Lesermeinung - Spektrum der Wissenschaft

Ihre Beiträge sind uns willkommen! Schreiben Sie uns Ihre Fragen und Anregungen, Ihre Kritik oder Zustimmung. Wir veröffentlichen hier laufend Ihre aktuellen Zuschriften.
  • Kategorientheorie

    19.06.2009, Dipl.-Math. Wolfgang Hinderer, Karlsruhe
    Vielen Dank für den schönen Artikel „Was ist Mathematik?“. Es gibt einen Punkt, der mir in dieser wie in ähnlichen Veröffentlichungen über das Grundverständnis der Mathematik immer wieder aufgestoßen ist und der mich nun zu diesem Leserbrief veranlasst:

    Warum wird bei diesen Erörterungen nicht auf die Kategorientheorie Bezug genommen?

    Die 1945 entstandene Kategorientheorie hat sich in der Folge (nicht zuletzt durch die Arbeiten der Bourbaki-Schule) quasi als „Esperanto“ für alle mathematischen Disziplinen bewährt. Das heißt, sie kann von ihnen als gemeinsame Grundlage für das Reden über ihre eigenen Gegenstände verwendet werden, einschließlich der mathematischen Modellbildungen zum Beispiel der Physik oder der Informatik.

    Das Grundprinzip einer Kategorie im mathematischen Sinne ist, dass ihre Objekte ausschließlich durch ihre Außenbeziehungen zu den anderen Objekten definiert sind: Das sind die Pfeile (auch Morphismen genannt) und, in ihrer Ansammlung, die Diagramme, die allesamt nicht auf das „Innere“ der Objekte Bezug nehmen. Die Teildisziplin der Kategorientheorie, die sich mit „mengenähnlichen“ Objekten befasst, ist die Topos-Theorie. Beide, Kategorien- und Topos-Theorie, sind – neben ihrer Esperanto-Eigenschaft – selbst als Teilgebiete der Mathematik besonders schön, was das Verhältnis der minimalen Annahmen zu den daraus herleitbaren reichen Früchten an geht. Einen voraussetzungslosen Einstieg stellt wohl Goldblatt, R.: Topoi – The Categorial Analysis of Logic, Studies in Logic and Foundations of Mathematics, vol. 98, North Holland, 2nd edition (1984), dar.

    Warum es sich lohnen würde, die Kategorientheorie bei der Grundlagendiskussion näher in Betracht zu ziehen: Vielleicht ist ja unser Mengen-Verständnis – auch nach der Korrektur durch ZFC – noch zu „naiv“? Offenbar gibt es ja, wenn denn das mit der Esperanto-Eigenschaft stimmt, keine mathematische Aussage, die sich nicht kategoriell ausdrücken ließe (ich weiß allerdings leider nicht, ob es eine kategorielle Formulierung des Gödel'schen Satzes gibt).

    Spannend wäre nun: Gibt es eine kategorielle Formulierung der Russell'schen Antinomie (was ja nicht im engeren Sinne eine mathematische Aussage ist)? Wenn nicht, dann läge es doch nahe, dass wir unsere mathematische „Denke“ vom Mengen-Vorbegriff auf einen „Kategorien-Vorbegriff“ umstellen, auf dieser Basis weiter nach Antinomien suchen und, solange wir keine finden, der belastbaren kategoriellen Grundlage vertrauen.

    Das Kategorien-Konzept verdient es, auch einem größeren Kreis mathematisch interessierter Menschen etwa in einem oder mehreren Spektrum-Übersichtsartikeln präsentiert zu werden. Das hatte ich der Redaktion schon im September 1983 vorgeschlagen.

    Antwort der Redaktion:
    Herr Hinderer hat mit seiner Bemerkung völlig Recht. In der Tat hat William Lawveres Entdeckung, dass es unter der Mengenlehre noch eine tiefer liegende Fundierungsstruktur gibt, mit welcher die Grundbegriffe der Menge und die Elementrelation definiert werden können, relativ geringe wissenschaftstheoretische Aufmerksamkeit erregt. Es handelt sich die von Eilenberg und McLane 1945 entdeckten Kategorien (siehe zum Beispiel F. William Lawvere: "An elementary theory of the category of sets").

    Darunter ist nicht das zu verstehen, was Aristoteles oder Kant als Denkmuster aufgestellt haben, sondern es handelt sich um eine Theorie, die den Begriff des Morphismus, eine Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes, in den Mittelpunkt stellt. Diese Morphismen können strukturerhaltend sein oder auch nicht. Die Kategorientheorie ist in der Lage, mit Gesamtheiten bestimmter mathematischer Systeme wie topologischer Räume umzugehen, die keine Mengen, sondern Kategorien sind. Auf Grund ihres allgemeinen und abstrakten Charakters sind die Kategorien besonders geeignet, die Querverbindungen zwischen den verschiedenen mathematischen Strukturen zu entschlüsseln. Wenn man an der metamathematischen Idee einer vereinheitlichten Theorie aller formalen Strukturen interessiert ist, sind die Kategorien, genau genommen noch vor den Mengen, die primären Basisobjekte, um eine solche Konzeption auf den Weg zu bringen.

    Wie Herr Hinderer allerdings auch bemerkt hat, bedarf es wohl noch weiterer Untersuchungen, um zu erfahren, wie weit man ausschließen kann, dass die paradoxen Konsequenzen der Mengenlehre in anderem Gewand auftauchen.
  • Lassen sich auch Autisten von Magiern täuschen?

    16.06.2009, Corinne Suter Trevissoi, Zollikon CH
    Ich habe das Buch "Ich sehe die Welt wie ein frohes Tier" von Temple Grandin" und kurz darauf Ihren Artikel "Gehirn und Magie" gelesen und frage mich nun, ob sich Autisten wie T. Grandin von Magiern täuschen lassen.
    Antwort der Redaktion:
    Antwort von Thomas Fraps



    Eine interessante Frage!



    Noch gibt es keine veröffentlichten Studien dazu, doch der im Artikel erwähnte Gustav Kuhn arbeitet bereits daran. Sobald seine Studie veröffentlicht ist, wird er sie sicherlich auch auf seiner Seite www.scienceofmagic.org verfügbar machen.



    Mein Gefühl sagt mir, dass es bestimmte Kunststücke und Methoden der Zauberkunst gibt, die bei einem Autisten nicht wie gewohnt funktionieren werden.



