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Wenn Dornröschen mit der Wahrscheinlichkeit p beim Aufwecken die Antwort "Kopf" gibt, dann liegt sie mit der Wahrscheinlichkeit
P=2/3 - 1/3•p richtig. Lösungsansatz: Male ein Baumdiagramm.

Unabhängig davon zeigt die Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% die Seite Kopf, sofern sie nicht auf dem Rand stehen bleibt, gestohlen wird oder in ein Mauseloch rollt und dergleichen Unwägbarkeiten, was in Märchenschlössern ja nicht auszuschliessen ist.

Die Unsicherheit ist nur ein semantisches Problem. Es ist nicht klar was die Frage "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze »Kopf« gezeigt hat?" exakt bedeuten soll.

Es wird nach einer subjektiven Wahrscheinlichkeit gefragt. Objektiv ist die Münze bereits gefallen und hat einen eindeutigen Status, da besteht keinerlei Unsicherheit mehr, es ist Kopf oder Zahl. Das Ergebnis wurde bereits gemessen, Dornröschen kennt nur das Ergebnis nicht. Da nach einer subjektiven Wahrscheinlichkeit gefragt wird, ist es wichtig anzugeben aus wessen Perspektive - das fehlt. Das macht das Problem aber nicht schwierig oder interessant, nur unsauber definiert.

Die 1/3 Fraktion interpretiert es aus Dornröschens Perspektive:
Wie hoch ist die wahrscheinlichkeit aus meiner Perspektive das ich den aktuellen Zustand der Münze korrekt bezeichne wenn ich sage es ist "Kopf". Oder anders gesagt: Bei unendlicher Wiederholung des Experiments, welchen Anteil an "Kopf" werde ich nach dem Wecken sehen. Hier ist 1/3 offensichtlich richtig, und das lässt sich auch trivial experimentell prüfen.

Die 1/2 Fraktion interpretiert es aus Sicht eines externen Beobachters, bzw. der Perspektive vor dem Wurf:
Wie hoch war die Wahrscheinlichkeit aus Sicht vor dem Münzwurf, bzw. wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit pro Experiment (nicht pro aufwachen) Kopf zu sehen. Hier ist natürlich 1/2 richtig, was man mit Dornröschen macht beeinflusst natürlich die Münze nicht. Dornröschen würde mit dieser Antwort nicht das Verhältnis der Ergebnisse nach dem Aufwachen richtig vorhersagen, also in einer gameshow "rate was die Münze zeigt" klar verlieren, aber danach wäre nach dieser Interpretation ja auch nicht gefragt.

Ich würde sagen dass das ganze Problem absichtlich misstverständlich formuliert ist um diese Debatte zu erzeugen. Die ganze Dornröschen Struktur impliziert das man Dornröschens Perspektive annehmen soll. Die Frage an sich ist dann aber wieder allgemein gestellt und fragt nach "Kopf gezeigt hat" und nicht "jetzt Kopf zeigt".
Mit einem einzigen Satz der klarstellt was eigentlich die Frage ist, würde man die ganze Diskussion sofort auflösen.

Für mich ist die Ausgangsfrage zu ungenau gestellt für eine eindeutige Antwort.
Aus meinem Bauchverständnis ist es aber 1/2. Die Münze wird nur ein einziges Mal geworfen. Am Dienstag wird die Münze kein weiteres Mal geworfen sondern lediglich gefragt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist.
Man vermischt also 2 Mengen miteinander: den tatsächlichen Münzwurf und die Anzahl der Schätzungen, bzw. welcher Tag ist. Die Menge an Schätzungen beeinflusst also nicht die Wahrscheinlichkeit, ob Kopf oder Zahl geworfen wurde. 1/3 wird dann nur verständlich als Arguement, wenn Dornröschen annehmen muss, das Montag=Dienstag, also ein weiteres Mal die Münze geworfen würde. Aber ein nettes Experiment um zu erklären, ob eine Regel unbekannte Wirkungen hat (haben könnte).

Tatsächlich ist dies keiner Diskussion würdig, sondern relativ schnell eindeutig zu beantworten. Anschaulich wird das ganze, wenn man Dornröschen den Vorgang z.B. 100 mal durchlaufen lässt (daran ist sie ja ohnehin gewöhnt). Man hätte dann bei Zufallsverteilung der Münzwurfergebnisse 150 Aufweckungen zu erwarten (50 bei Kopf und (2x50=)100 bei Zahl). Aus ihrer Perspektive ergibt sich daher zum Zeitpunkt jeder Aufweckung, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 die Münze auf die Kopfseite gefallen ist, was auch überhaupt nicht dem widerspricht, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis Kopf beim Wurf der Münze bei 1/2 liegt. Dornröschens entscheidende Information ist, dass sie aufgewacht ist. Fast sind wir hier schon beim Cogito Ergo Sum, um die Philosophen auch noch zu beglücken.

