Ihre Beiträge sind uns willkommen! Schreiben Sie uns Ihre Fragen und Anregungen, Ihre Kritik oder Zustimmung. Wir veröffentlichen hier laufend Ihre aktuellen Zuschriften.
Ps: Befragen Sie Herrn Quaschning doch einmal, wie er das Speicherproblem von volatilen Energieträgern wie Wind und Sonne lösen will? Hat er dazu vielleicht etwas Neues in seinem Buch geschrieben? Und warum darf man giftiges Erdgas in Erdkavernen speichern aber nicht ungiftiges CO2, das bei CSS anfällt? Und warum dürfen wir nicht die statistisch gesehen gesundheitlich unproblematische Atomkraft (zumindest im erdbeben- und tsunamisicheren Deutschland) nutzen?
Hallo, ich habe mein Auto nach 72 km Rückfahrt von der Arbeit gerade mit 2,6 l/100 km abgestellt. Das waren unter 2 Liter E10 die ich verbraucht habe. Das geht natürlich nur, wenn man „anders“ fährt. Ich fahre eine Technik die nennt sich Pulse&Glide. Wie die Bezeichnung vermuten lässt kommt das Ganze aus dem Englischen. Genauer aus der Zeit, als in den USA das Benzin sehr teuer war. Es ist von Pendlern wie mir. Einer der das damals populär gemacht hat ist Wayne Gerdes www.cleanmpg.com. Ich sehe hier keinen der anders fährt, die SUVs rasen an mir vorbei. Wenn ich langsam fahre und die Polizei mich sieht, denken die ich bin betrunken. Dabei fahre ich nur sparsam. Vorsichtig im Dunkeln. Wildunfälle habe ich bisher vermeiden können. Normale Straßen fahre ich schon Jahre nicht mehr. Zu groß der Stress, der Druck. Nun gebe doch endlich Gas. Aber nur alles unter 50 km/h spart wirklich Benzin/Strom. Wo ist die Tempobegrenzung wie zum Beispiel im Dänemark? In Japan fährt man 50 in der Stadt, 60 auf der Landstraße und 100 km/h auf der Autobahn. Das spart Energie. Ich bräuchte kein Auto. Aber Arbeit wächst nicht auf dem Baum. So pendele ich 30.000 km / Jahr nur zur Arbeit. 1 Zug nach 22:00 Uhr und 1 Zug vor 4 Uhr und ich könnte mein Auto abschaffen. Aber da fährt nix. Ich muss aber nun mal 365d/24h im 3 Schichtsystem arbeiten. Meine Frau fährt 50 km einfache Strecke, in die komplett andere Richtung. Wir sind hier Flächenland. Elektromobilität kann ich mir als Mieter nicht leisten. Lademöglichkeiten sind hier auch öffentlich so gut wie nicht vorhanden. Aber, ich habe ein Ziel - wenn ich mal in Rente gehe. Dann schaffe ich das Auto wieder ab! Habe schon lange die Nase voll. Aber Alternativen gibt es keine.
Achso. Welches Auto solche Verbräuche ermöglicht? Ein Toyota Yaris Hybrid von 2016 mit Technik aus dem Toyota Prius. Meine Reifen halten 150.000 km und auch sonst nichts kaputt. Ist auch ein Faktor die Kosten 0,18€/km Gesamtkosten. In der IT heißt es TOC Total Cost of Ownership. Oder zu Deutsch was kostet mich das Auto von Anschaffung bis zur Entsorgung.
So wie das sehe ist weder die erste Lösung, noch die korrigierte Variante richtig.
Die Münze hat sich einmal um sich selbst gedreht nachdem sie einmal über ihren Umfang abgerollt worden ist. Versetzt man die Münze wie in der Lösung vorgeschlagen und rollt sie über die erste Münze ab bis sie eine weitere berührt, hat sie sich über 120° oder 1/3 des Umfangs abgerollt.
Diesen Schritt wiederholt man weitere 5 mal, macht ihn also insgesamt 6 mal. Damit wurde sie 6 mal über 1/3 ihres Umfangs oder insgesamt 2 mal über ihren Umfang abgerollt was wiederum 2 Umdrehungen um sich selbst bedeutet.
