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Hallo Herr Warkus.
Nein, ich hadere nicht mit Ihrer Darstellung, gehe sogar mit ihr konform.
Nur an einer Stelle habe ich einen Einspruch zu erheben, wo Sie schreiben:
" Aber diese Aktion erzürnt als Angriff auf die Verfassung zu beschimpfen, ist letztlich eine intellektuelle Beleidigung des Volkes."
Das ist, so fürchte ich, KEINE Beleidigung es Volkes als Ganzes, höchstens die Beleidigung eine kleineren Teiles dieses Volkes!
Hallo Herr Meyer,
ich hab Ihren Artikel mal durch ChatGPT gefact-checked und es war auch mathematisch alles richtig, was ich teils sogar selbst nicht mal verstanden hätte.
Bis zur Aussage, man hätte mindestens 8000 Menschen die gleich viele Haare hätten wie ich:
*Antwort ChatGPT*
Die Aussage, dass es mindestens 8000 Personen auf dem Planeten gibt, die gleich viele Haare haben, ist mathematisch nicht korrekt.
Die Argumentation, dass es mindestens 8000 Personen geben muss, die sich ein Zimmer teilen, beruht auf der Annahme, dass die Personen gleichmäßig auf die Zimmer verteilt werden. Dies ist jedoch nicht der Fall, wenn die Personen versuchen, sich so aufzuteilen, dass möglichst wenige im gleichen Raum landen.
Es ist durchaus möglich, dass einige Personen aufgrund von natürlichen Variationen in der Haardichte oder anderen Faktoren eine unterschiedliche Anzahl von Haaren haben. In diesem Fall würden sich diese Personen nicht in dasselbe Zimmer begeben.
Daher ist es nicht möglich, basierend auf der Annahme, dass Personen gleichmäßig auf die Zimmer verteilt werden, zu schlussfolgern, dass mindestens 8000 Personen auf dem Planeten gleich viele Haare haben. Die Anzahl der Personen mit derselben Anzahl von Haaren ist ungewiss und hängt von vielen Faktoren ab.
___Antwort Ende___
Mich würde eure Meinung dazu interessieren also einfach Diskussion.
Stellungnahme der Redaktion
vielen Dank für Ihren spannenden Leserbrief 😊
Auf diese spannende Idee, meinen Artikel zu prüfen, ist bislang noch niemand gekommen. Und ChatGPT hat größtenteils Recht.
Allerdings haben Sie der KI wohl eine Aussage übergeben, die so nicht in meinem Artikel steht: Ich behaupte nicht, dass 8000 Personen gleich viele Haare wie Sie, sondern dass IRGENDWELCHE 8000 Personen gleich viele Haare haben. Es könnte schließlich sein, dass sich alle Bewohner der Erde (bis auf Sie) eine Glatze schneiden – dann ist Ihre Haarzahl einzigartig. Aber dann gibt es weit mehr als 8000 Personen mit einer Glatze – also der selben Haarzahl.
Und wie die KI sagt: die Zahl 8000 kommt daher, wenn man die Anzahl der Menschen gleichmäßig auf eine Million Zimmer verteilt. ABER: Egal welche Umverteilung der Personen man vornimmt – es wird immer ein Zimmer geben, in dem sich mindestens 8000 Personen aufhalten. Welches Zimmer das ist, ist allerdings unklar.
Wenn der Radius des kleinen Kreises 1 ist, müssen auch die Strecken BI und DI jeweils 1 betragen. Das ergibt sich daraus, dass B und D an der Tangente der beiden kleinen Kreise liegen. Und daraus folgt wiederum, dass das Quadrat 2 x BI x 1 insgesamt also 2 beträgt. Ganz easy.
Man kann mit diesem Prinzip auch tiefer in der Mathematik noch interessante Aussagen treffen. Nehmen wir den R^3. Dieser enthält überabzählbar viele Punkte, hat aber im Q^3 eine dichte, abzählbare Teilmenge. Betrachten wir die Kugeln mit rationalem Radius um die Punkte des Q^3, dann haben wir eine abzählbare Überdeckung des R^3. Wenn man so will, haben wir damit abzählbar viele Schubfächer, in die wir die überabzählbar vielen Punkte des R^3 packen können.
