Lesermeinungen - Spektrum der Wissenschaft

Lesermeinung - Spektrum der Wissenschaft

Ihre Beitr�ge sind uns willkommen! Schreiben Sie uns Ihre Fragen und Anregungen, Ihre Kritik oder Zustimmung. Wir ver�ffentlichen hier laufend Ihre aktuellen Zuschriften.

Subjektive Bewertung der Strafe

03.08.2007, Maik Sonnenberg, D�sseldorf

Mein erster Gedanke beim Lesen des Artikels war spontan: "Was interessieren mich die lausigen zwei Euro? Es ist reine Zeit- und Energieverschwendung und somit v�llig unwirtschaftlich (=irrational), mir dar�ber den Kopf zu zerbrechen."

These: Spieltheorie f�hrt doch zum Ziel. Es ist alles eine Frage der Wertma�st�be.

Betrachten wir zun�chst einmal das Problem ohne die Bedingung der Strafzahlung:
Jeder Spieler w�hlt nun den maximalen Betrag von 100, da sich durch Reduzierung die Auszahlung unter keinen Umst�nden verbessern l�sst.

F�hren wir nun die Strafgeb�hr ein, sind zwei F�lle zu unterscheiden:

A) die Strafgeb�hr ist gering und tangiert mich unter Ber�cksichtigung des m�glichen Gewinnes subjektiv nicht:
Hier wird die Nebenbedingung au�er Acht gelassen (sprich: die Strafgeb�hr hat den Wert 0) und die optimale Strategie bleibt der maximale Auszahlungsbetrag, 100.

B) die Strafgeb�hr ist hoch, z. B. 50, und der Verlust t�te mir weh:
Die Nebenbedingung kann nun nicht mehr vernachl�ssigt werden und die optimale Strategie ist der minimale Auszahlungsbetrag, 50.

Diese beiden Strategien in Abh�ngigkeit von der H�he der Strafzahlung treten deutlich in den angef�hrten Studien hervor.

Antwort der Redaktion:
Das ist eine weitere Eigenschaft des fiktiven "rationalen Nutzenmaximierers", den sich die klassische Spieltheorie vorstellt: Denken kostet ihn nichts. Manche Marktmodelle beziehen zwar Kosten der Informationsbeschaffung ein; aber die Kosten der Informationsverarbeitung werden in der Regel nicht ber�cksichtigt.

Die n�chste schwierige Frage folgt gleich auf dem Fu�e: Wenn ich �Rundungsfehler� akzeptiere und eine Strafgeb�hr von 2 gleich null setze, damit es einfacher zu denken ist, wo ist dann die Bagatellgrenze? Wovon h�ngt es ab, ob ich so eine nervige Geb�hr ignoriere oder f�r voll nehme?

Zur Antwort auf "einfache statistische L�sung?"

03.08.2007, Wolfgang Illig, Ruppertsgr�n

Im Grunde scheinen die drei L�sungsvorschl�ge von M. Krupp, Torsten Sch�ning und mein eigener keine Antworten der klassischen Spieltheorie zu sein. Alle "�berziehen" die Strategien mit einer Wahrscheinleichkeitsverteilung. T. Sch�ning und ich verwenden die Gleichverteilung, weil analytisch l�sbar und anschaulich diskutierbar, und M. Krupp verallgemeinert die gerade genannten Ans�tze, indem er eine dem Problem angepasste Verteilung nutzt. Er wird einem mit der Spieltheorie vertrauten Mitspieler sicher eine andere Verteilung zuweisen als einem "Laien". Die bestangepasste Verteilung zu finden, ist vielleicht gerade des Problem einer erweiterten Spieltheorie.
Klar ist auch, dass ich nicht 100 mal nach China fliegen kann, um dann mit 100 zerschlagenen Mingvasen das Spiel zu testen. Auch haben Sie (Christoph P�ppe) Recht, dass ich die Gleichverteilung nicht begr�nden kann, h�chstens mit einer Anleihe bei der statistischen Physik, die das Prinzip maximaler Unbestimmtheit, bei dem die Gleichverteilung zu maximaler Entropie f�hrt, erfolgreich anwendet. Vielleicht ist dies aber auch nicht zu weit hergeholt, denn in Ihrem Artikel "Die Quadratwurzel, das Irrationale und der Tod" betrachtet ja ein statistischer Physiker die W�hler auch als "Spingas".

einfache statistische L�sung?

