Manon Bischoff - nicht nur - für den Artikel Auf der Suche nach der langweiligsten Zahl der Welt!)
2) Beweis, dass es keine andere Folge gibt, die an einer anderen Stelle eine Abweichung hat (denn es wurde nur nach der Stelle und nicht nach der Folge gefragt).
Aber ich freue mich, dass verschiedene Arten von Rätseln gezeigt werden, da kann dann gern etwas dabei sein, womit ich nichts anfangen kann. Vielen Dank!

ZKP(Beweis ohne Information) baut sich auf Operation der Logik.
Die binäre Logik untersucht eine Aussage in Bezug auf die Operationen der binären Logik, ohne es zu wissen, ob die Aussage entweder wahr oder falsch ist. Die Frage ist, ob es eine Aussage gebe, die ständig wahr ist.
Ist eine Aussage atomar, kann die binäre Logik den Inhalt der Aussage nicht bestimmen. Es bleibt weiterhin zwei Möglichkeiten (entweder wahr oder falsch). Dieser Fall entspricht dem Münzenwurf, der sich mit der Riemannschen Vermutung verbinden lässt.
Ist die Aussage nicht atomar, so wird der Inhalt durch die Elementen (atomare) der Aussage und die zu der Aussage gehörenden logischen Operationen bestimmt.
Sei eine Aussage=a oder nicht a. Diese Aussage wird immer wahr sein. Jede Aussage kann in diese Form umschrieben werden. Hier sagt damit die binäre Logik, dass alles (auch Beweis, der keinerlei Information überliefert) beweisbar ist. Aber das ist ein falscher Weg, den auch die Vertreter des ZKP begehen. Denn die Logik liefert lediglich nur die Möglichkeit, aber sie ist wohl kein Beweis, sondern nur ein möglicher Argument.

Die Riemannsche Vermutung basiert auf wahre mathematische Ergebnisse, damit ist die binäre Logik nicht fähig es zu beweisen, dass die Vermutung beweisbar ist.

Die binäre Logik hat ihre Stärke natürlich. In den Bereichen, wo eine Lösung zwei Ergebnisse (zum Beispiel digitale Sprache, Kriminologie, usw.) liefern kann. Anders formuliert: Fallen die Operationen der binären Logik mit der mathematischen Operationen zusammen, dann ist die Logik fähig die mathematische Aussage zu beweisen.

Eine Aussage ist entweder wahr(grün) oder falsch(rot). Wo kommt die neutrale Aussage(blau) her?
Die Fachleute sollten mal am Ausgangspunkt der binären Logik bleiben und nicht so machen, als die binäre Logik drei Möglichkeiten hätte.
Eine Aussage A ist entweder wahr oder falsch. Werden n Aussagen mit dem Und verbunden, dann reicht eine falsche Aussage unter n aus, dass die zusammengesetzte Aussage falsch ist.
Werden N Aussagen mit Oder verbunden, dann reicht eine wahre Aussage aus, dass die zusammengesetzte Aussage wahr ist.
Nimmt man zu n eine neutrale hin, dann wird durch oder wahr sein.
Das nenne ich eine Pseudowissenschaft.
Ganz anders wäre das Problem, wenn man gleich am Anfang für eine Aussage drei Möglichkeiten annimmt.
Mit der neutralen kann das Und nichts anfangen. Aber das Oder ja, wenn die andere Aussage nicht neutral ist.
Hier aus folgt: eine beweisbare Aussage kann in drei Farben nicht umschrieben werden. Denn: Ist eine Aussage beweisbar, dann hat sie in sich keine elementare Aussage, die neutral ist.
Für die Wissenschaft ist "eine gefährliche Spiel", wenn man ohne Begründung zwei Möglichkeiten mit drei Möglichkeiten interpretiert.
Bemerkung: Ich kann gut verstehen, dass man alles erklären will. Aber, was man momentan nicht erklären kann, ist neutral.
Ein Beispiel, wie es gefährlich sein kann, wenn man mit den Und und Oder "herumspielt":
Angenommen man hat n Messwerte. nach den Messwerten wurde eine Formel angegeben.
A.) Sei ein Messwert falsch. Man verbindet die Werte mit Und, dann wird die Formel falsch. Mit dem Oder richtig.
B.) Sei ein Messwert richtig. Man verbindet die Werte mit Und, dann ist die Formel falsch. Mit dem Oder richtig.
Sicher, die Statistik funktioniert nicht nach diesem Gedanken, aber ich mag darauf hinweisen, dass man mit den Aussagen in Bezug auf die binären Operationen nicht alles erklären, beweisen, darstellen, usw. kann.

Der Residuensatz und der erstaunlich einfache Umgang mit komplexen Polstellen wäre mal interessant.
Im Übrigen ist der o.a. Artikel sehr gut aber für Normalbürger wahrscheinlich schwer verständlich, da sie die Gruppenaxiome und Ringe etc.nicht kennen.. Als Werkstoffwissenschaftler sind für mich natürlich Symmetriegruppen interessant, wie die 32 Kristallklassen. Für jeden Bürger sind die Galoisgruppen und Körpererweiterungen in der modularen Arithmetik wichtig. Sie sind die Basis der modernen Kryptographie.