Direkt zum Inhalt

Kommentare - - Seite 3

Ihre Beiträge sind uns willkommen! Schreiben Sie uns Ihre Fragen und Anregungen, Ihre Kritik oder Zustimmung. Wir veröffentlichen hier laufend Ihre aktuellen Zuschriften.
  • binomische Formel

    14.09.2024, oliver fiedler
    Und ich dachte schon, dass es sich um einen Spezial Fall der binomischen Formel (a+b) (a-b) = a² - b²

    aber danke lach ich wohl falsch ;-)
  • Re: Gilt diese Regel grundsätzlich?

    14.09.2024, Thorsten
    Anderer Lösungsansatz mit der mittleren Zahl als Basis:
    (a-1)*(a+1) = a^2 - 1
    Das ist die dritte binomische Formel, also... :)
  • Drei aufeinander folgende, natürliche Zahlen

    14.09.2024, Arnold Nipper
    Ist das Produkt der "äußeren" Zahlen immer um 1 kleiner als das Quadrat der "inneren"?

    Der Beweis wird noch klarer, wenn die Zahlen mit (a-1), a und (a+1) bezeichnet werden.

    Man erkennt sofort, dass das Produkt der dritten binomischen Formel entspricht, also a²-1 ist. q.e.d.

    Viele Grüße
    Arnold Nipper, arnold@nipper.de
  • Drei aufeinander folgende, natürliche Zahlen

    14.09.2024, Arnold Nipper
    Ist das Produkt der "äußeren" Zahlen immer um 1 kleiner als das Quadrat der "inneren"?

    Der Beweis wird noch klarer, wenn die Zahlen mit (a-1), a und (a+1) bezeichnet werden.

    Man erkennt sofort, dass das Produkt der dritten binomischen Formel entspricht, also a²-1 ist. q.e.d.

    Viele Grüße
    Arnold Nipper, arnold@nipper.de
  • Anmerkung zu "Gilt diese Regel grundsätzlich?" - Rätseln mit Eder

    14.09.2024, Gerd Blanke
    Vielen Dank für viele nette mathematische Rätsel, die helfen, Im Kopf ein wenig fit zu bleiben!
    Vielleicht darf ich folgendes anmerken: Wenn in der Beweisführung die drei benachbarten Zahlen nicht mit a, a+1, a+2 umschrieben werden, sondern mit a-1, a, a+1, führt das Produkt der beiden Nachbarzahlen sehr schnell zur 3. binomischen Formel: (a+b)*(a-b) = a*a - b*b (mir fehlt hier die Möglichkeit, Quadratzahlen/Potenzen zu schreiben) => (für b=1) a*a - 1. Was zu beweisen war.
    Zugleich zeigt dies ganz allgemein für alle anderen Zahlen-Triple, die in gleichem Abstand aufeinander folgen, dass das Produkt der beiden äußeren Zahlen um das Quadrat ihres Abstandes zur mittleren Zahl kleiner ist als das Quadrat der mittleren Zahl: a*a - b*b
  • Die Regel gilt für sämtliche Zahlen

    14.09.2024, Peter Stratmann
    Die Regel gilt für sämtliche Zahlen. Dahinter steckt die dritte Binomische Formel. Nennt man die mittlere Zahl b, dann gilt immer: (b-1)(b+1)=b^2-1. Die Regel ist nicht auf natürliche Zahlen oder ganze Zahlen beschränkt.
  • Ganz einfach: a^2 - b^2 = (a + b).(a - b)

    14.09.2024, Benoît Dupe
    In dem Fall ist a = n unb b = 1
    (n - 1).(n + 1) = n^2 - 1

    (5 - 1).(5 + 1) = 5^2 - 1

    VG
    Benoit

  • Artikel über das Auswahlaxiom

    14.09.2024, Florian Heß
    Mir hat Ihr Artikel über das Auswahlaxiom gut gefallen. Über folgende Sätze bin ich aber etwas gestolpert. Es geht um die Menge (0,1): "Laut Wohlordnungssatz hat diese Menge ein kleinstes Element – aber welches? Was ist die kleinste Zahl, die größer ist als 0? Darauf gibt es in der Standardmathematik keine Antwort"
    Beim Wohlordnungssatz geht es aber darum, die Menge anders zu ordnen als vielleicht vorher, und bezüglich dieser (neuen) Ordnung hat dann jede nicht leere Teilmenge ein kleinstes Element, also auch die Menge selbst. Man könnte sich hier zum Beispiel ein beliebiges Element x aus (0,1) aussuchen, die Menge (0,1) ohne x wohlordnen und dann x < y für alle y in (0,1) ohne x definieren. Das gibt dann eine Wohlordnung auf (0,1), und x ist bezüglich dieser Ordnung das kleinste Element von (0,1).
    So etwas ähnliches können Sie aber auch ohne Wohlordnungssatz erreichen: Wir setzen die übliche Ordnung auf (0,1) ohne x zu einer Ordnung auf (0,1) so fort, dass x < y für alle y in (0,1) ohne x definiert wird. Das gibt dann eine neue Ordnung auf (0,1) bezüglich derer x das kleinste Element ist. Anders als bei der Wohlordnung oben gibt es dann aber kein nächstgrößeres Element von x, weil es in (0,1) ohne x kein kleinstes Element gibt ( bei der Wohlordnung oben schon).

