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Serie Mathematik (Teil VI): Wie real ist das Unendliche?
Kommen die natürlichen Zahlen
in der Natur vor? Offensichtlich
nicht. Noch nie ist jemandem die
Sieben leibhaftig über den Weg gelaufen,
gar nicht zu reden davon, dass man
die Drei mit der Fünf – oder gar mit sich
selbst – beim Multiplizieren beobachtet hätte.
Gleichwohl tragen die natürlichen Zahlen
ihren Namen irgendwie zu Recht. Man findet
nicht die Sieben in der Natur, aber sehr häufig
sieben Dinge. Es gibt viele Vorgänge in der realen
Welt, die durch eine Addition oder Multiplikation
natürlicher Zahlen zu beschreiben
sind. Streng genommen sind natürliche Zahlen
nur Abstraktionen; aber sie sind so nützliche
und universelle Hilfsmittel zum Verständnis
der realen Welt, dass man geneigt ist, ihnen
selbst eine Realität zuzugestehen – nicht in der
beobachtbaren Welt, sondern in der Welt der
Ideen, die der antike Philosoph Platon für realer
erklärte als die handgreifliche Realität.
Das bedeutet insbesondere, dass die natürlichen Zahlen nicht nur im Kopf irgendwelcher Menschen existieren, sondern außerhalb von ihnen: nicht persönliches Hirngespinst, nicht bloße soziale Konvention, sondern Objekte eigenen Rechts. Gleiches gilt für die reellen und sogar die komplexen Zahlen; auch sie haben ihre Unentbehrlichkeit für die Beschreibung der Natur über jeden Zweifel erhaben unter Beweis gestellt. Das passt zu der alltäglichen Erfahrung der Mathematiker: Sie erleben ihre Funktionen, Operatoren und natürlich auch die natürlichen Zahlen als Gegenstände, die nicht der Willkür des Betrachters, sondern – häufig zu dessen Unmut – ihren eigenen Gesetzen folgen.
Es passt allerdings nicht zur offiziellen Lehrbuchweisheit. Angesichts der Frage »Was genau sind denn nun die natürlichen Zahlen?« greifen die Mathematiker ausdrücklich nicht auf irgendwelche Beobachtungen in der Realwelt zurück oder nehmen einen besonderen Zugang zur platonischen Ideenwelt für sich in Anspruch. Vielmehr berufen sie sich auf Axiome. Das sind möglichst einfach gehaltene Aussagen, die ohne Beweis zu glauben einem nicht sonderlich schwerfallen sollte. Aus ihnen leiten die Mathematiker durch logische Schlussfolgerungen die ganze reichhaltige Vielfalt an Sätzen her, die – in diesem Fall – die Arithmetik und die Zahlentheorie ausmachen.
Das Problem ist nur: Ein Axiomensystem ist ohne Zweifel eine soziale Konvention. Für die natürlichen Zahlen wurden verschiedene Systeme diskutiert ...
Das bedeutet insbesondere, dass die natürlichen Zahlen nicht nur im Kopf irgendwelcher Menschen existieren, sondern außerhalb von ihnen: nicht persönliches Hirngespinst, nicht bloße soziale Konvention, sondern Objekte eigenen Rechts. Gleiches gilt für die reellen und sogar die komplexen Zahlen; auch sie haben ihre Unentbehrlichkeit für die Beschreibung der Natur über jeden Zweifel erhaben unter Beweis gestellt. Das passt zu der alltäglichen Erfahrung der Mathematiker: Sie erleben ihre Funktionen, Operatoren und natürlich auch die natürlichen Zahlen als Gegenstände, die nicht der Willkür des Betrachters, sondern – häufig zu dessen Unmut – ihren eigenen Gesetzen folgen.
Es passt allerdings nicht zur offiziellen Lehrbuchweisheit. Angesichts der Frage »Was genau sind denn nun die natürlichen Zahlen?« greifen die Mathematiker ausdrücklich nicht auf irgendwelche Beobachtungen in der Realwelt zurück oder nehmen einen besonderen Zugang zur platonischen Ideenwelt für sich in Anspruch. Vielmehr berufen sie sich auf Axiome. Das sind möglichst einfach gehaltene Aussagen, die ohne Beweis zu glauben einem nicht sonderlich schwerfallen sollte. Aus ihnen leiten die Mathematiker durch logische Schlussfolgerungen die ganze reichhaltige Vielfalt an Sätzen her, die – in diesem Fall – die Arithmetik und die Zahlentheorie ausmachen.
Das Problem ist nur: Ein Axiomensystem ist ohne Zweifel eine soziale Konvention. Für die natürlichen Zahlen wurden verschiedene Systeme diskutiert ...
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