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Auch die folgenden Kombinationen (Geburtstag, Tag der Aussage) sind möglich: (29.12, 01.01), (30.12, 01.01), (30.12, 02.01), (31.12, 01.01) und (31.12, 02.01).
Marie hätte die Aussage nämlich auch am 01.01 eines Jahres oder am 02.01 eines Jahres äußern können (und Marie muss keinesfalls vor genau drei Tagen Geburtstag gehabt haben - Sie hätte durchaus auch vor einem oder zwei Tagen Geburtstag haben können, auch dann wäre die Aussage, dass Sie vor vier Tagen noch ein Jahr jünger war, richtig).
Hatte 5 Jahre lang einen Kolkraben, der....wie ich wenn meine Allergie ärger war, genau in meiner Stimmlage gehustet hat, wenn er Hunger hatte rief er seinen Namen. (habe noch einige lustige Videos von diesem Vogel, der immer wenn ich zuhause war frei fliegen konnte)
Entgegen der Behauptung in Ihrem Beitrag "Streit um Unendlichkeiten und Anti-Unendlichkeiten" war Leibniz Jurist. Er hatte am 5.11.1666 an der Universität Altdorf in beiden Rechten promoviert. Gestorben ist er 1716, nicht 1714!
Zu diesem Bild habe ich die folgenden zwei Fragen:
1. Weil darin ausdrücklich “sämtliche Kanten des Würfels eingezeichnet” sind, fällt mir auf, dass sich offenbar einige Tripel dieser Kanten finden lassen, die jeweils zusammen ein Dreieck bilden. (Ich finde sowohl einige Dreiecke, die aus drei “verdeckten”, schwarz gezeichneten Kanten bestehen; als auch etliche Dreiecke aus zwei “verdeckten” schwarzen Kanten und je einer “offenen” schwarz-weißen Kante. Offenbar gibt es gar keine Dreiecke aus drei “offenen” schwarz-weißen Kanten; und ob es Dreiecke aus je zwei “offenen” schwarz-weißen Kanten und einer “verdeckten” schwarzen Kante gäbe, mochte ich hier zunächst offenlassen.
Mich wundert: Im 2D-Quadrat und im 3D-Würfel gibt’s solche Kanten-Dreiecke doch jedenfalls nicht. Gibt es solche Kanten-Dreiecke wirklich im originalen 5D-Würfel, oder womöglich nur in dessen Projektion in die Ebene ? (Lässt sich Ähnliches auch beim 4D-Würfel finden ? Oder liegt in Missverständnis vor ? ...)
2. Mir fällt auf, dass jede der (zehn) Diagonal-Linien in dieser Projektions-Abbildung etwa gleich 3 (“offene”) Würfelkanten lang ist; und damit wesentlich länger als die (“echte”) Diagonale eines “echten” 5D-Würfels (denn die ist \( \sqrt{5} \) Kantenlängen lang, so weit ich verstehe).
Bei einer allgemeinen, “schiefen” Parallelprojektion ist es natürlich möglich, dass der Abstand zweier Projektionspunkte voneinander größer ist, als der (“echte”) Abstand zwischen den beiden originales Punkten, die projeziert wurden. Aber die Projektions-Abbildung wirkt doch so symmetrisch, dass ich mich frage, ob es sich genauer/spezieller dabei um das Bild einer Orthogonalprojektion eines 5D-Würfels handelt; und dann (so ist zumindest meine Vermutung bzw. mein Vorurteil) sollten Abstände in der Projektion doch höchstens gleich und i.A. kleiner sein, als Abstände im Original. Wie erklären sich also diese Distanzverhältnisse im Bild ?
Stellungnahme der Redaktion
Vielen Dank für Ihre Zuschrift. Zu 1): Die abgebildete Projektion des fünfdimensionalen Einheitswürfels ist so gebaut, dass die Bilder aller Einheitsvektoren gleich lang sind. Die von Frank Wappler erwähnten Dreiecke haben sämtlich zwei lange Seiten und eine kurze. Die kurze kann also keine Kante des Einheitswürfels sein. Vielmehr ist sie ein Stück einer Kante. Der täuschende Eindruck wird dadurch erweckt, dass in der Projektion an vielen Stellen eine Kante zum Teil mit einer anderen zusammenfällt.
Das wird deutlich, wenn man statt der schön symmetrischen Anordnung der Bilder der Einheitsvektoren (links) eine etwas unordentlichere wählt (rechts), so dass kaum noch Kanten aufeinander fallen.