03.08.2007, Wolfgang Illig, Ruppertsgr�n

Ein interessanter Artikel mit �eigentlich� einfacher L�sung � nur nicht f�r Spieltheoretiker.
Ziel: Ich m�chte nicht mehr Gewinn als mein Mitspieler (klassische Spieltheorie), sondern meinen Gewinn maximieren, gleich was mein Mitspieler gewinnt.
Annahme: Ich kenne nicht die Strategie meines Mitspielers und nehme an, dass jede Wahl (von 2 bis 100) gleichwahrscheinlich ist. Weiter setze ich voraus, dass der minimale Strategiewert (hier 2) immer gleich der H�he der Belohnung/Bestrafung ist.
Dann berechne ich f�r jede meiner Strategien x den Erwartungswert aus den Werten der entsprechenden Spalte der Auszahlungsmatrix. (Dies tut auch mein Mitspieler mit den entsprechenden Zeilen). Das reduziert die Auszahlungsmatrix auf zwei (wegen der Symmetrie des Problems) gleiche Auszahlungsvektoren, deren Werte durch folgende Auszahlungsfunktion berechenbar sind:

A(x) = 1/(M-m+1) [-x�/2 + (M-2m+1/2)x + (M+m/2+1/2)m].

M bezeichne den Wert der maximalen Strategie (100) und m den der minimalen Strategie (2), der nach Voraussetzung gleich dem Wert der Belohnung/Bestrafung ist, x sei meine Strategie und A(x) der zu erwartende Auszahlungswert bei gew�hlter Strategie x.
Diese Funktion hat genau ein Maximum bei max=M-2m+1/2, was die zweite Ableitung (bei stetig gedachtem x) best�tigt. Dass im konkreten Fall zwei benachbarte Maxima existieren, ist der Ganzzahligkeit der Aufgabenstellung geschuldet.
�Bl�st� man die beiden Auszahlungsvektoren zu einer entsprechenden Auszahlungsmatrix auf, so ist das Paar (M-2m+1/2 ; M-2m+1/2) ein Nash-Gleichgewicht. W�chst m, so wandert das Gleichgewicht nach �links oben� und wird f�r m=M/3 gleich dem �klassischen� spieltheoretischen Nash-Gleichgewicht.
Diese einfache Betrachtung l�st � nach meiner Ansicht � die im Artikel genannten Probleme. Die Menschen handeln vern�nftig oder rational, wenn sie wegen ihrer Unkenntnis einfach sch�tzen. Und die Menschen sch�tzen gut, wie die Versuche zeigen, selbst Spieltheoretiker.

Antwort der Redaktion:
Bei Unkenntnis der Situation schlie�en Statistiker gerne auf Gleichverteilung � ein legitimes Verfahren, das in diesem Fall allerdings nur schwer zu rechtfertigen ist: Ich wei� ja, dass mein Partner ebenfalls gierig ist und daher h�here Werte bevorzugen m�sste.

Bemerkenswerterweise scheint es auf die Gleichverteilungsannahme nicht besonders anzukommen: In seinem (zweiten) Leserbrief kommt Martin Rupp mit einem deutlich anderen Verfahren zum selben Ergebnis: 96 oder 97.

Christoph P�ppe, Redaktion

Preisr�tsel!

03.08.2007, Doppler Stefan, Schlierbach/�sterreich

Etwas versp�tet schlie�e ich mich der hoffentlich noch andauernden Flut an Leserbriefen an, die gegen die Einstellung der Preisr�tselrubrik protestieren � mir ist erst jetzt bewusst geworden, dass eine monatliche Institution zu Ende gehen soll.
F�r mich als mathematisch ungebildeten Hobbyprogrammierer waren die meisten der R�tsel mit einer idealen Mischung aus Nachdenken und Computerpower l�sbar. Nicht selten habe ich am Kiosk zuerst zum Preisr�tsel geschaut und mich danach zum Kauf entschieden (das m�sste doch wirken).
Von der Dramaturgie ist ein Preisr�tsel � auch wenn es keine Millionen-Euro-Frage gibt � doch etwas ganz anderes als eine Denksportaufgabe mit gleich zug�nglicher L�sung.
Und au�erdem � wenn die Beteiligung wirklich so niedrig war, warum habe ich dann nie gewonnen?

R�ckw�rtsinduktion kann zu Fehlschl�ssen f�hren

01.08.2007, Torsten Sch�ning, Jena

Der Artikel �ber das Urlauberdilemma erinnert mich an die Paradoxie der unerwarteten Hinrichtung:
"Einem Gefangenen wird mitgeteilt, er werde n�chste Woche hingerichtet. Allerdings werde der Termin f�r ihn eine �berraschung sein. Nun �berlegt er sich: Wenn ich am Samstag abend noch lebe, muss ich am Sonntag hingerichtet werden, was aber keine �berraschung w�re. Also f�llt der Sonntag als Hinrichtungsdatum weg.
Dann wei� ich aber am Freitag abend, wenn ich noch lebe, dass ich am Samstag hingerichtet werde - ebenfalls keine �berraschung usw., ich kann also �berhaupt nicht hingerichtet werden!
Am Mittwoch taucht, unerwartet, der Henker zur Hinrichtung auf."
(http://de.wikipedia.org/wiki/Paradoxon_der_unerwarteten_Hinrichtung)
Diese Paradoxie zeigt, dass R�ckw�rtsinduktion zu Fehlschl�ssen f�hren kann.

