Na ja, es ist schon eine etwas abstrakte Zweisamkeit, die ich Sie diesmal zu genießen einlade. Sie heißt Dualität, und gemeint ist nicht nur, dass zwei Dinge – nennen wir sie A und B – zusammengehören, sondern auch, dass es eine Aktion (eine "Abbildung", sagen die Mathematiker) gibt, die aus A B macht, und dieselbe Aktion aus B wieder A macht.

Würfel und Oktaeder sind so ein Pärchen. Die Aktion, die sie ineinander verwandelt, besteht darin, die Flächenmittelpunkte zu Ecken zu machen und immer dann zwei dieser Ecken durch eine Kante zu verbinden, wenn die zugehörigen Flächen eine Kante gemeinsam haben. Dodekaeder und Ikosaeder sind ein anderes Pärchen, und das arme kleine Tetraeder bleibt übrig, sodass ihm nichts übrig bleibt, als Zweisamkeit mit sich selbst zu pflegen.

Dualität wahrt die Symmetrien eines Körpers. Das heißt, wenn ein Körper auf die beschriebene Art verwandelt wird, sieht er hinterher vielleicht ganz anders aus, aber er bleibt in der Familie.

Dualität macht Ecken zu Flächen und Flächen zu Ecken. Und was macht sie aus den Kanten? Wieder Kanten. Wo vorher eine Kante zwei Flächen verband, verbindet hinterher eine Kante deren Mittelpunkte. Aber die neue Kante verläuft irgendwie quer unter der alten hindurch. Der duale Körper ist also kleiner als der ursprüngliche, denn seine Kanten verlaufen von Flächenmittelpunkt zu Flächenmittelpunkt und damit vollständig im alten Körper. Wenn man nach dieser Vorschrift zum Beispiel aus einem Würfel ein Oktaeder macht und aus diesem wieder einen Würfel, dann ist der neue Würfel deutlich mickriger als der alte.

Noch schöner und vor allem gleichberechtigter wird die Zweisamkeit, wenn die neue Kante unter der alten hindurchläuft, sondern sie genau trifft. Dazu muss man den Körper, den man durch Verbinden der Flächenmittelpunkte erhält, geeignet "aufblasen". Bei den platonischen Körpern läuft das darauf hinaus, dass alte und neue Kante einander im jeweiligen Mittelpunkt schneiden sowie senkrecht aufeinander und auf der Verbindungslinie vom Körpermittelpunkt zu diesem gemeinsamen Schnittpunkt stehen. Wenn man die Dualitätsabbildung so definiert, dann bekommt man durch zweimalige Anwendung der Vorschrift tatsächlich den alten Körper zurück – auch in der richtigen Größe.

Wie funktioniert die Dualitätsabbildung, wenn die Flächen keine regelmäßigen Vielecke sind und deshalb nicht von vornherein klar ist, was der Flächenmittelpunkt sein soll? Es geht, ist aber nicht einfach. Angeblich hat Max Brückner, Oberlehrer am Gymnasium zu Bautzen, die Sache als einer der Ersten in voller Allgemeinheit dargestellt (siehe sein Buch "Vielecke und Vielflache", Teubner, Leipzig 1900). Das waren noch Zeiten, als ein schlichter Oberlehrer ein richtig dickes Buch über ein großes Thema schrieb!

Die Grundidee ist: Man hat eine Kugel, auf die sich alles bezieht und die zur Gänze in das Polyeder hineinpasst. (Wenn das Polyeder so etwas wie einen Mittelpunkt hat – Symmetriezentrum oder so –, legt man zweckmäßig den Kugelmittelpunkt in denselben Punkt. Aber man muss nicht.) Zu einem beliebigen Punkt außerhalb der Kugel – zum Beispiel einem Eckpunkt des Polyeders – gibt es einen eindeutig bestimmten Kegel, der die Kugel von außen berührt, und zwar in allen Punkten eines Kreises. Die Ebene, in der dieser Kreis liegt, ist das Duale zu dem Punkt.

