Kommentare - - Seite 28

Ich stimme dem 4. Kommentar von Herrn Kraus, dass ein semantisches Missverständnis vorliegen kann, zu. Evtl. ist unklar, _welche_ Wahrscheinlichkeit gemeint ist.
Ändert man die Frage an Dornröschen in eine Wette um ("Zeigt die Münze Kopf oder Zahl?") und setzt das Gewinnen der Wette als begehrenswert an, dann scheint es mir relativ eindeutig, dass Dornröschen immer Zahl antworten sollte.
Für mich ist damit die Wahrscheinlichkeit von Zahl höher als von Kopf.

Der Extremfall beschreibt das ziemlich eindrucksvoll.
Auch der zweite Extremfall ist m. E. kein Argument für das Halb-Lager. Er ist (durch die kleinere Wiederholungsanzahl) zwar deutlich weniger extrem als der erste.
Da die Wahrscheinlichkeit von Raabs Sieg schwer bestimmbar ist, würde ich sie durch ein ähnliches Ereignis ersetzen: Einen Sechser bei einem Würfelwurf (16,7%.) Das Experiment ist nun also: Es wird gewürfelt, bei 1-5 wird Dornröschen einmal geweckt, bei Sechs 30 mal.
Immer, wenn Dornröschen geweckt wird, wird sie in meiner Abwandlung nicht gefragt "Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt der Würfel 6?", sondern "Welche Zahl zeigt der Würfel?" Möchte man es wieder auf ein binäres Ereignis runterbrechen, kann man gerne fragen "Zeigt der Würfel größer 5?"
Bei n Durchläufen des Experiments ist in 5/6 aller Würfe keine Sechs gefallen (hat in 9/10 aller Runden Halmich gewonnen.) Die Gesamtanzahl an Fragestellungen an Dornröschen beträgt 5/6*n (9n/10 bei Halmich)+30n/6 (bzw. 30n/10) = 35n/6. In 30/35=6/7 der gestellten Fragen liegt eine Sechs.

Man kann die Extremfälle übrigens noch extremer machen, indem das arme Dornröschen nach Kopf 0-mal geweckt wird und nach Zahl zweimal. Ändert das etwas an der Wahrscheinlichkeit von 1/2, dass das Ergebnis des Münzwurfs Kopf ist? Nein. Es ändert aber etwas an der bedingten Wahrscheinlichkeit, dass "die Münze Kopf zeigt, unter der Voraussetzung dass Dornröschen geweckt wird". Die wird nämlich damit direkt zu 0 festgesetzt.

Einiges wurde in den bisherigen Beiträgen ja schon geschrieben.
Ich bemerke deshalb nur:
a) zum Zeitpunkt der Fragestellung an Dornröschen steht das Ergebnis des Zufallsexperiment schon fest, wobei die a-priori Wahrscheinlichkeit vor dem Münzwurf für Zahl (bzw. Kopf) jeweils 1/2 ist (d.h. sofern wir ausschließen, dass die Münze auf dem Rand landen kann),
b) man kann für Ereignisse (z.B. Zufallsereignisse), nachdem diese eingetreten sind, nun ein Wert 1 und für Ereignisse, die nicht mehr eintreten können, dem entsprechend den Wert 0 vergeben, gewissermaßen als 1 für eine wahre Aussage und 0 für eine falsche Aussage, die Antwort auf die Frage würde dann entweder 0 oder 1 lauten müssen (mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%, dass die Antwort dann richtig wäre, abhängig vom Ergebnis des vorher ausgeführten Münzwurfes ;-) ),
c) die drei Ereignisse (M,K), (M,Z) und (D,Z) sind in dem Gedankenexperiment (ohne Modifikation des Gedankenexperiments, dass die Münze z.B. erst am Montag nach dem aufwecken von Dornröschen geworfen wird) nach dem Münzwurf als deterministisch anzusehen, d.h. welche Ereignisse eintreten sind eindeutig durch den Ausgang des Zufallexperiments (Münzwurf) bestimmt, bei Modifikation des Gedankenexperiments, so dass die Münze erst nach dem Aufwachen von Dornröschen am Montag geworfen wird, wäre dann immernoch zumindest das Ereignis (D,Z) als deterministisch anzusehen, welches genau dann eintritt, falls am Montag dann der Münzwurf auf Zahl landen sollte,
d) es handelt sich hier um einen "klassischen Fall" bei dem zwei Zufallsereignisse, welche eigentlich gleichwahrscheinlich (und disjunkt) sind, so mit "Schnickschnack" versehen werden, dass eine Person - subjektiv für sich (und ohne das Ergebnis/Ausgang des Zufallsexperiment zu kennen) - möglichst eines der Zufallsereignisse (a-posteriori) für "wahrscheinlicher" hält (obwohl es keine zusätzlichen Informationen gibt, welche nun abhängig vom Ergebnis des eigentlichen Zufallsexperiment unterschiedlich wären, wodurch nämlich dann durchaus eine Modifikation der Wahrscheinlichkeit gerechtfertigt wäre).