Geht man nicht von einem "r�ckw�rts induzierenden" Mitspieler aus, sondern postuliert, dass er unvorhersagbar / zuf�llig handelt, so erh�lt man bei den im Artikel verwendeten Bedingungen (Eins�tze 2 bis 100 Euro, 2 Euro Strafe) folgende Ergebnisse: Am g�nstigen sind Eins�tze von 97 oder 96 Euro, mit denen man im Durchschnitt 49,08 � als Ergebnis erzielen kann; bei Eins�tzen von 93 bis 100 Euro erreicht man noch �ber
49 �; f�r kleinere Eins�tze nimmt das Ergebnis kontinuierlich ab, so dass man bei 2 Euro Einsatz durchschnittlich nur 3,98 � bekommt.

Mit h�heren Strafen verschiebt sich das Maximum zu immer niedrigeren Eins�tzen.

Man kann auch eine Formel f�r das Ergebnis herleiten: Mein Einsatz sei n, die Strafe sei s. Dann bekomme ich in (100�n) F�llen, also immer wenn mein Mitspieler mehr bietet, n+s � ausgezahlt. In einem Fall (der Mitspieler bietet genauso viel) bekomme ich n �. In den verbleibenden (n�2) F�llen bekomme ich immer den Einsatz k des Mitspielers abz�glich 2 Euro ausgezahlt. Summation �ber k (arithmetische Reihe) ergibt f�r diese F�lle (n�2)/2*(n�1�s).
Gemittelt �ber alle 99 m�glichen Eins�tze des Mitspielers erh�lt man also das Ergebnis E_s(n) = 1/99 * [ (100�n)*(n+s) + 1*n + (n�2)/2*(n�1�s)].

Diese �berlegungen f�hren f�r mich zu zwei Resultaten: Hohe Eins�tze k�nnen doch logisch sein. Und wenn die Vasen wirklich nur 5 Euro gekostet haben, bringen hohe Strafen eher die Wahrheit ans Licht.

Antwort der Redaktion:
R�ckw�rtsinduktion ist und bleibt, wie die gew�hnliche Induktion, ein zul�ssiges Schlussmittel der Mathematik. Wenn ein Kettenglied unter allen Umst�nden wahr ist, h�lt die ganze Kette, und wenn sie aus noch so vielen Gliedern besteht.

Offensichtlich sind die Glieder der hier zur Debatte stehenden Kette zwar stark, aber nicht so unfehlbar stark, dass eine lange Kette nicht schwach sein, das hei�t Unsinn produzieren, k�nnte.

Christoph P�ppe, Redaktion

Irrationale Spieltheoretiker

31.07.2007, Berthold H�vel, Overath

Ich traute meinen Augen nicht, als ich las, was Spieltheoretiker f�r rationales Verhalten halten. Selbst die einzig richtige Entscheidung wird vom Autor als rational nicht nachvollziehbar, wenn auch offensichtlich richtig, angesehen, und er wei� selber nicht, wie er sich optimal in einer solchen Test-Situation verhalten soll.

Hier meine spontanen und laut Autor wohl irrationalen Gedankeng�nge:

1. Ich gehe von der Pr�misse aus, dass der Mitspieler genauso rational und an Gewinnmaximierung interessiert ist wie ich und daher denselben Gedankeng�ngen folgen wird und sich genauso entscheiden wird wie ich.

2. Der unter dieser Pr�misse maximale Gewinn ist 100 Euro, wenn beide 100 Euro angeben. Alles andere endet in ergebnislosen Endlos-Schleifen.

Oder in der Langform:

1. Pr�misse wie oben

2. Der h�chstm�gliche Gewinn ist 101 Euro, den man aber nur dann erreicht, wenn der eine 100 und der andere 99 w�hlt.

3. 98 oder weniger zu w�hlen ist v�lliger Unsinn, da damit h�chstens 100 Euro Gewinn erreicht werden k�nnten. Das Maximum von 101 ist also unerreichbar geworden. Das Ganze birgt aber das Risiko, dass der Mitspieler sich gleich mir verh�lt und man so beliebig weit vom Maximum entfernt landen kann, indem man sich gegenseitig unterbietet.

4. Es ergibt sich also eine Endlosschleife zwischen 99 und 100.
1. Fall: 99 / 100 Ergebnis: 101/98
2. Fall: 99 / 99 Ergebnis: 99/99
3. Fall: 100 / 100 Ergebnis: 100/100
4. Fall: 100 / 99 Ergebnis: 98/101
W�hlt der erste Spieler 99, dann hat er also einen durchschnittlichen Gewinn von 100. W�hlt er 100 hat er einen durchschnittlichen Gewinn von 99. Daher w�re 99 die optimale Wahl.

