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Im oben genannten Artikel heißt es:
"Lässt man zusätzlich zu den rationalen Zahlen auch irrationale Werte wie die Wurzel aus minus zwei ... "
Das ist nicht korrekt.
Irrational ist der Wert nur bei positiven Werten unter der Wurzel, z.B. bei plus zwei - die Wurzel aus einer negativen Zahl gehört grundsätzlich zu den komplexen Zahlen.
Vielen Dank Frau Bischoff für diese leichtgängige Einführung in die Unendlichkeiten. Eine Kleinigkeit würde ich noch ausräumen, die vielleicht nicht auffällt, aber auch nicht nötig ist. Die i-te Ziffer der i-ten Zahl kann nicht einfach um 1 erhöht werden, wenn sie 9 ist. Man müsste dann die 0 nehmen (i.e. modulo 10 rechnen). Eine Veränderung der i-ten Ziffer erreicht man auch, indem man die Ziffer mit 4 ersetzt, falls sie 5 ist, und in allen anderen Fällen (d.h. die Ziffer ist nicht 5) ersetzt man sie durch 5.
Hallo,
man kann die z.T. kuriosen Ergebnisse der Logik und Mathematik zur Kenntnis nehmen und akzeptieren - oder wie ich zum Anlass nehmen, das Gebäude von Grund auf zu sanieren.
Konkret habe ich mir eine neue Aussagenlogik überlegt, die die Paradoxa und Probleme der klassischen Logik nicht mehr aufweist
(wie z.B. das Begründungstrilemma, den Lügnersatz, die Cantorsche Diagonalisierung, die Gödelschen Unvollständigkeitssätze, das Halteproblem der Informatik).
Der Trick dabei ist der Mathematik entlehnt: Ich füge der Logik einen Parameter / eine Dimension hinzu, wie dies bei der Einführung der komplexen Zahlen als Erweiterung der reellen Zahlen gemacht wird und damit alle Gleichungen damit lösbar werden.
Die Logikerweiterung zur "Stufenlogik" ist sogar einfacher, da als Erweiterung nur diskrete "Stufen" = 0,1,2,3, ... benötigt werden.
Ein sehr ähnliches Modell hat 20 Jahre vor mir schon Professor Ulrich Blau bei der Konstruktion seiner "Reflexionslogik" benutzt, nur dass er sich auf selbstbezügliche Sätze (wie z.B. den Lügnersatz) beschränkt hat.
Zentral ist bei meiner "Stufenlogik" die "Stufenhierarchie": Eine Aussage über Eigenschaften in Stufe k sind erst in Stufen >= k+1 möglich, Stufen sind für sich selbst und größere "blind".
In Stufe 0, der kleinsten Stufe, sind alle Aussagen/Eigenschaften "unbestimmt" (=u), generell ist die Stufenlogik dreiwertig mit w,u,f.
Aussagen haben nur in Verbindung mit einer Stufe einen Wahrheitswert,
und in verschiedenen Stufen können sie auch (ohne Widerspruch) verschiedene Wahrheitswerte annehmen.
Bei Widerspruchsbeweisen (wie z.B. der Cantorschen Diagonalisierung) führt die Stufenhierarchie dazu, dass kein Widerspruch mehr auftritt,
da unterschiedliche Stufen verwendet werden.
Mit Stufenlogik lässt sich auch eine einfachere Mengenlehre als ZFC definieren, in ihr ist z.B. die Menge aller Mengen eine (Stufen-)Menge und es gibt nur abzählbare Mengen (z.B. die reellen Zahlen sind hier abzählbar).
Insgesamt schon überraschend, was sich alles vereinfacht, wenn man die zugegeben etwas sperrige Stufenlogik verwendet.
Und das Ganze muss nicht nur Theorie bleiben:
Da einige Primfaktorzerlegungen von der Stufe abhängig sein könnten,
könnte man mit einem (hinreichend großen) Computer ein Experiment zu Stufen durchführen:
Man bestimmt zu einem Zeitpunkt t1 (=Stufe k1) die Faktoren einer Zahl N1.
