Kommentare - - Seite 18

Netter Artikel.

Was mir aber fehlt - und was mir auch bei den Vorlesungen dazu, welche ich in den 00er Jahren dazugehört hatte, fehlte - war nun im Prinzip der Beweis (oder zumindest eine Beweisskizze), warum es keine weiteren sogenannten sporadischen Gruppen gibt (und geben kann). Und solange ich den Beweis nicht kenne (und nachvollziehen kann und verstanden habe), bleibe ich in Bezug zu der Katalogisierung (oder Kategorisierung) der endlichen, einfachen Gruppen dabei, dass es 18 Familien von endlichen, einfachen Gruppen und mindestens 26 weitere (endliche) einfache Gruppen, welche sporadische Gruppen genannt werden, gibt - allerdings die Fachwelt der Meinung ist, dass es nur die 26 (bekannten) sporadischen Gruppen gibt (und der entsprechende vollständige Beweis erbracht wurde). Oder anders ausgedrückt: Beim Klassifikationstheorem (der endlichen einfachen Gruppen) fehlte - bei der Literatur, welche ich dazu kenne - immer der (vollständige) Beweis des Theorems (dieses gilt übrigens auch für den Link im Artikel), wobei mir der Teil des Beweises (oder auch eine Skizze des Beweises) bzgl. der sporadischen Gruppen (und warum es keine weiteren geben kann) reichen würde.

Die Zahlenerweiterung basierte kontinuierlich auf die Berechenbarkeit. Die Berechenbarkeit führte damit auch zu den Irrationalzahlen, aber sie sagt über die Verteilung der Rational- und Irrationalzahlen in den Reellen nichts aus. Sie hängt wohl lieber mit den Primzahlen und dem Dezimalsystem zusammen.
Die Irrationalzahlen sind keine abgebrochene und keine periodische Dezimalzahlen.
Die Teiler von 10 sind 2 und 5, die die Periodizität bestimmen. Die 2 und 5 sind Primzahlen. Sei p(1)=2; p(2)=3;....usw
Sei P=p(1)×(2)×.......×p(n)
Nimmt man einen P-Zahlensystem größer als 10, dann erhöht sich die Anzahl der Razionalzahlen in Bezug auf den P-Zahlensystem.
Je größer ist der Grad des P-Zahlensystem, desto mehr wird die Verteilung der Irrationalzahlen in der Menge der Reellen der Verteilung der Primzahlen in der natürlichen Zahlenfolge N entsprechen.

*Schließlich könnte sich das Muster erst nach mehreren Lichtjahren wiederholen*
Echt jetzt?

"Vielleicht fällt Ihnen ja etwas besseres ein."

Es heißt: etwas Besseres.

Wie viel Prozent deckt ...

Es gibt noch weitere Lösungen zu „5 Teile“, bspw.:
ABBBBCC
ABBBBCC
ADDDDDD
ADDDDDD
EEEDDDD
EEEDDDD
EEEDDDD
aus A, B und D lässt sich ein 6x6-Quadrat zusammenfügen:
DDDDDD
DDDDDD
BBDDDD
BBDDDD
BBDDDD
BBAAAA
die Quadrate 2x2 (C) und 3x3 (E) bleiben unversehrt.
Spannend ist die Frage, ob es eine Lösung zu „4 Teile“ gibt oder ob bewiesen werden kann, dass es keine gibt. Für eine Lösung „4“ müsste offensichtlich das 6x6-Quadrat in 2 Teile so zerlegt werden, dass sich aus diesen und den beiden Quadraten 2x2 und 3x3 das 7x7-Quadrat zusammenfügen lässt. Zumindest wäre als „Beweis“ möglich, alle (endlich vielen) möglichen Zerlegungen des 6x6-Quadrats in 2 Teile durchzuprobieren, ob sie die gesuchte Zusammenfügung ermöglichen.
Dabei ist allerdings noch unterstellt, dass die 1x1-Quadrate unversehrt bleiben müssen, dass also ein schräger oder sogar ein nicht geradliniger Schnitt, der nicht den Grenzen der 1x1-Quadrate folgt, unzulässig ist (was die Aufgabenstellung eigentlich gar nicht sagt).

Wie du sagst, nach einer Niete bleibt 50%. Aber die Frage bleibt, ob du bei deiner erst gewählten Tür bleibst oder nicht. Ausschließlich nur die Wahl 50%. Die Chance muss nicht unbedingt auch 50 % sein.
Du hast drei Karte, zwei mit Niete und eine mit Gewinn.
Ziehst zwei Karte weg, ohne sie anzuschauen. Es bleibt nur eine für die Wahl (100%). Aber meine Chance (?%) für den Gewinn? Was verbirgt hinter der letzten Karte? Sicher, für Entscheiden als eine Wahl habe ich 50%, wenn ich treffen mag, welche Karte ist die nicht gewählte. Die Chance bleibt weiterhin Fragezeichen.
Mathematik sagt hier für Gewinn 1/3, für Niete 2/3. Aber die Chance hat zwei Eigenschaften: eine mathematische und zufällige.
Über die mathematische Seite kann man für ewig diskutieren, aber die Zufall lässt sich mathematisch nicht bestimmen.
Die Fernsehshow ist gerade deswegen ist so spannend. Egal, ob der Moderator weiß oder nicht weiß, was hinter den Türen stecken.

2,5,5,6,7
3,4,5,5,8
Lösung: n=5; Median=5
Die Liste: a,b,5,c,d
Nach dem Modus muss 5 mindestens 2 mal vorkommen. 5 kann dreimal nicht für ganze Zahl vorkommen.
d-a=5 (5,0/6,1/7,2/8,3/usw.)
Die Summe=25. Die 5 kommt zweimal vor, so bleibt für drei Zahlen 15.
Daraus ergibt es sich die zwei Listen.

