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Wie vom vorherigen Kommentator juergen schon erklärt, ist die Antwort 0,4 nicht korrekt. Ich möchte nur eine etwas einfachere Lösung angeben:
Die Wahrscheinlichkeit, irgendein Ass zu erhalten, beträgt P(Ass) = 4/32 = 1/8.
Die Wahrscheinlichkeit, daraufhin eine passende Bildkarte oder die 10 zu erhalten, P(10_1) = 4/31.
Und die Wahrscheinlichkeit, wiederum die letzte fehlende (und passende) Karte mit dem Punktewert 10 zu erhalten, P(10_2) = 3/30 = 1/10.
Das Produkt hieraus ist unsere gesuchte Wahrscheinlichkeit, mit 3 Karten sofort 31 Punkte zu haben:
... daraus folgere ich, dass der Autor des Artikels kein Fan ist bzw. nur wenige Simpsons Folgen gesehen hat.
In vielen Folgen kommen Anspielungen auf Regierungen, Rockbands, Naturereignisse vor, die Hand und Fuß haben. Immer noch zum Lachen bringt mich zum Beispiel der Mapple Store in den Lisa geht um sich ein MiPhone anzusehen. Definitiv keine Comicserie für Kinder.
Und deshalb vollkommen klar, dass eben auch mal Mathematiker an der Tafel auftauchen ;)
Kleiner Anstoß zum Knoten lösen:
Der Moderator hat nur in einem Drittel der durchgeführten Spiele (mal unterstellend, dass die Kandidaten in einem Drittel aller Spiele auf's richtige Tor setzen - was hoffentlich einigermaßen intuitiv ist) eine freie 50/50-Entscheidung, welches Tor er öffnen will. In 2/3 der Fälle MUSS er ein BESTIMMTES Tor öffnen, weil die andere seiner beiden Optionen ja der Gewinn ist. Ergo ist eben in 2/3 aller durchgeführten Spielrunden das Tor, welches der Moderator zulassen muss (dass er das Tor des Kandidaten öffnet begreifen wir sicher alle als Nichtoption), das mit dem Gewinn. Und somit wird es hoffentlich einleuchtender, warum sich Wechseln wirklich lohnt.
Knotenlöser 2: Es geht um eine große Menge solcher Spielrunden, die man INSGESAMT betrachtet (im statistischen Wording: viele Wiederholungen) - da stabilisiert sich das mathematisch gesehen.
Dass das, was man im TV beobachtet, in der Gesamtbetrachtung eventuell etwas anders aussieht, hat dann auch was mit Psychologie zu tun (Nervosität im TV-Studio, Sympathie für einen Kandidaten der einen Preis verdfient hätte, ...) - oder auch hier im leicht statistischen Wording: Es liegt keine "echte" Zufallsziehung vor.
Liebe Redaktion, bitte korrigieren Sie Ihre Stellungnahme zu Kommentar 7.
Nur wenn der Moderator genau weiß, wo sich die Ziegen befinden, erhöhen sich die Gewinnchancen beim Wechseln. Außerdem ist es wichtig zu wissen, dass in jedem Fall eine Ziegentür vom Moderator geöffnet werden muss und zwar unabhängig davon, ob der Kandidat eine Ziege oder das Auto gewählt hat.
Man kann sich das so vorstellen, als würde der Moderator die Wahl des Kandidaten NICHT kennen. Wenn dann der Moderator die Bühne betritt und zufällig eine der drei Türen öffnet, so bleiben für die übrigen zwei Türen eine 50/50 Chance. Auch wenn er 98 Türen von 100 öffnet und wir nur jene Fälle btrachten, wo die Kandidatenwahl (durch Zufall) noch ungeöffnet bleibt, ist die verbleibende Wahrscheinlichkeit 50/50 für die verbleibenden Türen.