Hier werden durch eine leicht verschwurbelte Aufgabenstellung zwei Dinge vermischt:
a) mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigte die Münze Kopf,
b) mit welcher Wahrscheinlichkeit antwortet Dornröschen korrekt.

Wenn man zwei Fragen miteinander vermengt kann es auch keine eindeutige Abtwort geben. So einfach ist das.
Die Antwort für a) ist 1/2, bei b) hängt es von den individuellen Überlegungen Dornröschens ab. Antwortet sie immer gleich, liegt sie zu 50% richtig antwortet sie zufällig

die die Welt nicht braucht?!
Wie kommt man auf ein so sinnloses Experiment? Was soll da überhaupt bewiesen werden? Tatsache ist, dass jeder Münzwurf eine 50:50 WS hat, dass es K oder Z ist, alles andere ist sinnloses Gefasel von einem Problem, das nicht existiert.

Ein Münzwurf mit zwei Seiten kann nur dann zu einer Drittelwahrscheinlichkeit führen, wenn angenommen wird, dass die Münze auf dem Rand stehen bleiben kann - mit gleicher Häufigkeit, wie auf einer der beiden Seiten zu landen.

Alle weiteren Überlegungen interpretieren etwas hinein, was gar nicht gegeben ist.
Ein Wurf ohne Randoption: 1/2
Ein Wurf mit Randoption: 1/3

Also - klar 1/2.

Die erste Frage beträfe den Münzfall. Die Antwort ganz klar 1/2.
Die zweite Frage beträfe Dornröschen. Wenn sie indormiert wurde, dass es drei Moöglichkeiten gibt, dann lautete die Lösung 1/3.
Beide Antworten treffen für die jeweilige Problemlage zu.
Zwei Probleme = zwei Lösungen, oder?

Wenn wir bei der ursprünglichen Fragestellung bleiben, dem das Experiment zugrunde liegt, kann die Antwort nur 1/2 sein. Das Problem der 1/3-Fraktion ist, dass die Fragestellung erweitert wird. Es gibt aber zweifellos nur 2 Möglichkeiten: entweder, Schneewittchen wird am Dienstag gefragt, oder am Mittwoch. Sie wird eben nicht gefragt, welcher Tag heute sei, sondern die Frage lautet ausschließlich, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Münze Kopf gezeigt hat. Wir brauchen nicht darüber nachdenken was geschieht, wenn Schneewittchen 1 Mio. mal gefragt wird, oder auch nur 100 Mal, denn sie wird eben nur 1 Mal gefragt, und zwar am Mittwoch oder am Dienstag. Und da kann sie nur mit 1/2 antworten. Alles andere ist eine Abweichung bzw. Erweiterung der ursprünglichen Fragestellung, die ich nicht für legitim halte.

Es kommt darauf an, nach welcher Wahrscheinlichkeit gefragt wird bzw. was im Nenner von P stehen soll: die Anzahl der Münzwürfe oder die Anzahl der Aufweckereignisse.

Man kann das Problem so modifizieren, dass Dornröschen bei Kopf nie wieder aufgeweckt wird. Nun ist klar, dass im Fall des Aufweckens vorher Zahl geworfen worden sein muss.

Dornröschen beantwortet die Frage insofern ex-post, also nachdem bestimmte Konsequenzen des Münzwurfs schon eingetreten sind, die wiederum Rückschlüsse auf das Ergebnis des Münzwurfs erlauben.