    Ich denke vor allem, dass die physische Ablenkung, also durch Gesten und Blicke, sehr viel weniger erfolgreich sein wird. Sofern es auch beim Menschen wirklich ein Spiegelneuron-System geben sollte, spielt dieses meines Erachtens eine wichtige Rolle bei den Prinzipien der physischen Ablenkung. Und genau die Spiegelneurone sollen ja bei Autisten beeinträchtigt sein:



    http://www.wdr.de/tv/quarks/sendungsbeitraege/2009/0428/005_autismus2.jsp

    http://www.spektrum.de/artikel/866414&_z=798888



    Andererseits ist die Zauberkunst so reichhaltig an Effekten und Methoden, die nicht auf rein physischer Ablenkung basieren, dass es auch möglich sein sollte mit diesen Kunststücken, selbst Autisten das Gefühl der Verblüffung und des Staunens zu vermitteln! ;-)
  • Atmung bei Haien

    11.06.2009, Tobias Möser, AquaNet-Redaktion, Northeim
    (Der Artikel "Ein Flugzeug für den Weltraum" nennt eine Parallele zwischen Scramjets und Haien. Darauf und auf vorangegangene Leserbriefe bezieht sich diese Zuschrift, Anm. d. Red.)

    Bei der Atmung von Haien, insbesondere der Staudruckatmung gibt es noch einige Punkte zu beachten:

    1. die weit überwiegende Zahl der über 450 Haiarten lebt bodengebunden und ruht auf dem Boden. Sie sind auf aktive Atmung angewiesen, wie man in jedem Schauaquarium an Katzenhaien oder Ammenhaien beobachten kann.

    2. Die vergleichsweise wenigen Arten, die permanent frei schwimmen, verwenden zumindest dann die Staudruckatmung.
    Dies ergibt Sinn: Haie haben (bis auf sehr wenige Arten) keinen hydrostatischen, sondern hydrodynamischen Auftrieb, das heißt sie fliegen durchs Wasser wie ein Flugzeug und fahren nicht wie ein Ballon, wie das Knochenfische tun.
    Um den hydrodynamischen Auftrieb zu erreichen, ist eine gewisse Mindestgeschwindigkeit notwendig. Diese Geschwindigkeit reicht meist schon aus, die günstigere Staudruckatmung zu nutzen.

    Wieso ist Staudruckatmung günstiger? Der Energiebedarf für diese Atmung ist extrem gering. Der Wasserwiderstand eines Hais steigt nur unmerklich an, wenn er das Maul ein wenig öffnet.

    Im Gegensatz dazu verbraucht die aktive Atmung im Ruhezustand bis zu 50% des Energieumsatzes des gesamten Tiers (meist 20 bis 30%).

    Was die tatsächliche Geschwindigkeit der Haie angeht, sind zwei Geschwindigkeiten zu unterscheiden (auch hier steht die Luftfahrt Pate): Die Geschwindigkeit über Grund und die relative Geschwindigkeit zum Wasser.

    Diese beiden Geschwindigkeiten sind gleich, wenn sich der Wasserkörper nicht bewegt.

    Bewegt sich das Wasser, ist für die Dynamik des Hais nur die relative Geschwindigkeit von Belang: Seine eigene Geschwindigkeit muß dauerhaft höher sein, als die des umgebenden Wassers, sonst versagen Auftrieb und Staudruckatmung.

    Schwimmt der Hai mit der Strömung, muß er sich also schneller als diese bewegen.

    Die Geschwindigkeit über Grund spielt nur dann eine Rolle, wenn der Hai einen feststehenden Gegenstand erreichen will.

    Ob alle Haiarten, wie Herr Schirdewahn schreibt, die Fähigkeit zur aktiven Atmung haben, weiß ich nicht.
    Ich konnte die aktive Atmung bei einem Hundshai, der laut Literatur diese Fähigkeit nicht hat, selber beobachten. Dies war jedoch in einer Notsituation (Transport in einem engen Behälter), freiwillig machen diese Haie das nicht.
    Das Spritzloch spielt hier - anders als bei Rochen - kaum eine Rolle, da die wenigsten Haie ihr Maul im Boden verbergen, wenn sie ruhen. Hinzu kommt, dass nicht alle Haiarten über ein Spritzloch verfügen.
  • Gilgal

    08.06.2009, U.Hofmann
    Das Wort ist eine Reduplikation der Wurzel "gl" und steht für "rollen" und "Kreis". Es wird daher auch für "Rad" gebraucht.

    Die hier vorgebrachte Interpretationsleistung zum Wort "Schuhlsohle" scheint mir ein gelungener Scherz.
  • Anmerkungen zur Replik von Herrn Löser auf Dr. Krüger

    07.06.2009, Dr. Detlef Orth, Köln
    Die von Herrn Löser, dem Autor des Artikels, in seiner Antwort verwendeten Aussagen
    (ich zitiere:

    "doch unter den neuen Maßstäben der internationalen Klimaschutzdebatte"

    "Autoindustrie, Wissenschaftler wie Politiker sind endlich der gemeinsamen Meinung, dass das Auto der Zukunft keine herkömmlichen Diesel- oder Benzinmotoren mehr haben, sondern mit Elektrizität angetrieben wird."
    )
    zeigen ein Denken, welches in einer wissenschaftlichen Publikation schon seltsam anmutet. Ist das der Stil von "Spektrum der Wissenschaft"? Ich lese das Blatt heute seit langer Zeit wieder einmal. Wenn alle Artikel und Beiträge so "fundiert" sind wie der von Herrn Löser, werde ich wohl auch wieder Jahre benötigen, um mir Ihr Blatt anzutun.
  • Eine intuitionistische Perspektive

    06.06.2009, Hayo Siemsen, Wadgassen, Saarland
    Sehr geehrter Herr Kanitscheider,

    herzlichen Dank für Ihren schönen Artikel über Grundfragen der Mathematik. Vielleicht liegt es daran, dass Sie von Beginn an den Standpunkt eines bedingten Realisten einnehmen, dass einige Ihrer Ideen in dem Artikel nicht bis zu ihren letzten Konsequenzen ausgeführt werden und dadurch auch einige wichtige Fragestellungen in der Mathematikphilosophie verborgen bleiben. Ich werde daher in diesem Leserbrief den Standpunkt eines „Intuitionisten“ (also nahe dem Standpunkt von Poincaré) einnehmen, um einige Ideen aus dieser Perspektive zu beleuchten und somit Ihren Artikel zu vervollständigen.

    Zunächst ein Kommentar zum Intuitionismus: Für die Grundidee des Intuitionismus (Kronecker) sind die natürlichen Zahlen intuitiv (psychologisch) gegeben. Alles andere wird daraus konstruiert (in der Variante von Brouwer ist dann nur noch die „1“ gegeben). Diese Idee findet sich schon bei Gauß. Gauß schrieb in einem Brief an Bessel: „Wir müssen in Demut zugeben, dass, wenn die Zahl bloß unseres Geistes Produkt ist, der Raum auch außer unserem Geist eine Realität hat, der wir a priori ihre Gesetze nicht vollständig vorschreiben können.“ Ausgehend von dieser ambivalenten Sichtweise von Gauß haben sich bei seinen Schülern zwei Denkschulen entwickelt: die „Logiker“ Dedekind, Frege, Wittgenstein etc., sowie Kronecker und die „Intuitionisten“ (Poincaré, Brouwer, Weyl).