Jetzt schauen wir uns eine beliebige Funktion von R (oder einem Teilintervall davon) nach R^3 an. Sie bildet überabzählbar viele Punkte aus R nach R^3 ab. Da wir keine weiteren Einschränkungen machen wollen, können die Bildpunkte alle auf einen Punkt zusammenfallen oder genausogut rein zufällig im R^3 verteilt sein. Gleichwie: Wir können aus dem Schubfachprinzip folgern, dass die Funktion mindestens einen Häufungspunkt haben muss, also einen Punkt, bei dem in jeder Umgebung - egal wie klein - ein Bildpunkt der Funktion liegen muss. Das folgt einfach daraus, dass wir nicht überabzählbar viele Punkte auf abzählbar viele Schubfächer verteilen (abbilden) können, ohne dass in mindestens einem davon überabzählbar viele liegen. Und jedes Schubfach, das überabzählbar viele Punkte enthält, muss nach dem gleichen Prinzip ein kleineres enthalten, für das das wieder gilt.
Da die Diagonale des Quadrats genau so lang ist, wie der Durchmesser der inneren Kreise, ist sie 2 x Radius=2.
Als Hypotenuse eines gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks ist nach dem Pythagoras Satz das Quadrat dieser Linie = 2 x (A hoch 2), wobei A, die Länge der Quadratseiten ist.
Mit anderen Worten ist 2x2=2 x (A hoch 2), oder 2="A hoch 2"
Aber "A hoch 2" ist die gefragte Fläche des Quadrats. Somit ist diese Fläche=2
Fehlt in der Ungleichung für Summen nicht auf der linken Seite ein Quadratzeichen? Wenn ja, wo würde es hingehören? Innerhalb oder außerhalb des Summenzeichens?
Stellungnahme der Redaktion
Ja, vielen Dank. Wir haben das Quadrat hinzugefügt.
Sehr geehrter Herr Hemme,
streng genommen existiert eine weitere Lösung. Wenn x die Kantenlänge eines der Quadrate bezeichnet und y die Diagonale, so gilt: x = R - r und y = R + r. Wegen des Satzes von Pythagoras gilt dann 2 x^2 = y^2. Das führt zu der quadratischen Gleichung u^2 -6u+1 = 0 mit u=R/r.
Diese hat die beiden Lösungen 3+2*sqrt(2) und 3-2*sqrt(2). Der erste Wert entspricht Ihrer Lösung, während der zweite einem kleinen roten Kreis im Inneren entspricht, der von den vier blauen Eckkreisen normal berührt wird, während die vier blauen Kreisen auf den Kanten des Quadrats jeweils den inneren roten Kreis umfassen und von ihm auf der Innenseite berührt werden.
Ich gebe Ihnen dahingehend recht, dass mir die heutige Mathematik in weiten Teilen ein sich selbst genügender geistiger Hochleistungssport zu sein scheint und dabei einem weit kleineren Publikum zugänglich ist als andere Sportarten. Auch ist es nach meinem Kenntnisstand sehr plausibel, dass Landau zur Überheblichkeit geneigt hat.
Andererseits fühle ich mich als studierter Mathematiker jetzt doch aufgerufen, meine Zunft zu verteidigen.
Zunächst und bei aller gebotenen Hochachtung vor Landaus Leistungen, der einflussreichste Mathematiker seiner Zeit war David Hilbert. Hilbert war es auch, der eine streng formale Grundlegung der Mathematik propagiert hat, was ihn übrigens nicht daran gehindert hat, maßgeblich zu den mathematischen Methoden der Physik beizutragen. Nun wissen wir durch Gödel, dass Hilberts Programm seine Grenzen hat. Es wenigstens nach Möglichkeit zu versuchen, finde ich aber richtig, und zwar nicht zuletzt deswegen, weil diverse andere Wissenschaften sich darauf verlassen, dass die Mathematik im Rahmen des Menschenmöglichen wasserdicht ist.
Jetzt zu der Reihenentwicklung des Sinus und Pi als dessen kleinster positiver Nullstelle: Um damit wirklich arbeiten zu können, muss man zwar nicht viel, aber doch deutlich mehr als Abiturkenntnisse haben. Woran sieht man z.B., dass der so definierte Sinus eine kleinste positive Nullstelle hat, im Unterschied dazu, dass es keine kleinste positive reelle Zahl gibt? Mit Sicherheit sind den Adressaten einer solchen Definition weder Pi noch Sinus oder Cosinus neu, sondern nur die Herangehensweise. Im Ergebnis zeigt sich dann, dass man eine präzise Definition gefunden hat, aus der die „halbanschaulich“ bekannten Eigenschaften von Pi, Sinus und Cosinus beinahe von selbst herauspurzeln. Ich finde das nicht abgehoben, sondern faszinierend.