Berechnung:
Von Berlin (Mitte) bis zur Grenze von Schleswig-Holstein sind es 244km. Da reichen die angegebenen 500km (hin und zurück) mal knapp über die Landesgrenze. Zudem ergibt der über den Link erreichbare Rechner für den Geschwindigkeitsvergleich (110 zu 130 km/h) bei 500km knapp 42 Minuten, anstelle der angegebenen 20.
Aber abgesehen davon stimme ich gerne zu.
Finanzierung:
Der Staat (das sind schließlich wir alle) muss diese Maßnahmen ja finanzieren bzw. die wegen fehlender Einnahmen entstehenden Lücken anderweitig auffüllen bzw. irgendwo anders im Haushalt Kürzungen vornehmen. Eine Finanzierung über Kredite belastet uns bzw. unsere Kinder dann in der Zukunft.
Arbeitsweg:
Zwar können Arbeitnehmer einen Teil ihres Aufwands für den Weg zwischen Wohnung und Arbeitsstätte entfernungsabhängig steuerlich absetzen, doch halte ich diese Förderung der Umweltzerstörung (Zersiedelung der Landschaft durch mehr Eigenheime in der Umgebung von Städten und Ausstoß von Abgasen) für falsch, denn zudem verlieren wir für die Bewältigung des Arbeitsweges auch viel Zeit. Selbstverständlich ist es schwer dieses einmal eingeführte System abrupt zu beenden, aber viele konnten während der Pandemie im Homeoffice arbeiten und dabei auch die Vorteile erleben, die der Wegfall des Pendeln bietet.
Arbeitsplatz und Wohnung liegen oft zu weit voneinander entfernt und es gibt leider oft kaum sinnvolle Alternativen zum Auto (zu weit und bei Regen oder Kälte zu unbequem fürs Fahrrad; Bus oder Bahn nicht vorhanden oder zu lange Takte).
Das hilft uns in der aktuellen Situation aber nicht weiter und eine gerechtere Unterstützung der Arbeitnehmer als Ausgleich für die unerwartet steigenden Preise (teilweise bestimmt hier nicht das tatsächliche Verhältnis von Angebot und Nachfrage, sondern die Spekulation auf eine zukünftige Verknappung an den Warenterminbörsen schon jetzt die aktuellen Preise - eine der negativen Auswirkungen unseres kapitalistisch geprägten Wirtschaftssystems) wäre nur mit einem höheren bürokratischem Aufwand realisierbar. So ist eine kurzfristige Hilfe nach dem Gießkannenprinzip verständlich. Währenddessen sollten gerechtere Wege, die besonders den Geringverdienern helfen, ausgearbeitet werden.
Gegen Preissteigerungen:
Letztendlich müssen wir uns alle aber darauf einstellen, dass Putins Krieg, der auch unsere Freiheit bedroht, auch unseren Wohlstand schmälert.
Da wir selbst nicht militärisch eingreifen wollen, müssen stattdessen alles dafür tun, Russlands Wirtschaft zu schwächen, um so das Leiden in der Ukraine zu beenden. Dabei müssen wir aber auch unsere eigenen ärmeren Bürger bei den deshalb steigenden Lebenshaltungskosten unterstützen. Vielleicht können wir uns in diesem Zusammenhang auch auf globale Regeln an den Warenterminbörsen (z.B. Transaktionssteuer, Mindesthaltezeiten) einigen, um die preistreibenden Aktionen der Spekulanten zu beschränken.
Ich wiederhole nochmals meine frühere Erwiderung (Leinniz'sche Infinitesimalrechnung) auf die Frage von Frau Manon Bischoff: "Ist 0,999... gleich 1?", dass einzig die Grenzwertbildung (lim) eine korrekte Lösung sein kann! Sie lautet "in Worten", da mir die Übertragung der mathematischen Scheibweise aus dem Winword-Formel-Editor hierhin nicht gelungen ist:
1 = lim (n gegen Unendlich) 9 * Summe [ 10 (exp -n) ] für n > 0 ganzzahlig.
