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Mit dem Artenschutz ist es so wie mit dem Klimawandel. Die Uhr steht immer auf kurz vor zwölf. Und das schon seit Jahrzehnten. Gerade ist es in Teilen Europas so heiß, daß Vögel vom Himmel fallen sollen und Flüsse austrocknen, und die Mahner der Welt sagen - noch ists nicht zu spät -. Na, dann geht's ja noch. Vor fünfzig Jahren mahnte schon Professor Grzimek uns ständig, die letzten ihrer Art zu schützen. Wenn der gute Professor gerade mal aus seinem Grabe herauskommen könnte, und sehen - was heute auf der Welt los ist, er würde tot umfallen. Dabei hat er schon damals oft in verzweifelter Hoffnungslosigkeit gelebt. Der Mensch versteht nicht, was er tut. Er strebt stets nach mehr und mehr, und sägt permanent an dem Ast, auf dem er sitzt. Daran wird auch der Film - everything change - nichts ändern. Leute im Drogenrausch kann man nicht wachrütteln. Und der Mensch befindet sich im ständigen Rausch. Die Droge heißt Leistung - Erfolg - Geld und Macht.

Vielleicht wissen wir Menschen gar nicht, was für ein Glück wir haben. Wenn man die Fotos betrachtet, die Astronauten von unserer Erde gemacht haben, muß einem doch klar sein, wie einzigartig diese Welt ist. Ein blaugrünes Juwel in der Schwärze des Weltalls. Kein anderer uns bekannter Himmelskörper ist da nur minimal vergleichbar. Der Mars staubige Ödnis - luftleer und trocken. Die Venus eine heiße Gashölle. Und die vielen extrasolarischen Planeten, von denen wir inzwischen wissen, sind auch nicht besser. Ausserdem viel zu weit weg. Wir leben in einem Paradies. In einem schönen Haus. Und wir machen es kaputt.

Kein Mensch würde das in seiner privaten Welt tatsächlich tun. Wir pflegen und putzen und kümmern uns um das, was zu uns gehört. Es sei denn, man ist krank und verrückt. Ist die Menschheit vielleicht krank und verrückt? Man sollte es fast annehmen. Gerade ist wieder Krieg in Europa. Putin ist schuld. Oder doch die ungehemmte Expansion des Westens? Wie bei jeder Schuldfrage ist die Antwort stets die Gleiche. Zu einem Streit gehören immer zwei. Mindestens. Und - die Intelligenz sagt uns, daß man Meinungsverschiedenheiten stets ausdiskutieren sollte. Greift man zur Gewalt, geht immer viel kaputt. Oft sogar alles.

Wir sind als Mensch leider viel zusehr auf uns selbst fixiert. Bei einer kriegerischen Auseinandersetzung sterben Menschen. Träume und Hoffnungen. Klar. Aber es sterben auch viele Tiere. Katzen, Hunde, Vögel, Fische. Und jede Menge Pflanzen. Na ja. Aber wir sollten sowas ernst nehmen. Schon aus Respekt. Ohne die grünen Pflanzen gäbe es keine Menschen. Und sonst auch nicht viel. Ich muß oft an Hiroshima denken. In einer Sekunde verdampfen nicht nur tausende Menschen. Es starben auch viele Millionen andere Leben. Wir sollten in unserem Denken vorsichtig sein. Und in unserem Handeln. Die atomare Bedrohung ist vielleicht näher als je zuvor. Ein in die Ecke getriebenes Tier ist gefährlich.

Aber nicht nur der Krieg ist eine Gefahr. Tatsächlich leben wir auch so in einer kriegerischen Welt. Sie scheint uns nur normal und friedlich. Wir treiben Sport. Fußball, Handball, Leichtathletik. Um was geht's da wirklich? Mit Sicherheit nicht zuletzt ums Gewinnen. Und wo jemand gewinnt - verliert auch jemand. Das ist Scheiße. Gibt's keine Spiele, bei denen keiner verliert? In der Geschäftswelt wird zuweilen von einer Winwin Situation geredet. Tatsächlich sind wir einen Gutteil unseres Lebens damit beschäftigt, mit unserer Arbeit uns und unserer Firma - unserer Partei einen Vorteil zu verschaffen. Wir machen Profit. Wachsen. Das ist der Tenor in unserem Leben. Besser zu sein als die anderen. Und die verlieren dann. Ist das nicht Krieg? Ist das überhaupt fair. Ein wertvolles Leben?