5. Zu diesem Schluss muss der Mitspieler aber auch kommen. Und er erkennt, dass er jetzt nur noch die M�glichkeit hat, 98 Euro anzugeben, um mehr herauszuschlagen. Und schon h�ngen er und sein Mitspieler in der im Artikel beschriebenen Abw�rtsspirale, die einen aber vom Ziel des maximalen Gewinns immer weiter weg f�hrt und daher v�llig unzweckm��ig ist. Das erkennt jeder (es sei denn, er ist Spieltheoretiker).

6. Man erkennt daraus, dass sich alle Beteiligten stillschweigend kollegial verhalten m�ssen, um wenigstens die 100 Euro einzustreichen. Dies geschieht ohne eigenen Nachteil, da auch vorher der durchschnittliche Gewinn bei lediglich 100 Euro lag, wenn man 99 Euro angegeben hat (Punkt 4). Auch wenn man wie in Punkt 5 beschrieben 98 Euro angeben w�rde, h�tte man keinen Vorteil gegen�ber der 100 Euro-Angabe.

7. Daher ist die optimale Antwort die Angabe von 100 Euro. (Und wenn sie es nicht ist, dann ist der Fehler der kleinst m�gliche.)

(8. Wenn das aber so ist, dann kommt man mit der Angabe von 99 Euro doch noch etwas weiter ... aber ist dann auch noch der m�gliche Fehler minimal?)

Best�rkend kommt noch eine Faustregel oder Strategie hinzu:
Wenn der Mitspieler weniger angeben sollte als ich, dann setzt er das Limit, nicht ich. H�tte ich noch weniger als er angegeben, dann w�re es sehr wahrscheinlich, dass ich dann am Ende immer noch schlechter dagestanden h�tte, als wenn ich sein Limit nicht unterboten h�tte.

Auch hier gilt: Verfolgen beide diese Strategie, werden beide wieder bei 100 Euro landen.

Insgesamt erkenne ich, wie anscheinend �ber 55% aller Menschen, nicht, wo da ein Dilemma sein soll. Als irrational kann ich so ein Verhalten auch nicht bezeichnen, wie ich hoffentlich weiter oben klarmachen konnte.

Es ist bezeichnend f�r die "Rationalit�t" von Spieltheoretikern, wenn sie selbst nicht mal in der Lage sind, das optimale Verhalten zu erkennen, selbst wenn sie es nicht mathematisch formulieren k�nnen. Jedenfalls sind die im Artikel genannten Hyphothesen �ber die "irrationalen" Entscheidungsursachen derma�en abstrus bis arrogant, w�hrend sie ihre 2 Euro-Theorie als einzige rational nachvollziehbare L�sung ansehen, dass die Spieltheorie und ihre Vertreter in meinen Augen massiv an Ansehen und Glaubw�rdigkeit verloren haben.

Antwort der Redaktion:
Vorsicht beim Gebrauch des Wortes "rational"!

Die Spieltheoretiker (und die �konomen) haben zuerst ein Modell eines sich vern�nftig verhaltenden Menschen aufgestellt. Dieses Verhalten nannten sie "rational" und pr�zisierten ihr Modell, indem sie ihrem gedachten Menschen eine Reihe von Eigenschaften zuschrieben: nur am eigenen Nutzen interessiert, "gef�hllos", insbesondere weder altruistisch (am Wohlergehen von seinesgleichen interessiert) noch missg�nstig, und f�hig, alle Handlungsm�glichkeiten bis ins Letzte durchzudenken. Nicht nur das: Bei diesem Durchdenken folgt er unweigerlich � durch seine Eigenschaften diktiert � einem gewissen Denkschema. Diesen Modellmenschen nannten sie weiterhin "rational".

Jetzt kommt Herr Basu und zeigt, dass die so definierten Modellmenschen sich in einer speziellen Situation, n�mlich dem Urlauberdilemma, sehr unvern�nftig verhalten. Also sind auf einmal "rational" im Sinne der Umgangssprache, "rational" im Sinne der Interessen des Modellmenschen und "rational" im Sinne seiner Handlungen drei verschiedene Dinge, die s�mtlich mit demselben Wort bezeichnet werden.

Nat�rlich ist es reizvoll, mit dieser Mehrdeutigkeit zu spielen; das tut Basu auch mehrfach in seinem Artikel. Daraus zu schlie�en, die Spieltheoretiker seien unf�hig, die verschiedenen Arten von Rationalit�t zu unterscheiden, halte ich f�r etwas voreilig.

Christoph P�ppe, Redaktion

falsche Zielfunktion?

31.07.2007, P. Speckmayer

Meiner Meinung nach optimiert Herr Basu die falsche Funktion. Er versucht, so wie ich das sehe, implizit die Wahrscheinlichkeit zu maximieren, dass Spieler A mehr Geld als Spieler B ausgezahlt bekommt.

