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Hallo,
danke für die immer wieder interessanten Rätsel.

Für dieses Rätsel gibt es jedoch eine, wie ich finde, sehr viel einfachere und "geschicktere" Methode herauszufinden, ob ein Punkt innerhalb oder außerhalb der geschlossenen Linie liegt.

Man starten außen und bewegt sich auf den Punkt zu den man prüfen möchte. Dabei zählt man, wie oft man die Linie überquert bis man den Punkt erreicht. Bei einer ungeraden Anzahl liegt der Punkt auf der anderen Seite, also innen. Bei einer geraden Anzahl auf der selben Seite, also außen. Der gewählt Weg zum Punkt ist hierbei völlig egal, da man mit jede Überquerung der Linie zwangsläufig die Seite wechselt.

Viele Grüße
Johannes

Die ganze Figur gedanklich (oder gar real) einzufärben erscheint mir etwas aufwändig, daher habe ich einen anderen, für mich schnelleren Lösungsweg gewählt.

An jeder Linie ist eine benachbarte Fläche innerhalb und die andere außerhalb der Fläche.
Daraus folgt*: wenn ich von einem Punkt der sicher außerhalb der Fläche ist (zum Beispiel dem Bildrand) zu einem Punkt X komme, dann ist X genau dann innerhalb der Fläche, wenn die Anzahl der Linien die ich dabei überquere ungerade ist. Bei gerader Anzahl überschrittener Linien ist X außerhalb der Fläche.

Damit lässt sich dann sehr schnell folgern:
P1: außerhalb, da 4 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach rechts geht.
P2: innerhalb, da 3 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach rechts geht.
P3: außerhalb, da 2 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach unten geht.
P4: innerhalb, da 3 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach oben geht,
P5: innerhalb, da 1 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach unten geht.

Die Richtungen habe ich jeweils unter der Prämisse kürzester Weg gewählt (um Zeit zu sparen), aber alle Richtungen hätten das gleiche Ergebnis erzeugt.


*= wer die Folgerung nicht intuitiv findet, dem sei hier ein Beweis per vollständiger Induktion über alle natürlichen Zahlen und Null skizziert.

Induktionsanfang:
Wenn X mit 0 Überschreitungen einer Linie von außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche (gilt nach Definition)

Induktionsschritt:
Sei n eine gerade natürliche Zahl oder 0.

Induktionsvoraussetzung:
Wenn X mit n Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche.

⇒ Wenn X' mit n+1 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist es durch eine Linie von einem X getrennt, dass mit n Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist. Da diese Linie zwischen Außen und innen trennt und X außen ist, ist X' dann innen.
⇒ Wenn X'' mit n+2 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist es durch eine Linie von einem X getrennt, dass mit n+1 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist. Da diese Linie zwischen Außen und innen trennt und X' innen ist, ist X'' dann außen.

Induktionsbehauptung:
Wenn X mit n+2 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche.

Auch wenn die Induktionsbehauptung sich nur auf gerade n bezieht, wurden die ungeraden n in der Induktion effektiv mit abgehandelt (als n+1)

Guten Morgen,

Ich habe meiner Meinung nach eine andere Lösung gefunden.
Eine Welle! Sie würde von der Seite wir eine umgedrehte Schüssel aussehen. Ist meine Lösung falsch? Oder habe sie sich für die Darstellung von nur einer Lösung entschieden?

Beste Grüße

Die "Knickkante" müsste in der Draufsicht zu sehen sein. Da das nicht der Fall ist, ist die Seitenansicht gleich der Vorderansicht.

Sehr geehrte Damen und Herren, könnte man nicht einfacher Hemmes mathematische Rätsel vom l22.07.2022 als horizontalen Schnitt einer

durch eine Kugel betrachten? : Dann würde das Objekt von der Seite genauso aus wie von vorn aussehen. . Oder denke ich hier zu "trivial"? Beste Grüße, Thomas Mück
:
Wie sieht das Objekt von der Seite aus?

Prinzipiell kann aus Draufsicht und Vorderansicht nicht eindeutig auf die Seitenansicht geschlossen werden. Das Objekt könnte u.a. auch wie die Schnittkurve einer T-Durchdringung zweier Zylinder gleichen Durchmessers aussehen und damit ist das Objekt (Schnittlinie) überall stetig (keine Knickstellen) und die Seitenansicht ähnelt einer Cosinuskurve (von -π bis +π).

Entschuldigung, ich meinte die Vorderansicht.

Die Seitansicht ist falsch, da fehlt der gerade Strich zwischen den beiden Endpunkten

Nichts in der Aufgabenstellung erzwingt den 90°-Knick. Die Seitenansicht kann genauso gut auch z.B. die um 180° gedrehte Vorderansicht sein.

Hallo Herr Hemme ::

Dat Teil ( die alternative ) is nicht geknickt: Sondern in der Seitensansicht ne Gerade >( links unten nach rechts oben).
Also ne Ellipse die 45 ( + / - ) Grad im Raum steht.

Dann gibt es vielleicht noch " unendlich viele Ellipsen " !?

Wie hiess das noch ? Is 35 " Äonen her ".

" Wenn E hoch J Phi i eine Lösung ist, dann hat man unendlich viele Lösungen ? " ... irgedwatt mit sin phi und cos phi ( // sagte mein Mathe proff // ) auch Lösungen ...

Ist aber nur ne " Rätsel- " Vermutung ...

Mfg juergen

Ich hätte dann in der Draufsicht auch noch eine Linie in der Achse. Die Seitenansicht müsste die vorderansicht um 180 Grad gedreht sein.wenn ich mich nicht irre

Wieso muss das Objekt geknickt sein? Die Drahtschlinge könnte doch zB auch, ähnlich wie ein Sinus, auf und ab gehen, ohne abzuknicken. Oder kann man die Eindeutigkeit beweisen, weil man den perfekten Halbkreis und den perfekten Kreis so nicht erreichen könnte?

Ich habe mit großem Interesse den wirklich guten Artikel "Primzahltest: Wie erzeugt man eine illegale Primzahl?" von Manon Bischoff gelesen. Leider ist der kleine Fermatsche Satz etwas schlampig wiedergegeben. Die allg. Version besagt, dass für eine beliebige ganze Zahl a und eine beliebige Primzahl p a^p kongruent zu a modulo p ist. Die im Artikel verkürzte Fassung (die nichts anderes aussagt, dass a^(p-1) kongruent zu 1 modulo p ist) gilt nur, wenn a kein Vielfaches von p ist!

Sie scheinen die Serie Numbers nicht zu kennen. Dort wurden mit Hilfe der Mathematik Kriminalfälle gelöst. In den ersten Staffeln wurden die Lösungsansätze tatsächlich relativ häufig ausführlich erklärt und visualisiert.

Ludwig Knoblauchs Kritik ist nur dann berechtigt, wenn man die Bedingung, dass "A, B, C, D und E fünf verschiedene Ziffern" sein sollen, bewusst lax auslegt. Wenn man es so versteht, dass alle fünf Ziffern jeweils paarweise verschieden sein sollen, dann gibt es entweder eine oder drei Lösungen.

Denn es geht aus der Aufgabe tatsächlich nicht klar hervor, ob auch die Umkehrzahl eine echte fünfstellige Zahl sein muss, oder ob eine führende 0 erlaubt ist. Im letzteren Fall gibt es zusätzlich zu 87912 die weiteren Lösungen 65340 und 87120. Um mir logisches Kopfzerbrechen (und ein mögliches Scheitern damit ...) zu ersparen, habe ich mit einem einfachen Script alle fünfstelligen Zahlen durchprobiert.