    Die Logiker gehen aprioristisch vor, die Intuitionisten psychologisch, präziser gesagt psychophysisch (mit dem Anspruch, die Mathematik begrifflich in sich konsistent zu den empirischen Beobachtungen aus Psychologie, Physiologie und Physik zu fassen). Die psychologische Basis mathematischer Grundbegriffe wird hierbei bewusst nicht definitiv festgelegt, da (nach Poincaré) sich der Stand der psychologischen Forschung verändern kann. In diesem Sinne ist die Mathematik nicht sicher, nicht objektiv, nicht mehr oder weniger „fortschreitend in der Erkenntnis“ als andere Wissenschaften, nur dass sie es versteht, die „Krisen und Rückschritte“ besser nachträglich logisch zu verbergen Die Bezeichnungen werden beibehalten und nur deren Bedeutung angepasst (diesen Effekt der „Geschichtsschreibung aus Sicht des dominanten Paradigmas“ hat Thomas Kuhn ausgiebig für andere Wissenschaften dargelegt). So wurde mir von einem Mathematikhistoriker geschildert, wie der Einfluss der Ideen der Bourbaki-Gruppe (einer Gruppe überwiegend französischer Mathematiker, die gemeinsam unter dem Pseudonym „Bourbaki“ publizierten und versucht haben, die gesamte Mathematik konsistent auf die Mengenlehre zurückzuführen; ein Versuch, der gescheitert ist) das mathematische Denken der gesamten Generation des Historikers grundlegend beeinflusst hat. Kurz gesagt, die empirische Bedeutung (Gestalt) der Begriffe hat sich geändert. Doch dies bemerkt nur der Historiker, der sich mit der Veränderung beschäftigt. Im Bewusstsein der aktuellen Wissenschaft geht das Wissen um diese begrifflichen Veränderungen oft verloren, da es nicht mehr gelehrt wird. Die neue Generation von Wissenschaftlern wächst intuitiv mit dem veränderten Begriffsystem auf.

    Sie geben hierzu ein interessantes Beispiel: Die euklidische Geometrie wird heute als Spezialfall gesehen. Dieses Beispiel zeigt die Kulturabhängigkeit von Mathematik. Die euklidische Geometrie ist dabei jedoch nicht dieselbe geblieben, da die Grundbegriffe ihre empirische Bedeutung verändert haben. Die Parallelen sind nicht mehr dieselben Parallelen wie für die alten Griechen, da sie damals keine „verschwindende Krümmung“ als Eigenschaft haben konnten. Damit ist Plato (und dem Platonismus) die empirische Basis entzogen (wobei man korrekterweise sagen muss, dass dazu noch eine weitere empirische Widerlegung gehört, nämlich die Widerlegung der „göttlichen Harmonien“, welche die Zahlen nach Ansicht der Pythagoräer ausdrücken sollen; wie Patel (Spektrum 02/09) beschrieben hat, sind Harmonien nicht göttlich, sondern kulturbedingt). In ähnlicher Weise hat Kronecker die (unbemerkte, intuitive) Veränderung der begrifflichen Verwendung des Gleichheitszeichens in der Mathematik festgestellt und der Gestaltpsychologe Max Wertheimer die Synthese von ursprünglich zwei Zahlbegriffen (dem ganzheitlich-gestaltorientieren, z. B. der „1“, und dem unkonkret-symbolhaften des 1, 2, 3, …) zu unserem derzeitigen Zahlbegriff in der Mathematik beschrieben. Ein Blick in andere Kulturen (Indien, China, Babylon, etc.) zeigt, wie unterschiedlich dort im Vergleich zu den alten Griechen Mathematik betrieben wurde. Wie unsere Mathematik aussähe, wenn die dortige Mathematik bis heute mit einer ähnlichen Zahl von Mathematikern wie die westliche Mathematik weiterbetrieben worden wäre, lässt sich nur schwer erahnen. Mathematikanthropologen würden vermutlich zustimmen, dass unsere Mathematik sehr anders sein könnte. Den Unterschied machen (im Sinne Poincarés) die kulturbedingten Konventionen aus (dies war übrigens auch Freges Ansatz in seinem Spätwerk zur Überwindung von Russells Paradoxon).

    Die Frage, warum sich Mathematik so erfolgreich auf die empirische Welt anwenden lässt, ist aus intuitionistischer Sicht relativ eindeutig erklärbar: man wendet mathematische Gestalten auf noch nicht erklärte empirische Phänomene an. Wenn sie einigermaßen „passen“, werden sie als „passende Beschreibung“ verwendet. Quine hat gezeigt: Schon unsere Suche nach den physikalischen Phänomenen ist von psychischen Neigungen wie „Vereinfachung“ und der „Suche nach Symmetrien“ geprägt. Technologien werden häufig in anderem Sinne verwendet als dem ursprünglichen. Vieles wird auch ohne konkrete Anwendung entwickelt (z. B. aus Zufall oder in der Grundlagenforschung). Alchemisten wollten häufig Gold herstellen, woraus dann manchmal so etwas „Anwendbares“ wie Porzellan wurde. Maschinen in der modernen Medizintechnik „suchen“ oft nach Anwendungsdiagnosen.

    Doch es gibt noch einen weiteren, subtileren Grund für die empirische Anwendbarkeit von mathematischen Ideen: Die mathematischen Ideen haben eine empirische Komponente. Wie der Schüler von Paul Bernays (Bernays war Assistent von Hilbert und Freund von Gödel) und Gonseth (Nachfolger in der Denktradition von Weyl), Alexander Israel Wittenberg festgestellt hat (er ist sozusagen Erbe der Göttinger und der intuitionistischen Tradition; leider 1965 früh verstorben), sind alle Begriffe notwendigerweise abstrakt und empirisch zugleich. Der Unterschied ist nur, dass die so genannten „abstrakten Begriffe“ auf anderen Begriffen aufbauen, deren empirischer Kern je nach Abstraktionsgrad immer stärker versteckt ist. In den so genannten „empirischen Begriffen“ wird dagegen der Begriff stets anhand des Vergleichs mit empirischen Fakten weiterentwickelt. Wenn mathematische Begriffe einen empirischen Kern haben, dann ist es nicht besonders verwunderlich, wenn ihre konsequente Weiterentwicklung eine gewisse Passgenauigkeit an empirische Tatsachen behält. Zudem hat die Mathematik hier den Vorteil, dass die entgegen den intuitiven Ansichten gerichteten Weiterentwicklungen wegen des hohen Abstraktionsgrades nicht so hinderlich sind wie z. B. in der Physik. Sie kann der Physik also „im Weiterdenken“ voraus sein.