    Die Betonung und Schwierigkeit beim Wohlordnungssatz liegt also darin, dass nicht nur die Menge selbst, sondern dass jede nicht leere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt.
  • Die größte Kontroverse der Mathematik

    14.09.2024, Peter Zwiauer
    Es gibt ja weitere Axiomsysteme wie z.B. Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre (NBG), New Foundations (NF),
    Scottsches Axiomensystem, ...

    Wenn man die Beschreibbarkeit der Welt durch Mathematik betrachtet, dann sind scheinen Axiomsysteme in gewisserweise eine vergleichbare Stellung zu haben wie die Naturgesetze.

    Mich würde interessieren, ob
    - es Untersuchungen darüber gibt ob die verschiedenen Axiomsysteme in Bezug auf die Beschreibbarkeit der Welt gleich mächtig sind,
    - eine Fundierung der Axiomsysteme in der Natur möglich ist.

    Ein Beitrag zu diesem Thema wäre interessant.

    Mit freundlichen Grüßen --- Peter Zwiauer
  • Hemmes Rätsel 11.9.

    13.09.2024, Markus Frank
    Ihre Lösung ist ungenau, denn 25/49 entspricht nicht 51% sondern etwas mehr, nämlich 51,02040616%
  • Anderer Lösungsansätze zum grün orangen Rechteck

    12.09.2024, Gunther Troost
    Ich habe die grünen Flächen als Dreiecke genommen. ADie Seitenlänge definiere ich als 1, ist unerheblich. Die Höhe des äußersten ist 1/7*√2, die Breite 2/7*√2.
    Die Höhe des zweiten orangenen Dreiecks ist 2/7*√2, die Breite 4/7*√2. Die Höhe des dritten grünen Dreiecks ist 3/7*√2, die Breite ist 6/7*√2.
    Das grüne Viereck ist die Differenz aus dem dritten Dreiecks und dem 2. Dreieck. Dann werden die Flächen der grünen Figuren addiert und mit 2 multipliziert. Die Differenz 1 - grüne Fläche ist dann die orangene Fläche
    2*1/2*(4/49 + 36/49 - 16/49) = 24/49 orange, 1 - 24/49 = 25/49 grün.
  • Betrifft Hemmes Rätsel 11.09

    12.09.2024, Roy Eckert
    Hallo.
    Ich denke, da hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen.
    "Folglich sind (10 · 1 + 4 · 1/2 + 2 · 1/4)/(18 · 1 + 12 · 1/2 + 2 · 1/4) = *12,5/24,5*" nicht 25/49
    Also.. Das Verhältnis stimmt natürlich. Das Zwischenergebnis wären allerdings halbe Quadrate.

    MfG


    Roy

    https://www.spektrum.de/raetsel/wie-viel-prozent-des-quadrats-sind-orange/2225094
  • Sitzverteilung Landtag

    08.09.2024, Daniel Lanz
    Es gibt noch ein weiteres Verfahren: Doppelter Pukelsheim.
    Diese Methode
    - bevorteilt (ein bisschen) die kleinen Parteien
    - wird teilweise in der Schweiz eingesetzt
    - wurde an der Uni Augsburg entwickelt
  • Zehn Sextilliarden in Asien

    21.08.2024, Thomas
    „Es gibt keinen gebräuchlichen Namen für die Zahl, bei der 40 Nullen auf eine 1 folgen.“

    Doch, zum Beispiel 正 (zhèng im Chinesischen, sei im Japanischen). Besonders bemerkenswert, weil es keine zusammengesetzten Zahlworte sind, sonder wirklich eigene Namen. Und es würde mich nicht wundern, wenn man ähnliches noch in weiteren Sprachen findet.
  • Das erinnert mich sehr an die "Radosophie"

    20.08.2024, Peter Müller
Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.