Und was Pi als „das“ Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser angeht: Woher wissen wir, dass das für jeden Kreis dasselbe ist? Die von Polygonzügen bekannten Ähnlichkeitsbetrachtungen kann man ja frühestens dann auf gekrümmte Linien ausweiten, wenn man für letztere einen geeigneten Längenbegriff gefunden hat. Hier kommt man nicht ohne verschiedene Grenzwertbetrachtungen aus; sprich, man muss die Analysis erfinden (und natürlich die analytische Geometrie als Präzisierung der „halbanschaulichen“ Argumentationsweise der Elementargeometrie akzeptieren).
Schon Archimedes ist auf dem Weg dahin gut vorangekommen, aber der Durchbruch kam erst mit Newton und Leibniz, und hieb- und stichfest gemacht worden ist die Analysis sogar erst im 19. Jahrhundert. Streng genommen können wir also erst seit dem 19. Jahrhundert wirklich beweisen, dass der Kreisumfang Pi mal dem Kreisdurchmesser ist mit einer kreisunabhängigen Zahl Pi.
Es gibt noch eine alternative Lösung, die eventuell einfacher ausfällt. Füllt man die dunklen Dreicke mit Zacken aus, erhält man ein Achteck und 4 zusätzliche Dreiecke, bzw. Zacken bleiben übrig. Die ausgefüllte Fläche ergibt ein Achteck und die 4 Zacken entsprechen einem halben Achteck. Von dem Achteck kennen wir eine innere Diagonale d2 (siehe Wikipedia). Über diese Diagonale kann man eine Seite und damit die Fläche des Achtecks errechnen. Zur Fläche muss noch die Hälfte der Fläche additert werden (für die vier Zacken). Setzt man die Gesamtfläche zur Fläche des Kreises ins Verhältnis, erhält man auch die in der Lösung vorgestellten knapp 40%.
Auch die folgenden Kombinationen (Geburtstag, Tag der Aussage) sind möglich:
(29.12, 01.01), (30.12, 01.01), (30.12, 02.01), (31.12, 01.01) und (31.12, 02.01).
Marie hätte die Aussage nämlich auch am 01.01 eines Jahres oder am 02.01 eines Jahres äußern können (und Marie muss keinesfalls vor genau drei Tagen Geburtstag gehabt haben - Sie hätte durchaus auch vor einem oder zwei Tagen Geburtstag haben können, auch dann wäre die Aussage, dass Sie vor vier Tagen noch ein Jahr jünger war, richtig).
Hatte 5 Jahre lang einen Kolkraben, der....wie ich wenn meine Allergie ärger war, genau in meiner Stimmlage gehustet hat, wenn er Hunger hatte rief er seinen Namen. (habe noch einige lustige Videos von diesem Vogel, der immer wenn ich zuhause war frei fliegen konnte)
Entgegen der Behauptung in Ihrem Beitrag "Streit um Unendlichkeiten und Anti-Unendlichkeiten" war Leibniz Jurist. Er hatte am 5.11.1666 an der Universität Altdorf in beiden Rechten promoviert.
Gestorben ist er 1716, nicht 1714!
Zu diesem Bild habe ich die folgenden zwei Fragen:
1. Weil darin ausdrücklich “sämtliche Kanten des Würfels eingezeichnet” sind, fällt mir auf, dass sich offenbar einige Tripel dieser Kanten finden lassen, die jeweils zusammen ein Dreieck bilden. (Ich finde sowohl einige Dreiecke, die aus drei “verdeckten”, schwarz gezeichneten Kanten bestehen; als auch etliche Dreiecke aus zwei “verdeckten” schwarzen Kanten und je einer “offenen” schwarz-weißen Kante. Offenbar gibt es gar keine Dreiecke aus drei “offenen” schwarz-weißen Kanten; und ob es Dreiecke aus je zwei “offenen” schwarz-weißen Kanten und einer “verdeckten” schwarzen Kante gäbe, mochte ich hier zunächst offenlassen.