Bei euren tollen Ideen mit den Tempolimits redet ihr immer nur von euch als Gelegenheitsautobahnfahrern. Ich als Servicetechniker bin tagtäglich auf den Autobahnen unterwegs (ca. 200 - 300km täglich). Und ich beiße schon jedesmal ins Lenkrad wenn ich 120 km/h fahren muss. Wenn ich dann noch so einen Linken-Spur-Schleicher mit 100 km/h vor mir habe, bekomme ich regelmäßig Herzrasen. Ich bin durchschnittlich 10h am Tag unterwegs, habe Familie und auch noch andere Verpflichtungen. Mit einem Tempolimit von 100 km/h würde ich jeden Tag mindestens 1 - 2 h verlieren, die mir a niemand bezahlt und b, die ich meinen Sohn weniger sehe. Was im Jahr Jahr bei 220 Arbeitstag ca. 300h sind. Wie soll ich das kompensieren??? Darüber denkt niemand nach!
Zuerst: Ja, die Kreiszahl Pi kommt fast überall vor, wobei dieses u.a. an der Gleichung sin²(x) + cos²(x)=1 und an den trigonometrischen Funktionen liegt.
Mit einem wenig Glück (oder Pech) - abhängig von der Perspektive¹ - hätte die Kreiszahl Pi auch durch den sogenannten "Indiana PI-Bill" (im 19ten-Jahrhundert) Einzug in die Gesetzgebung (im US-Bundesstaat Indiana) gefunden, wobei man durch das Gesetz dann den Wert von PI auf einen Wert vermeintlich festgesetzt hätte (wobei der Wert allerdings zum Einen mehrdeutig war und zum Anderen nicht dem Wert der Kreiszahl Pi, wie diese für die Berechnung des Umfangs eines Kreises etc. benötigt wird, entsprochen hatte). Mehr hierzu siehe englischsprachige Wikipedia zum Indiana Pi-Bill.
Ansonsten ruft der Artikel bei mir Erinnerungen an eine "Numerik II"-Vorlesung² (welche ich vor wohl inzwischen 15 Jahren besucht hatte) hervor, wobei dort eben auch die Herleitung der "gewöhnlichen" Funktion aus der iterativen (bzw. rekursiven) Funktion im Detail behandelt worden war (wenn man die Herleitung natürlich wegläßt, ist das Ganze natürlich nicht mehr "kompliziert"³).
Im Artikel fehlt übrigens eine Begründung, warum nun diese Art und Weise der Berechnung der Kreiszahl Pi nun sehr ineffizient ist. Falls gewünscht - und dieses nicht von einem anderen Beitragsschreiber vorher gemacht wird - kann ich eine (längere) Begründung allerdings auch gerne nachliefern.
ps. In Teilgebieten der Mathematik (wobei ich die theoretische Informatik hier Mal auch als Teilbereich der Mathematik ansehe, da dort eben auch mit mathematischen Beweisen gearbeitet wird, und die theoretische Informatik aus der Mathematik hervorgegangen bzw. abgespalten wurde) in denen die Kreiszahl Pi eher keine Rolle, wird das Symbol Pi dann auch gerne für etwas anderes genutzt ;-).
¹) Aus Sicht der Realsatire wäre es natürlich schön gewesen, wenn man dieses Gesetzesvorhaben damals durchgebracht hätte und sich, aufgrund der darausfolgenden Konsequenzen, dann vielleicht auch bis zu den Juristen durchgedrungen wäre, dass nun "Mathematik > Rechtswissenschaften" ist, d.h. Gesetze (und Gerichtsurteile), welche der Mathematik widersprechen, nun eher "Käse" sind.
²) Lehrinhalte waren vor allem Algorithmen zur numerischen Lösung von (partiellen) Differentialgleichungen, wie z.B. Finite-Element-Methoden oder Runge-Kutta-Verfahren.
³) Hier ist nicht der Begriff Komplexität im Sinne der Komplexitätstheorie (Teilbereich der theoretischen Informatik) gemeint ;-).