Und zu einem Zeitpunkt t2= t1+ 1 Woche (=Stufe k2) erneut die Faktoren von N1. Mit etwas Glück sind die Faktoren von der ersten Messung verschieden,
was die klassische Arithmetik nicht erklären könnte.
Dass ein Zeitabstand von 1 Woche ausreicht, um zu einer anderen Stufe k2 als k1 zu kommen, liegt daran, dass ich vermute dass jede makroskopische Wechselwirkung (z.B. Händeklatschen) im Universum nicht-lokal die Stufe erhöht.
N1 muss aber wohl astronomisch groß sein, sonst hätten wir die unterschiedlichen Zerlegungen schon längst bemerkt.
Überhaupt gilt, dass die meisten Eigenschaften unserer Menschenwelt nicht stufenabhängig sind (Ausnahme Unendliches, Selbstbezügliches), daher nehmen wir im Alltag die Stufen gewöhnlich nicht wahr.
Laut Aufgabenstellung gilt nicht zwingend a ≠ b. Daher muss dieser Fall zwingend zusätzlich betrachtet werden. Natürlich ist dieser Fall trivial, denn in diesem Fall sind die beiden Terme (x-a)/b und (x-b)/a für alle x identisch (Für a = b ≠ 0).
Dennoch springt jedem Mathematiker beim letzten Rechenschritt
x⋅(a-b) = (a-b)⋅(a+b)
==> x = a+b
sofort ins Auge, dass dieser Schritt nur für a ≠ b gültig ist, da ansonsten bei diesem Rechenschritt durch 0 dividiert wird.
Dementsprechend sollte jeder Mathematiker an dieser Stelle einen entsprechenden Hinweis geben.
Guten Morgen Frau Bischoff,
mit Interesse habe ich Ihre Kolumne gelesen und finde sie sehr gelungen.
In einem Satz möchten Sie die Menge der diskutierten Zahlen über die rationalen Zahlen hinaus erweitern und führen als Beispiele für irrationale Zahlen die Wurzel aus -2 an. Das ist nicht unbedingt falsch, aber irreführend, weil die Wurzel aus -2 nicht nur irrational sondern auch imaginär ist.
Gemeint haben Sie sicher die Wuzel aus 2 (die gnügt ja als Beispiel).
Viele Grüße
Niklas Peinecke
Es ist nur ein kleines Detail. Nachdem die Summe der vier Gleichungen vorliegt, steht unter der geschweiften Klammer K. Da die Klammer den Term -b - gr - r - ge umfasst, ist das allerdings gleich -K. Und damit ergibt dann 4k + (-K) auch 3K.
Das Diagonalargument kann kein Beweis sein, da es vorraussetzt, daß die Anzahl an Stellen gleich der Anzahl von Werten ist! Für 2 Stellen im Dezimalsystem gib es 100 Werte, es können jedoch nur 2 Werte nach dem Diagonalarbument eingetragen werden.
Wendet man das Diagonalargument auf natürliche Zahlen an, "wären" die laut Ergebnis auch unabzählbar.
Als Alternative kann man sich alle Natürlichen Zahlen auf einer unendlichen Liste vorstellen und dann vor jeden Eintrag ein "0," setzen.
Die natürlichen Zahlen sind lückenlos und damit ist auch der Bereich hinter dem Komma lückenlos und damit abzählbar !
Hallo Fr. Bischoff, ich habe einige Anmerkungen zu dem schönen Artikel (Stand: 23. Juni 2023):
1. "Lässt man zusätzlich zu den rationalen Zahlen auch irrationale Werte wie die Wurzel aus minus zwei, Pi oder die Chaitinsche Konstante zu ..." Statt "minus zwei" ist hier wohl "zwei" gemeint.
2. "Erstes Diagonalargument von Cantor | Man kann alle rationalen Zahlen auflisten, indem man den Pfeilen folgt und alle unechten Brüche ignoriert." Das Bild zeigt nicht die Auflistung ALLER rationalen Zahlen, sondern nur eine der POSITIVEN rationalen Zahlen.
3. "Dabei handelt es sich um einen Widerspruchsbeweis: Man beginnt mit der Annahme, es gäbe abzählbar unendlich viele reelle Zahlen und ..." Diese Formulierung reicht nicht; es muss heißen: "... es gäbe NUR abzählbar viele reelle Zahlen ...".