Zu 2): Beide Projektionen sind jedenfalls nicht orthogonal in dem Sinne, dass sie rechte Winkel auf rechte Winkel abbilden. Vielmehr werden im Allgemeinen Quadrate auf Rauten abgebildet. Die lange Diagonale einer Raute ist offensichtlich länger als √2 mal die Seitenlange. Entsprechendes gilt für Raum-, Hyperraum-, …-Diagonalen. Daher darf es nicht verwundern, wenn eine Diagonale von einer Ecke zur genau gegenüberliegenden länger ist als √5 mal die Kantenlänge.
Die Flächenberechnung lässt sich einfacher vornehmen. Indem man den Radius des kleinen mit dem großen Kreis konzentrischen Kreises gegen Null gehen lässt und anschließend, wie in ihrer Lösung, den mittelgroßen Halbkreis um 180 ° um den Mittelpunkt dreht, erhält man einen Halbkreis mit dem Radius zwei. Der hat dann die Fläche 1/2 π*4=2π
Vielen Dank für den sehr interessanten Beitrag! Im Minkowski-Vektorraum der der Speziellen Relativitätstheorie zerlegt man die Transformationen in eine Drehung und einen nachfolgenden "Boost" (Übergang in ein zu dem eigenen System bewegtes, aber nich gedrehtes System) - oder umgekehrt. Die Drehung lässt sich dabei mit trigonometrischen (sin, cos, ...) , der Boost mit hyperbolischen Funktionen (sinh, cosh,...) darstellen. Kann man für diese sog. Lorentz-Transformationen auch mit Hilfe der Quaternionen ebenfalls eine Vereinfachung erreichen, etwa indem man den Realteil nicht auf 0 setzt? Allerdings hätte man da nur 4 "Freiheitsgrade" statt der benötigten 6. Wenn überhaupt, dann müsste es wohl anders gehen.
Umgekehrt kommen Oktonionen (als Verallgemeinerung der Quaternionen) nicht in Frage, da sie noch nicht einmal assoziativ sind. Wenn man sich aber auch auf einen assoziativen Teilbereich mit 6 Freiheitsgraden beschränkt...???
PS.: Den Latex-Code kann man auch in Wikipedia umsetzen, indem man ihn in einschließt statt in \(...\)
Vielen Dank für den Beitrag! Im Studium haben wir die Definition i^2 = -1 verwendet. Definiert man i über die Wurzel aus -1, führt dies zu einem Widerspruch:
Ohne die gleichung zu kennen fällt mir ein klammerfehler auf: es gibt eine schliessende Klammer mehr - ich würde vermuten die öffnende gehört direkt hinter das =-zeichen. Außerdem würde ich erwarten dass es w*k und nicht w*z heisst.
In der Formel für die Rotation mit Quaternionen sind zwei bzw. drei kleine Fehler. Vorne fehlt die öffnende Klammer. Und sowohl im vorderen als auch im hinteren Faktor muß es ...+ wk) heißen statt ...+ wz).
Stellungnahme der Redaktion
Vielen Dank für die Anmerkung, ich habe das korrigiert.
Sehr schöner Beitrag, der mir endlich gezeigt hat wie Quarternionen funktionen. Nur über dem letzten Bild ist der Latex-Code anstatt der entsprechenden Formel sichtbar.
Stellungnahme der Redaktion
Vielen Dank! Wenn LaTeX-Formeln nicht richtig dargestellt werden, kann das an Adblockern oder an älteren Browser-Versionen liegen. Viele Grüße
Ein Blogger hat die hier unkritisch wiedergegebene Behauptung Katrine Marçals unter de Lupe genommen (Link zum Artikel), es sei das weibliche Image der frühen Elektroautos gewesen und nicht die unzureichende Batterietechnik, die Anfang des 20sten Jahrhunderts deren Erfolg verhinderte.
Fazit dort: Diese Behauptung ist wahrscheinlich unzutreffend. Hoffentlich hat Frau Marçal den Rest ihres Buchs sorfältiger recherchiert. Ich denke, im Rahmen einer Rezension gerade bei Spektrum der Wissenschaft sollte man Autor*innen nicht alles einfach so abnehmen. Gerade die etwas spektakulären Behauptungen müssen meist mit Vorsicht geommen werden.
