Kommentare - - Seite 32

Die Flächenberechnung lässt sich einfacher vornehmen. Indem man den Radius des kleinen mit dem großen Kreis konzentrischen Kreises gegen Null gehen lässt und anschließend, wie in ihrer Lösung, den mittelgroßen Halbkreis um 180 ° um den Mittelpunkt dreht, erhält man einen Halbkreis mit dem Radius zwei. Der hat dann die Fläche 1/2 π*4=2π

Vielen Dank für den sehr interessanten Beitrag! Im Minkowski-Vektorraum der der Speziellen Relativitätstheorie zerlegt man die Transformationen in eine Drehung und einen nachfolgenden "Boost" (Übergang in ein zu dem eigenen System bewegtes, aber nich gedrehtes System) - oder umgekehrt. Die Drehung lässt sich dabei mit trigonometrischen (sin, cos, ...) , der Boost mit hyperbolischen Funktionen (sinh, cosh,...) darstellen. Kann man für diese sog. Lorentz-Transformationen auch mit Hilfe der Quaternionen ebenfalls eine Vereinfachung erreichen, etwa indem man den Realteil nicht auf 0 setzt? Allerdings hätte man da nur 4 "Freiheitsgrade" statt der benötigten 6. Wenn überhaupt, dann müsste es wohl anders gehen.

Umgekehrt kommen Oktonionen (als Verallgemeinerung der Quaternionen) nicht in Frage, da sie noch nicht einmal assoziativ sind. Wenn man sich aber auch auf einen assoziativen Teilbereich mit 6 Freiheitsgraden beschränkt...???

PS.: Den Latex-Code kann man auch in Wikipedia umsetzen, indem man ihn in $...$ einschließt statt in \(...\)

Vielen Dank für den Beitrag! Im Studium haben wir die Definition i^2 = -1 verwendet. Definiert man i über die Wurzel aus -1, führt dies zu einem Widerspruch:

-1 = i^2 = sqrt(-1) * sqrt(-1) = sqrt(-1*-1) = sqrt(1) = 1

Viele Grüße

Ohne die gleichung zu kennen fällt mir ein klammerfehler auf: es gibt eine schliessende Klammer mehr - ich würde vermuten die öffnende gehört direkt hinter das =-zeichen. Außerdem würde ich erwarten dass es w*k und nicht w*z heisst.

In der Formel für die Rotation mit Quaternionen sind zwei bzw. drei kleine Fehler. Vorne fehlt die öffnende Klammer. Und sowohl im vorderen als auch im hinteren Faktor muß es ...+ wk) heißen statt ...+ wz).

Sehr schöner Beitrag, der mir endlich gezeigt hat wie Quarternionen funktionen.
Nur über dem letzten Bild ist der Latex-Code anstatt der entsprechenden Formel sichtbar.

Ein Blogger hat die hier unkritisch wiedergegebene Behauptung Katrine Marçals unter de Lupe genommen (Link zum Artikel), es sei das weibliche Image der frühen Elektroautos gewesen und nicht die unzureichende Batterietechnik, die Anfang des 20sten Jahrhunderts deren Erfolg verhinderte.

Fazit dort: Diese Behauptung ist wahrscheinlich unzutreffend. Hoffentlich hat Frau Marçal den Rest ihres Buchs sorfältiger recherchiert. Ich denke, im Rahmen einer Rezension gerade bei Spektrum der Wissenschaft sollte man Autor*innen nicht alles einfach so abnehmen. Gerade die etwas spektakulären Behauptungen müssen meist mit Vorsicht geommen werden.

Interessanterweise ist das Ergebnis des PRODUKTS zweier Kubikzahlen, also von
2^3 MAL 6^3
(logischerweise gleich)
3^3 MAL 4^3
gleich
1728
Also die kleinste Zahl, "die auf zwei verschiedene Arten als PRODUKT von zwei Kubikzahlen darstellbar ist".
Knapp vorbei ...