Die eigentliche Fragestellung ist doch aber die Maximierung des Gewinnes. Die Funktion die maximiert werden soll lautet eigentlich:

Gewinn_A = minimum( a, b ) + w

wobei a und b die von Spieler A bzw. B gew�hlten Werte sind und w eine kleine St�rung (von der Gr��enordnung 1 Euro) ist. (Die Funktion "minimum" nimmt den Wert der kleineren der beiden Gr��en a und b an. )

Nachdem Spieler A nur den Wert a optimieren kann, wird er offensichtlich den h�chstm�glichen (=100) w�hlen. Erst in einem zweiten Schritt wird er sich �ber den Einfluss der kleinen St�rung w Gedanken machen.

F�r mich ganz und gar nicht �berraschend schaut die Sachlage dann nat�rlich vollkommen anders aus, wenn w keine kleine St�rung mehr ist, sondern in der Gr��enordnung von a und b liegt.

Wir k�nnen nun die beiden Extrema von w betrachten. Das eine Extrem ist w=0; hier werden beide Spieler offensichtlich den h�chstm�glichen Wert 100 w�hlen. Wenn andererseits der Spieler mit dem kleineren Wert alles bekommt, werden, vermute ich, beide Spieler Richtung Nash-Gleichgewicht a=b=2 tendieren.

Im Gegensatz zum Autor des Artikels w�rde ich die Entscheidungen "der Leute" in dieser Art von Spiel sehr wohl als rational einstufen.

Zur Antwort auf meinen Leserbrief �Klassischer Denkfehler�

31.07.2007, M. Rupp, Karlsruhe

Ich stimme mit Ihrem vorletzten Absatz nicht �berein:
Es ist gerade die im Originalartikal angewandte Methode der Schlussfolgerung, die ausschlie�lich auf dem Prinzip der "kleinen Schritte" aufbaut: 99 - der andere auf 98 - ich auf 97 usw. bis zur 2. Eine einseitige "radikale �nderung" nach unten f�hrt immer zu einer geringeren Auszahlung; von einem vollen �berblick �ber die Zielfunktion kann also nicht die Rede sein.
Dabei stellt sich die Frage: Was ist �berhaupt die Zielfunktion?
Die Zielfunktion ist der Gewinn. Diese soll optimiert werden. Das geschieht nicht in erster Linie durch Unterbieten des Mitspielers! Sind Bonus und Malus klein, so ist es egal, wer die h�here und wer die niedrigere Zahl nennt, solange beide eine hohe Zahl nennen.

Und der von Ihnen angesprochene Grundsatz der Spieletheorie k�nnte als Argument F�R meinen Ansatz gesehen werden: Mein Mitspieler denkt genau wie ich. Wenn ich eine hohe Zahl nenne, wird er das auch tun!

Da aber keiner genau wei�, was der andere antworten wird, m�ssen beide Vermutungen dar�ber anstellen, welche Zahl der andere wahrscheinlich nennen wird.
Wenn beide nach dem Grundsatz der Spieltheorie handeln und das gleiche tun, folgt daraus ein Algorithmus, den ich hiermit zur Ermittlung der optimalen Strategie vorschlage:

1. Nimm f�r jede Zahl x eine (beliebige) Wahrscheinlichkeit p(x) an, mit der der Mitspieler diese Zahl w�hlen wird. Die Gesamtwahrscheinlichkeit f�r alle x soll 1 sein.

2. Ermittle mit dieser Verteilung f�r jede Zahl y die mittlere Auszahlung a(y). (Das ist die Auszahlung, die man im Mittel in sehr vielen Spielen bekommen wird, wenn man immer die Zahl y nennt und sich der Partner an die angenommene Verteilung h�lt.)
Sie berechnet sich wie folgt:

a(y) = p(y)*y + Summe _x>y (p(x)*(y+2)) + Summe_x<y (p(x)*(x�2)),

wobei Summe _x>y bedeutet: Summe von x=y+1 bis 100 (allgemein x_max). Entsprechend l�uft Summe_x<y von 2 (allgemein x_min) bis y�1.

3. Erzeuge eine neue Verteilung: p(x) = a(x)/Summe(a)

4. Wiederhole 2. und 3. bis Konvergenz erreicht ist.

Ich habe diesen Algorithmus in einem einfachen Programm implementiert. Er scheint f�r alle Startverteilungen zu konvergieren.
Das Maximum der Auszahlung und der Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt bei x = 96 und x= 97. Es sei denn, man gibt als Startwert p(2)=1 vor, dann beobachtet man keine �nderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Dieser Algorithmus gibt auch die beobachteten Ergebnisse qualitativ wieder: Ist der Bonus/Malus gro�, so liegt das Maximum bei der kleinstm�glichen Zahl.
Wesentlich interessanter ist aber folgende Feststellung:
Es gibt nicht �die� optimale Zahl (f�r jede Zahl gibt es eine bessere). Aber es gibt f�r jede Zahl eine optimale Wahrscheinlichkeit, diese zu w�hlen, sodass man (und der Mitspieler, der durch die gleiche �berlegung auf dieselbe Verteilung kommt) den Gewinn insgesamt optimiert.