Interessanterweise ist das Ergebnis des PRODUKTS zweier Kubikzahlen, also von 2^3 MAL 6^3 (logischerweise gleich) 3^3 MAL 4^3 gleich 1728 Also die kleinste Zahl, "die auf zwei verschiedene Arten als PRODUKT von zwei Kubikzahlen darstellbar ist". Knapp vorbei ...
Wesentlich leichter lässt sich das lösen durch Betrachten der Neunerrest. Der Neunerrest einer Zahl ist bekanntlich gleich (dem Neunerrest) der Quersumme, und der Neunerrest einer Summe ist gleich der Summe der Neunerreste (immer modulo 9 betrachtet). 2+2+1=5, und Summe von 1 bis 9 ist 45 (mit Neunerrest 0), also fehlt 4.
Beweis: Gäbe es langweilige natürliche Zahlen, so gäbe es auch eine Kleinste. Die kleinste langweilige Zahl wäre aber hochinteressant und daher nicht langweilig. QED
Zum Rätsel "Welches Datum ist gesucht?"
26.02.2023, KuchenEs gibt sechs Lösungen, nicht nur eine.
25.02.2023, Björn Stuhrmann(29.12, 01.01), (30.12, 01.01), (30.12, 02.01), (31.12, 01.01) und (31.12, 02.01).
Marie hätte die Aussage nämlich auch am 01.01 eines Jahres oder am 02.01 eines Jahres äußern können (und Marie muss keinesfalls vor genau drei Tagen Geburtstag gehabt haben - Sie hätte durchaus auch vor einem oder zwei Tagen Geburtstag haben können, auch dann wäre die Aussage, dass Sie vor vier Tagen noch ein Jahr jünger war, richtig).
Kolkrabe
25.02.2023, Sepp StrambachGottfried Wilhelm Leibniz
25.02.2023, Rainer StumpeGestorben ist er 1716, nicht 1714!
Zwei Fragen zum Bild der Parallelprojektion des Einheitswürfels in fünf Dimensionen auf die Ebene
24.02.2023, Frank Wappler“Parallelprojektion des Einheitswürfels | Parallelprojektion des Einheitswürfels in fünf Dimensionen auf die Ebene. Es sind zusätzlich sämtliche Kanten des Würfels eingezeichnet. [ © Christoph Pöppe (Ausschnitt) ]”.
Zu diesem Bild habe ich die folgenden zwei Fragen:
1. Weil darin ausdrücklich “sämtliche Kanten des Würfels eingezeichnet” sind, fällt mir auf, dass sich offenbar einige Tripel dieser Kanten finden lassen, die jeweils zusammen ein Dreieck bilden. (Ich finde sowohl einige Dreiecke, die aus drei “verdeckten”, schwarz gezeichneten Kanten bestehen; als auch etliche Dreiecke aus zwei “verdeckten” schwarzen Kanten und je einer “offenen” schwarz-weißen Kante. Offenbar gibt es gar keine Dreiecke aus drei “offenen” schwarz-weißen Kanten; und ob es Dreiecke aus je zwei “offenen” schwarz-weißen Kanten und einer “verdeckten” schwarzen Kante gäbe, mochte ich hier zunächst offenlassen.
Mich wundert: Im 2D-Quadrat und im 3D-Würfel gibt’s solche Kanten-Dreiecke doch jedenfalls nicht. Gibt es solche Kanten-Dreiecke wirklich im originalen 5D-Würfel, oder womöglich nur in dessen Projektion in die Ebene ? (Lässt sich Ähnliches auch beim 4D-Würfel finden ? Oder liegt in Missverständnis vor ? ...)
2. Mir fällt auf, dass jede der (zehn) Diagonal-Linien in dieser Projektions-Abbildung etwa gleich 3 (“offene”) Würfelkanten lang ist; und damit wesentlich länger als die (“echte”) Diagonale eines “echten” 5D-Würfels (denn die ist \( \sqrt{5} \) Kantenlängen lang, so weit ich verstehe).
Bei einer allgemeinen, “schiefen” Parallelprojektion ist es natürlich möglich, dass der Abstand zweier Projektionspunkte voneinander größer ist, als der (“echte”) Abstand zwischen den beiden originales Punkten, die projeziert wurden. Aber die Projektions-Abbildung wirkt doch so symmetrisch, dass ich mich frage, ob es sich genauer/spezieller dabei um das Bild einer Orthogonalprojektion eines 5D-Würfels handelt; und dann (so ist zumindest meine Vermutung bzw. mein Vorurteil) sollten Abstände in der Projektion doch höchstens gleich und i.A. kleiner sein, als Abstände im Original. Wie erklären sich also diese Distanzverhältnisse im Bild ?