find ich jetzt gar nicht so diskussionswürdig. nach dem einzigen wurf ist das ergebniss 50/50. damit ist auch das endergebnis festgelegt. egal wie oft dornröschen später geweckt wird, wird allein durch das aufwecken keine höhere wahrscheinlichkeit hinzugefügt zumal sie ja auch nicht weiß wie oft sie schon geweckt wurde. sie befindet sich entweder auf der einmal-wecken seite der münze oder auf der vielfach (egal wie oft) wecken seite der münze. die möglichkeit sich in einem der beiden bereich zu befinden ist nunmal 1/2. deutlicher wird es noch, wenn man das wecken weglässt. würde es einen unterschied machen, ob man dornröschen bei antwort kopf nur einmal befragt, bei antwort zahl mehrmals? die wahrscheinlixchkeit erhöht sich nicht, wenn ich auch noch so oft nachfrage.
ich hätte aber ein besseres problem zu bieten:
wenn ich mich beim münzwurf beim ersten wurf zwischen kopf und zahl entscheiden muss, ist die wahrscheinlichkeit 50/50. nehmen wir an es fällt zahl, erhöht sich die wahrscheinlichkeit, dass beim zweiten wurf kopf fällt?
wie ein freund von mir, mathematiker und clown, einmal sagte: der münzwurf hat kein gedächnis. soll bedeuten, die wahrscheinlichkeit ist bei jedem wurf 50/50. bei nur zwei würfen wirkt das noch verständlich. sagen wir aber, ich habe jetzt neun mal zahl geworfen, wie sieht es jetzt aus? müsste in die wahrscheinlichkeit nicht einfließen, dass es unwahrscheinlicher ist 10 mal hintereinander zahl zu werfen, als z. b. zweimal? steigt nicht die wahrscheinlichkeit, dass kopf fallen müsste, mit jedem mal in dem zahl fällt?

Das erste Gegenbeispiel (gegen die Antwort 0,5) passt zur Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit für jedes Weckereignis ist gleich nämlich 0,5 egal an welchem tag und durch welchen Münzwurf geweckt wurde ob an den einzigen oder einem der Millionen Tag. Daher ist für den Rückschluss aus Dornröschensicht 1 durch die Summe der möglichen Tage richtig.
Im zweiten Gegenbeispiel ist die Wahrscheinlichkeit dass Raab gewinnt geringer, sagen wir einfach mal 1% das heißt die Wahrscheinlichkeit für einmal wecken wäre 99/100 die für 30 mal Wecken 1/100. Daher ergibt sich jetzt aus Dornröschens Sicht eine Wahrscheinlichkeit von 99/129 für Halmich und von 30/129 für Raab.

Das Argument der 1/3 Fraktion ist unvollständig. Am Montag werden beide Seiten der Münze berücksichtigt. Während am Dienstag nur die Seite "Zahl" berücksichtigt und die Seite "Kopf" komplett außer Acht gelassen wird. Aber auch am Dienstag hat die Münze immer noch zwei Seiten und zwei Möglichkeiten mit einer Wahrscheinlichkeit von 50/50 somit bleibt immer, unabhängig von der Anzahl der Würfe und Tage bei jedem Tag und Wurf die Wahrscheinlichkeit von 1/2.

Am Sonntag Abend wurde es durch Werfen einer Münze entschieden, ob Dornröschen entweder einmal (Kopf) oder zweimal (Zahl) geweckt und befragt ( Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze Kopf zeigt?) wird. Dies ist das, das jeder -meine hier auch die Fachleute- vergessen hat (haben) und damit irre geführt wurde/wurden( zu 1/3): Es gibt hier zwei klare von einander getrennte Wege, derer Wurfergebnisse streng voneinander getrennt bleiben müssen. Hat die Münze am Sonntag Kopf gezeigt, dann ist es der eine Weg (Dornröschen wird am Montag geweckt, befragt, dann narkotisiert und zum Schluss am Mittwoch geweckt.). Hat die Münze am Sonntag Zahl gezeigt, dann ist es der zweite Weg (Am Montag und Dienstag wird Dornröschen geweckt, befragt und am Mittwoch endet das Experiment).
Bedingung des Ablaufs vom Experiment:
1.) Zum Kopf vom Sonntag gehört ein Wurf am Montag. Und das Experiment ist aus. Dornröschen wird am Mittwoch geweckt. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/2.
2.) Zur Zahl vom Sonntag gehört zwei Würfe: ein Wurf am Montag mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 und ein Wurf am Dienstag mit der Wahrscheinlichkeit 1/2.

Der Ablauf ist am Sonntag eindeutig bestimmt worden, da gibt es kein Aber und Wenn. Es gibt keine 1/3 Wahrscheinlichkeit für Dornröschen - Gedankenexperiment.

Der Satz "Aus der Kompaktheit folgt, dass jede endliche Teilmenge dieser Aussagen widerspruchsfrei ist." stimmt so nicht. Richtig ist: Aus einfachen arithmetischen Überlegungen folgt, dass jede endliche Teilmenge dieser Aussagen widerspruchsfrei ist. Aus der Kompaktheit folgt dann, dass die Gesamtheit dieser Aussagen auch widerspruchsfrei ist.