Antwort der Redaktion:
Ich bleibe dabei, dass im Rahmen der klassischen Spieltheorie gro�e Spr�nge m�glich und sinnvoll sind. Ich sage zun�chst 97; dann kommt mir wer wei� woher die Erkenntnis, dass mein Partner 6 sagen will. Daraufhin wechsle ich nat�rlich auf der Stelle zu 5 (und verbessere meine Auszahlung gewaltig: von 4 auf 7).

Der von Ihnen vorgeschlagene Algorithmus d�rfte schwierig zu begr�nden sein (ich glaube nicht, dass er die erwartete Auszahlung maximiert, bin mir aber unsicher), aber trotzdem eine interessante Idee!

Christoph P�ppe, Redaktion

In den Schlussfolgerungen ziemlich bl�dsinnig

31.07.2007, Fritz Kronberg

Das Urlauberdilemma mag als Gedankenspielerei ganz lustig sein, ist aber in den Schlussfolgerungen aus den Vorgaben ziemlich bl�dsinnig. Diese Schlussfolgerungen vernachl�ssigen n�mlich v�llig die Tatsache, dass jeder von einer Versicherung zumindest seinen Verlust ersetzt haben m�chte. Die Auswahl 2 Euro ist also die denkbar schlechteste M�glichkeit f�r beide, und das wird wohl auch f�r Herrn Basu einsichtig sein.

Nimmt man n�mlich den Fall, die Vase habe auf dem Tr�delmarkt wirklich 5 Euro gekostet, so ist die Auswahl 2 Euro ein sicherer Verlust von 3 Euro mindestens f�r beide bzw. von einem Euro f�r einen und 5 Euro f�r den anderen. Eine solche Entscheidung w�re h�chst irrational. Da man nur raten kann, was der andere macht, ist hier die einzige M�glichkeit, mit einiger Sicherheit wenigstens einen Euro Gewinn zu machen, die Auswahl 4 Euro. Geht man aber davon aus, da� der andere genauso denkt, resultiert f�r beide ein Verlust von einem Euro.

Geht man dar�ber hinaus von einer gewissen Gier des anderen aus, ist die Auswahl 5 Euro optimal. Das sichert einen bescheidenen Gewinn von 2 Euro und bestraft den Gierigen mit einem ebenso gro�en Verlust. Auf diese Weise bekommt der Versicherungsvertreter ehrliche Angaben, ist also doch nicht so dumm.

Mangelnde Effizienz

30.07.2007, Tobias Schateikis, Stolberg (Rhld.)

Die hier vorgestellte Idee einer "Crowd Farm" ist zwar auf den ersten Blick ein m�glicher Schritt n�her zur L�sung unseres Klimaproblems. Jedoch muss man beachten, dass die Herstellung der einzelnen Bodensegmente sowie deren Einbindung in das Stromnetzwerk, Wartungen und m�gliche Reparaturen derma�en hohe Energiebetr�ge verschlingen werden, dass es selbst bei jahrelanger intensiver Nutzung nicht zu einer positive Beeinflussung unseres Klimahaushaltes kommen wird. Zu beachten ist auch, dass sich solche Systeme, falls �berhaupt effizient genug herstellbar, nur an Orten mit hoher �ffentlicher Zirkulation einzusetzen lohnen; ein Vorortsbahnhof w�re denkbar ungeeignet. Selbst bei einem weltweiten kooperativen Einsatz der Technologie w�rde es vermutlich Jahrzehnte bis zur rentablen Nutzung dauern - allein der Transport der Platten sowie die Umr�stung der jeweiligen �ffentlichen Einrichtungen w�rde wieder weitaus mehr Energie verbrauchen als letztendlich eingespart werden k�nnte. Zusammenfassend, so denke ich, wird diese Idee nicht �ber ihren Status als Vision hinwegkommen, wenn gerade mal 120 Joule pro Schritt und Bodenplatte an Energie erzeugt werden w�hrend deren Herstellung das x-fache erfordert hat.

Vergessen zu Wedeln?

30.07.2007, Corinna Wolfsteller, Frankfurt (Oder)

Ein sehr interessanter Artikel zur Freude von Hund und Herrchen, da man sich nun besser versteht. Aber was ist mit Hund und Katz? K�nnen Hunde wirklich vor Aufregung ihr Schwanzwedeln vergessen, wie von Herrn Vallortigara vermutet?

Meiner Meinung und meinen Beobachtungen nach nicht. Die Ursache sehe ich darin, dass sich der Hund auf sein Gegen�ber konzentriert. Da die Katze "eigentlich" in das Beuteschema von Bello & Co geh�rt, ist der Hund angespannt. Somit resultiert die Aufregung aus einer konzentrierten Anspannung heraus.