Mich wundert: Im 2D-Quadrat und im 3D-Würfel gibt’s solche Kanten-Dreiecke doch jedenfalls nicht. Gibt es solche Kanten-Dreiecke wirklich im originalen 5D-Würfel, oder womöglich nur in dessen Projektion in die Ebene ? (Lässt sich Ähnliches auch beim 4D-Würfel finden ? Oder liegt in Missverständnis vor ? ...)
2. Mir fällt auf, dass jede der (zehn) Diagonal-Linien in dieser Projektions-Abbildung etwa gleich 3 (“offene”) Würfelkanten lang ist; und damit wesentlich länger als die (“echte”) Diagonale eines “echten” 5D-Würfels (denn die ist \( \sqrt{5} \) Kantenlängen lang, so weit ich verstehe).
Bei einer allgemeinen, “schiefen” Parallelprojektion ist es natürlich möglich, dass der Abstand zweier Projektionspunkte voneinander größer ist, als der (“echte”) Abstand zwischen den beiden originales Punkten, die projeziert wurden. Aber die Projektions-Abbildung wirkt doch so symmetrisch, dass ich mich frage, ob es sich genauer/spezieller dabei um das Bild einer Orthogonalprojektion eines 5D-Würfels handelt; und dann (so ist zumindest meine Vermutung bzw. mein Vorurteil) sollten Abstände in der Projektion doch höchstens gleich und i.A. kleiner sein, als Abstände im Original. Wie erklären sich also diese Distanzverhältnisse im Bild ?
Stellungnahme der Redaktion
Vielen Dank für Ihre Zuschrift.
Zu 1): Die abgebildete Projektion des fünfdimensionalen Einheitswürfels ist so gebaut, dass die Bilder aller Einheitsvektoren gleich lang sind. Die von Frank Wappler erwähnten Dreiecke haben sämtlich zwei lange Seiten und eine kurze. Die kurze kann also keine Kante des Einheitswürfels sein. Vielmehr ist sie ein Stück einer Kante. Der täuschende Eindruck wird dadurch erweckt, dass in der Projektion an vielen Stellen eine Kante zum Teil mit einer anderen zusammenfällt.
Das wird deutlich, wenn man statt der schön symmetrischen Anordnung der Bilder der Einheitsvektoren (links) eine etwas unordentlichere wählt (rechts), so dass kaum noch Kanten aufeinander fallen.
Zu 2): Beide Projektionen sind jedenfalls nicht orthogonal in dem Sinne, dass sie rechte Winkel auf rechte Winkel abbilden. Vielmehr werden im Allgemeinen Quadrate auf Rauten abgebildet. Die lange Diagonale einer Raute ist offensichtlich länger als √2 mal die Seitenlange. Entsprechendes gilt für Raum-, Hyperraum-, …-Diagonalen. Daher darf es nicht verwundern, wenn eine Diagonale von einer Ecke zur genau gegenüberliegenden länger ist als √5 mal die Kantenlänge.
Einspruch zu: "Keine Panik, dem Grundgesetz geht es gut!"
11.03.2023, Hans - Joachim SchulzNein, ich hadere nicht mit Ihrer Darstellung, gehe sogar mit ihr konform.
Nur an einer Stelle habe ich einen Einspruch zu erheben, wo Sie schreiben:
" Aber diese Aktion erzürnt als Angriff auf die Verfassung zu beschimpfen, ist letztlich eine intellektuelle Beleidigung des Volkes."
Das ist, so fürchte ich, KEINE Beleidigung es Volkes als Ganzes, höchstens die Beleidigung eine kleineren Teiles dieses Volkes!
Kommentar an Schubfachprinzip
10.03.2023, proGodich hab Ihren Artikel mal durch ChatGPT gefact-checked und es war auch mathematisch alles richtig, was ich teils sogar selbst nicht mal verstanden hätte.
Bis zur Aussage, man hätte mindestens 8000 Menschen die gleich viele Haare hätten wie ich:
*Antwort ChatGPT*
Die Aussage, dass es mindestens 8000 Personen auf dem Planeten gibt, die gleich viele Haare haben, ist mathematisch nicht korrekt.