Man sollte keinen Sozialismus predigen. Diese Experimente gingen doch total schief. " Sozial " ist ja mittlerweile fast ein Schimpfwort geworden. Obwohl - in letzter Zeit wird wieder so ein sozialer Ausdruck öffentlich verwendet. " Gemeinsam " Mit vielen !!!! hintendran.Ob das wohl nicht auch wieder schiefgeht? Der soziale Gedanke ist sicher politisch deshalb gescheitert, weil die, die ihn an der Macht vertreten sollten, eben keine sozialen Menschen waren. Nach oben - an die Macht - kommen meist nur die, die sich rücksichtslos durchsetzen können. Sagt jedenfalls die Psychologie. Wenn auch hinter vorgehaltenen Händen.

So scheint es ziemlich aussichtslos. Kurz vor zwölf. Der Autor dieser Zeilen hat die pulloverstrickenden Grünen damals im Bundestag fast bewundert. Hoffnung! Nun sind sie ganz oben, und streiten für mehr Waffen und Kohlekraftwerke. Vorübergehend und ausnahmsweise. Bis wann? Bis kurz nach zwölf? Ich weiß, da kam dieser verdammte Diktator dazwischen. Ich weiß auch, daß ich seit zwanzig Jahren gegen die Mulchmäher kämpfe. Seitdem diese Schredderer überall gegen dieses elende Unkraut eingesetzt werden, sterben die Insekten aus. Weil die ja meist in dieser grünen Welt leben. Weiß man ja durch die Zecken. Und die werden mitgeschreddert. Also die Insekten. Das überleben die nicht. Und auch die nicht, die von den Insekten leben. Also Vögel etwa oder Igel oder Feldhamster oder Menschen. Artensterben. Kurz vor zwölf hab ich versucht, was gegen diese dumme Technik zu unternehmen. Jetzt ists kurz nach zwölf.

Aber es ist halt so. Der Mensch führt gerne Krieg. Das ist Evolution. Survival of the fittest. Auch wenns nur gegen das Unkraut geht. Mit Motorsense im Kampfanzug. Und wie das fetzt! Wie war das? Woher kommt der Sauerstoff auf der Erde? Durch Photosynthese? Was haben wir gegen die grüne Welt? Na klar, alles muß sauber sein. Außerdem brauchen wir Soja für den Fleisckonsum und Kokosöl zum braten. Oder für Kosmetik. Dafür werden ganze Urwälder abgemetzelt. Mitsamt allem Leben, das darin existiert. Eigentlich brauche ichs nicht zu sagen. Wir sind alle kleine Krieger. Beim spielen, arbeiten, Auto fahren, einkaufen, am Ballermann und zuhause. Das ist ganz normal und menschlich. Kriege zu führen. Letztendlich gegen uns selbst.

Man sollte keinem einen Vorwurf machen. Die einen wollen das, die anderen jenes. Rumms. Das war schon immer so. Schon bei den Dinos. Also - bitte keine falschen Anschuldigungen. Das ist Natur. Kein Tier, kein Mensch kann leben - ohne zu töten. Steine kann man nicht essen. Wir leben nur, weil wir anderes Leben fressen. Auch die Veganer. Salat ist auch lebendig. Und ausgerechnet der ist einer, der unschuldig ist. Wie alle Pflanzen. Die fressen niemanden, die meisten jedenfalls. Sie leben von Mineralien, Wasser, Kohlenstoff und Licht. Ich bewundere sie. Wenn ich das doch nur auch könnte. Die Arme in die Sonne strecken, ein paar Triebe in den Boden stecken und genießen. Schade. Aber immerhin, die Erkenntnis erzeugt Respekt. Bewundernden Respekt. Vielleicht ist es das, was uns fehlt.