Ihre Worte: "Nein, tatsächlich spielt es keine Rolle, ob der Moderator weiß, wohinter sich die Ziege oder der Sportwagen befindet. In jedem Fall ist die Gewinnwahrscheinlichkeit höher, wenn man sich umentscheidet." sind schwer zu verkraften.
Etwa ist die Wahrscheinlichkeit -etwa- für eine Erste Karte in Pik 1/4.
Für eine 2. in Pik 7/31, und die 3. in Pik 6/30.
Macht also für Drei Pik die Wahrscheinlichkeit P = 1/4 x 7/31 x 6/ 30.
Das gilt für die anderen Farben genauso.
In Summe also: 4 x 1/4 x 7/31 x 6/30.
Damit ergibt sich die Möglichkeit überhaupt drei geleichfarbige Karten zu bekommen zu 42 / ( 31 x 30 ).
Das darin ein jeweils ein ASS enthalten sein kann ist mit P = 1/8 zu bewerten.
Die für eine erste 10 mit 4/7, für die 2. mit 3/6.
Was zu P (ass | 10 | 10) = 1/8 x 4/7 x 3/6 = 3/2 x 1/42 kommt.
Beide Wahrscheinlichkeiten multipliziert ergeben:
3 / ( 2 x 31 x 30 ) = 3 / 1860 ~ 0,0016...
Bei der Lösung des heutigen Rätsels ist Ihnen am Schluss ein Fehler unterlaufen.
Das Ergebnis von 3/620 ist nicht ungefähr 0,4, sondern 0,005 (genauer 0,004839) oder 0,5%
Weil ich logisch immer nur auf 50:50 komme, habe ich ein Programm geschrieben (Visual Basic).
Ergebnis:
Öffnet der Moderator zuerst ein Tor mit Ziege und danach wählt der Spieler eins der beiden Geschlossenen: 50:50
Wählt der Spieler ein Tor und danach öffnet der Moderator ein Tor mit Ziege: 1/3 Beibehalten 2/3 Wechsel
Das Programm lügt nicht - nur ich muss es noch verstehen :-)))
Es gibt ein unbewiesenes Theorem, dass die Serie 3n+1 bei ungeraden und n/2 für gerade Elemente der Reihe immer im Zyklus 4-2-1-4 enden, egal mit welcher Zahl man die Reihe startet. Ebenfalls wie bei Fermat einfach zu beschreiben, schwierig zu beweisen. Es wird nicht viel daran geforscht, weil die Mathe-Profis der Meinung sind, dass sich durch die Lösung keine neuen wesentlichen Erkenntnisse ergeben würden.
Liebes Spektrum- Team,
danke für diesen interessanten Artikel.
Die Idee zur vereinfachten Berechnung von Integralen basiert auf der Vertauschung der Reihenfolge von Differenziation, Integration und Grenzwertbildung. Diese ist nur erlaubt unter der Voraussetzung, dass es sich um stetige und differenzierbare Funktionen handelt.
Für ein paar einfache Lehrbuchbeispiele funktioniert diese Methode prima, siehe Kempf et al. 2015 im Link im Artikel. Für schwierigere Integrale, wie sie gerade in naturwissenschaftlichen Anwendungen auftreten (mehrfache Integrale, Parameter, komplizierte Integranden zB. mit Indikatorfunktionen,
variable Integrationsgrenzen) halte ich die Prüfung der Voraussetzungen für sehr aufwändig.
Herzliche Grüße
Lutz Muche, Freiberg
1 Knoten = 1 Seemeile pro Stunde, somit eine Geschwindigkeitsmessung.
Diese Aufgabenstellung scheint mir eine bewußte Irreführung zu sein.
Wäre Beschleunigung gemeint, müßte das auch im Text zum Ausdruck kommen, wie z.b. "das Schiff beschleunigt pro Stunde um einen Knoten"
Wikipedia:
Ein Schiff, das mit einer Geschwindigkeit von 20 Knoten exakt auf Nord- oder Südkurs fährt, legt in drei Stunden einen Breitengrad zurück.