ps. Um zwischen den Stühlen zu sitzen, würde ich als "Dornröschen" auf die Frage entweder mit 0 oder mit 1 antworten, wobei ich für die Auswahl der Antwort - nach dem aufwecken - eine faire Münze werfen würde (womit meine Antwort am Montag und Dienstag unterschiedlich sein könnte, sofern ich als Dornröschen auch am Dienstag geweckt werden würde) - wobei ich, sofern die Münze (welche ich als Dornröschen werfen würde, um meine Antwort zu bestimmen) auf dem Rand landen sollte, antworten würde, dass es sich um kein "well posed problem" handeln würde (und man doch bitte eine etwas andere Frage stellen sollte, z.B. wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine faire Münze auf "Kopf" bei einem fairen Münzwurf landen würde).

pps. Vor allem Philosophen (d.h. Nicht-Mathematiker) scheinen hier die Meinung 1/3 (für die Wahrscheinlichkeit) zu vertreten.

5/12
Die Wahrscheinlichkeit liegt genau zwischen 1/3 und 1/2

Ich sehe es so:
Das Dornröschen-Problem suggeriert eine gewisse Ähnlichkeit zum Ziegenproblem, das ebenso Streitpotential besitzt.
Der Unterschied ist aber, dass beim Ziegenproblem im Verlauf der Ereignisse noch eine Zusatzinformation dazukommt, die in die Berechnung der Wahrscheinlichkeit einfließt. Das ist hier wegen der Gnade des Vergessens nicht der Fall.
Daher bleibt die Wahrscheinlichkeit, Kopf bzw. Zahl geworfen zu haben, idealisiert 50 %, egal, wie oft man die Frage nach dem Wurf stellt.
Ich stimme daher für 1/2.

Wenn Dornröschen die Wette gewinnen will, hat sie mit der Entscheidung für "Zahl" jedenfalls keinen Nachteil. In diesem Fall zieht denke ich das Bayes'sche Argument. Auch beim Boxen, es kommt nicht darauf an, ob das als unsinnig empfunden wird.

Ist das Problem hier vielleicht eher semantischer Natur? In der Frage "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit?" ist nicht klar, was mit "Wahrscheinlichkeit" gemeint ist.
Ich bin aber weder Mathematiker noch Statistiker (noch Philosoph) und habe mich mit subjektiven Wahrscheinlichkeiten bisher nicht beschäftigt.

Gerhard Kraus

Es gibt bei einem Einzelexperiment keine post hoc Wahrscheinlichkeit.

Bin mir nicht sicher, kann mir sehr gut vorstellen, M.C. Escher hat wohl schon ähnliche Dinge "zu Papier" gebracht.
Eine schöne Arbeit.

Hi
Das Zahl Ereignis ist prinzipiell ja ein Ereignis da es keine neue Wahl gibt. Es muss also 1/2 sein. Aus der Perspektive von Dornröschen ändert sich nichts weil es jabzwingend zum doppeltaufwachen kommt.

