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Hier wird eine Vorschrift für den Zustand der Lampe auf dem halboffenen Intervall [0,2) gegeben. Für jeden Zeitpunkt t<2 wissen wir Bescheid, aus der Problemstellung geht jedoch nichts hervor, was eine Entscheidung über den Wert bei t=2 zuließe, also ist nicht feststellbar, ob die Lampe zu diesem Zeitpunkt an oder aus ist. Denn, wie ja im Text demonstriert wird, der klassische Grenzwertbegriff funktioniert nicht.

Das Problem um die Thomson-Lampe als ungelöst zu bezeichnen finde ich daher irreführend, auch wenn es zutrifft, da das Problem so gestellt ist, dass es keine Lösung geben kann.

Die Effekthascherei, mit der der Wert S=1/2 hergeleitet wird, lässt sich übrigens ohne Weiteres auf die Spitze treiben. Durch geschicktes Aufteilen oder Umschreiben der Reihe zeigt man S=-S sowie S=mS mit einer beliebigen natürlichen Zahl m. Zusammen mit S=1-S kann man so für jede rationale Zahl q zeigen, dass S=q, was überdeutlich zeigt, dass hier etwas im Argen liegt: Der Grenzwert S existiert schlicht nicht.

Einigt man sich das unendlich ungefähr
1000000 oder
1000000000 oder
1000000000000 oder
...
1000000000000...000 ist
- jeder hat sein persönliches Unendlich! -
dann ist die Antwort experimentell schon gegeben
- Wechselspannung mit diesen Frequenzen kennt man.
Und "Lampen" in solchen Stromkreisene brennen eindeutig!
Selbst wenn man als Gedankenexperiment die Frequenzen weiter hoch treibt, die "Lampe" brennt immer (oder?)..
Also im Grenzwert auch! ;-)

MfG. S. N.

Das Endergebnis hängt eigentlich nur von einem Wert ab: der Zeitspanne, die man (Mensch oder Roboter oder eine Elektronik) mindestens benötigt, um einen Schaltvorgang durchzuführen. Der Wert dafür mag vielleicht sehr klein sein, aber er ist nicht Null, da der Schaltvorgang nicht in unendlich kurzer Zeit passieren kann.
Irgendwann vor Ablauf der zwei Minuten ist das Zeitintervall zwischen dem letzten Schaltvorgang und den zwei Minuten so klein, dass kein weiterer Schaltvorgang mehr durchgeführt werden kann. Somit bleibt die LED in dem Zustand, die sie nach dem letzten motorisch/physikalisch möglichen Schaltvorgang hatte.
Abhängig von der Dauer des minimal möglichen Schaltvorgangs kann man sogar ausrechnen, in welchem Zustand die LED nach zwei Minuten sein wird.

Rein physikalisch sieht die Sache so aus, dass die Lampe ständig hell ist aber mit halber Helligkeit (wegen halber Stromstärke !) leuchtet. Dazu bedarf es nicht unendlich vieler An/ Ausschaltungen in 2 Minuten, ca 1000 würden auch reichen. Wird die Helligkeit einer Lampe nicht so beim Dimmen gesteuert ? Mit Vorschaltwiderstand wie 120 Jahren sicher nicht mehr

Oder anders formuliert:

Der obere Streifen kann 5 verschiedene Farben haben, der mittlere dann nur noch 4 und der untere ebenfalls 4 (ohne die Farbe des mittleren Streifens). Somit gibt es 5 · 4 · 4 = 80 verschiedene Flaggen.

Warum wird denn bei der geometrischen Reihe Lampe aus mit -1 und bei der Partialsumme mit 0 modelliert? Beim ersten wäre es wohl vom Ergebnis noch unsinniger das mit 0 zu modellieren beim Grenzwert unendlich. Warum wird beim zweiten nicht auch mit -1 modelliert? Oder ggf alles auch ganz anders?

Ich habe einen Lösungsweg, den ich persönlich einfacher und eingängiger finde, weil sie ohne die Fallunterscheidung auskommt:

Der mittlere Streifen kann eine beliebige Farbe (also 5) haben.
Der obere und der untere Streifen können je 4 Farben (nämlich alle außer der des mittleren Streifens) haben. Folglich gibt es 5x4x4 = 80 Möglichkeiten.

Die Frage ist unfair gestellt, denn wenn das an und ausschalten in immer kürzeren Intervallen erfolgt, wird es niemals zu einem Ende des Vorgangs kommen. Durch diesen Trick in der Aufgabenstellung, ist das Rätsel nicht lösbar. Entweder man löst das Problem, indem man eine Mindestzeit für das ein- und ausschalten definiert, die nicht mehr halbiert werden kann, oder man definiert einen Endzeitpunkt, der genau auf der Zeitleiste der Schaltvorgänge liegt.

