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Einfach einem beliebigen Weg von außerhalb zu dem zu untersuchenden Punkt folgen und zählen, wie oft die Linie gekreuzt wird. Bei ungeraden Anzahl von Kreuzungen liegt der Punkt innen, Sony außen.

Die Einfärbemethode ist etwas aufwändig.
Leichter geht es so: Man zählt, wie oft man die Linie kreuzt, um von außerhalb zum fraglichen Punkt zu gelangen. Ist die Anzahl der Kreuzungen gerade, dann liegt der Punkt außerhalb. Ist sie ungerade, dann liegt der Punkt innerhalb.

Es könnte jedoch auch ein Halbkreis sein…

Hallo,
danke für die immer wieder interessanten Rätsel.

Für dieses Rätsel gibt es jedoch eine, wie ich finde, sehr viel einfachere und "geschicktere" Methode herauszufinden, ob ein Punkt innerhalb oder außerhalb der geschlossenen Linie liegt.

Man starten außen und bewegt sich auf den Punkt zu den man prüfen möchte. Dabei zählt man, wie oft man die Linie überquert bis man den Punkt erreicht. Bei einer ungeraden Anzahl liegt der Punkt auf der anderen Seite, also innen. Bei einer geraden Anzahl auf der selben Seite, also außen. Der gewählt Weg zum Punkt ist hierbei völlig egal, da man mit jede Überquerung der Linie zwangsläufig die Seite wechselt.

Viele Grüße
Johannes

Die ganze Figur gedanklich (oder gar real) einzufärben erscheint mir etwas aufwändig, daher habe ich einen anderen, für mich schnelleren Lösungsweg gewählt.

An jeder Linie ist eine benachbarte Fläche innerhalb und die andere außerhalb der Fläche.
Daraus folgt*: wenn ich von einem Punkt der sicher außerhalb der Fläche ist (zum Beispiel dem Bildrand) zu einem Punkt X komme, dann ist X genau dann innerhalb der Fläche, wenn die Anzahl der Linien die ich dabei überquere ungerade ist. Bei gerader Anzahl überschrittener Linien ist X außerhalb der Fläche.

Damit lässt sich dann sehr schnell folgern:
P1: außerhalb, da 4 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach rechts geht.
P2: innerhalb, da 3 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach rechts geht.
P3: außerhalb, da 2 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach unten geht.
P4: innerhalb, da 3 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach oben geht,
P5: innerhalb, da 1 Linienüberschreitungen, wenn man gerade nach unten geht.

Die Richtungen habe ich jeweils unter der Prämisse kürzester Weg gewählt (um Zeit zu sparen), aber alle Richtungen hätten das gleiche Ergebnis erzeugt.


*= wer die Folgerung nicht intuitiv findet, dem sei hier ein Beweis per vollständiger Induktion über alle natürlichen Zahlen und Null skizziert.

Induktionsanfang:
Wenn X mit 0 Überschreitungen einer Linie von außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche (gilt nach Definition)

Induktionsschritt:
Sei n eine gerade natürliche Zahl oder 0.

Induktionsvoraussetzung:
Wenn X mit n Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche.

⇒ Wenn X' mit n+1 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist es durch eine Linie von einem X getrennt, dass mit n Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist. Da diese Linie zwischen Außen und innen trennt und X außen ist, ist X' dann innen.
⇒ Wenn X'' mit n+2 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist es durch eine Linie von einem X getrennt, dass mit n+1 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist. Da diese Linie zwischen Außen und innen trennt und X' innen ist, ist X'' dann außen.

Induktionsbehauptung:
Wenn X mit n+2 Überschreitungen einer Linie von Außen erreichbar ist, ist X nicht Teil der abgeschlossenen Fläche.

Auch wenn die Induktionsbehauptung sich nur auf gerade n bezieht, wurden die ungeraden n in der Induktion effektiv mit abgehandelt (als n+1)

Guten Morgen,

Ich habe meiner Meinung nach eine andere Lösung gefunden.
Eine Welle! Sie würde von der Seite wir eine umgedrehte Schüssel aussehen. Ist meine Lösung falsch? Oder habe sie sich für die Darstellung von nur einer Lösung entschieden?

Beste Grüße

Die "Knickkante" müsste in der Draufsicht zu sehen sein. Da das nicht der Fall ist, ist die Seitenansicht gleich der Vorderansicht.

Sehr geehrte Damen und Herren, könnte man nicht einfacher Hemmes mathematische Rätsel vom l22.07.2022 als horizontalen Schnitt einer

durch eine Kugel betrachten? : Dann würde das Objekt von der Seite genauso aus wie von vorn aussehen. . Oder denke ich hier zu "trivial"? Beste Grüße, Thomas Mück
:
Wie sieht das Objekt von der Seite aus?

Prinzipiell kann aus Draufsicht und Vorderansicht nicht eindeutig auf die Seitenansicht geschlossen werden. Das Objekt könnte u.a. auch wie die Schnittkurve einer T-Durchdringung zweier Zylinder gleichen Durchmessers aussehen und damit ist das Objekt (Schnittlinie) überall stetig (keine Knickstellen) und die Seitenansicht ähnelt einer Cosinuskurve (von -π bis +π).

Entschuldigung, ich meinte die Vorderansicht.

Die Seitansicht ist falsch, da fehlt der gerade Strich zwischen den beiden Endpunkten

Nichts in der Aufgabenstellung erzwingt den 90°-Knick. Die Seitenansicht kann genauso gut auch z.B. die um 180° gedrehte Vorderansicht sein.

Hallo Herr Hemme ::

Dat Teil ( die alternative ) is nicht geknickt: Sondern in der Seitensansicht ne Gerade >( links unten nach rechts oben).
Also ne Ellipse die 45 ( + / - ) Grad im Raum steht.

Dann gibt es vielleicht noch " unendlich viele Ellipsen " !?

Wie hiess das noch ? Is 35 " Äonen her ".

" Wenn E hoch J Phi i eine Lösung ist, dann hat man unendlich viele Lösungen ? " ... irgedwatt mit sin phi und cos phi ( // sagte mein Mathe proff // ) auch Lösungen ...

Ist aber nur ne " Rätsel- " Vermutung ...

Mfg juergen

Ich hätte dann in der Draufsicht auch noch eine Linie in der Achse. Die Seitenansicht müsste die vorderansicht um 180 Grad gedreht sein.wenn ich mich nicht irre

Wieso muss das Objekt geknickt sein? Die Drahtschlinge könnte doch zB auch, ähnlich wie ein Sinus, auf und ab gehen, ohne abzuknicken. Oder kann man die Eindeutigkeit beweisen, weil man den perfekten Halbkreis und den perfekten Kreis so nicht erreichen könnte?