Stellungnahme der Redaktion
Vielen Dank für die Anmerkung. Die Indiana-Pi-Bill ist wirklich eine skurrile Geschichte – die werde ich sicherlich auch in einer der Beiträge unterbringen. Danke fürs darauf aufmerksam machen :-)
Viele Grüße, Manon Bischoff
Man muss sich vergegenwärtigen, dass die Schreibweise von 1/3 als 0,333... nur ein unzulänglicher Darstellungsversuch im Dezimalsystem darstellt. Das Problem ist die Unendlichkeit - egal, wie weit/lange man hinter dem Komma schreiben möchte ... man wird nie mit dieser Schreibweise den Wert von 1/3 exakt beschreiben können. Eine wirklich exakte Darstellung von 1/3 gibt es z.B. im 3er-System, nämlich als 0,1 (= 1*3^-1). Und hier stimmt natürlich auch exakt die Rechnung drei mal ein Drittel = 0,1 + 0,1 + 0,1 = 1,0 (= 1*3^0). Analog ist die Darstellung von 0,333... * 3 = 0,999... nicht exakt 1/3 * 3 = 1. Die unendlich vielen 9en hinter dem Komma (die man nie wird darstellen können), lässt diese Zahl nur immer näher an die 1 heranrücken, kann sie aber nie exakt gleich werden lassen mit 1.
Vielleicht kann sich darauf einigen, dass der Darstellungsversuch 0,999... eine "ziemlich gute Näherung" von 1 ist. Praktisch relevant erscheint mir er mir allerdings nicht wirklich.
So wie das sehe ist weder die erste Lösung, noch die korrigierte Variante richtig.
Die Münze hat sich einmal um sich selbst gedreht nachdem sie einmal über ihren Umfang abgerollt worden ist. Versetzt man die Münze wie in der Lösung vorgeschlagen und rollt sie über die erste Münze ab bis sie eine weitere berührt, hat sie sich über 120° oder 1/3 des Umfangs abgerollt.
Diesen Schritt wiederholt man weitere 5 mal, macht ihn also insgesamt 6 mal. Damit wurde sie 6 mal über 1/3 ihres Umfangs oder insgesamt 2 mal über ihren Umfang abgerollt was wiederum 2 Umdrehungen um sich selbst bedeutet.
Es wurden ja hier bereits mehrere Thesen dafür aufgestellt, warum 0,999...=1 ist, aber um ehrlich zu sein, konnte mich bis lang keine dieser Thesen überzeugen.
Denn irgendwie bassieren ja all diese Rechnungen, auf der Annahme, dass 1/3=0,333... ist. Und wenn man diese Annahme treffen würde, würden all die Rechnungen, ja auch irgendwie Sinn ergeben, denn dann wäre 0,333...*3, ja das selbe wie 1/3*3, also 1. Aber wer hat den gesagt, dass 1/3=0,333...ist, 1/6=0,1666... ist oder 1/9=0,111... ist?
Denn um ehrlich zu sein, ist mir der Beweis dafür immernoch schleierhaft. Denn 1/3, ist zwar eine Dezimalzahl. Aber in erster Linie, ist sie eine Rechenoperation, nemlich 1:3.
Wenn wir jetzt aber 1:3 teilen wollen (wovon ich jetzt einfach mal ausgehe), werden wir aber feststellen, dass das gar nicht so leicht ist.
Im Bereich der Natürlichen Zahlen (oder von mir aus auch den Bereich der Ganzen Zahlen), ist es sogar unmöglich. Denn 1:3, lässt sich nicht klar teilen und ist daher nicht lösbar. Jetzt könnte man natürlich argumentieren, dass 1, ja im Bereich der Natürlichen Zahlen, auch nicht durch zwei Teilbar ist. Aber wenn wir die Menge 1, mit zehn mulitplizieren, sieht die Welt schon wieder ganz anders aus. denn dann kann man plötzlich 10:2=5 rechnen.
Bei 10:3, ist das immer noch nicht möglich.
Tatsächlich ist 10^n:3=x, (nEN), in diesem Zahlenbereich, für kein einziges n lösbar.
Jetzt stellt sich natürlich die Frage, was das mit dem Anfangsproblem zu tun hat, denn wir können ja, beispielsweise im Bereich der Rationalen Zahlen durchaus schreiben, dass 1:2=0,5 ist(ich glaube nicht, dass die Theorie, über Reelle Zahlen vollständig korrekt ist (was ich auch später noch erläutern werde) daher kann ich maximal über Rationale Zahlen sprechen).
Ganz einfach, wenn man dies schriftlich ausrechnet, rechnet man eigentlich folgendes:
1:2= n.l.