4. Bei der Beschreibung des zweiten Cantorschen Diagonalarguments:
4a. Es ist nicht definiert, wie zu verfahren ist, wenn die um 1 zu erhöhende Ziffer den Wert "9" hat, denn "10" ist ja keine Ziffer. Man muss hier wohl die 0 nehmen, aber das steht nicht da.
4b. Es wird behauptet, dass die konstruierte Zahl "irrational" ist. Das ergibt sich nicht direkt aus der Konstruktion; es ist aber auch völlig irrelevant. Es genügt, dass die konstruierte Zahl wieder eine reelle Zahl ist.
4c. Der Beweis drückt sich um die Tatsache herum, dass die Darstellung reeller Zahlen als unendlicher Dezimalbruch nicht ganz eindeutig ist. Zum Beispiel stellen die beiden folgenden verschiedenen Folgen dieselbe reelle Zahl dar:
0,4999999...
0,5000000...
5. "Die neun Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (zusammen mit dem Auswahlaxiom) genügen, um die uns bekannte Mathematik aufzubauen." Es sind in Wirklichkeit unendlich (!) viele Axiome, da die sogenannten Assonderungs"axiom" und Ersetzungs"axiom" in Wirklichkeit Schemata, sind, aus denen sich unendlich viele Axiome durch Einsetzen in das Schema ergeben.
6. "Oder das Paarmengenaxiom, wonach zwei Mengen mit denselben Elementen gleich sind." Was hier beschrieben wird, ist nicht das Paarmengenaxiom, sondern das Extensionalitätsaxiom. Das Paarmengenaxiom selbst besagt, dass es zu zwei Mengen eine neue (Paar-)menge gibt, die genau die beiden vorherigen als Element enthält.
In Ihrem Artikel schreiben Sie u.a.:
Egal, wie nahe sich zwei Punkte sind, zwischen ihnen kann man einen weiteren Punkt ausmachen, der für eine reelle Zahl steht. Und diese Kontinuität verhindert, dass sich die reellen Zahlen auflisten lassen.
Dies ist nun keinesfalls eine Besonderheit der reellen Zahlen. Auch zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen sind immer noch weitere rationale Zahlen. Damit ist klar, dass dieser "Beweis" keiner ist.
Mit großem Vergnügen lese ich Ihre Kolumne. Vielen Dank für die vielen interessanten Themen, von denen ich ab und zu erst durch ihre Ausführungen erfahre.
Ab einer Stelle könnten Sie vielleicht die heutige Ausgabe korrigieren. Sie schreiben, dass es zwischen je zwei reellen Zahlen immer eine weitere reelle Zahl gibt, und dass u.a. das ein Grund für die Überabzählbarkeit wäre. Diese Eigenschaft haben jedoch auch schon die rationalen Zahlen.
Die richtige Begründung der Überabzählbarkeit folgt dann ja auch direkt im Anschluss.
Guten Tag Frau Bischoff,
ich lese Ihre Kolumne immer wieder gerne.
ich habe beim Lesen dieses Textes gesehen, dass Sie die 0 zu den natürlichen Zahlen zählen. Da hat sich mir die Frage gestellt, warum die 0 manchmal zu den natürlichen Zahlen gezählt wird und machmal nicht
Ich fände es wäre sicherlich ein spannendes Thema für eine zukünftige Kolumne
Was hat denn Gödel in seinen Unvollständigkeitssätzen nun
genau bewiesen (und was hat er damals nicht bewiesen)?
1. Er hat z.B. bewiesen, dass ab einer gewissen "Komplexität" (bzw. "Mächtigkeit") einer mathematischen Theorie, diese Theorie nicht selbst seine eigenen Konsistenz (d.h. Widerspruchsfreiheit) beweisen kann (d.h. dieses nicht mit den Mitteln der Theorie bewiesen werden kann).
2. Er hat bewiesen, dass solche Theorien entweder unvollständig sind (d.h. es Aussagen in der Theorie gibt, die wahr sind, aber nicht innerhalb der Theorie, d.h. mit den Mitteln der Theorie, bewiesen werden kann) oder inkonsistent sind.
Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze implizieren allerdings nicht, dass innerhalb jeder Theorie für jede dort nicht beweisbare Aussage die Aussage nun wahr oder falsch sein muss. D.h. eine Aussage A, welche in einer (konsistenten) Theorie T nicht beweisbar ist, kann auch "indeteminiert" sein, d.h. die Theorie T könnte mit dem Axiom "A ist wahr" konsistent sein und die Theorie T könnte auch mit dem Axiom "A ist falsch" konsistent sein (wobei man sich allerdings aussuchen müßte, welches der beiden Axiome man zur Theorie hinzunehmen wollen würde, da eine Theorie T mit Hinzunahme der beiden Axiomen nun inkonsistent wäre).
Ansonsten gelten die Gödelschen Unvollständigkeitssätze erstmal nur für mathematische Theorien (und nicht für die Mathematik insgesamt aufgefasst als eine einzige mathematische Theorie), aber dann stellt sich die Frage, ob die Mathematik selbst eine mathematische Theorie ist (wobei dann die Frage wäre, ob die Mathematik in sich konsistent wäre oder nicht) oder ob das eher Metamathematik wäre (und man sich dann mit Personen wie Hilbert u.ä. unterhalten müßte oder sollte, was diese davon halten würden - vgl. "Krise" in der Mathematik Anfang des 20ten Jahrhunderts).
Für die "Kontinuumshypothese" stellt sich nun die Frage, ob diese Hypothese nun "indeterminiert" ist oder ob die Hypothese wahr oder falsch ist. Und nur weil man keinen Widerspruch (oder Beweis) bisher gefunden hat, heißt nicht, dass es keinen solchen Beweis (oder Widerspruch) gibt, wobei
es natürlich einen Beweis (und einen Widerspruch) der Hypothese gäbe, wenn nun ZF (Zermelo-Fränkel-Mengenlehre) bzw. ZFC (ZF mit Auswahlaxiom) inkonsistent wäre. Die Frage stellt sich allerdings, ob die Widerspruchsfreiheit von ZF (bzw. ZFC) schon bewiesen wurde oder nicht - und nur weil man im Gegensatz zur sogenannten "naiven Mengenlehre", in der es z.B. das sogenannte Russelsche Paradox gibt, noch kein Paradoxon gefunden hat, heißt noch nicht, dass es kein solches Paradoxon dort gibt.
ps. Die neun Axiome der Zermelo-Fraenkel Mengelehre (zusammen mit dem Auswahlaxiom) genügen, um die Mengenlehre so aufzubauen, wie die Mengenlehre (und damit Mengen) in den anderen Teilgebieten der Mathematik (bisher) genutzt bzw. benötigt werden.
in Ihren Artikel haben sich ein paar Ungenauigkeiten eingeschlichen:
"Die bisher vorgestellten Mengen haben also alle dieselbe Kardinalität. Doch die reellen Zahlen durchbrechen das Muster. Lässt man zusätzlich zu den rationalen Zahlen auch irrationale Werte wie die Wurzel aus minus zwei, ..." suggeriert, dass die Wurzel aus minus zwei eine reelle Zahl sei.
"Grund dafür ist eine wichtige Eigenschaft der reellen Zahlen: Zwischen zwei Zahlen liegt stets eine weitere reelle Zahl." Das kann nicht sein, da dies auch für die rationalen Zahlen gilt (z.B. arithmetisches Mittel), welche (wie zuvor gezeigt) abzählbar sind. Der Grund liegt eher in der Vollständigkeit der reellen Zahlen.
"Oder das Paarmengenaxiom, wonach zwei Mengen mit denselben Elementen gleich sind." Das Paarmengenaxiom besagt, dass es zu zwei Mengen eine dritte gibt, die die beiden als Elemente enthält. "Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen EIemente enthalten" ist das Extensionalitätsaxiom.
Im Artikel steht, der Grund für die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen wäre der, dass "wischen zwei Zahlen [...] stets eine weitere reelle Zahl [liege]."
Das kann eigentlich nicht der Grund, denn zwischen zwei Zahlen liegt auch stets eine rationale Zahl. Dass die rationalen Zahlen kein Kontinuum bilden, ist meines Wissens nach eine Definition aus der Maßtheorie, wonach die Vereinigung höchstens abzählbar unendlich vieler Nullmengen wieder eine Nullmenge ergibt.