Also Erkenntnis und Respekt. Klar - wir sind Menschen und sind halt so - aber wir haben allem anderen Leben etwas voraus. Wir können Denken. Erkennen und Planen. Und Respektieren. Das ist etwas wunderbares. Etwa so wunderbar wie der blaugrüne Juwelplanet von ganz oben. Nur wir Menschen haben diese Kleinodeigenschaft. Vielleicht hat uns ja der Planet etwas von sich abgegeben. Ein wenig von seiner strahlenden Schönheit. In jedem von uns. Immerhin - wenigstens ein strahlender Gedanke. Nur denken müssen wir ihn. Erkennen. Nicht immer nur Krieg und kämpfen und gewinnen.

Nun ists schon viertel nach. Oder halb eins? Eigentlich zu spät. Schade. Und doch - wenn wir uns vielleicht bewußt werden, was wir sind und tun und wollen, wenn wir uns also erkennen, vielleicht gelingt es uns doch, die Uhr noch einmal zurückzudrehen.

Sehr geehrte Damen und Herren,
die Lösung des Rätsels scheint nicht ganz zu den Grafiken zu passen, da dort kein graues Dreieck eingezeichnet ist. Auch fehlen in den Grafiken die Punktnamen.
Sehr einfacher als in der Lösung geht aber meine Lösung. Da die Summen der Innenwinkel eines Dreiecks immer 180° sind, müssen die bekannten Innenwinkel von 45° und 70° von 180° subtrahieren werden, wodurch man ebenfalls auf 65° kommt.

Mit freundlichen Grüßen

Jonas Börje Lundin

Die Aufgabe ist ein schönes Beispiel dafür, warum Variablen so praktisch sind.
Steht x für die Zahl 1.111.111, so gilt für die gesuchte Zahl n:
n^2 = ( 10^7 * x + 2x ) - 3x = (10^7 - 1) * x
Dabei ergänzt die Multiplikation von x mit 10^7 die Ziffernfolge von x um sieben Nullen am rechten Ende, die durch Addition von 2x durch Zweier ersetzt werden. Beachte, dass 10^7 - 1 = 9.999.999 = 9x. Demnach gilt:
n^2 = 9x^2
Somit gilt n = 3x = 3.333.333, was die gesuchte Wurzel ist.

Winkelsumme im Dreieck immer 180°

Gibt es keine andere Lösung zu dieser Frage? Um festzustellen dass EFG gleich GCPunktVonDemAusLotAufCEDasDurchGVerläuft ist muss man ja irgendwie nachmessen, und dann könnte man ja gleich den ? Winkel messen, oder gibt es eine möglichkeit das zu beweisen?

Sehr geehrte Damen und Herren,
ich schätze Herrn Hemmes Rätsel sehr und insbesondere die oft cleveren Lösungsansätze, die die Rechnung sehr kurz machen.
Für das Quadratwurzel-Rätsel kann ich eine kürzere Lösung vorschlagen:
(11 111 112 222 222 – 3 333 333) = 11 111 111*(10 000 0002-3)
= 11 111 111*(99 999 999) = 11 111 111*(11 111 111 *9) = 3 333 333²
Dann lässt sich auch eine Systematik erkennen, die die Konstruktion ähnlicher (d.h. kürzerer oder längerer) Terme erlaubt. Z.B.:
33² = 11²*3² = 11*(11*9) = 11*(99) = 11*(102-3) = 1122-33
Viele Grüße Georg Raabe