-> "eine Kommastelle nach rechts",
also 10:2=5, oder (1*10^1):2=5 (wahre Aussage!)
-> Ergo 1:2=0,5
Wir haben also gemerkt, dass die erste Stelle, kein Ergebnis liefert, darum haben wir erweitert und sind "eine Kommastelle nach rechts" gewandert. Denn wir können ja, wenn wir eine zahl n, nicht durch eine zahl x teilen können, schauen, ob wir n*10^y, durch eine Zahl x teilen können. Wenn das möglich ist, können wir als ergebnis dieser Rechung, (n*10^y):x mit y Nachkommastellen ermitteln. Also in unserem Beispiel 1*10^1:2=5 mit 1 Nachkommastelle, also 0,5.
Wenn wir aber versuchen, dass selbe bei 1:3 anzuwenden, werden wir scheitern, denn wie bereits zuvor erwähnt, ist die Gleichung (1*10^n):3, einfach nicht vollständig lösbar, denn es wird immer einen Rest geben (daher die Ausdrucksweise mit der Periode, da man so versucht sich dem Ergebnis anzunähern). Aber Tatsache ist doch, dass auch das nicht 100% richtig ist. Denn wir können uns unserem Zahlensystem, einfach 1, nicht vollständig durch 3 teilen. Darum haben wir versucht, uns mit dem Ausdruck 0,333... dem Anzunähern. Aber wirklich exakt, ist nur der Ausdruck 1/3, denn dieser sagt ja einfach nur aus, dass das Ergebnis einer Aufgabe, eben dem Ergebnis der Aufgabe 1:3 entspricht. Wir geben dadurch für die Aufgabe, also einfach nur eine Rechnung an, deren Ergebnis wir (noch) nicht bestimmen können, welche der Lösung der Aufgabe jedoch, so nah wie möglich kommt und immerhin anders als der Ausdruck, 0,333..., absolut korrekt ist.
Dadurch ergibt auch die Rechnung 0,333...*3, wieder Sinn, denn diese wäre dann einfach 0,999..., denn wir würden ja jede einzelne Ziffer, der 0,333... mit drei multiplizieren (so wie man das in der Mathematik halt eigentlich macht) und würden demzufolge auf 0,999... kommen.
Wäre das ein Verbrechen?
Meiner Meinung nach nicht, denn ja es würde vermutlich der Theorie der Reellen Zahlen, nicht entsprechen, denn die Existenz der Zahl 0,999..., wäre vermutlich (sogar ziemlich sicher) der direkte Vorgänger von 1, aber wir können doch nicht die Existenz von Zahlen bestreiten, nur weil diese nicht in unsere Bisherigen Theorien passen. Wir sollten lieber unsere Theorien überdenken (wie es beispielsweise auch Kopernikus tat und am Ende doch irgendwie Recht hatte, oder etwa nicht?) und einfach einsehen, dass es Dinge gibt, die wir immernoch nicht verstanden haben und Zugeben, dass wir morgen etwas schlauer als heute sein werden, weil wir eine weitere Theorie, zur Ergründung unserer Welt, ausschließen konnten.
Denn Tatsache ist, jeder der mir weißmachen will, dass zwei Verschiedene Zahlen, das selbe sind, wird scheitern. Denn ich kann mich einfach nicht mit dem Gedanken anfreunden, dass 1, dass selbe ist wie 2, oder dass 0,999..., dass Gleiche ist wie 1. Denn allein die 0, vor den ganzen neunen, sagt ja etwas anderes aus. Denn allein diese kleine Ziffer sagt ja, dass die linke Seite der Waage (oder Gleichung, also 0,999...), etwas "leichter", oder besser kleiner ist, als 1. Dadurch würde sich die Waage, wohl immer auf der Seite der eins, einen Bruchteil weiter nach unten Bewegen.
Wie dem auch sei, erst wenn mir jemand beweisen kann, dass 1/3=0,333... ist, wird er mich auch davon überzeugen können, dass 0,999... gleich 1 ist. aber bis dahin, halte ich mich an dem Wissen fest, was ich schon in der Grundschule gelernt habe. Nemlich dass zwei verschiedene Zahlen, niemals ein und die selbe sein können, egal ob das jetzt 1 und 2 sind, oder 0,999... und 1.