Damit m�chte ich den Hund allerdings nicht als Raubtier bezeichnen. Mit "eigentlich" beziehe ich mich auf die historische Abstammung vom Wolf . Der Zusammenhang von "Katze" und "Beute" ist noch rudiment�r vorhanden und spielt die entscheidente Rolle zur Aufkl�rung des "fehlenden" Schwanzwedelns.

Der Hund fixiert die Katze, beobachtet sie und w�gt ihre Reaktion ab. Dazu h�lt er seinen K�rper angespannt. Deshalb wedelt er kaum oder gar nicht mit dem Schwanz. Als Haustier aufgewachsen, greift der Hund jedoch die Katze nicht an.

Klassischer Denkfehler

29.07.2007, M. Rupp, Karlsruhe

Obwohl sich die Begr�ndung logisch anh�rt, hat sich ein Denkfehler eingeschlichen:
Es gibt nur einen einzigen Fall, in dem ich mein Ergebnis verbessere, indem ich eine niedrigere Zahl nenne. N�mlich dann, wenn mein Gegen�ber um 1 h�her liegt als ich oder ich genau um 1 h�her liege als er. Liegt er weiter �ber meiner Zahl, k�nnte ich meinen Gewinn steigern, indem ich h�here Zahlen nenne. Liegt er darunter, ist es egal, in welche Richtung ich abweiche, das Resultat wird in fast jedem Fall dasselbe sein.
Darin besteht auch der gro�e Unterschied zum Gefangenendilemma: Hier kann ich nur 1 dar�ber oder darunter liegen, was die Dramatik wesentlich erh�ht.
Da ich aber nicht wei�, was mein Gegen�ber antworten wird, kann ich daraus auch nicht ableiten, welche Zahl ich nennen soll.
Andererseits will ich meinen Gewinn maximieren. Dazu ist die 2 eine der schlechtest m�glichen Antworten.
Wenn ich viel Geld bekommen will, muss ich eine m�glichst hohe Zahl nennen! Und mein Gegen�ber denkt �hnlich!

Es stellt sich ein wenig anders dar, wenn der Vertrauensbonus und die Strafe gro� sind. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, mit einer niedrigen genannnten Zahl einen hohen Gewinn zu erzielen (und entsprechend die Wahrscheinlichkeit, trotz hoher Zahl wenig oder nichts zu bekommen), sehr viel gr��er. Es lohnt sich in diesem Fall wesentlich mehr, die niedrigere Zahl zu haben.

Antwort der Redaktion:
Herr Rupp bringt, ohne es explizit zu machen, einen neuen Gedanken in die Diskussion ein: Anstelle beliebiger �nderungen der eigenen Strategie denke man nur �ber kleine �nderungen nach.

Vom Standpunkt der klassischen Analysis ist das eine nahe liegende Idee. Ich suche das Maximum einer Zielfunktion f(x), n�mlich meiner Auszahlung, die von einer Variablen x abh�ngt, �ber die ich bestimmen kann, n�mlich meiner eigenen Ansage. Das Nachdenken dar�ber, dass sie noch von einer anderen Variablen abh�ngt, �ber die ich nicht bestimmen kann, n�mlich der Ansage meines Partners, verschiebe ich auf sp�ter. Ich beschr�nke mich darauf, �ber kleine �nderungen nachzudenken, weil ich meine Zielfunktion nur in der unmittelbaren Umgebung meines gegenw�rtigen Standpunkts einigerma�en �berschauen kann.

Wie finde ich das Maximum meiner Zielfunktion? Ein m�gliches Verfahren ist das, was in anderem Zusammenhang als "Gradientenverfahren" gel�ufig ist. Ich habe eine vorl�ufige Vorstellung x von meiner Ansage und variiere x ein wenig (das hei�t um genau einen Euro) in einer Richtung, in der f(x) ansteigt. Das wiederhole ich so lange, bis f(x) sich nicht mehr zum Besseren �ndert. In unserem Fall l�uft das darauf hinaus, x zu erh�hen, wenn mein Partner mit seiner Ansage deutlich h�her liegt als ich, nichts zu tun, wenn er deutlich niedriger liegt, und nur in den beiden (�Ausnahme�-)F�llen �der Partner liegt gleichauf� und �der Partner liegt eins unter mir� x zu erniedrigen. So gesehen scheint es einleuchtend, x zu erh�hen.

Diese Analyse verkennt zweierlei. Erstens ist die Beschr�nkung auf kleine �nderungen von der Sache her nicht geboten: Wir haben den vollen �berblick �ber unsere Zielfunktion und sind f�hig, in einem einzigen Denkschritt unsere Ansage radikal zu �ndern. Zweitens missachtet sie den klassischen Grundsatz der Spieltheorie: Mein Partner denkt genau wie ich (genauso rational oder eben genauso irrational). Also ist der Fall, dass er auf die gleiche oder eine sehr �hnliche Zahl kommt wie ich, nicht die Ausnahme, sondern die Regel.

