Geometrie: Leben in 10 000 Dimensionen

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Geometrie: Leben in 10 000 Dimensionen

Die mathematischen Formeln sind dieselben wie in unserem gewohnten Raum. Aber wenn man 10 000 verschiedene Richtungen zur Verfügung hat, die sämtlich aufeinander senkrecht stehen, kommen statistische Effekte ins Spiel – mit den merkwürdigsten Folgen.

von Christoph Pöppe

n-Dimensionen — © Christoph Pöppe (Ausschnitt)

Durch einen Allerweltsfehler (n² statt 2ⁿ gerechnet) habe ich die Sache wesentlich weniger dramatisch dargestellt, als sie ist: Auf S. 77, 2. Spalte oben, muss es nicht 100 Millionen, sondern ungefähr 10³⁰⁰⁰ heißen: eine aberwitzig große Zahl. Dank an Ulysse Keller für den Hinweis.

Wer zum ersten Mal im Leben in einen vierdimensionalen Raum gerät, fühlt sich unweigerlich etwas unwohl – selbst wenn es nur in der Fantasie ist. Vier Koordinatenachsen, die alle aufeinander senkrecht stehen, überfordern eben doch das Vorstellungsvermögen. Unübersichtlich ist es dort auch. Dass sich zwei Leute mehr als einmal im Leben per Zufall begegnen – auf der zweidimensionalen Erdoberfläche ein häufiges Ereignis –, kommt in vier Dimensionen praktisch nicht vor. Und wehe, man lässt seine Brille liegen! Die ist kaum wiederzufinden, weil man so viele Richtungen zum Suchen zur Auswahl hat.

Hat man sich aber erst einmal daran gewöhnt, fällt der Übergang in den fünfdimensionalen Raum nicht mehr schwer. Die vielen ungewohnten Phänomene sind im Wesentlichen dieselben, nur schlimmer. ...

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Quellen

Halevy, A.: Old Tails and New Trails in High Dimensions. In: The College Mathematics Journal 44, S. 48 - 52, 2013

Hopcroft, J., Kannan, R.: Foundations of Data Science. Buch in Vorbereitung, vorläufige Fassung unter http://www.cs.cornell. edu/jeh/NOSOLUTIONS90413.pdf

Matoušek, J.: Lectures on Discrete Geometry. Springer, New York 2002. Darin Kapitel 13 "Volumes in High Dimension" und 14 "Measure Concentration and Almost Spherical Sections"; Liste von Korrekturen unter http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/dg-err.html

Achlioptas, D.: Database-friendly Random Projections: Johnson-Lindenstrauss with binary coins. In: Journal of Computer and System Sciences 66, S. 671 - 687, 2003

Dasgupta, S., Gupta, A.: An Elementary Proof of a Theorem of Johnson and Lindenstrauss. In: Random Structures & Algorithms 22, S. 60 - 65, 2003

Busemann, H., Petty, C. M.: Problems on Convex Bodies. In: Mathematica Scandinavica 4, S. 88 - 94, 1956

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