Spannend auch, was eine Kamera mit 2 Minuten Langzeitbelichtung sehen würde bei einer unendlich schnell schaltenden Lampe oder LED. Die aufsummierten Lichtquanten ergeben vermutlich 2/3 (ohne dass ich es jetzt gerechnet hätte). Sicher jedenfalls > 1/2, weil in der ersten Minute ja die Lampe an ist.
Das Auge hingegen, das eher einen gleitenden Mittelwert bildet, dürfte wohl 1/2 sehen, sobald die Schaltgeschwindigkeit über der Flimmerverschmelzungsfrequenz liegt.

In der Theorie dürfte ½ schon richtig sein – irgendwann schalte ich schneller als Planck erlaubt, und alles, was dann geschieht, geschieht für uns gleichzeitig: Die Lampe ist im selben Moment an und aus, miaut... scheint also mit halber Kraft. In der Praxis könnte das Resultat durchaus Kabumm lauten, oder Schwarzes Loch: Wenn ich schneller neues Licht hinzufüge, als das alte überhaupt wegfliegen kann, habe ich irgendwann unendlich viel Energie an einem Ort, und das Universum reagiert auf die Weise, die es für angemessen hält. Natürlich müsste ich dazu die Versuchsanordnung gewaltig ändern, denn schneller schalten als Lichtgeschwindigkeit kann ich ja gar nicht, und alle Impulse müssen ja auch Zeit haben, Strecken zu überwinden und Wirkung zu entfalten. Wenn ich allerdings genug Energie haben will, um die Unendlichkeit zu betreiben, sollte ich es nicht unbedingt bei den geltenden Strompreisen versuchen. Ich kann nur hoffen, dass die Reibung das Experiment verdampft, bevor es zu teuer wird.

Die Frage nach dem Ende der Unendlichkeit scheitert an ihrem inneren Paradoxon, und das Universum antwortet ausweichend – wenn ich mir die An-Aus-Glühbirnen als eine Reihe vorstelle, die entlang einer Zeitachse angeordnet sind, knickt diese irgendwann und weicht in eine andere Dimension aus, die rechtwinklig abzweigt. Ab da überlagern sich alle Glühbirnen, während sie immer kleiner werden, weil sie sich vom Betrachter entfernen. Das vermeintliche Ende nach zwei Minuten markiert dann keinen Zeitpunkt, sondern eine Linie, die ich um 90 Grad gedreht angucke, sodass alle Punkte zu einem zusammenfallen: Eine neue Zeitachse, an die sich die Glühbirnen annähern, ohne sie jemals erreichen zu können.

Ich habe es mit zwei verschiedenen Zeitläufen zu tun – die Subjektiv-Zeit der Glühbirne ist nicht mit der Subjektiv-Zeit des Beobachters identisch. Wenn ich Glühbirnen-Zeitpunkte produziere, schaffe ich Zeit, wenn ich unendlich viele Zeitpunkte produziere, schaffe ich unendlich viel Zeit, und wenn ich sie in den zwei Minuten des Beobachters nicht unterbringen kann, suchen Sie sich halt ein neues Zuhause und brechen auf, um neue Welten zu erforschen, neues Leben und neue Zivilisationen, und stoßen dabei in Galaxien vor, wo nie eine Glühbirne zuvor gewesen ist. Ist im Grunde das gleiche Phänomen, wie wenn Sie Wasser in ein Glas füllen – zunächst wird der Boden abgedeckt, zweidimensional. Wenn Sie zu viel Wasser einfüllen, steigt das Energieniveau so sehr, dass eine neue Dimension geknackt werden kann – die dritte: Der Pegel steigt. Im Grunde sehen Sie so was wie einen Quantensprung, das Überwinden einer Schwelle.

Da dieser Knick in die Unendlichkeit allerdings eine Kurve ist, sind mehrere Ergebnisse möglich – je nachdem, wie es dem Mathematiker bequemt, das Paradoxon so zu vereinfachen, dass er eine Antwort bekommt, wo keine ist.

Mathe ist relativ – sie beschreibt die Welt vom Standpunkt eines Betrachters aus. Manchmal nimmt sie mehrere Standpunkte gleichzeitig ein, das wirkt dann ein wenig wie Schwarze Magie, ist aber nur Schielen für Fortgeschrittene. Sie beschreibt eine Welt, die ohne Unschärfen und Sprünge undenkbar ist – ich kann ja jede Strecke in unendlich viele Abschnitte unterteilen, ganz egal, wie schnell ich fliege, wenn ich mehr als 0 Zeit brauche, um jeden dieser Abschnitte zu überqueren, bin ich unendlich lange unterwegs. Ich muss mit einer begrenzten Zahl von Punkten arbeiten, zwischen denen unendliche Geschwindigkeit möglich ist – also doch das Überqueren unendlich langer Strecken in der Zeit 0.