20 x 1852m = 37040m pro Stunde, 1 Breitengrad = 111,12 km
Zitat Titel: "Homer Simpson widerlegt einen der größten Mathematiker der Geschichte"
Fazit Artikel: Nein, tut er nicht
Spektrum schätze ich sehr aufgrund der objektiven sowie sachlichen Artikel und nicht für Clickbait-Titel. Das ist meiner Meinung nach einer Zeitschrift die Wissenschaft thematisiert nicht würdig.
Denn die Geschichte und die Hintergründe sind interessant und auch lesenswert aufbereitet. Der Titel ist schlicht falsch!
Beispiel für alternativ Titel: "Homer Simpson widerlegt fast einen der größten Mathematiker der Geschichte" -> passender zum Text und nicht falsch, oder? ;)
(Wobei man dann drüber diskutieren kann, ob "fast" so ist wie "ein bisschen Schwanger")
Ebbe als Begriff bedeutet ablaufendes Wasser, Flut dagegen auflaufendes Wasser. Hier sollte richtig Niedrigwasser bzw. Hochwasser stehen.
Und dann sind die Tiden (Amplitude des schwankenden Wasserstands) auch noch ständiger Veränderung unterworfen. Wenn Sonne, Erde und Mond eine gerade Linie bilden, ist der Unterschied besonders groß (Springtide). Wenn sie einen rechten Winkel bilden, ist der Unterschied besonders klein (Nipptide). Dazu kommt noch der Einfluß des Windes.
Üblich für die Angabe in Deutschland ist die Küste bei mittlerem Wasserstand (Ostsee) oder mittlerem Hochwasser (Nordsee). Siehe Wikipedia "Küstenlinie".
Beim Lotto ist es völlig egal für die Wahrscheinlichkeit eines Gewinns, welche Zahlen gewählt werden. Allerdings kann die Gewinnhöhe beeinflusst werden, wenn man sich die Gewinnklasse nicht mit vielen anderen teilen muß. Da viele irgenwelche Kalenderdaten tippen sind Zahlen über 12 und besser noch über 31 da hilfreich.
Das zu unserem Problem passende Szenario wäre: der Mensch in der Annahmestelle kann in die Zukunft sehen. Du hast keine 17 angekreuzt, sie sagt dir "dieses Mal wird keine 17 gezogen".
0,0016 oder 0,16%, nicht "0,4"
23.05.2022, PhilipDie Wahrscheinlichkeit, irgendein Ass zu erhalten, beträgt P(Ass) = 4/32 = 1/8.
Die Wahrscheinlichkeit, daraufhin eine passende Bildkarte oder die 10 zu erhalten, P(10_1) = 4/31.
Und die Wahrscheinlichkeit, wiederum die letzte fehlende (und passende) Karte mit dem Punktewert 10 zu erhalten, P(10_2) = 3/30 = 1/10.
Das Produkt hieraus ist unsere gesuchte Wahrscheinlichkeit, mit 3 Karten sofort 31 Punkte zu haben:
P(31) = P(Ass)*P(10_1)*P(10_2) = 1/8*4/31*1/10 = 4/2480 = 1/620 ~ 0,00161
MfG
Fans dieser Serie würden sie nie als seichte Unterhaltung bezeichnen
23.05.2022, PDiddyIn vielen Folgen kommen Anspielungen auf Regierungen, Rockbands, Naturereignisse vor, die Hand und Fuß haben. Immer noch zum Lachen bringt mich zum Beispiel der Mapple Store in den Lisa geht um sich ein MiPhone anzusehen. Definitiv keine Comicserie für Kinder.
Und deshalb vollkommen klar, dass eben auch mal Mathematiker an der Tafel auftauchen ;)
Knotenlöser(?)