Da hilft alles schön reden (oder besser: schön rechnen) nichts.
Die letzte Formierung (unten rechts), würde eine weitere ergeben, wenn der obere Würfel auf dem linkesten Würfel stünde, statt auf dem rechten.
Das wäre eine 8. Lösung.
Ich finde Fliegen toll, weil ich damit 1000 Kilometer in anderthalb Stunden zurücklege und es trotzdem kürzer dauert und kaum teurer ist, als hinterher die Bahnfahrt vom Flughafen nach Hause. Ist so die geschwindigkeitsbegrenzungsfreie Autobahn für Minderbetuchte, die sich kein Auto leisten können (oder wollen). Fliegen selbst ist das Einzige, was dabei richtig läuft, nur alles drum herum ist scheiße.
Zu Technologien selbst sind meine Kommentare meist recht unterqualifiziert, doch ich kann etwas zu dem Umfeld sagen, in dem sie sich durchsetzen müssen. Vielleicht sollte jemand mal vorrechnen, wie hoch das Einkommen sein muss, damit man sich um die Umwelt – oder Welt allgemein – scheren kann oder muss. Also, wo ungefähr die Finanzgrenze zwischen Geiz und Selbsterhaltung verläuft. Unter Berücksichtigung sonstiger Umstände, denn eine Harz-IV-Mutter mit zwölf Kindern wird vermutlich nicht zwanzig Stunden am Tag damit verbringen, den ökologischsten Kühlschrank zu nehmen: Sie nimmt den billigsten Schrott aus China und dreht die Stromrechnung dem Amt an.
Geld ist ja auch nicht alles. Wenn ich alles einschränke und alles verbiete, weil die Vernunft es gebietet, gebietet die Vernunft auch, alternative Freiräume zu eröffnen: Wenn ich weder Autobahnen noch Flugzeuge habe, bleibt mir nur blanker Hass übrig, um meinen Frust zu entladen. Die Käfighaltung der Städte hat bereits heute ähnliche psychologische Effekte, wie Massentierhaltung: Neurosen und kannibalistische Aggression. Je mehr Frust die Welt dazu packt, desto mehr Freiräume brauchen wir zur Kompensation. Wir hocken gerade im perfekten Sturm, einer Kettenreaktion entlädt all der Probleme, die wir über Jahrzehnte unterm Teppich gemästet haben, Frust über Frust über Frust ist vorprogrammiert. Irgendeine Form von Aggression entsteht immer daraus.
Ich hab ja gesagt, dass die Klimabewegung in eine größere Vision eingebettet werden muss, die alle begeistert, doch eine Politkorr-Apartheid, die Weißen Rasta-Locken verbietet, begeistert mich nicht – sie schreckt ab. Bigotterie dieser Art ist auch nur Gewalt, eine Form auf links gedrehte Intoleranz, ein Mittel, den anderen Schweinen im Stall das Ohr abzukauen, sich Freiraum zu verschaffen. Damit mehr Hühner in den Käfig passen, unterteilen wir ihn in kleinere Käfige – was soll die Scheiße? So was nennt man Zermalmen. Wenn man eh gerade in der globalen Schrottpresse hockt, sind Forderungen, auf Eigenheime, Fliegen, Auto zu verzichten, reinster Wahnsinn. Die Weltrettung verkommt zu einer puritanischen Flagellanten-Bewegung, bereut eure Sünden, fastet und begrabt euch in euren Betonsärgen, bestraft euch selbst, bevor Frau Holle euch straft. Da tätowiere ich mir lieber ein Z wie Amoklauf auf den Hintern und gehe jemanden töten, egal wen, bevor all die anderen Zombies mich in Stücke reißen, bin ich zwanzig Sekunden lang frei. Wenn die eigene Gartenzwerg-Spießerhöllen-Paradies-Vision so abstinkt, dass daneben für manche selbst Hitler gut aussieht, sollte man vielleicht ins Grübeln kommen.