Die Argumentation, dass es mindestens 8000 Personen geben muss, die sich ein Zimmer teilen, beruht auf der Annahme, dass die Personen gleichmäßig auf die Zimmer verteilt werden. Dies ist jedoch nicht der Fall, wenn die Personen versuchen, sich so aufzuteilen, dass möglichst wenige im gleichen Raum landen.
Es ist durchaus möglich, dass einige Personen aufgrund von natürlichen Variationen in der Haardichte oder anderen Faktoren eine unterschiedliche Anzahl von Haaren haben. In diesem Fall würden sich diese Personen nicht in dasselbe Zimmer begeben.
Daher ist es nicht möglich, basierend auf der Annahme, dass Personen gleichmäßig auf die Zimmer verteilt werden, zu schlussfolgern, dass mindestens 8000 Personen auf dem Planeten gleich viele Haare haben. Die Anzahl der Personen mit derselben Anzahl von Haaren ist ungewiss und hängt von vielen Faktoren ab.
___Antwort Ende___
Mich würde eure Meinung dazu interessieren also einfach Diskussion.
vielen Dank für Ihren spannenden Leserbrief 😊
Auf diese spannende Idee, meinen Artikel zu prüfen, ist bislang noch niemand gekommen. Und ChatGPT hat größtenteils Recht.
Allerdings haben Sie der KI wohl eine Aussage übergeben, die so nicht in meinem Artikel steht: Ich behaupte nicht, dass 8000 Personen gleich viele Haare wie Sie, sondern dass IRGENDWELCHE 8000 Personen gleich viele Haare haben. Es könnte schließlich sein, dass sich alle Bewohner der Erde (bis auf Sie) eine Glatze schneiden – dann ist Ihre Haarzahl einzigartig. Aber dann gibt es weit mehr als 8000 Personen mit einer Glatze – also der selben Haarzahl.
Und wie die KI sagt: die Zahl 8000 kommt daher, wenn man die Anzahl der Menschen gleichmäßig auf eine Million Zimmer verteilt. ABER: Egal welche Umverteilung der Personen man vornimmt – es wird immer ein Zimmer geben, in dem sich mindestens 8000 Personen aufhalten. Welches Zimmer das ist, ist allerdings unklar.
Viel einfacher erklärt:
05.03.2023, Barbara KrollSchubfachprinzip
05.03.2023, Andreas MeyerJetzt schauen wir uns eine beliebige Funktion von R (oder einem Teilintervall davon) nach R^3 an. Sie bildet überabzählbar viele Punkte aus R nach R^3 ab. Da wir keine weiteren Einschränkungen machen wollen, können die Bildpunkte alle auf einen Punkt zusammenfallen oder genausogut rein zufällig im R^3 verteilt sein. Gleichwie: Wir können aus dem Schubfachprinzip folgern, dass die Funktion mindestens einen Häufungspunkt haben muss, also einen Punkt, bei dem in jeder Umgebung - egal wie klein - ein Bildpunkt der Funktion liegen muss. Das folgt einfach daraus, dass wir nicht überabzählbar viele Punkte auf abzählbar viele Schubfächer verteilen (abbilden) können, ohne dass in mindestens einem davon überabzählbar viele liegen. Und jedes Schubfach, das überabzählbar viele Punkte enthält, muss nach dem gleichen Prinzip ein kleineres enthalten, für das das wieder gilt.
Wie groß die Fläche des Quadrats an der Kreuzstelle des Unendlichzeichen ist? Zwei (2)
05.03.2023, Zoe TsekouraAls Hypotenuse eines gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks ist nach dem Pythagoras Satz das Quadrat dieser Linie = 2 x (A hoch 2), wobei A, die Länge der Quadratseiten ist.
Mit anderen Worten ist 2x2=2 x (A hoch 2), oder 2="A hoch 2"
Aber "A hoch 2" ist die gefragte Fläche des Quadrats. Somit ist diese Fläche=2
Kleiner Fehler?
01.03.2023, Thomas KlingbeilJa, vielen Dank. Wir haben das Quadrat hinzugefügt.
Existenz einer weiteren Lösung
01.03.2023, Hans Schnabelstreng genommen existiert eine weitere Lösung. Wenn x die Kantenlänge eines der Quadrate bezeichnet und y die Diagonale, so gilt: x = R - r und y = R + r. Wegen des Satzes von Pythagoras gilt dann 2 x^2 = y^2. Das führt zu der quadratischen Gleichung u^2 -6u+1 = 0 mit u=R/r.