Zurzeit ist das Artensterben wieder in Mode. Jeder, der sich auch nur im geringsten berufen fühlt, schreibt darüber. Dabei sterben ständig Arten aus und es kommen neue hinzu. Bisher war es so in der Erdgeschichte. Sogar Extinktionen von 80 % hat es gegeben. Und? Heute existieren auch Arten. Der Mensch mit seinem Einfallsreichtum wird es überleben - da bin ich mir ganz sicher. Die jetzigen Angstmacher und Populisten wollen sich nur Gehör verschaffen und den Menschen, die wenig Informationen haben, Angst machen. Warum? Und diese Populisten tauchen immer wieder regelmäßig auf. Ob es der saure Regen ist mit der Annahme, dass es schon vor dem Jahre 2000 keinen Wald mehr gibt, oder mit dem Ozon-Loch, dass dafür sorgt, dass wir alle schon längst an Hautkrebs verstorben sind. Mich kotzt das langsam an. Haben die Herrschaften sonst nichts zu tun, als nur den Menschen Angst zu machen? Unser Wissen und unsere Technoglogien entwickeln sich immer schneller weiter. Über das, was uns heute angeblich Angst machen soll, werden wir morgen lachen. 1900 gab es Peterchens Mondfahrt. Da hat niemand geglaubt, dass die Amerikaner 1969 auf dem Mond stehen. Und seither geht die technologische Entwicklung immer schneller voran. Ich weiß nicht, wem diese Angstmacherei nutzt? Haben wir denn nicht schon genug Probleme, die wesentlich dringender sind als das angebliche Artensterben? Wichtig wäre es jetzt Wasserpiplines in die Trockengebiete der neuen Bundesländer zu leiten, um deren Wassermangel zu beseitigen. Stattdessen wird sinnlos mit CO2 Zertifikaten gehandelt. Leute putzt mal euer Gehirn aus und schaut mal, was jetzt am wichtigsten ist - und nicht erst was in 10 oder 20 Jahren sein wird! Bei dem Fortschreiten der Technologie werden unsere heutigen Bemühungen in 20 Jahren nur noch belächelt werden.

Statistisch betrachtet ist das Collatz-Problem gut nachvollziehbar, wenn man folgende vorgehensweise nimmt:
Jede zweite gerade Zahl ist durch 4 teilbar und jede vierte durch 8.
Somit sind beispielweise bei 4 geraden Zahlen durchschnittlich 2 nur durch 2 teilbar, eine durch 4 (und nicht durch 8) und eine durch 8.
Bei einer 8 wird die Collatz-Zahl also 3 mal nacheinander durch die 2 geteilt.
Wenn man jetzt für die 4 Zahlen nach der Collatz-Regel vorgeht, erhält man für die ungerade Zahl X:

(X*3 + 1)/2 = 3/2 X + 1/2
[(3/2 X + 1/2)*3 + 1]/2 = 9/4 X + 5/4
[(9/4 X + 5/4)*3 + 1]]/4 = 27/16 X + 19/16
[(27/16 X + 19/16)*3 + 1)/8 = 81/128 X + 73/128 ~ 0,6328 X + 0,57... = Y

Nun kann man die gleiche Prozedur für die zahl Y vornehmen.
Nach mehreren Durchläufen wird auch eine große Zahl X unterhalb der 3 reduziert und somit durch die Grundfälle für X = 2 oder X = 3 lösbar.

Ein interessante Rezension und ich bin auf das Buch gespannt.
Als Bild für den Artikel wäre es vielleicht besser gewesen, jemanden zu nehmen, der das sprichwörtliche Brett vor dem Kopf und Scheuklappen an den Augen hat und den Blick auf die Schreibtischkante gerichtet hat.
Mit freundlichen Grüßen
Otto Schäfer

In den Zellen 3 und 4 der Kosinussatzgleichungen steht fälschlicherweise jeweils y statt y^2. Wegen des anschließenden Gleichsetzens fällt der Fehler nicht ins Gewicht.

>>Bis zur Einstelligkeit herunter gerechnete Quersumme Primzahl= 2 oder 5 oder 8 bedeutet, dass die Primzahl auf f(x)=6x-1 liegt, bis zur Einstelligkeit herunter gerechnete Quersumme Primzahl=1 oder 4 oder 7 bedeutet, dass die Primzahl auf f(x)=6x+1 liegt. Mathematisch beweisen kann ich Ihnen das nicht, ist aber wohl so...<<
Das ergibt sich daraus, dass Vielfache von Sechs als einstellige Quersumme (1,2,3)*3 haben, also Drei, Sechs oder Neun.
Wenn das Vielfache von Sechs um Eins inkrementiert wird, liegt dieeinstellige Quersumme (die Quersumme aller Zwischenquersummen) auch um Eins höher. Ergo Vier, Sieben oder Eins. Für 6x-1 ist die Argumentation analog.