Das Universum ist ein Stop-Motion-Film, es besteht aus Schnappschüssen, Momentaufnahmen. Was zwischen diesen Aufnahmen passiert, weiß der Teufel – ich würde mal sagen, das Universum explodiert und puzzelt sich wieder zusammen, und was wir so als Zeitfluss und Bewegung wahrnehmen, sind die Kopierfehler, die bei der Rekonstruktion passieren, aber das ist nur mein Dafürhalten. Natürlich würde die Rekonstruktion auch Zeit brauchen, sodass zwischen den Zeitpunkten, die sich für uns zur Zeitlinie summieren, Ewigkeiten vergehen können, in denen ganze Universen entstehen und vergehen, worauf über ein paar schiefe Ecken die Folgerung kommt, dass jeder Augenblick unendliche Energie hat und mit allen anderen Augenblicken in Raum und Zeit interagiert, gefolgt von dem Entschluss, nicht mehr zu kiffen, gefolgt von der Erkenntnis, dass ich es ja nicht tue, gefolgt von der Frage, ob ich nicht damit anfangen sollte, gefolgt von der Freude, dass ich einen Haufen Geld spare, wenn ich auch ohne Gras so drauf bin als ob.

Wenn die Mathematiker ein wenig zu sehr vereinfachen, runden, absolute Werte schaffen, wo eigentlich nur Annäherungswerte möglich sind, kopieren sie nur einen Trick, den das Universum sowieso schon drauf hat. Ohne diesen Trick würden weder Mathe noch Universum funktionieren.

Und es funktioniert sogar auf die gleiche Weise – wenn ich mich der Unendlichkeit mit endlichen Mitteln nähere, scheitere ich ganz am Anfang und... falle. Hat was von Ikarus und Gravitation, der Abhängigkeit von Energieniveau und Frequenzband, der Notwendigkeit, sich innerhalb einer Goldlöckchen-Zone aufzuhalten: Ich kann der Glühbirne nicht in die Unendlichkeit folgen, mir fehlt der Strom, ich falle auf das Ende meiner zweiten Minute zurück. Auch der Mathematiker kann nur so präzise rechnen, wie es seine Ressourcen erlauben und wird sich mit seinen Resultaten den Ressourcen der Dinge anpassen müssen, die er mit seiner Mathe bewegen will – ein Brückenbauer rundet die Kilos nicht so genau, wie jemand, der ein Atomgewicht berechnet, die Physik sorgt dafür, dass es sinnlos wäre. Ergibt das Sinn? Keine Ahnung, ich muss jetzt mit dem Hund spielen, denken Sie selber nach.

Ich weiß nicht mehr, wie der olle Grieche hieß, der meinte, ein Hase könnte nie eine Schildkröte einholen. Hätte er aber ein wenig darüber nachgedacht, warum das doch möglich ist, hätte er der erste Quantenphysiker werden können.

Ich würde sagen, ohne Bezug zur realen Welt ist das Problem unentscheidbar.
Wenn die Schalterstellung nach "2 Minuten" einen beobachtbaren Zustand darstellen würde, dann könnte man die diskrete Antwort 0 oder 1 geben. Wenn nicht, dann kann man nur eine Wahrscheinlichkeit für den Eintritt des Zustands 0 bzw. 1 angeben. Da es hier keinen beobachtbaren Zustand gibt - weil es nicht möglich ist, unendlich viele (physikalische) Vorgänge im angegebenen Zeitintervall auszuführen - sollte m.E. eine Wahrscheinlichkeit mit dem Wert 1/2 angesetzt werden. Das sieht nach Schrödingers Katzenproblem aus.
Interessant finde ich, dass die rein mathematische Partialsummenmethode ebenfalls den Wert 1/2 liefert.

Durch das Einschalten wird der Glühdraht geheizt (die LED angeregt), und kann nicht unendlich schnell abkühlen (abklingen).
Daher leuchtet die Lampe nach 2 Minuten unabhängig vom Grenzwert der Grandi-Reihe, aus rein physikalischen Gründen.

Falscher lösungsterm
Muss heißen 99!*101*97!*99 ....

In diesem wäre es für die Übersichtlichkeit doch sehr hilfreich, wenn die Formel $$\frac{(100!+99!)(98!+97!)...(4!+3!)(2!+1!)}{(100!-99!)(98!-97!)...(4!-3!)(2!-1!)}?$$ und die Formel in der Lösung $$b = \frac{(99! \cdot 101 \cdot 98! \cdot 100 \cdot ... \cdot 3! \cdot 5 \cdot 1! \cdot 3)}{(99! \cdot 99 \cdot 98! \cdot 98 \cdot ... \cdot 3! \cdot 3 \cdot 1! \cdot 1)} = 101$$ nicht als LaTeX Code dargestellt, sondern als Graphik gerendert würden (wahrscheinlich dann als Bild.) - So sind sie auch für nicht LaTeX affine lesbar. Ansonsten sehr schönes rätsel.

Guten Tag,
in der Zeile
"Welchen Wert hat der Bruch
(100!+99!)(98!+97!)...(4!+3!)(2!+1!)/(100−99!)(98!−97!)...(4!−3!)(2!−1!)?"
fehlt im Nenner im ersten Faktor das Fakultätszeichen (100-99!) statt (100!-99!).
Viele Grüße