    Auch physikalische Begriffe sind davon betroffen, da auf der einen Seite jede Messung (Quantifizierung) eine Abstraktion bedeutet und auf der anderen Seite viele physikalische Begriffe nicht mehr „empirisch“, sondern nur noch „abstrakt“ gebildet werden (Beschreibungen dazu finden sich z. B. in Artikeln des Physiknobelpreisträgers Wilczek). Ein Rückgriff auf die Physik hilft also bei einer Begründung eines „realistischen“ Ansatzes in der Mathematik nur bedingt, da es leicht zu einem Henne-Ei Problem kommt. So sind „Objekte“ entgegen landläufiger Meinung keine physikalischen bzw. empirischen Dinge, sondern Gedankendinge (schon abstrahiert). Die Physik kennt Objekte nur auf der idealisierten Ebene, konkret handelt es sich z. B. um „Körper“. Der „Bestätigungsholismus“ von Duhem ist sozusagen nur eine Folge dieses Begriffsbildungsprozesses (bei Duhem in der Herleitung seines Bestätigungsholismus nachzulesen).

    Im Sinne Wittenbergs lässt sich nur darüber staunen, dass Mathematiker im Wesentlichen als Platoniker (also an ideale, unveränderliche Objekte glaubend) handeln, obwohl es inkonsistent zu ihrem Realismus ist. Ihr „Realismus“ aber wird durch empirische Beobachtungen widerlegt, welche ihrer bisherigen Intuition widersprechen. Wittenbergs These war, dass in einer Wissenschaft, die so stark auf das Ideal der Vollständigkeit und der inneren Konsistenz setzt wie die Mathematik, dieser Zustand eigentlich unhaltbar sein müsse. Bernays hat ihm darauf geantwortet, dass sich die Widersprüche mit der Zeit pragmatisch lösen würden. Seitdem sind mehr als 40 Jahre vergangen. Man kann Ihren Artikel aus meiner Sicht so verstehen, dass sich an der Situation seitdem nichts geändert hat. Dies führt aus intuitionistischer Sicht zu einer Schlussfolgerung eher entgegen der gängigen Intuition über die so genannte „reine“ Mathematik: Von der Metaebene aus gesehen ist zur Zeit fast alle Mathematik anwendungsbezogen und nicht grundlagenbezogen. Sie hat somit ihre Kulturabhängigkeit eher verstärkt als verringert.
    Antwort der Redaktion:
    In Beantwortung des Leserbriefes von Herrn Siemsen seien noch einige klärende Worte zum Intuitionismus angefügt.
    Brouwers philosophische Voraussetzungen sind teils der Philosophie Kants entlehnt, teils der Strömung der Phänomenologie. Brouwer akzeptiert die Zeit als apriorische Anschauung, lehnt aber diese für den Raum ab. Seine fundamentale Intuition ist die Folge der zeitlichen Momente und das Durchlaufen von wohl unterschiedenen Einheiten, wie es beim Zählen geschieht. Die Mathematik wird von ihm und seiner Schule als Tätigkeit der introspektiven Konstruktion verstanden, die sich ohne Sprache und Symbole entwickelt. Sprache und Logik haben nur die Aufgabe der Registrierung für die Mitteilung der Resultate an die Mitwelt. Die intuitionistische Schule lehnt die klassische Logik ab, die nur für endliche konstruierte Mengen gültig sei, nicht aber für potentiell unendliche Mengen, und die aktual unendlichen Mengen werden als sinnlos und unkonstruierbar zurückgewiesen. Speziell wird das Prinzip, dass für jede Aussage A sie selbst oder ihre Verneinung gilt, zurückgewiesen, wenn es sich um unendliche Mengen, wie bereits bei den natürlichen Zahlen, handelt.

    Obwohl die klassische Definition einer aussagenlogischen oder prädikatenlogischen Formel mit der intuitionistischen übereinstimmt, ist die Interpretation der Formeln und der logischen Konstanten völlig verschieden. Nach Heyting bedeutet die Behauptung einer Formel φ, daß man im Besitz eines Beweises für φ ist. Einen Beweis für (ψ⋀φ) hat man erbracht, wenn man sowohl einen Beweis für ψ als auch für φ vorgestellt hat. Seltsam ist die Deutung der Negation, ¬φ bedeutet so etwas wie "φ ist absurd". Man besitzt einen Beweis für ¬φ, wenn man, von einem Beweis von φ ausgehend, einen Widerspruch zeigen kann.
    Fremdartig mutet auch die Deutung der Quantoren an. Eine Existenzaussage ∃x φ(x) heißt, dass man ein Objekt a konstruiert hat, für das φ(a) gilt, und ∀x φ(x) meint, dass man in der Lage ist, für jedes a den Beweis von φ(a) anzutreten. Im Logiksystem von Heyting lassen sich wichtige Ableitungsformen nicht durchführen, klassische Tautologien wie φ∨¬φ oder (¬¬φ⇒φ) sind in diesem System nicht ableitbar. Auch in der Quantorenlogik gibt es wichtige Formeln, die klassisch gültig sind, aber intuitionistisch nicht gelten, wie die eigentlich einleuchtende Beziehung (¬∀xφ(x)→∃x¬φ(x) ).

    Die methodologisch entscheidende Frage ist nun, ob die philosophische Basis des Intuitionismus eine solche Restriktion des Ableitungsinstrumentariums rechtfertigt, womit die Beweisverfahren wesentlich erschwert werden. Der Intuitionismus verlor wesentlich an Anziehungskraft, als Gödel (Zum intuitionistischen Aussagenkalkül. Akad. Wiss. Wien Math.-nat. Kl. Bd. 69, S. 65-66, 1932) bewies, dass man die klassische Logik und Arithmetik in die intuitionistische übersetzen kann, so dass jede gültige klassische Formel auch intuitionistisch gültig ist und jeder Widerspruch der klassischen Theorie auch in der intuitionistischen wiederzufinden ist. Dieser relative Konsistenzbeweis bedeutet, dass die intuitionistische Logik und Arithmetik nicht sicherer ist als die klassische. Deshalb lohnt es sich nach der Meinung der Mehrzahl der Mathematiker nicht, so viel von der die Eleganz und Reichhaltigkeit der klassischen Mathematik zu opfern.


    Bernulf Kanitscheider
  • Masanobu Fukuoka

    05.06.2009, D. Heinzmann, Zürich
    Den Verzicht auf Pflügen und Direkteinsaat wurde schon seit Jahrzehnten vom Japaner Masanobu Fukuoka ebenso erfolgreich erprobt und angewendet (ohne Chemie und Gentechnik). Ich nehme an, dies hatte Auswirkungen bis in die USA. Er baute auch Reis an, ohne diesen ständig in Wasser zu halten.

    So neu sind solche Anwendungen also nicht, sondern bisher vor allem ignoriert worden. Wie auch der im Text erwähnte Bericht des IAASTD (International Assessment of Agricultural Knowledge, Science and Technology for Development). Diese Lösungen sind einfach sehr intelligent und einfach - und wieviel gibt es hier noch zu entdecken!

    Die Idee Fukuokas basiert nicht auf der Frage, was kann man tun - sondern auf der Frage, was kann man unterlassen?