Wesentlich leichter lässt sich das lösen durch Betrachten der Neunerrest. Der Neunerrest einer Zahl ist bekanntlich gleich (dem Neunerrest) der Quersumme, und der Neunerrest einer Summe ist gleich der Summe der Neunerreste (immer modulo 9 betrachtet). 2+2+1=5, und Summe von 1 bis 9 ist 45 (mit Neunerrest 0), also fehlt 4.

Satz: Keine natürliche Zahl ist langweilig

Beweis: Gäbe es langweilige natürliche Zahlen, so gäbe es auch eine Kleinste. Die kleinste langweilige Zahl wäre aber hochinteressant und daher nicht langweilig. QED

In Ihren netten Artikel hat sich wohl der Fehlerteufel eingeschlichen.
Die Zahl 1729 lässt sicht nicht als Summe zweier Dreierpotenzen darstellen.
Diese sind ja Zahlen der Form 3 hoch n. Eine Dreierpotenz ist damit ungerade und die Summe zweier solcher Dreierpotenzen muss gerade sein und ist also sicher nicht 1729.
Gemeint ist wohl, dass sich 1729 als Summe zweier Kubikzahlen, also Zahlen der Form n hoch 3, darstellen lässt.
In unserem Fall wären das 1729 = 10^3 + 9^3 = 12^3 + 1^3 .

Viele Grüße, Thomas Seibold

Der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan (1887- 1920) hatte sich in seiner Jugend Mathematik selbst beigebracht. In seinem Nachlass befinden sich ca. 6000 Formeln ohne Beweis. Ramanujan hatte sie aufgeschrieben wie Eingebungen. Vermutlich hatte er ein unvorstellbar ausgeprägtes Gefühl für Zahlen. Eine seiner Formeln war
√(∛28-∛27) =1/3∙(∛98-∛28-1)
Heute können wir mit Hilfe eines Computer-Algebra-Systems (CAS) leicht nachweisen, dass die Aussage wahr ist.
Die Zahlen 28 und 98 weisen auch für einen Menschen mit weitaus weniger entwickeltem Zahlengefühl eine Besonderheit auf: 28=22·7 und 98=2·72. Auch die 27 und sogar die 3 haben eine gewisse Beziehung zur 28, nämlich 27=28-1 und 3=∛(28-1). All diese Auffälligkeiten veranlassen zu einem Experiment: Man setze a an die Stelle von 7. Dann wird aus Ramanujans Formel:
√(∛4a-(4a-1)/(a+2))=√(1/(a+2))∙|∛(2a^2 )-∛4a-1|
Man kann den Nachweis der Gültigkeit dieser Formel von einem Computer-Algebra-System unterstützen lassen. Zusätzlich ist es zweckmäßig, für einige Teilterme eine andere Schreibweise als das CAS zu wählen. Danach ist für jede positive Zahl a eine Ramanujan-Formel gefunden. Zum Beispiel wird für a=10 und etwas Termumformung diese Formel gefunden:
√(8∙∛5-13)=1/√3∙(2∙∛25-2∙∛5-1)

Wer ist hier überheblich?? Jedenfalls nicht der Mann vom Fach.

Frau Bischoff schreibt:
Der Wert 20 067 scheint also recht langweilig. Doch das kann sich ändern. Vielleicht erscheint schon während des Schreiben dieses Artikels eine neue Folge, in der 20 067 in den ersten Folgengliedern auftaucht.

Ja! Die Folge der Mittelwerte je zweier aufeinanderfolgender Primzahlen

ob es unendlich viele Primzahlen nach der o.g. Formel gibt, ließe sich z.B. mit der folgenden javascript-Routine überprüfen:

prim=0
a=0
function zaehle(){
a++
prim=1
fin=Math.floor(Math.sqrt(a))+1
for(b=2;b qu=a/b
if(qu==parseInt(qu)){prim=0;b=fin;}
}
if(prim==1)document.write(a + " ")
}

Wird auch nur ein Treffer erzielt, ist die Annahme Landaus falsch.