Diese hat die beiden Lösungen 3+2*sqrt(2) und 3-2*sqrt(2). Der erste Wert entspricht Ihrer Lösung, während der zweite einem kleinen roten Kreis im Inneren entspricht, der von den vier blauen Eckkreisen normal berührt wird, während die vier blauen Kreisen auf den Kanten des Quadrats jeweils den inneren roten Kreis umfassen und von ihm auf der Innenseite berührt werden.
Freundliche Grüße,
Hans Schnabel
Landau, Hilbert und Pi
01.03.2023, Klaus SteinjanAndererseits fühle ich mich als studierter Mathematiker jetzt doch aufgerufen, meine Zunft zu verteidigen.
Zunächst und bei aller gebotenen Hochachtung vor Landaus Leistungen, der einflussreichste Mathematiker seiner Zeit war David Hilbert. Hilbert war es auch, der eine streng formale Grundlegung der Mathematik propagiert hat, was ihn übrigens nicht daran gehindert hat, maßgeblich zu den mathematischen Methoden der Physik beizutragen. Nun wissen wir durch Gödel, dass Hilberts Programm seine Grenzen hat. Es wenigstens nach Möglichkeit zu versuchen, finde ich aber richtig, und zwar nicht zuletzt deswegen, weil diverse andere Wissenschaften sich darauf verlassen, dass die Mathematik im Rahmen des Menschenmöglichen wasserdicht ist.
Jetzt zu der Reihenentwicklung des Sinus und Pi als dessen kleinster positiver Nullstelle: Um damit wirklich arbeiten zu können, muss man zwar nicht viel, aber doch deutlich mehr als Abiturkenntnisse haben. Woran sieht man z.B., dass der so definierte Sinus eine kleinste positive Nullstelle hat, im Unterschied dazu, dass es keine kleinste positive reelle Zahl gibt? Mit Sicherheit sind den Adressaten einer solchen Definition weder Pi noch Sinus oder Cosinus neu, sondern nur die Herangehensweise. Im Ergebnis zeigt sich dann, dass man eine präzise Definition gefunden hat, aus der die „halbanschaulich“ bekannten Eigenschaften von Pi, Sinus und Cosinus beinahe von selbst herauspurzeln. Ich finde das nicht abgehoben, sondern faszinierend.
Und was Pi als „das“ Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser angeht: Woher wissen wir, dass das für jeden Kreis dasselbe ist? Die von Polygonzügen bekannten Ähnlichkeitsbetrachtungen kann man ja frühestens dann auf gekrümmte Linien ausweiten, wenn man für letztere einen geeigneten Längenbegriff gefunden hat. Hier kommt man nicht ohne verschiedene Grenzwertbetrachtungen aus; sprich, man muss die Analysis erfinden (und natürlich die analytische Geometrie als Präzisierung der „halbanschaulichen“ Argumentationsweise der Elementargeometrie akzeptieren).
Schon Archimedes ist auf dem Weg dahin gut vorangekommen, aber der Durchbruch kam erst mit Newton und Leibniz, und hieb- und stichfest gemacht worden ist die Analysis sogar erst im 19. Jahrhundert. Streng genommen können wir also erst seit dem 19. Jahrhundert wirklich beweisen, dass der Kreisumfang Pi mal dem Kreisdurchmesser ist mit einer kreisunabhängigen Zahl Pi.
Alternative Lösung
27.02.2023, Stephan PerschkeSurreale Zahlen
26.02.2023, Helmut WolffMfG
Zum Rätsel "Welches Datum ist gesucht?"
26.02.2023, KuchenEs gibt sechs Lösungen, nicht nur eine.
25.02.2023, Björn Stuhrmann(29.12, 01.01), (30.12, 01.01), (30.12, 02.01), (31.12, 01.01) und (31.12, 02.01).
Marie hätte die Aussage nämlich auch am 01.01 eines Jahres oder am 02.01 eines Jahres äußern können (und Marie muss keinesfalls vor genau drei Tagen Geburtstag gehabt haben - Sie hätte durchaus auch vor einem oder zwei Tagen Geburtstag haben können, auch dann wäre die Aussage, dass Sie vor vier Tagen noch ein Jahr jünger war, richtig).