    Und sicher ist, das Gentechnik an Pflanzen unterlassen werden kann, denn bis heute haben transgene Pflanzen keinen Nutzen erbracht. Was wirklich gefragt sein sollte, ist, wie man intelligente Agrikultur (Landwirtschaft) betreiben kann, welche die Komplexität der Natur zum Vorbild nimmt? Und das bedeutet viel mehr als abhängigkeitsfördernde (teure) Technologie!
  • Moonshine-Vermutung

    04.06.2009, J. Brehe, Pollhagen
    In der Rezension wird erklärt, dass der Zusammenhang zwischen den Symmetrien und dem Mondschein noch unklar ist.

    Hat nicht Richard Borcherds die "moonshine“-Vermutungen von John McKay mittels einer Vertex-Algebra beweisen können?
    Antwort der Redaktion:
    Das ist richtig. Gleichwohl scheinen die Beteiligten mit dem Ergebnis noch nicht glücklich zu sein. Der Buchautor du Sautoy schreibt auf S. 403: "Obwohl er [Borcherds] den Zusammenhang zwischen der Zahlentheorie und dieser riesigen Symmetrie bewiesen hat, herrscht sonderbarerweise immer noch der Eindruck vor, dass wir diese Verbindung nicht wirklich verstehen." Ein paar Zeilen darunter zitiert du Sautoy den berühmten Zahlentheoretiker John Conway: "Er hat die Verbindung zwar bewiesen, jedoch nicht erklärt."


    Wolfgang Blum
  • Offene Fragen

    03.06.2009, Josef Mittendorfer, Vöcklabruck
    Ihr sehr interessanter Artikel ist leider an einigen Stellen etwas unpräzise. So ist die Aussage, dass aus einem Molekül Glukose - zumindest theoretisch - je zwei Moleküle Essigsäure und Kohlendioxid sowie vier Moleküle Wasserstoff entstehen, in dieser Form unvollständig. Stellt man eine Reaktionsgleichung auf, fehlen auf der Seite der Edukte zwei Wassermoleküle. Es ist interessant, dass zumindest auf indirektem Weg eine Spaltung von Wasser stattfindet.

    C6H12O6 + 2 H2O -> 2 Ch3COOH + 2 CO2 + 4 H2

    Die Ausbeute bezogen auf diese Reaktionsgleichung beträgt etwa 56 Prozent.

    Betrachtet man die Reaktion unter thermodynamischen Aspekten, so ergibt sich ein Energiebedarf von 92 kJ/mol. Das Ergebnis mag zwar wegen der Verwendung von Daten für Reinstoffe statt wässriger Lösungen für Essigsäure und Glukose unpräzise sein. Ein großer Energiegewinn für die Mikroorganismen ist aber auf dieser Basis sicher nicht möglich.
  • Druckverbreiterung

    03.06.2009, H. Sextl
    ... Druckverbreiterung der Absorptionsbanden ...

    Was ist denn das? Eine Fehlfunktion des Druckers?

    H. Sextl
    Antwort der Redaktion:
    Sehr geehrter Herr Sextl,



    hierbei handelt es sich um einen Effekt, der die natürliche Linienbreite eines Atoms oder Moleküls verändert. Emissions- oder Absorptionslinien haben bei den jeweiligen Stoffen festgelegte Energien und Lebensdauern (gegeben durch die quantenmechanischen Übergangswahrscheinlichkeiten).



    Über die heisenbergsche Unschärferelation ist aber zu der von Null verschiedenen Lebensdauer eines angeregten Zustands auch eine Energieunschärfe verbunden, dies ergibt die "natürliche Linienbreite".



    Dies gilt genau so für Emissions- oder Absorptionsbanden, die bei Molekülen durch angeregte Rotation oder Schwingungen entstehen.



    Liegt ein Ensemble aus Teilchen vor, die über die brownsche Molekularbewegung, Stark-Effekte oder Van-der-Waals-Kräfte gegenseitig in Wechselwirkung treten, hat das ebenfalls Auswirkungen auf die Lebensdauer der angeregten Zustände, man spricht dann von Linienverbreiterung.



    Je nach spezifischer Ursache unterscheidet man zwischen (thermischer) Doppler-Verbreiterung oder mehreren Arten der Druckverbreiterung, die meist nicht oder weniger stark temperaturabhängig sind.



    Im hier vorliegenden Fall führt die Verbreiterung der Absorptionsbanden der Treibhausgase dazu, dass diese vom Erdboden Richtung All abgegebene Photonen mit einer größeren Vielfalt von Energien - und damit schlicht mehr Lichtquanten - aufnehmen und in alle Richtungen, also auch wieder zurück zur Erdoberfläche, abstrahlen können.



    Mit freundlichen Grüßen


    Oliver Dreißigacker


    Redaktion spektrumdirekt
  • KEINE Panik!

    03.06.2009, Klaus Gehring, Tegernbach
    Ich möchte den Versuch unternehmen, gegenüber dem Hauptartikel und der Stellungnahme von Herrn Maresch eine möglichst unpolemische Meinung abzugeben:

    Im Interview-Beitrag von Herrn Wiedenfeld sind nach meiner Meinung einige Aspekte überzeichnet. Ein gewisses Eigeninteresse des Autors möchte ich hierbei nicht komplett verneinen. Von Massenvermehrung und Monokulturen der Killerpflanzen zu sprechen, ist einfach zu hoch gegriffen. Es ist richtig, dass in einigen Regionen Deutschlands das Jakobskreuzkraut (JKK) sich auffällig stark vermehren konnte. Hierfür gibt es plausible Erklärungen. Es kommt immer wieder in der Natur vor, dass sich ein bestimmter Organismus durch temporär günstige Bedingungen im Vorteil sieht. Für das JKK kann es, wie in anderen Fällen, auch wieder zu einer Rückregulierung kommen. JKK kann zwar als anspruchslose Pionierpflanze für die Besiedelung neuer Standorte bezeichnet werden, auf der anderen Seite hat sie keine besonders hohe Konkurrenzkraft und kann wieder verdrängt werden.

    JKK ist eine einheimische Giftpflanze wie viele andere Wild- und Zierpflanzen auch. Das Humanrisiko kann praktisch auf Null geregelt werden, indem man keine obskuren Kräuterherkünfte konsumiert. Der theoretische Transferweg über die Nahrungskette als indirekte Toxinaufnahme ist praktisch nicht relevant. Hier greift das zitierte Dosis-Wirkungsprinzip effektiv. Anstelle der giftigen Alkaloide aus bzw. von JKK wären ganz andere natürliche Toxine sinnvoll in den Fokus zu nehmen.

    Noch haarsträubender ist das skizzierte Human-Risiko durch den Ackerbau bzw. die Getreideproduktion. JKK kann sich unter einer Ackernutzung nicht entwickeln und das artverwandte Gemeine Kreuzkraut (Senecio vulgaris) ist weder im konventionellen noch im ökologischen Landbau ein nennenswertes Unkraut. Die Belastung von Erntegut ist aus rein technischen Gründen unrealistisch.