Zum Artikel "Unendlich ist nicht immer gleich unendlich"
26.06.2023, Ingolf Raabe"Lässt man zusätzlich zu den rationalen Zahlen auch irrationale Werte wie die Wurzel aus minus zwei ... "
Das ist nicht korrekt.
Irrational ist der Wert nur bei positiven Werten unter der Wurzel, z.B. bei plus zwei - die Wurzel aus einer negativen Zahl gehört grundsätzlich zu den komplexen Zahlen.
zum 2. Diagonalisierungsverfahren von Cantor
26.06.2023, KuchenMit neuer Logik (Stufenlogik) (fast) alles anders!
26.06.2023, Wilfried Gintner (Trestone)man kann die z.T. kuriosen Ergebnisse der Logik und Mathematik zur Kenntnis nehmen und akzeptieren - oder wie ich zum Anlass nehmen, das Gebäude von Grund auf zu sanieren.
Konkret habe ich mir eine neue Aussagenlogik überlegt, die die Paradoxa und Probleme der klassischen Logik nicht mehr aufweist
(wie z.B. das Begründungstrilemma, den Lügnersatz, die Cantorsche Diagonalisierung, die Gödelschen Unvollständigkeitssätze, das Halteproblem der Informatik).
Der Trick dabei ist der Mathematik entlehnt: Ich füge der Logik einen Parameter / eine Dimension hinzu, wie dies bei der Einführung der komplexen Zahlen als Erweiterung der reellen Zahlen gemacht wird und damit alle Gleichungen damit lösbar werden.
Die Logikerweiterung zur "Stufenlogik" ist sogar einfacher, da als Erweiterung nur diskrete "Stufen" = 0,1,2,3, ... benötigt werden.
Ein sehr ähnliches Modell hat 20 Jahre vor mir schon Professor Ulrich Blau bei der Konstruktion seiner "Reflexionslogik" benutzt, nur dass er sich auf selbstbezügliche Sätze (wie z.B. den Lügnersatz) beschränkt hat.
Zentral ist bei meiner "Stufenlogik" die "Stufenhierarchie": Eine Aussage über Eigenschaften in Stufe k sind erst in Stufen >= k+1 möglich, Stufen sind für sich selbst und größere "blind".
In Stufe 0, der kleinsten Stufe, sind alle Aussagen/Eigenschaften "unbestimmt" (=u), generell ist die Stufenlogik dreiwertig mit w,u,f.
Aussagen haben nur in Verbindung mit einer Stufe einen Wahrheitswert,
und in verschiedenen Stufen können sie auch (ohne Widerspruch) verschiedene Wahrheitswerte annehmen.
Bei Widerspruchsbeweisen (wie z.B. der Cantorschen Diagonalisierung) führt die Stufenhierarchie dazu, dass kein Widerspruch mehr auftritt,
da unterschiedliche Stufen verwendet werden.
Mit Stufenlogik lässt sich auch eine einfachere Mengenlehre als ZFC definieren, in ihr ist z.B. die Menge aller Mengen eine (Stufen-)Menge und es gibt nur abzählbare Mengen (z.B. die reellen Zahlen sind hier abzählbar).
Insgesamt schon überraschend, was sich alles vereinfacht, wenn man die zugegeben etwas sperrige Stufenlogik verwendet.
Und das Ganze muss nicht nur Theorie bleiben:
Da einige Primfaktorzerlegungen von der Stufe abhängig sein könnten,
könnte man mit einem (hinreichend großen) Computer ein Experiment zu Stufen durchführen:
Man bestimmt zu einem Zeitpunkt t1 (=Stufe k1) die Faktoren einer Zahl N1.
Und zu einem Zeitpunkt t2= t1+ 1 Woche (=Stufe k2) erneut die Faktoren von N1. Mit etwas Glück sind die Faktoren von der ersten Messung verschieden,
was die klassische Arithmetik nicht erklären könnte.