Hallo, vielen Dank für den interessanten Artikel!
Was mir nicht so ganz klar ist:
Sollte die Primfaktorzerlegung einer Zahl n nicht in der Komplexitätsklasse O(sqrt(n)) liegen, mithin also in P? Immerhin muss ich um die Primfaktoren zu erhalten die Zahl n schlimmstenfalls durch alle Zahlen von 2 bis sqrt(n) teilen, mithin schlimmstenfalls sqrt(n) Divisionen durchführen? ( Der schlimmste Fall wird eintreten, falls n das Quadrat einer Primzahl ist, also zB. 25. Um die Primfaktoren von 25 zu erkennen, muss ich durch 2, 3 ,4 und 5 ( = sqrt(25) ) teilen. Bei allen anderen nicht-primen Zahlen muss mindestens ein Teiler kleiner sqrt(n) sein. )

Weiter wird im Artikel suggeriert, es sei einfacher, zu überprüfen, ob eine Zahl prim sei, als deren Primfaktoren zu errechnen.
Die Überprüfung, ob eine Zahl prim ist, erfordert aber ja gerade die Berechnung ihrer Primfaktoren? Oder sehe ich da was falsch?

Noch Mal vielen Dank für den ansonsten sehr interessanten Artikel!

Die Argumentation der 1/3-Fraktion ist in meinen Augen falsch. Zum einen treten die drei erwähnten Ereignisse nicht unabhängig voneinander auf: Dornröschen wacht nur am Dienstag auf, wenn vorher (M,Z) stattgefunden hat, und zwar mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 (1/2 für Kopf oder Zahl, 1/2 für Montag oder Dienstag). Aus dem gleichen Grund hat (M,Z) eine Wahrscheinlichkeit von 1/4 und (M,K) eine von 1/2.
Zum Zweiten war gar nicht nach dem Wahrscheinlichkeiten von (M,K), (M,Z) und (D,Z) gefragt, sondern nach denen von K und Z, und da nur einmal geworfen wird, ist die 1/2.

Klar ist:
(n-2)(m-2)=2n*2m-4
auflösen ergibt
nm-4n-4m+8=0
also
(n-4)(m-4)-8=0
also
(n-4)(m-4)=8
8 kann nun auf 4 Arten dargestellt werden
1*8 -> n=5,m=12
2*4 -> n=6,m=8
4*2 -> n=8, m=6
8*1 -> n=12, m=5

Für mich ist das ein reines "Scheinproblem"



Für mich ist das ein reines Scheinproblem infolge ungenügender Definition. Stelle ich mich auf den "objektiven" Standpunkt eines externen Beobachters, so ist die Lösung: 1/2. Stelle ich mich auf den Standpunkt eines "subjektiven" Beobachters - Dornröschen, soweit es nicht schläft -, so ist die Lösung: 1/3!





Für mich ist das ein reines Scheinproblem infolge ungenügender Definition infolge ungenügender Definition und hat mit Mathematik nichts zu tun!
Stelle ich mich auf den "objektiven" Standpunkt eines externen Beobachters, so ist die Lösung: 1/2. Stelle ich mich auf den "subjektiven" Standpunkt eines internen Beobachters - Dornröschen, soweit sie nicht schläft - so ist die Lösung: 1/3!

Nehmen wir einen Feld 4x4, wir nehmen die 4 Ecken weg, dann falten wir den Rest nach innen. Im Gefalteten überdecken sich 4 Felder. Somit können wir sagen: das Aussere hat immer 8 Felder mehr als das Innere. Also muss es so erweitert, das im Inneren 8 Felder, die nicht durch das Gefalteten abgedeckt werden. Es ist entweder 1x8 oder 2x4, als insgesamt (4+1)x(4+8) = 5x12 oder (4+2)X(4+4) = 6x8

Der Erdenker/die Erdenkerin dieser Lösung ist ein Genie. Unglaublich, was der Mensch alles zustande bringt. Allerdings handelt es sich um zwei verschiedene Kacheln, was sogar ich schnell bemerkte.

AB = BC = 1 ; dann ist AC = BD = 2*cos40°
Es sei AO die Höhe beider Dreiecke ;
dann sind AO = sin80° und BO = cos80°
tan Winkel ? = AO / DO
und damit Winkel ? = arctan [ sin8O° / ( cos80° + 2*cos40° ) ] = 30°