Das "Freistetter"-Problem hatte ich ähnlich. Ich dachte: Fragen wir den ChatPTG mal nach wichtigen aktuellen Büchern und Professoren in meinem Studienfach; das kann er doch anhand der Universitäts-Seiten und der Bibliographien im Internet leicht finden. Die Buchtitel waren höchst zweifelhaft, und die Angaben zu Professoren nachweislich falsch. Was für eine Arbeit sollen uns Chatbots eigentlich abnehmen? Gedichte oder Meinungsartikel schreiben?

Der Beweis zeigt, ist 1+x ein Quadrat, dann ist auch x^2 * (1+x) ein Quadrat. Die unbeantwortete Frage ist, ob dies auch ein Quadrat sein kann, wenn 1+x es nicht ist. M.E. kommt man hier um den Fundamentalsatz der Algebra, dass es eine eindeutige Primfaktorzerlegung gibt, nicht herum. Damit lässt sich schließen, dass eine Zahl größer 1 genau dann ein Quadrat ist, wenn jeder Primfaktor der Zahl einen geraden Exponenten hat. Angewendet auf die Gleichung x^2 * (1+x) = a^2 folgt, dass die Primfaktoren von 1+x alle einen geraden Exponent haben müssen, und somit 1+x eine Quadratzahl ist. Somit ist sichergestellt, dass die genannten Möglichkeiten auch alle sind.

Wieder ein sehr schöner Artikel, danke!
Nur an der Stelle "Eine ähnliche Eins-zu-eins-Abbildung lässt sich auch zwischen den rationalen und den natürlichen Zahlen finden." fehlt mir eine Erwähnung des https://en.wikipedia.org/wiki/Stern-Brocot_tree
Was Definitionen nicht berechenbarer Zahlen betrifft:
Alle Definitionen sind abzählbar, also sind die meisten nicht berechenbaren Zahlen nicht definierbar bzw. beschreibbar.
Eine nicht berechenbare Zahl zwischen 0 und 1 lässt sich vielleicht als Binärzahl vorstellen, deren unendlich viele Nachkommastellen sukzessive per Münzwurf bestimmt werden (was keine Definition sondern nur eine Visualisierung ist).
Die meisten solchen Zahlen enthalten eine unendliche Menge an Information, sind also nicht durch eine Beschreibung per Algorithmus "komprimierbar".
Wenn ich richtig verstehe enthalten (die meisten?) nicht berechenbaren Zahlen unendlich viel Information, während berechenbare Zahlen immer nur endlich viel Information enthalten können (https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_complexity).

Die Gleichung x^2 + x^3=QZ^2 ist zu lösen.
x=3,8,15,24,35,48,63,80,99

Frau Bischoff schreibt, dass die Addition zweier Brüche a⁄b und c⁄d immer ein Ergebnis (a+c)⁄(b+d) liefert, das zwischen den beiden ursprünglichen Bruchzahlen liegt. Dies könne man etwa nutzen, um eine irrationale Zahl durch einen Bruch anzunähern.

Das ist natürlich richtig, bedarf aber nicht unbedingt der 'freshmen sum'. Geeignet ist jeder Mechanismus, der eine Zahl im Inneren eine beliebigen Intervalls erzeugt. Das Vorgehen hat immer den Nachteil, dass man prüfen muss, ob die Zahl im Inneren des Intervalls größer oder kleiner als die einzuschachtelnde Zahl ist. Für irrationale Quadratwurzeln gibt es Näherungsverfahren, welche diese Prüfung überflüssig machen und überdies sehr viel schneller auf eine hohe Genauigkeit hinaus laufen.

Die Argumentation stoppt meines Erachtens einen Schritt zu früh. Denn selbst die überabzählbar vielen nicht berechenbaren Zahlen lassen sich in einen abzählbaren und einen überabzählbaren Teil aufteilen, und der Artikel betrachtet nur (und kann auch nur betrachten) Beispiele aus dem ersten Teil.

Denn die beschriebenen nicht berechenbaren Zahlen haben alle gemeinsam, dass man ihre Bedeutung auf einer Internetseite (oder alternativ in einem Digitalfoto oder einem Telefax) beschreiben kann. Und all diese Medien haben die Gemeinsamkeit, dass sie nur abzählbar viele verschiedene Werte darstellen können (wegen der Digitalisierung - es gibt nur abzählbar viele mögliche Dateien).

Die meisten reellen Zahlen könnte man, wenn man sie zufällig aus dem Zahlenstrahl gegriffen hat, also nicht mal für die Nachwelt beschreiben. Oder einer anderen Person erklären welche Zahl man erwischt hat oder wie er dieselbe Zahl erwischen kann.

"Aber es gibt auch transzendente Zahlen, die sich nicht als Lösung solcher Gleichungen ausdrücken lassen."
finde ich sprachlich ein wenig unglücklich, da Mann es so verstehen könnte, als gäbe es transzendente Zahlen welche sich als Lösung... ausdrücken lassen.

viel problematischer finde ich aber den folgenden Satz
... In diese Kategorie fällt zum Beispiel die berühmte Kreiszahl Pi. Das heißt aber nicht, dass man ihren Wert nicht kennt.

Doch liebe Frau Bischoff
genau das heißt es, dass eine Zahl irrational ist,
dass frau, mann, Diversy uadua* den genauen Wert der Zahl eben NICHT kennt, und auch nicht kennen kann
sich (der Wert der Zahl)
allerdings bei bestimmten Zahlen beliebig genau annähern
lässt...

mfG oliver fiedler


* und alles dazwischen und außerhalb...