Der Beweis, dass jedes n € N+ irgendwann qua Collatzfolge bei derEins landet, führt am Ende auch nur über Probability und die Willkürlichkeit der Folgenglieder.
3n+1 ergibt immer eine gerade Zahl. Jede zweite gerade Zahl ist nur einmal diophantisch durch Zwei divisibel. Von den restlichen fünfzig Prozent der geraden Zahlen ist jede durch Vier, jede zweite durch Acht, jede vierte durch Sechzehn usw. divisibel.
Wenn man jetzt jede Reduktion von 3n+1 mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit der Division durch Zwei hoch n gewichtet, sieht man sofort, dass eine stetige Verkleinerung stattfindet. Statistisch ist jeder zweite Reduktionsschritt eine Division durch Zwei hoch Eins, was beim nächsten 3n+1 zu einem Wachstum führt (3/8*n +3/8.) Dann jedoch folgt statistisch bereits eine Division durch Vier, und das bei jeder zweiten Division reichte bereits hin zu stetiger Reduktion. Tatsächlich ist aber p(Division durch 2^3 = dreimal durch Zwei dividiert) bereits ein Viertel aller Reduktionsschritte, was die stetige Reduktion noch beschleunigt. p(Division durch 2^n) = 1/2^(n-1).
Diese Argumentation ist genauso zulässig wie die Aussage, dass der Anteil teilerfremder Paare zw. Anzahl Folgeglieder und Summe aller Glieder einer Collatzfolge versus Eins minus Sechs durch Pi quadrat konvergiert.

"Indem man dann die Wurzel aus 6/(a/n) bildet, erhält man eine Näherung für Pi."
Ich bin ein wenig über diesen Satz gestolpert, da mein Taschenrechner mir erst andere Ergebnisse ausgegeben hat als jene, die im Artikel folgen. Das lag daran, dass ich den Satz in folgende Formel übersetzt habe: √(6)/(a/n)
Erst nach einigem Probieren ist mir aufgefallen, dass es √(6/(a/n)) sein muss, sprich der ganze Term 6/(a/n) gehört unter den Wurzelstrich.
Ansonsten finde ich den Artikel jedoch sehr anregend.

Guten tag.

Die collatz-vermutung ist ein sehr interessantes thema für sich allein genommen. es nur dazu herranzuziehen zufallszahlen zu produzieren um dann dadurch pi zu finden ist etwas weit hergeholt und unnötig.

natütlich würde ich ich mich über artikel über collatz oder das basel-problem sehr freuen, aber dann bitte etwas ausführlicher.

über einen versuch den "fast-beweis" von terrence tao darzustellen würde ich mich ungemein freuen. oder eine erklärung was die summe der quadrat-reziproken mit pi/einen kreis zutun haben.

MfG bob

ps.: ich applaudiere jedem der versucht mathe der allgemeinheit nahezubringen, *applaus*

pps.: ich hatte mal ne stunde mit 4.Klässlern denen ich collatz aus spaß mal nähergebracht hatte, einige haben da echt ne weile nach zahlen gesucht, war eine gute stunde.

Es gilt x/80=cos(15). Mit Hilfe des Additionstheorems
cos(2a) = 2 cos(a)^2 - 1 und cos(30) = sin(60) = 1/2 sqrt(3)
ergibt sich
cos(15) = sqrt( 1 + cos(30) ) / 2 ) = sqrt( 2 + sqrt(3) ) / 2

Aus der von Eder genannten Lösung geht hervor, dass
cos(15) = x/80 = 40( 1 + sqrt(3) ) / sqrt(2) / 80 = ( sqrt(2) + sqrt(6) ) / 4
Also gilt
sqrt( 2 + sqrt(3) ) / 2 = ( sqrt(2) + sqrt(6) ) / 4