Zu den Eckpunkten eines Polyeders konstruiert man nach diesem Verfahren lauter Ebenen, die schneiden sich und zerlegen den Raum in viele Einzelteile. Das Einzelteil, in dem der Kugelmittelpunkt enthalten ist: Das ist das duale Polyeder. Und wenn das ursprüngliche Polyeder ein platonischer Körper war und die Bezugskugel diejenige, die durch alle Kantenmittelpunkte verläuft: Dann ist das so konstruierte duale Polyeder genau das mit der richtigen Größe.

Algebraisch lässt sich diese Dualitätsabbildung folgendermaßen darstellen: Sei r der Radius der Bezugskugel. Wenn eine Ecke A eines Polyeders zum Mittelpunkt M der Kugel den Abstand d hat, dann hat die zu diesem Punkt duale Ebene vom Mittelpunkt der Kugel den Abstand r²/d. Genauer: Diese Ebene steht senkrecht auf der Verbindungslinie von M und A; da, wo diese Verbindungslinie die Ebene durchstößt, hat sie den kürzesten Abstand von M, und der ist r²/d. Andersherum funktioniert die Dualitätsabbildung genauso: Von einer Ebene fälle man das Lot auf den Mittelpunkt der Kugel; die Länge dieses Lotes sei d. Dann liegt der zu dieser Ebene duale Eckpunkt in Richtung dieses Lotes in einem Abstand r²/d vom Mittelpunkt. Damit ist die Dualitätsabbildung so etwas wie die Inversion an der Kugel – wobei außerdem Punkte in Ebenen verwandelt werden und umgekehrt.

Die Dualitätsabbildung hat noch viele schöne Eigenschaften. Aus der Geraden durch zwei Punkte macht sie die Schnittgerade der zu den beiden Punkten dualen Ebenen. Aus der durch drei Punkte definierten Ebene macht sie den Schnittpunkt der drei dualen Ebenen. Und alle diese Beziehungen passen zusammen.

Aber für diese Allgemeinheit haben die Polyederfreunde wenig Verwendung (die Vertreter der projektiven Geometrie dafür um so mehr). Nur wenn man oben in die Maschine "Dualitätsabbildung" etwas Regelmäßiges hineinsteckt, kommt unten etwas Interessantes (nämlich etwas Regelmäßiges) heraus. Das gilt insbesondere für unsere neuen Bekannten aus der letzten Folge, die archimedischen Körper.

Schauen wir uns die klassischen dreizehn Vertreter dieser etwas gemischten Gruppe der Reihe nach an. In den Bildern sehen Sie jeweils links einen archimedischen Körper, rechts dessen Dual und in der Mitte die Durchdringung beider Körper, die ziemlich kompliziert, häufig aber auch recht hübsch anzusehen ist. Allerdings biete ich Ihnen diesmal kein vollständiges Sortiment. Der legendäre Eric Weisstein hat sie alle so vorbildlich programmiert, dass ich mich ungern mit einer schlechten Nachahmung blamieren möchte.

Besuchen Sie seine Website und klicken Sie jedes Einzelbild an! Leider hat Weisstein seine Galerie etwas ungeschickt sortiert: Die archimedischen Körper, ihre Duale und gelegentlich ein Paar aus originalem und dualem Körper, einander durchdringend, dazu noch ein paar Sternkörper, treten bunt durcheinander auf. Aber mit etwas Geduld kommt man dahinter.

Archimedische Körper sind ja insbesondere Körper mit lauter gleichen Ecken, aber nicht unbedingt gleichen Flächen. Entsprechend sind deren duale Körper mit lauter gleichen Flächen, aber nicht unbedingt gleichen Ecken.

Die ersten fünf archimedischen Körper sind die enteckten platonischen. Das Duale zu "Ecke wegschneiden und Schnittfläche freilegen" ist "Fläche zudecken und Eckpunkt draufsetzen". Ein einzelner Punkt über einer Fläche, das ist die Spitze einer Pyramide. In der Tat entsprechen den enteckten platonischen Körpern die dazu dualen platonischen Körper mit Zelten auf den Flächen. (Siehe Folge 9.) Ganz nett, aber irgendwie erkennt man nicht, was diese Zeltkörper vor denen mit längerer oder kürzerer Zeltstange besonders auszeichnet.