    Dagegen ist JKK in der Tierernährung klar zu bewerten - es gibt faktisch nur eine Null-Toleranz. Daraus resultiert ein klares Ziel zur Beseitigung der Giftpflanze aus Wiesen und Weiden. In der professionellen landwirtschaftlichen Produktion gibt es sehr effiziente kulturtechnische und chemische Regelungsmöglichkeiten. Problematischer sind aus naturschutztechnischen Gründen extensivierte Grünlandflächen, auf denen naturgemäß JKK ein natürlicher Bestandteil der standortspezifischen Flora sein kann. Damit ist der Aufwuchs dieser Flächen nicht in der Tierfütterung verwertbar, was faktisch ein wirtschaftlicher Schaden für den jeweiligen Flächenbewirtschafter darstellt (kein Ertrag, aber Entsorgungsaufwand).

    Aus Vorsorgegründen wäre es wünschenswert, in Nahbereich von Wirtschaftsgrünland keine größeren Bestände von JKK aufkommen zu lassen, da diese als potenzielle Samenquellen für die Besiedelung von Wiesen und Weiden fungieren. Hierzu wäre ein Schnitt vor der Samenbildung ausreichend. Chemie ist nicht notwendig und wäre auf naturräumlichen Flächen äußerst kontraproduktiv, abgesehen von den fachrechtlichen Hinderungsgründen. Alleine aber diese einfachen und umweltverträglichen Regelungseingriffe durch gezielte Mahd sind arbeits- und damit kostenaufwändig für den Flächeninhaber (i.d.R. Kommunen).

    Das Vergiftungsrisiko für Sport- und Hobbytiere auf deren Standweiden ist problematischer, weil die notwendige Sachkenntnis häufig weniger ausgeprägt ist. Hier nach staatlicher Fürsorge zu rufen, ist aber ebenfalls übertrieben und konterkariert den mündigen Bürger und dessen Eigenverantwortung vollständig. Im Futtermitteleinkauf müssen einfache Regelungen der Qualitätssicherheit und Haftung nur beachtet und umgesetzt werden.

    Abschließend möchte ich noch die scharfen Attacken von Herrn Maresch zum Herbizideinsatz und dem unterstellten Lobbyismus ansprechen. Richtig, der Aufruf zum Herbizideinsatz auf Natur- und Freiflächen ist überzogen, hieraus die böse Chemie im Hintergrund zu vermuten, ist aber genauso unrealistisch. Ich kenne keinen Pflanzenschutzmittelhersteller, der aus wirtschaftlichen Interessen an einem solchen Einsatzgebiet interessiert wäre. Vollkommen unsachgemäß wäre ein Einsatz des nicht selektiven Glyphosat auf natürlichen Standorten des JKK. Also bitte nicht immer gleich den Teufel ("Monsanto") an die Wand mahlen.

    Mein Fazit: Es muss halt medial immer wieder eine "neue Sau durch´s Dorf getrieben" werden.

    K. Gehring aus Bayern
  • Totale Verwaltung des Menschen

    03.06.2009, Dr. Dieter Spies, Egmating
    Die teils schon realisierten Zukunftsvisionen werden anschaulich geschildert, und ebenfalls gut ausgeführt wird die Problematik des Datenschutzes dabei, aber das eigentliche Hauptproblem ist m. E. nicht – die freilich wichtige – Frage des Datenschutzes, sondern die resultierende totale Verwaltung des Menschen. Zu Grunde liegt die Vision einer elektronischen Maschinerie, die dem Menschen alles – angeblich – Lästige fehlerfrei abnimmt: Im angeführten Beispiel meldet der Kühlschrank, dass die Milch zur Neige geht, sie wird gleich automatisch nachbestellt, womöglich auch gleich frei Haus geliefert (trinken muss man sie voerst noch selbst!) etc., natürlich mit dem Hintergedanken nicht nur der Arbeitserleichterung, sondern auch eines riesigen Konsumpotentials. Übersehen wird dabei aber, dass die Freiheit des Menschen mit der Fähigkeit beginnt, Fehler zu machen! Elektronische Maschinen machen keine Fehler (nur der programmierende Mensch) und ebenso gibt es bei instinkthaftem Verhalten keine Fehler, nur der mündige Mensch kann sie machen.
    Leider sehen offensichtlich die meisten Menschen nicht, dass sie mit den – durchaus oft lästigen – Arbeiten auch das Denken und ihre Mündigkeit an die elektronische Maschinerie übergeben.


  • Gedanken zum „Problem mit der Art“

    03.06.2009, Andreas Schlüter, Berlin
    Zum eindrucksvollen Spezialheft „Die Evolution der Evolution“ möchte ich ein paar Gedanken insbesondere das Kapitel „das Problem mit der Art“ betreffend vorbringen:
    Unabhängig von der letztlichen Klärung der Definition des Artbegriffes gibt es in der dynamischen Betrachtung eine eindeutige Artbarriere. Es stellt in der geschlechtlichen Fortpflanzung eine Mutation der Chromosomenzahl eine Barriere für die Erzeugung von Nachwuchs mit „Nicht-Mutanten“ dar. Gleichzeitig stellen wir in der Evolutionsgeschichte eine erhebliche Tendenz zur Veränderung der Chromosomenzahl fest. Diese findet sowohl durch Zerbrechen von Chromosomen wie durch Verschmelzen statt. Dies stellt uns auf den ersten Blick vor ein scheinbar unlösbares Problem: Wie kann so eine Mutation zum Merkmal einer neuen Art werden, wenn diese Mutation sich kaum vermehren kann.

    Es scheint so, dass das Schema des Baumes – das für die Art-Evolution das angemessene Paradigma ist – vor der Stelle seiner Astbildung zum Verstehen das Paradigma des Wurzelwerks braucht. Es ist nahezu eine Voraussetzung für die Fortpflanzung der Chromosomen-Mutation, dass ein mutiertes Individuum ein anderes mit der gleichen Mutation zur Fortpflanzung findet. Das setzt eine relativ hohe Dichte dieser Mutation voraus. Es muss also in einer Art durch die molekulare Situation an einer Stelle eines Chromosoms oder an den Enden zweier Chromosomen eine besondere „Neigung“ zum Zerbrechen bzw. zum Verschmelzen geben. Da dies aber grundsätzlich eher von Nachteil ist, ist unter „normalen“ Umständen diese Entwicklung in einer Population nicht zu erwarten. Wie kann sie großflächig zustande kommen?