Kolkrabe
25.02.2023, Sepp StrambachGottfried Wilhelm Leibniz
25.02.2023, Rainer StumpeGestorben ist er 1716, nicht 1714!
Zwei Fragen zum Bild der Parallelprojektion des Einheitswürfels in fünf Dimensionen auf die Ebene
24.02.2023, Frank Wappler“Parallelprojektion des Einheitswürfels | Parallelprojektion des Einheitswürfels in fünf Dimensionen auf die Ebene. Es sind zusätzlich sämtliche Kanten des Würfels eingezeichnet. [ © Christoph Pöppe (Ausschnitt) ]”.
Zu diesem Bild habe ich die folgenden zwei Fragen:
1. Weil darin ausdrücklich “sämtliche Kanten des Würfels eingezeichnet” sind, fällt mir auf, dass sich offenbar einige Tripel dieser Kanten finden lassen, die jeweils zusammen ein Dreieck bilden. (Ich finde sowohl einige Dreiecke, die aus drei “verdeckten”, schwarz gezeichneten Kanten bestehen; als auch etliche Dreiecke aus zwei “verdeckten” schwarzen Kanten und je einer “offenen” schwarz-weißen Kante. Offenbar gibt es gar keine Dreiecke aus drei “offenen” schwarz-weißen Kanten; und ob es Dreiecke aus je zwei “offenen” schwarz-weißen Kanten und einer “verdeckten” schwarzen Kante gäbe, mochte ich hier zunächst offenlassen.
Mich wundert: Im 2D-Quadrat und im 3D-Würfel gibt’s solche Kanten-Dreiecke doch jedenfalls nicht. Gibt es solche Kanten-Dreiecke wirklich im originalen 5D-Würfel, oder womöglich nur in dessen Projektion in die Ebene ? (Lässt sich Ähnliches auch beim 4D-Würfel finden ? Oder liegt in Missverständnis vor ? ...)
2. Mir fällt auf, dass jede der (zehn) Diagonal-Linien in dieser Projektions-Abbildung etwa gleich 3 (“offene”) Würfelkanten lang ist; und damit wesentlich länger als die (“echte”) Diagonale eines “echten” 5D-Würfels (denn die ist \( \sqrt{5} \) Kantenlängen lang, so weit ich verstehe).
Bei einer allgemeinen, “schiefen” Parallelprojektion ist es natürlich möglich, dass der Abstand zweier Projektionspunkte voneinander größer ist, als der (“echte”) Abstand zwischen den beiden originales Punkten, die projeziert wurden. Aber die Projektions-Abbildung wirkt doch so symmetrisch, dass ich mich frage, ob es sich genauer/spezieller dabei um das Bild einer Orthogonalprojektion eines 5D-Würfels handelt; und dann (so ist zumindest meine Vermutung bzw. mein Vorurteil) sollten Abstände in der Projektion doch höchstens gleich und i.A. kleiner sein, als Abstände im Original. Wie erklären sich also diese Distanzverhältnisse im Bild ?
Vielen Dank für Ihre Zuschrift.
Zu 1): Die abgebildete Projektion des fünfdimensionalen Einheitswürfels ist so gebaut, dass die Bilder aller Einheitsvektoren gleich lang sind. Die von Frank Wappler erwähnten Dreiecke haben sämtlich zwei lange Seiten und eine kurze. Die kurze kann also keine Kante des Einheitswürfels sein. Vielmehr ist sie ein Stück einer Kante. Der täuschende Eindruck wird dadurch erweckt, dass in der Projektion an vielen Stellen eine Kante zum Teil mit einer anderen zusammenfällt.
Das wird deutlich, wenn man statt der schön symmetrischen Anordnung der Bilder der Einheitsvektoren (links) eine etwas unordentlichere wählt (rechts), so dass kaum noch Kanten aufeinander fallen.
Zu 2): Beide Projektionen sind jedenfalls nicht orthogonal in dem Sinne, dass sie rechte Winkel auf rechte Winkel abbilden. Vielmehr werden im Allgemeinen Quadrate auf Rauten abgebildet. Die lange Diagonale einer Raute ist offensichtlich länger als √2 mal die Seitenlange. Entsprechendes gilt für Raum-, Hyperraum-, …-Diagonalen. Daher darf es nicht verwundern, wenn eine Diagonale von einer Ecke zur genau gegenüberliegenden länger ist als √5 mal die Kantenlänge.