Durch Entecken und Entkanten zugleich haben wir die archimedischen Körper mit den langen Namen gewonnen: Rhomben-Kuboktaeder und Rhomben-Ikosidodekaeder. Dem entspricht auf der dualen Seite das Arbeiten mit zwei Sorten Zeltstangen, eine für die Flächenmittelpunkte und die andere für die Kantenmittelpunkte.

Die dritte Sorte archimedischer Körper war durch verschärftes Entecken entstanden: Von jeder Seitenfläche eines platonischen Körpers hat das Messer nur die verkleinerte und verdrehte Version übriggelassen, die durch Verbindung der Kantenmitten entsteht: Kuboktaeder und Ikosidodekaeder. (Armes kleines Tetraeder! Selbst durch eine so einschneidende Verstümmelung kommt bei ihm nichts Neues heraus, sondern nur ein kleineres Tetraeder.) Deren Duale sind alte Bekannte, die wir bloß ein paar Folgen lang nicht gesehen haben: das Rhombendodekaeder aus der Familie der Vierzähligen (Folge 3) und das Rhombentriakontaeder von den Fünfzähligen.

Viertens gab es die "großen" Körper mit den ganz langen Namen. Auch deren Duale sind alte Bekannte: Zum großen Rhomben-Kuboktaeder gehört der Drachen-Vierundzwanzigflächner und zum großen Rhomben-Ikosidodekaeder der Drachen-Sechzigflächner.

Das ist ganz nett zu erfahren, wer da mit wem alles ein Pärchen bildet, und meistens ist es besonders hübsch anzusehen, wenn die beiden in gegenseitiger Durchdringung vereint sind (schauen Sie sich noch einmal Weissteins Galerie an …). Aber gibt es in der ganzen Gesellschaft auch Polyeder, die wir noch nicht kennen? Ja. Und zwar sind es genau die beiden schrägen Typen, die neue Mitglieder in die jeweilige Familie einschleppen. Bei den Vierzähligen gehört zum schiefen Würfel ein Vierundzwanzigflächner, bei den Fünfzähligen zum schiefen Dodekaeder ein Sechzigflächner. Beide bestehen aus Fünfecken, und zwar mit vier stumpfen (gleichen) Winkeln und einem spitzen. Die spitzen Winkel treffen sich beim Vierundzwanzigflächner zu viert in einer Ecke, beim Sechzigflächners zu fünft, wie sich das für die Mitglieder der jeweiligen Familien gehört. In den stumpfen Ecken treffen sich jeweils drei Flächen; dem entsprechen in den Ursprungskörpern die zahlreichen Dreiecke, die die Quadrate beziehungsweise Fünfecke säumen.

Diese Körper sind eine reizvolle Mischung aus Regelmäßigkeit (lauter gleiche Seitenflächen) und ein bisschen Unordnung, denn sie sind so schief wie ihre Ursprungskörper. Um ihre merkwürdige Struktur zu verdeutlichen, habe ich sie mit einer Musterung verziert. Auf jeder Fläche ist das gleiche Muster, und zusammen fügen sie sich zu Kreisen (beim Sechzigflächner) oder verschlungenen Knotenlinien (beim Vierundzwanzigflächner).

Und dann gab es doch noch die "Kirchenmäuse" unter den archimedischen Körpern: die Prismen und die Antiprismen. Unbeachtet fristen sie ihr Dasein, niemand nimmt sie richtig ernst, weil sie sich alle doch irgendwie sehr ähnlich sehen, und beeindruckend sind sie nur, weil es unendlich viele sind. Aber nichts da: Sie sind archimedische Körper mit allen Rechten und Pflichten, und dazu gehört selbstverständlich die Existenz eines Partners. Zu den Prismen gehören doppelte (nach oben und nach unten aufgebaute) Zeltdächer aus dreieckigen Bahnen, die weit über und unter ihre platten Gatten hinausragen. Bei den Dualen der Antiprismen wird die ebene "Bodenlinie" zu einer Zickzacklinie; die dualen Körper bestehen aus lauter gleichen, ziemlich langgestreckten Drachen.

Kommentare und Anregungen sind wie immer stets willkommen!

Herzlich Ihr

Christoph Pöppe
Redakteur bei Spektrum der Wissenschaft