Dass ein Zeitabstand von 1 Woche ausreicht, um zu einer anderen Stufe k2 als k1 zu kommen, liegt daran, dass ich vermute dass jede makroskopische Wechselwirkung (z.B. Händeklatschen) im Universum nicht-lokal die Stufe erhöht.
N1 muss aber wohl astronomisch groß sein, sonst hätten wir die unterschiedlichen Zerlegungen schon längst bemerkt.
Überhaupt gilt, dass die meisten Eigenschaften unserer Menschenwelt nicht stufenabhängig sind (Ausnahme Unendliches, Selbstbezügliches), daher nehmen wir im Alltag die Stufen gewöhnlich nicht wahr.
Mehr Details zur Stufenlogik finden sich hier:
https://www.ask1.org/threads/stufenlogik-trestone-reloaded-vortrag-apc.17951/
(oder nach "ask1" "Trestone" "Stufenlogik" "apc" suchen)
Gruß
Trestone
Der Fall a=b fehlt
26.06.2023, Helmut WiesmannDennoch springt jedem Mathematiker beim letzten Rechenschritt
x⋅(a-b) = (a-b)⋅(a+b)
==> x = a+b
sofort ins Auge, dass dieser Schritt nur für a ≠ b gültig ist, da ansonsten bei diesem Rechenschritt durch 0 dividiert wird.
Dementsprechend sollte jeder Mathematiker an dieser Stelle einen entsprechenden Hinweis geben.
Einschränkung
26.06.2023, juergen- welche in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden könnten -
mfg
Irrational oder imaginär?
26.06.2023, Niklas Peineckemit Interesse habe ich Ihre Kolumne gelesen und finde sie sehr gelungen.
In einem Satz möchten Sie die Menge der diskutierten Zahlen über die rationalen Zahlen hinaus erweitern und führen als Beispiele für irrationale Zahlen die Wurzel aus -2 an. Das ist nicht unbedingt falsch, aber irreführend, weil die Wurzel aus -2 nicht nur irrational sondern auch imaginär ist.
Gemeint haben Sie sicher die Wuzel aus 2 (die gnügt ja als Beispiel).
Viele Grüße
Niklas Peinecke
Vorzeichenfehler in der Lösung
25.06.2023, KuchenKommentar zu: Unendlich ist nicht immer gleich unendlich
24.06.2023, Richard SchotolaWendet man das Diagonalargument auf natürliche Zahlen an, "wären" die laut Ergebnis auch unabzählbar.
Als Alternative kann man sich alle Natürlichen Zahlen auf einer unendlichen Liste vorstellen und dann vor jeden Eintrag ein "0," setzen.
Die natürlichen Zahlen sind lückenlos und damit ist auch der Bereich hinter dem Komma lückenlos und damit abzählbar !
Anmerkungen zum Artikel "Unendlich ist nicht immer gleich unendlich"
23.06.2023, Helmut Sperber1. "Lässt man zusätzlich zu den rationalen Zahlen auch irrationale Werte wie die Wurzel aus minus zwei, Pi oder die Chaitinsche Konstante zu ..." Statt "minus zwei" ist hier wohl "zwei" gemeint.
2. "Erstes Diagonalargument von Cantor | Man kann alle rationalen Zahlen auflisten, indem man den Pfeilen folgt und alle unechten Brüche ignoriert." Das Bild zeigt nicht die Auflistung ALLER rationalen Zahlen, sondern nur eine der POSITIVEN rationalen Zahlen.
3. "Dabei handelt es sich um einen Widerspruchsbeweis: Man beginnt mit der Annahme, es gäbe abzählbar unendlich viele reelle Zahlen und ..." Diese Formulierung reicht nicht; es muss heißen: "... es gäbe NUR abzählbar viele reelle Zahlen ...".
4. Bei der Beschreibung des zweiten Cantorschen Diagonalarguments:
4a. Es ist nicht definiert, wie zu verfahren ist, wenn die um 1 zu erhöhende Ziffer den Wert "9" hat, denn "10" ist ja keine Ziffer. Man muss hier wohl die 0 nehmen, aber das steht nicht da.
4b. Es wird behauptet, dass die konstruierte Zahl "irrational" ist. Das ergibt sich nicht direkt aus der Konstruktion; es ist aber auch völlig irrelevant. Es genügt, dass die konstruierte Zahl wieder eine reelle Zahl ist.
