Wie ordnet man viele gleich große Kugeln möglichst dicht dreidimensional an? Obsthändler lösen das Problem täglich, wenn sie ihre Orangen zu eindrucksvollen Pyramiden aufschichten. Logischerweise wird man versuchen, jede neue Kugel so dicht wie möglich an den bereits vorhandenen Haufen anzulagern. Man legt also die zweite direkt neben die erste und fügt die dritte so an, daß sie die beiden anderen berührt; die Kugelmittelpunkte bilden dann ein gleichseitiges Dreieck. Nach diesem Muster läßt sich mühelos die gesamte Tischfläche bedecken – kein Wunder, denn man kann die Ebene lückenlos mit gleichseitigen Dreiecken pflastern.

Auf diese erste Lage schichtet man eine zweite, gleichartige; deren Kugeln legen sich wie von selbst in die Lücken, die je drei Kugeln der unteren Schicht lassen (Bild). Nur wer genau aufpaßt, merkt, daß jede zweite dieser Lücken frei bleibt; es gibt gewissermaßen schwarze (gefüllte) und weiße (freie) Lücken, die sich in dem Dreiecksmuster schachbrettartig abwechseln. In die Lücken der zweiten Schicht – entweder in die weißen oder in die schwarzen – legt man die dritte, und so weiter. Da man sich bei jeder Schicht aufs neue für schwarz oder weiß entscheiden kann, gibt es unendlich viele gleichberechtigte Anordnungen dieser Art.

Eine Packung von Kugeln kann natürlich den Raum niemals so vollständig ausfüllen wie ein Stapel von Würfeln – zwischen den krummen Kugeloberflächen bleiben zwangsläufig immer gewisse Zwickel frei. Bei der beschriebenen Anordnung beträgt der von den Kugeln ausgefüllte Anteil des Gesamtvolumens p/SQRT18; das sind immerhin 74,048 Prozent.

Daß es nicht besser geht, hat der Mathematiker und Astronom Johannes Kepler, besser bekannt für seine Gesetze der Planetenbewegung, schon 1611 vermutet. Nur konnte er es nicht beweisen – und Generationen von Mathematikern nach ihm ebensowenig. Damit hat dieses Problem den Lösungsversuchen der Fachleute sogar etwas länger widerstanden als die ungleich berühmtere Fermats