23.05.2022, MarkusDer Moderator hat nur in einem Drittel der durchgeführten Spiele (mal unterstellend, dass die Kandidaten in einem Drittel aller Spiele auf's richtige Tor setzen - was hoffentlich einigermaßen intuitiv ist) eine freie 50/50-Entscheidung, welches Tor er öffnen will. In 2/3 der Fälle MUSS er ein BESTIMMTES Tor öffnen, weil die andere seiner beiden Optionen ja der Gewinn ist. Ergo ist eben in 2/3 aller durchgeführten Spielrunden das Tor, welches der Moderator zulassen muss (dass er das Tor des Kandidaten öffnet begreifen wir sicher alle als Nichtoption), das mit dem Gewinn. Und somit wird es hoffentlich einleuchtender, warum sich Wechseln wirklich lohnt.
Knotenlöser 2: Es geht um eine große Menge solcher Spielrunden, die man INSGESAMT betrachtet (im statistischen Wording: viele Wiederholungen) - da stabilisiert sich das mathematisch gesehen.
Dass das, was man im TV beobachtet, in der Gesamtbetrachtung eventuell etwas anders aussieht, hat dann auch was mit Psychologie zu tun (Nervosität im TV-Studio, Sympathie für einen Kandidaten der einen Preis verdfient hätte, ...) - oder auch hier im leicht statistischen Wording: Es liegt keine "echte" Zufallsziehung vor.
LG Markus
Redaktion auf Irrwegen!
23.05.2022, Stefan WNur wenn der Moderator genau weiß, wo sich die Ziegen befinden, erhöhen sich die Gewinnchancen beim Wechseln. Außerdem ist es wichtig zu wissen, dass in jedem Fall eine Ziegentür vom Moderator geöffnet werden muss und zwar unabhängig davon, ob der Kandidat eine Ziege oder das Auto gewählt hat.
Man kann sich das so vorstellen, als würde der Moderator die Wahl des Kandidaten NICHT kennen. Wenn dann der Moderator die Bühne betritt und zufällig eine der drei Türen öffnet, so bleiben für die übrigen zwei Türen eine 50/50 Chance. Auch wenn er 98 Türen von 100 öffnet und wir nur jene Fälle btrachten, wo die Kandidatenwahl (durch Zufall) noch ungeöffnet bleibt, ist die verbleibende Wahrscheinlichkeit 50/50 für die verbleibenden Türen.
Ihre Worte: "Nein, tatsächlich spielt es keine Rolle, ob der Moderator weiß, wohinter sich die Ziege oder der Sportwagen befindet. In jedem Fall ist die Gewinnwahrscheinlichkeit höher, wenn man sich umentscheidet." sind schwer zu verkraften.
DIe Antwort ist " 42 ", möchte man schreiben
23.05.2022, juergenFür eine 2. in Pik 7/31, und die 3. in Pik 6/30.
Macht also für Drei Pik die Wahrscheinlichkeit P = 1/4 x 7/31 x 6/ 30.
Das gilt für die anderen Farben genauso.
In Summe also: 4 x 1/4 x 7/31 x 6/30.
Damit ergibt sich die Möglichkeit überhaupt drei geleichfarbige Karten zu bekommen zu 42 / ( 31 x 30 ).
Das darin ein jeweils ein ASS enthalten sein kann ist mit P = 1/8 zu bewerten.
Die für eine erste 10 mit 4/7, für die 2. mit 3/6.
Was zu P (ass | 10 | 10) = 1/8 x 4/7 x 3/6 = 3/2 x 1/42 kommt.
Beide Wahrscheinlichkeiten multipliziert ergeben:
3 / ( 2 x 31 x 30 ) = 3 / 1860 ~ 0,0016...
mfg juergen
Hemmes mathematische Rätsel (vom 23.5.)
23.05.2022, Friedel FiedlerDas Ergebnis von 3/620 ist nicht ungefähr 0,4, sondern 0,005 (genauer 0,004839) oder 0,5%
Anmerkung zur Lösung
23.05.2022, Helmut WiesmannIn der Lösung ist jedoch folgendes angegeben:
4 · 6 / 4960 = 3/620 ≈ 0,4.