Vielen Dank für Ihre Zuschrift.
Zu 1): Die abgebildete Projektion des fünfdimensionalen Einheitswürfels ist so gebaut, dass die Bilder aller Einheitsvektoren gleich lang sind. Die von Frank Wappler erwähnten Dreiecke haben sämtlich zwei lange Seiten und eine kurze. Die kurze kann also keine Kante des Einheitswürfels sein. Vielmehr ist sie ein Stück einer Kante. Der täuschende Eindruck wird dadurch erweckt, dass in der Projektion an vielen Stellen eine Kante zum Teil mit einer anderen zusammenfällt.
Das wird deutlich, wenn man statt der schön symmetrischen Anordnung der Bilder der Einheitsvektoren (links) eine etwas unordentlichere wählt (rechts), so dass kaum noch Kanten aufeinander fallen.
Zu 2): Beide Projektionen sind jedenfalls nicht orthogonal in dem Sinne, dass sie rechte Winkel auf rechte Winkel abbilden. Vielmehr werden im Allgemeinen Quadrate auf Rauten abgebildet. Die lange Diagonale einer Raute ist offensichtlich länger als √2 mal die Seitenlange. Entsprechendes gilt für Raum-, Hyperraum-, …-Diagonalen. Daher darf es nicht verwundern, wenn eine Diagonale von einer Ecke zur genau gegenüberliegenden länger ist als √5 mal die Kantenlänge.
Hemnes math. Rätsel vom 22.2.23
22.02.2023, Juliane Beliczey-KruseVerallgemeinerung möglich?
21.02.2023, Ernst SauerweinUmgekehrt kommen Oktonionen (als Verallgemeinerung der Quaternionen) nicht in Frage, da sie noch nicht einmal assoziativ sind. Wenn man sich aber auch auf einen assoziativen Teilbereich mit 6 Freiheitsgraden beschränkt...???
PS.: Den Latex-Code kann man auch in Wikipedia umsetzen, indem man ihn in einschließt statt in \(...\)
sqrt(-1) = i vs i^2 = -1
20.02.2023, Marcus-1 = i^2 = sqrt(-1) * sqrt(-1) = sqrt(-1*-1) = sqrt(1) = 1
Viele Grüße
Wurzeln darf man nur zusammenziehen, wenn die Radikanten positiv sind. Diese Rechenregel gilt nicht für imaginäre Zahlen.
Gleichung korrekt ?
18.02.2023, JanFormel für Rotation mit Quaternionen
18.02.2023, Thomas SchirmerVielen Dank für die Anmerkung, ich habe das korrigiert.
Latex code anstatt Formel sichtbar
17.02.2023, OliNur über dem letzten Bild ist der Latex-Code anstatt der entsprechenden Formel sichtbar.
Vielen Dank! Wenn LaTeX-Formeln nicht richtig dargestellt werden, kann das an Adblockern oder an älteren Browser-Versionen liegen. Viele Grüße
Frühe Elektroautos waren zu "weiblich" ... im Ernst jetzt?
17.02.2023, Gerald WiegmannFazit dort: Diese Behauptung ist wahrscheinlich unzutreffend. Hoffentlich hat Frau Marçal den Rest ihres Buchs sorfältiger recherchiert. Ich denke, im Rahmen einer Rezension gerade bei Spektrum der Wissenschaft sollte man Autor*innen nicht alles einfach so abnehmen. Gerade die etwas spektakulären Behauptungen müssen meist mit Vorsicht geommen werden.
Ramanujans Behauptung
17.02.2023, Andreas2^3 MAL 6^3
(logischerweise gleich)
3^3 MAL 4^3
gleich
1728
Also die kleinste Zahl, "die auf zwei verschiedene Arten als PRODUKT von zwei Kubikzahlen darstellbar ist".
Knapp vorbei ...
Neunerreste
16.02.2023, Norbert PfannererUnsinn: es gibt keine langweiligen natürlichen Zahlen
16.02.2023, AndreasBeweis: Gäbe es langweilige natürliche Zahlen, so gäbe es auch eine Kleinste. Die kleinste langweilige Zahl wäre aber hochinteressant und daher nicht langweilig. QED