    Dies könnte das Ergebnis der Zusammenführung zweier über längere Zeit getrennter Entwicklung unterworfener Unterarten sein, deren nun häufig einsetzende Vermischung durch eine zufällige Disposition vermehrt diese Mutation hervorbringt. So eine Situation ist zum Beispiel dadurch vorstellbar, dass eine großflächige klimatische Veränderung vorher in Nischen isolierte Populationen sich ausbreiten und in Kontakt treten lässt. So würde am Beginn der Ursprungsstelle zur Chromosomensatz-bedingten Artaufspaltung eine Zusammenführung und Vermischung verschiedener Unterarten stehen.
    Zur Humanevolution: Der Mensch hat verglichen mit den großen Menschenaffen ein Chromosomenpaar weniger, was durch Verschmelzung zweier Paare zustande gekommen ist. Wäre die oben vertretene Annahme richtig, dann wäre die Frage zu stellen, ob so eine beschriebene Ausgangssituation sich deutlicher vor dem Auftauchen der Australopithecinen oder vor dem Auftauchen von Homo findet. Die Vermutung liegt nicht ganz fern, dass die relative Vielfalt der Australopithecinen und ihre Aufspaltung in Unterarten (sowie deren mögliche Vermischung) so eine Ausgangslage bilden könnte.

    Die Tendenz, die genetische Ähnlichkeit zwischen den Menschen und den großen Menschenaffen zu betonen, ist derzeit aus nicht unverständlichen Gründen recht groß. Der wirkliche Sprung und Unterschied scheint aber in dieser Veränderung des Chromosomensatzes zu liegen.
  • Stromheizung im Elektroauto?

    03.06.2009, Gerd Zelck, Seevetal
    Folgende Punkte bzw. Gedanken möchte ich anmerken:

    - Wie sieht es mit der Heizung des Innenraums in der kalten Jahreszeit aus. Wurde diese bei Ihren Aussagen, z.B. bei den Reichweitenangaben oder dem Strombedarf pro 100 Kilometer berücksichtigt?

    - Bei den Überlegungen zu einem "smart grid", auch die Autobatterien bei erhöhter Stromnachfrage als Stromspeicher mit zu nutzen, ist zu bedenken, dass hierbei die Lebensdauer der Batterien beansprucht wird und kostenseitig zu berücksichtigen ist.
  • Grenzen der Mathematik

    03.06.2009, Philipp Wehrli, Winterthur, Schweiz
    Mathematiker tun im Allgemeinen so, als wären alle ihre Begriffe eindeutig definiert. Lange dachte ich, jeder geschulte Mathematiker könne eine sinnlose Ansammlung mathematischer Zeichen von einer Definition unterscheiden. Ich denke, die folgende Überlegung zeigt, dass dies nicht möglich ist.

    Meine Überlegung basiert auf Cantors Beweis mittels Diagonalverfahren, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist. Ich habe mich gefragt, woher denn die überzählbar vielen Zahlen kommen? Sicher gehören die natürlichen Zahlen und die Brüche zur Menge der reellen Zahlen. Aber diese sind bekanntlich abzählbar. Weiter kommen die Wurzeln dazu. Auch von diesen gibt es unendlich viele, aber auch die Wurzeln sind abzählbar. Wenn ich abzählbar viele abzählbare Mengen vereinige, so muss die Vereinigung wieder abzählbar sein. Was gibt es noch für reelle Zahlen? Irgendwo müssen doch die überabzählbar unendlich vielen Zahlen sein! Die Kreiszahl Pi und die Eulersche Zahl e fielen mir noch ein. Ach, so: Alle Zahlen, die sich irgendwie durch Reihen beschreiben lassen. Wie viele gibt es davon wohl? Gibt es noch andere Möglichkeiten, eine reelle Zahl zu definieren?

    Da fiel mir plötzlich folgendes auf: In der Mathematik wird nur eine endliche Anzahl verschiedener Zeichen verwendet. Eine mathematische Definition besteht aus einer endlich langen Folge dieser endlich vielen Zeichen. Diese endlich langen Folgen kann ich aber der Länge nach sortiert und alphabetisch geordnet auflisten. Zuerst kommen alle Folgen, die aus nur einem Zeichen bestehen, dann alle mit zwei Zeichen usw. Alle endlich langen Sätze, die mit den mathematischen Zeichen formuliert werden können, sind in dieser Liste enthalten! Die Liste enthält zwar auch ziemlich viel sinnloses Zeugs, aber alle sauberen mathematischen Definitionen sind in der Liste drin!

    Wenn aber alle Definitionen in der Liste enthalten sind, dann sind auch alle Definitionen von reellen Zahlen in der Liste drin. Kein noch so brillanter Mathematiker kann eine reelle Zahl definieren, die nicht schon längst in meiner Liste definiert ist. Denn meine Liste enthält alle Definitionen. Cantor behauptete, er könne zu jeder Liste von reellen Zahlen eine reelle Zahl definieren, die nicht in der Liste enthalten sei. Kann gar nicht sein bei meiner Liste! Denn in meiner Liste steht alles drin, was Cantor in seinem ganzen Leben gesagt und geschrieben hat. Und irgendwo, sagen wir an Stelle X, steht da auch: "Nimm Philipp Wehrlis Liste und wende Cantors Diagonalverfahren an." Was geschieht dann an dieser Stelle? Nach Cantor definiert der Satz X eine reelle Zahl, die nicht in der Liste ist. Der Satz X steht aber in der Liste! Wo ist der Haken?

    Meine Idee war: Jede reelle Zahl, die sauber definiert werden kann, ist in meiner Liste enthalten. Jede reelle Zahl, die überhaupt je in einer mathematischen Formel auftauchen kann, kommt in der Liste vor. Denn alle endlich langen mathematischen Formeln stehen in der Liste. Weshalb sollen wir uns mit überabzählbar vielen reellen Zahlen herumschlagen, die mit absoluter Sicherheit nie in der Praxis auftauchen? Streichen wir einfach alle weg, die nicht in der Liste stehen! Nur die Zahlen sollen "reell" heißen, die in einem endlich langen Satz definiert werden können.

    Dies hätte zwei Vorteile: Erstens wären dies nur abzählbar viele. Denn sie sind ja in meiner Liste der endlichen Zeichenfolgen enthalten. Zweitens könnte sicher niemand eine reelle Zahl definieren, die nicht schon in der Liste der Definitionen enthalten ist. Dies scheint ein Widerspruch zu Cantors Satz zu sein. Ich hätte eine Liste von reellen Zahlen, und niemand könnte eine reelle Zahl nennen, die nicht schon in der Liste steht.

    Einen kleinen Haken hat die Sache noch. Ich habe ja nicht eine Liste von reellen Zahlen! Ich habe nur eine Liste von Zeichenfolgen. Viele dieser Zeichenfolgen haben überhaupt nicht mit reellen Zahlen zu tun, sie sind völlig bedeutungslos. Ich muss also zuerst die bedeutungslosen Zeichenfolgen wegstreichen.

    Ich habe angenommen, dies sei möglich. Aber wenn ich die bedeutungslosen Zeichenfolgen wegstreichen könnte, dann ergäbe sich ein Widerspruch. Dann hätte ich nämlich wie beschrieben eine Liste von reellen Zahlen, zu der niemand eine reelle Zahl hinzufügen könnte. Aber wie Cantors Satz zeigt, ist dies nicht möglich. Meine Annahme ist also falsch:
    *Es ist nicht möglich, die bedeutungslosen Zeichenfolgen von den sauberen mathematischen Definitionen zu unterscheiden.* Das ist ungeheuerlich!!! Wie können wir exakte Mathematik betreiben, wenn wir nicht einmal wissen können, ob ein Textabschnitt eine mathematische Definition oder ein unsinniger Buchstabensalat ist?