Leider wahr! 1/3 2/3
22.05.2022, Roxanne HahonnErgebnis:
Öffnet der Moderator zuerst ein Tor mit Ziege und danach wählt der Spieler eins der beiden Geschlossenen: 50:50
Wählt der Spieler ein Tor und danach öffnet der Moderator ein Tor mit Ziege: 1/3 Beibehalten 2/3 Wechsel
Das Programm lügt nicht - nur ich muss es noch verstehen :-)))
Mein Lieblingstheorem: Collatz
22.05.2022, FabianWarum so kompliziert?
22.05.2022, SebastianAbleitung statt Integral
22.05.2022, Lutz Muchedanke für diesen interessanten Artikel.
Die Idee zur vereinfachten Berechnung von Integralen basiert auf der Vertauschung der Reihenfolge von Differenziation, Integration und Grenzwertbildung. Diese ist nur erlaubt unter der Voraussetzung, dass es sich um stetige und differenzierbare Funktionen handelt.
Für ein paar einfache Lehrbuchbeispiele funktioniert diese Methode prima, siehe Kempf et al. 2015 im Link im Artikel. Für schwierigere Integrale, wie sie gerade in naturwissenschaftlichen Anwendungen auftreten (mehrfache Integrale, Parameter, komplizierte Integranden zB. mit Indikatorfunktionen,
variable Integrationsgrenzen) halte ich die Prüfung der Voraussetzungen für sehr aufwändig.
Herzliche Grüße
Lutz Muche, Freiberg
"Das Schiff macht sich mit konstant einem Knoten pro Stunde auf den Weg"
22.05.2022, Paul PridtDiese Aufgabenstellung scheint mir eine bewußte Irreführung zu sein.
Wäre Beschleunigung gemeint, müßte das auch im Text zum Ausdruck kommen, wie z.b. "das Schiff beschleunigt pro Stunde um einen Knoten"
Wikipedia:
Ein Schiff, das mit einer Geschwindigkeit von 20 Knoten exakt auf Nord- oder Südkurs fährt, legt in drei Stunden einen Breitengrad zurück.
20 x 1852m = 37040m pro Stunde, 1 Breitengrad = 111,12 km
Bitte kein "Clickbait" mehr
22.05.2022, WissenschaftsfreundFazit Artikel: Nein, tut er nicht
Spektrum schätze ich sehr aufgrund der objektiven sowie sachlichen Artikel und nicht für Clickbait-Titel. Das ist meiner Meinung nach einer Zeitschrift die Wissenschaft thematisiert nicht würdig.
Denn die Geschichte und die Hintergründe sind interessant und auch lesenswert aufbereitet. Der Titel ist schlicht falsch!
Beispiel für alternativ Titel: "Homer Simpson widerlegt fast einen der größten Mathematiker der Geschichte" -> passender zum Text und nicht falsch, oder? ;)
(Wobei man dann drüber diskutieren kann, ob "fast" so ist wie "ein bisschen Schwanger")
Beste Grüße
Wissenschaftsfreund
Ebbe und Flut
22.05.2022, JensUnd dann sind die Tiden (Amplitude des schwankenden Wasserstands) auch noch ständiger Veränderung unterworfen. Wenn Sonne, Erde und Mond eine gerade Linie bilden, ist der Unterschied besonders groß (Springtide). Wenn sie einen rechten Winkel bilden, ist der Unterschied besonders klein (Nipptide). Dazu kommt noch der Einfluß des Windes.
Üblich für die Angabe in Deutschland ist die Küste bei mittlerem Wasserstand (Ostsee) oder mittlerem Hochwasser (Nordsee). Siehe Wikipedia "Küstenlinie".
@Klaus: Lotto
22.05.2022, JensDas zu unserem Problem passende Szenario wäre: der Mensch in der Annahmestelle kann in die Zukunft sehen. Du hast keine 17 angekreuzt, sie sagt dir "dieses Mal wird keine 17 gezogen".