Aber denken wir vielleicht (auch wenn unser Denken nicht von der klassischen Optimierung beeinflusst ist) von Natur aus eher in kleinen Schritten? Das ist eine interessante Frage.

Christoph P�ppe, Redaktion

Der Charme des alten Europas

29.07.2007, Dr. Armin Tippe, Schwabhausen

Ich bin v�llig einverstanden mit dem Hinweis, dass antiwissenschaftliche Weltanschauungen auf dem "Charme einfacher Weltbilder" beruhen, die in jeder menschlichen Ontogenese angelegt sind. Die Priorit�t f�r die wissenschaftliche Begr�ndung dieser Einsicht liegt jedoch ganz klar bei Jean Piaget.
Nichts gegen Havard University, aber wir sollten doch die gro�en Forschergestalten aus "Old-Europe" nicht verleugnen.

Entt�uschung

29.07.2007, Dr. Tobias Braun, Hannover

Als ich im Juli-Heft die �berschrift las �Quantenradierer selbst gemacht� war ich sehr gespannt wie man ein anschauliches Experiment der Quantenphysik anhand von einfach zu beschaffenden Komponenten durchf�hren kann. Alle ben�tigten Komponenten standen mir zur Verf�gung. Beim Weiterlesen musste ich jedoch feststellen, dass das Experiment auch nur auf Basis der klassischen Wellentheorie erkl�rt werden kann. In Anbetracht dessen, dass die Exotik der Quantenphysik mit diesem Experiment veranschaulicht werden soll, aber diese gerade eben nicht eindeutig nachvollziehbar auftritt, war bei mir die Entt�uschung gro�.

Ein Experiment zur Veranschaulichung von Effekten der Quantenphysik welches gleicherma�en, und vor allem verst�ndlicher, durch die Wellentheorie erkl�rt werden kann, dient in meinen Augen weder dem Verst�ndnis Quantenphysik, noch hebt es die Abgrenzung der Quantenphysik von der klassischen Physik hervor.

Unter solchen Umst�nden wirken die gegebenen Erkl�rungen zu den einzelnen Teilexperimenten wie phantastisches Geschw�tz.
Aus meiner Sicht w�re es deutlich besser, wenn auch bei einem Anschauungsexperiment der Ma�stab der Wissenschaftlichkeit angelegt werden w�rde. Die Abgrenzung der Quantenphysik zur klassischen Physik sollte eindeutig zu Tage treten. Hier liegt meines Erachtens die gr��te Bedeutung eines Anschauungsexperiments zum Verst�ndnis von Quanteneffekten.

Es fehlt die Bewertung des eigenen Gewinns

28.07.2007, Axel Kranz, Aachen

In einem Spiel wie dem Urlauberdilemma f�llt es Menschen allgemein sehr schwer, sich die vorgegebene Zielfunktion zu Eigen zu machen. Die pers�nliche Bewertung, evtl. sogar Gewinnerwartung, beeinflusst die Wichtung der "Z�ge".

Der nach der Theorie sich ergebende Gewinn liegt weit unter dem h�chsten m�glichen pers�nlichen Gewinn, der bei 102 Euro l�ge. In realen Situationen nimmt ein Spieler es in Kauf, dem Gegen�ber zu "helfen", wenn er so den eigenen Nutzen maximieren kann. Erst ein m�glicher und als extrem bewerteter Verlust verschiebt diese oft unbewusste Haltung zugunsten der vorgegebenen Zielfunktion. (Es scheint keine Rolle zu spielen, ob dieser Gewinn tats�chlich realisiert werden kann.)

Die Resultate sind damit �hnlich denen des Ultimatum-Spiels, allerdings sind die zugrunde liegenden Intentionen verschieden. Beim Ultimatum-Spiel wird eine positive (kooperative) Grundhaltung des Gegen�ber angenommen, in diesem Falle gen�gt es, wenn man seinen Mitspieler f�r opportunistisch h�lt, das hei�t annimmt, dass dieser ebenfalls seinen pers�nlichen Gewinn maximieren m�chte. Das Spiel kann also nur funktionieren, wenn beide Parteien eine vergleichbare Bewertung vornehmen. Wenn das nicht der Fall ist, wenn also beide Spieler verschiedene Vorstellungen von der Zielfunktion haben, m�ssten auch ihre Strategien weit auseinander liegen.

Interessant sind Vergleiche des Spielverhaltens von Erwachsenen und Kindern. Kinder bewerten Gewinne oft nach f�r Erwachsene �berraschenden Kriterien, und es f�llt ihnen leicht, diese zun�chst vielleicht unbewussten Strategien zu erkl�ren, w�hrend Erwachsene sich schwerer darin tun, ihre Abweichungen von der Zielvorgabe zu erkl�ren oder zu erkennen.