    Erst lange nachdem ich diese Idee hatte, merkte ich, dass sie eng verwandt ist mit einem Satz und einem Beweis, den Turing schon vor 70 Jahren entdeckte (Satz von Turing).


    Antwort der Redaktion:
    Sehr geehrter Herr Wehrli:



    In Ihrem Brief haben Sie eine Reihe von begrifflichen Fragen angeschnitten, die in der Tat auch in der Geschichte der Mathematik eine bedeutende Rolle gespielt haben und z. T. heute noch in der Kontroverse stehen.



    Wo die Zahlen überhaupt herkommen und welchen existentiellen Status sie besitzen, wird je nach metamathematischer Schulrichtung beantwortet: Für den Realisten sind sie präexistente formale Objekte, für den Formalisten Zeichenketten, für den Intuitionisten bewusste Konstruktionen. Aus den natürlichen Zahlen, deren Heuristik vermutlich in den diskreten Objekten unseres Gesteinsplaneten verankert ist, lässt sich eine Hierarchie immer neuer Zahlentypen mit den ihnen eigenen Gesetzen aufbauen. Man kann hier von einer Art begrifflicher Emergenz sprechen. Mit den einfachsten Zahlen, der geordneten Menge der natürlichen Zahlen, kann man Operationen vornehmen, die aber über die zugrundeliegende Zahlklasse hinausführen. Zumeist entstand dann eine begriffliche Diskussion, ob die dabei notwendig gewordenen neuen formalen Gebilde genuine mathematische Objekte bilden und ob sie in die Gegenstandswelt der Mathematik aufgenommen werden sollen. Dies war bei den negativen, bei den irrationalen und bei den imaginären Zahlen der Fall.



    Mit dem Aufkommen der Mengenlehre trat dann auch die Frage auf, wie viele Zahlen es von einem Typus geben kann, aber dazu mussten erst einmal die Beweisverfahren geschaffen werden, wie man die Stufungen im Unendlichen überhaupt unterscheiden kann. Cantors neue Begrifflichkeit erlaubte es, den Begriff der Äquivalenz von Zahlenmengen einzuführen und über die Herstellbarkeit von Bijektionen den Mächtigkeitsbegriff für unendliche Mengen zu definieren, eine Verallgemeinerung des Begriffes der Größe von endlichen Mengen. Für die rationalen Zahlen, aber auch für die algebraischen konnte Cantor beweisen, daß ihnen die kleinste abzählbare Unendlichkeit zukommt, aber die reellen Zahlen erwiesen sich von höherer Mächtigkeit. Eine besondere Rolle kam nun jenen reellen Zahlen zu, die nicht die Wurzeln einer Reihe vom Typus &sqrt;2 bilden und für die Leibniz in Zusammenhang mit dem Problem der Quadratur des Kreises den Namen transzendent, wohl in Anklang ihres besonderen Charakters, vorgeschlagen hatte.



    Zuerst befasste man sich mit dem Nachweis der Transzendenz bestimmter reeller Zahlen. Liouville, Hermite und Lindemann zeigten, daß die Liouville - Zahl, e und π transzendent sind. Danach konzentrierte man sich auf die Frage, wie viele transzendente Zahlen es überhaupt gibt, und es zeigte sich, dass fast alle reellen Zahlen transzendent sind. Alan Turing bewies dann, dass die algebraischen Zahlen berechenbar sind, aber die übrigen reellen Zahlen dem unberechenbaren Typ angehören. Man kann das Verhältnis der beiden Klassen von Zahlen auch unter Verwendung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs charakterisieren (siehe G. Chaitin: Meta Math! The Quest for Omega, New York 2005). Wenn man nach dem Zufallsprinzip eine reelle Zahl herausgreift, wird man so gut wie sicher eine nicht berechenbare transzendente Zahl treffen. Auch bei der Benennung zeigt sich der überabzählbare Charakter der reellen Zahlen. Namen sind immer bestimmte endliche Ketten von Zeichen aus einem Alphabet einer Sprache, die nach einer algorithmischen Regel gebildet werden. Von diesen Ketten kann es immer nur abzählbar unendlich viele geben, genau so wie dies auch für alle Algorithmen gilt. Deshalb sind die meisten reellen Zahlen nicht nur nicht berechenbar, sondern auch nicht benennbar. Diese Situation wird noch deutlicher, wenn man zu umfassenderen Mengen aufsteigt, etwa die Menge aller eindeutigen reellen Funktionen betrachtet, welche eine noch höhere Mächtigkeit als die des Kontinuums besitzt. Diese können erst recht nicht mehr mit individuellen Namen ausgestattet werden. Da nach dem Satz von Cantor sich zu jeder Menge M die Potenzmenge P(M) bilden läßt, die von höherer Mächtigkeit als M ist, erscheint es einsichtig, daß der elementare intuitive Vorgang des expliziten Benennens und individuellen Charakterisierens aus dem elementaren Bereich der abzählbaren Mengen nicht auf Mengen höherer Mächtigkeit übertragbar ist.



    Dennoch kann der Körper der reellen Zahlen, unabhängig von diesen begrifflichen Fragen der Bezeichnung, ausgehend vom Körper der rationalen Zahlen exakt definiert werden. Dies kann nach der Methode des Dedekindschen Schnittes oder als Konstruktion mit Cauchy-Folgen oder mittels des Verfahrens der Intervallschachtelung axiomatisch geschehen. Es ist also nicht so, dass es in der Mathematik nicht klar wäre, was eine reelle Zahl ist. Nur zeigen sich, wie bei vielen Axiomensystemen, unerwartete dem Alltagsverstand zuwiderlaufende Folgerungen. Die Idee, die reellen Zahlen auf die algebraischen einzuschränken, würde starke Nachteile bei den praktischen Anwendungen der Mathematik mit sich bringen, da viele wichtige Funktionen, wie die trigonometrischen Funktionen, die Exponential- und Logarithmusfunktion, als Werte reelle Zahlen besitzen.



    Den kontraintuitiven Charakter der reellen Zahlen hat übrigens Émile Borel 1927 demonstriert, indem er gezeigt hat, dass man das gesamte Wissen der Menschheit, ja sogar eine unendliche Menge von Information in eine reelle Zahl hineinstecken kann und dass diese dann, als ein Art Orakel, sämtliche in einer Sprache stellbaren Fragen beantworten können müsste. Er sah dies damals vom Standpunkt des Konstruktivismus als eine absurde Konsequenz der Verwendung reeller Zahlen an, aber der Hauptstrom der mathematischen Forschung ist ihm nicht in dieser Einschätzung gefolgt.



    Bernulf Kanitscheider