4c. Der Beweis drückt sich um die Tatsache herum, dass die Darstellung reeller Zahlen als unendlicher Dezimalbruch nicht ganz eindeutig ist. Zum Beispiel stellen die beiden folgenden verschiedenen Folgen dieselbe reelle Zahl dar:
0,4999999...
0,5000000...
5. "Die neun Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (zusammen mit dem Auswahlaxiom) genügen, um die uns bekannte Mathematik aufzubauen." Es sind in Wirklichkeit unendlich (!) viele Axiome, da die sogenannten Assonderungs"axiom" und Ersetzungs"axiom" in Wirklichkeit Schemata, sind, aus denen sich unendlich viele Axiome durch Einsetzen in das Schema ergeben.
6. "Oder das Paarmengenaxiom, wonach zwei Mengen mit denselben Elementen gleich sind." Was hier beschrieben wird, ist nicht das Paarmengenaxiom, sondern das Extensionalitätsaxiom. Das Paarmengenaxiom selbst besagt, dass es zu zwei Mengen eine neue (Paar-)menge gibt, die genau die beiden vorherigen als Element enthält.
Ich hoffe, diese Anmerkungen sind hilfreich.
Rationale und reelle Zahlen
23.06.2023, Kurt WiestEgal, wie nahe sich zwei Punkte sind, zwischen ihnen kann man einen weiteren Punkt ausmachen, der für eine reelle Zahl steht. Und diese Kontinuität verhindert, dass sich die reellen Zahlen auflisten lassen.
Dies ist nun keinesfalls eine Besonderheit der reellen Zahlen. Auch zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen sind immer noch weitere rationale Zahlen. Damit ist klar, dass dieser "Beweis" keiner ist.
Unterschiedl zwischen reellen und rationalen Zahlen
23.06.2023, Hans SchnabelMit großem Vergnügen lese ich Ihre Kolumne. Vielen Dank für die vielen interessanten Themen, von denen ich ab und zu erst durch ihre Ausführungen erfahre.
Ab einer Stelle könnten Sie vielleicht die heutige Ausgabe korrigieren. Sie schreiben, dass es zwischen je zwei reellen Zahlen immer eine weitere reelle Zahl gibt, und dass u.a. das ein Grund für die Überabzählbarkeit wäre. Diese Eigenschaft haben jedoch auch schon die rationalen Zahlen.
Die richtige Begründung der Überabzählbarkeit folgt dann ja auch direkt im Anschluss.
Freundliche Grüße,
Hans Schnabel
Natürliche Zahlen mit oder ohne Null?
23.06.2023, Mathisich lese Ihre Kolumne immer wieder gerne.
ich habe beim Lesen dieses Textes gesehen, dass Sie die 0 zu den natürlichen Zahlen zählen. Da hat sich mir die Frage gestellt, warum die 0 manchmal zu den natürlichen Zahlen gezählt wird und machmal nicht
Ich fände es wäre sicherlich ein spannendes Thema für eine zukünftige Kolumne
Gödelsche Unvollständigkeitssätze und "indeterminierte" Aussagen
23.06.2023, Björn Stuhrmanngenau bewiesen (und was hat er damals nicht bewiesen)?
1. Er hat z.B. bewiesen, dass ab einer gewissen "Komplexität" (bzw. "Mächtigkeit") einer mathematischen Theorie, diese Theorie nicht selbst seine eigenen Konsistenz (d.h. Widerspruchsfreiheit) beweisen kann (d.h. dieses nicht mit den Mitteln der Theorie bewiesen werden kann).
2. Er hat bewiesen, dass solche Theorien entweder unvollständig sind (d.h. es Aussagen in der Theorie gibt, die wahr sind, aber nicht innerhalb der Theorie, d.h. mit den Mitteln der Theorie, bewiesen werden kann) oder inkonsistent sind.
Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze implizieren allerdings nicht, dass innerhalb jeder Theorie für jede dort nicht beweisbare Aussage die Aussage nun wahr oder falsch sein muss. D.h. eine Aussage A, welche in einer (konsistenten) Theorie T nicht beweisbar ist, kann auch "indeteminiert" sein, d.h. die Theorie T könnte mit dem Axiom "A ist wahr" konsistent sein und die Theorie T könnte auch mit dem Axiom "A ist falsch" konsistent sein (wobei man sich allerdings aussuchen müßte, welches der beiden Axiome man zur Theorie hinzunehmen wollen würde, da eine Theorie T mit Hinzunahme der beiden Axiomen nun inkonsistent wäre).
Ansonsten gelten die Gödelschen Unvollständigkeitssätze erstmal nur für mathematische Theorien (und nicht für die Mathematik insgesamt aufgefasst als eine einzige mathematische Theorie), aber dann stellt sich die Frage, ob die Mathematik selbst eine mathematische Theorie ist (wobei dann die Frage wäre, ob die Mathematik in sich konsistent wäre oder nicht) oder ob das eher Metamathematik wäre (und man sich dann mit Personen wie Hilbert u.ä. unterhalten müßte oder sollte, was diese davon halten würden - vgl. "Krise" in der Mathematik Anfang des 20ten Jahrhunderts).
Für die "Kontinuumshypothese" stellt sich nun die Frage, ob diese Hypothese nun "indeterminiert" ist oder ob die Hypothese wahr oder falsch ist. Und nur weil man keinen Widerspruch (oder Beweis) bisher gefunden hat, heißt nicht, dass es keinen solchen Beweis (oder Widerspruch) gibt, wobei
es natürlich einen Beweis (und einen Widerspruch) der Hypothese gäbe, wenn nun ZF (Zermelo-Fränkel-Mengenlehre) bzw. ZFC (ZF mit Auswahlaxiom) inkonsistent wäre. Die Frage stellt sich allerdings, ob die Widerspruchsfreiheit von ZF (bzw. ZFC) schon bewiesen wurde oder nicht - und nur weil man im Gegensatz zur sogenannten "naiven Mengenlehre", in der es z.B. das sogenannte Russelsche Paradox gibt, noch kein Paradoxon gefunden hat, heißt noch nicht, dass es kein solches Paradoxon dort gibt.
ps. Die neun Axiome der Zermelo-Fraenkel Mengelehre (zusammen mit dem Auswahlaxiom) genügen, um die Mengenlehre so aufzubauen, wie die Mengenlehre (und damit Mengen) in den anderen Teilgebieten der Mathematik (bisher) genutzt bzw. benötigt werden.
Ungenauigkeiten im Artikel
23.06.2023, Stefan Friedrichin Ihren Artikel haben sich ein paar Ungenauigkeiten eingeschlichen:
"Die bisher vorgestellten Mengen haben also alle dieselbe Kardinalität. Doch die reellen Zahlen durchbrechen das Muster. Lässt man zusätzlich zu den rationalen Zahlen auch irrationale Werte wie die Wurzel aus minus zwei, ..." suggeriert, dass die Wurzel aus minus zwei eine reelle Zahl sei.
"Grund dafür ist eine wichtige Eigenschaft der reellen Zahlen: Zwischen zwei Zahlen liegt stets eine weitere reelle Zahl." Das kann nicht sein, da dies auch für die rationalen Zahlen gilt (z.B. arithmetisches Mittel), welche (wie zuvor gezeigt) abzählbar sind. Der Grund liegt eher in der Vollständigkeit der reellen Zahlen.
"Oder das Paarmengenaxiom, wonach zwei Mengen mit denselben Elementen gleich sind." Das Paarmengenaxiom besagt, dass es zu zwei Mengen eine dritte gibt, die die beiden als Elemente enthält. "Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen EIemente enthalten" ist das Extensionalitätsaxiom.
Herzliche Grüße
Stefan Friedrich
Fehlerhaftes Argument
23.06.2023, Thomas KlingbeilDas kann eigentlich nicht der Grund, denn zwischen zwei Zahlen liegt auch stets eine rationale Zahl. Dass die rationalen Zahlen kein Kontinuum bilden, ist meines Wissens nach eine Definition aus der Maßtheorie, wonach die Vereinigung höchstens abzählbar unendlich vieler Nullmengen wieder eine Nullmenge ergibt.