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1. Die Form e hoch iπ + 1 = 0 hat ihren besonderen Reiz dadurch, dass sie die wohl fünf wichtigsten Zahlen der Mathematik in einfacher Weise miteinander verknüpft, wobei ihr Zusammenhang zunächst nicht trivial ist, denn sie stammen aus verschiedenen Gebieten der Mathematik: So reicht die Eins als kleinste Zahl beim Zählen bis in die Urgeschichte zurück, die Null ermöglichte das Stellenwertsystem, die eulersche Zahl e ergibt sich in der Analysis aus der Gleichheit der e-Funktion mit ihrer Ableitung und beschreibt Wachstums- und Zerfallsprozesse, die Zahl π wurde zunächst am Kreis definiert und die imaginäre Einheit i erlaubt gleichartige Lösungen für gleichartige Gleichungen.
2. Die Gleichung e hoch iπ + 1 = 0 ist ein Sonderfall der Identität e hoch ix = cos x + isinx für x = π, mit der Euler das Paradoxon von Johann Bernoulli und Leibniz aufdecken konnte: Es handelt sich dabei um die Integraldarstellung von arctg x, wobei nach einigen einfachen Umformungen das Resultat π/4 = 0 herauskam [Priwalow, Einführung in die Funktionentheorie 1, Teubner 1964, S. 3]. Euler deckte den Widerspruch auf, indem er die Periodizität der e-Funktion im Komplexen (mit der Periode 2πi) erkannte.
3. Die Herkunft der Gleichung aus dem komplexen Zahlenbereich mag ihre Schönheit bekräftigen. Denn in diesem zweidimensionalem Zahlenbereich sind im Gegensatz zu den niederen eindimensionalen Zahlenbereichen alle 7 Grundrechenarten außer der Division durch Null uneingeschränkt möglich, während bei den 4- 8- und 16-dimensionalen hyperkomplexen Zahlen das Rechnen dadurch eingeschränkt ist, dass grundlegende Verknüpfungen wie Kommutativ- bzw. Assoziativgesetz nicht mehr gelten. Unter diesem Gesichtspunkt kann man die komplexen Zahlen in gewissem Sinne als Krönung der Zahlenbereiche empfinden - und die behandelte Gleichung als deren Krone.
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Ergänzungen zu Freistetters Formelwelt: Die schönste Formel der Welt
15.06.2017, Dr. rer. nat Karl-Peter Dostal2. Die Gleichung e hoch iπ + 1 = 0 ist ein Sonderfall der Identität e hoch ix = cos x + isinx für x = π, mit der Euler das Paradoxon von Johann Bernoulli und Leibniz aufdecken konnte: Es handelt sich dabei um die Integraldarstellung von arctg x, wobei nach einigen einfachen Umformungen das Resultat π/4 = 0 herauskam [Priwalow, Einführung in die Funktionentheorie 1, Teubner 1964, S. 3]. Euler deckte den Widerspruch auf, indem er die Periodizität der e-Funktion im Komplexen (mit der Periode 2πi) erkannte.
3. Die Herkunft der Gleichung aus dem komplexen Zahlenbereich mag ihre Schönheit bekräftigen. Denn in diesem zweidimensionalem Zahlenbereich sind im Gegensatz zu den niederen eindimensionalen Zahlenbereichen alle 7 Grundrechenarten außer der Division durch Null uneingeschränkt möglich, während bei den 4- 8- und 16-dimensionalen hyperkomplexen Zahlen das Rechnen dadurch eingeschränkt ist, dass grundlegende Verknüpfungen wie Kommutativ- bzw. Assoziativgesetz nicht mehr gelten. Unter diesem Gesichtspunkt kann man die komplexen Zahlen in gewissem Sinne als Krönung der Zahlenbereiche empfinden - und die behandelte Gleichung als deren Krone.