Die großen Versklaver, damals wie heute, locken nicht mit Sklaverei, sondern mit Freiheit. Wir bringen den Laden auf Vordermann, dann geht’s auf zu neuen Ufern. Dieser Teil der Vision ist OK, nur die Realität sah anders aus – ist halt so bei Zuhältern und Loverboys, der Putin lockt ja auch die Armen der Dritten Welt und schickt sie für sich auf den Söldner-Strich. Die Energie, die wir nicht nützen können, die uns zerstört, statt uns vorwärts zu bringen, ist nicht nur in der Umwelt, sondern auch in uns selbst. Solarkollektoren, Windräder, erzeugen keine Energie, sie konvertieren die, die schon da ist. Und genauso machen es Visionäre, des Guten wie des Bösen, mit der ungenutzten Energie der Menschen. Es ist eine erneuerbare Energiequelle, auf die die Öko-Bewegung einfach scheißt, für sie sind wir alle nur eine Krankheit, die den Schlaf der Marienkäfer trübt und Gänseblümchen husten lässt. Für die Politkorr sind wir nur Missgeburten nach der Prokrustes-Skala, die gleich die Bettlänge nachjustiert, falls mal einer genau hineinpassen sollte, nur um strecken und hacken zu können.
All die Milliarden Verlierer des Kapitalismus sehnen sich nach Hoffnung. Sie suchen sie im Islamismus, bei den Rechten, in der Flucht nach Europa. Wir ertränken sie im Mittelmeer, bombardieren sie, sperren sie in Lager, Gettos und Bürokratie. Glauben Sie, die verschwinden genauso auf Nimmerwiedersehen, wie das CO2 aus dem Schornstein?
Ich mag keine globale Erwärmung, ich vertrage schon keine heißen Sommer – ich bin Pole und kann mein Maul nicht halten, mein natürlicher Lebensraum ist Sibirien. Doch ich mag die neuen Energien auch einfach nur, weil sie billig und unerschöpflich sind. Ich hocke im Sandwich zwischen einer geothermischen Dampfmaschine und einem kosmischen Fusionsreaktor und verpeste mir den Wigwam, indem ich kompostierte Dinos verbrenne – und erschlage die anderen Neandertaler mit Steinen im Kampf darum, weil's in der Eiszeit sonst nix zum Heizen gibt? Das war vielleicht für Opi Zivilisation und Fortschritt, ich find's nur peinlich. Ich hocke auf einem nahezu menschenleeren Planeten und ersticke in überfüllten Oasen, weil ich Sibirien, Sahara, Antarktis, Zentralasien, die Meere, nicht erschließen kann, gefangen wie die Frühmenschen in Afrika, für die winterliches Europa so tödlich war, wie der Mars. Ah ja, da wollte ich nächsten Dienstag auch noch hin, haben sie mir in den Achtzigern versprochen, als wir noch Hoffnung hatten.
Die Energy-for-Bigotry-Bewegung gibt mir keine Hoffnung, die Alternativen irgendwelcher Putins, Trumps, Führer, Päpste, Kalifen, sind eher ein Grund, der Welt den Gnadenschuss zu geben, um ihre Rest-Würde zu wahren. Solange nichts Interessanteres auftaucht, bleibt mir Fliegen.
Bis dahin pflanzen wir Europa möglichst schnell mit Solarpanelen und Propellern voll. Welche Vision auch gewinnen sollte – sowohl Neuanfang wie Selbstzerstörung werden Kraft brauchen. Und auch die Kraft der Menschen wird die Zukunft mitgestalten – so oder so.
Zuerst: Ich weiß, der Artikel richtet sich vor allem an Laien, welche etwas an Mathematik interessiert sind, deshalb möchte ich auch nicht so streng sein.
1. Der Beweis von Perelman, dass jede einfach-zusammenhängende, kompakte. unberandete. dreidimensionale Mannigfaltigkeit homöomorph zur 3-Sphäre ist, gab es schon 2002 und nicht erst 2003, die Veröffentlichung des Beweises im Arxiv erfolgte aber in Etappen Ende des Jahres 2002 und 2003 (so dass man die Jahreszahl 2003 unter Umständen so stehen lassen kann).
2. Wenn man nicht nur die üblichen heutzutage zur Mathematik direkt zugeordneten Gebiete betrachtet, sondern auch die Gebiete der theoretischen Informatik (oder technischen Informatik), dann ist die gebrachte "Definition" des Begriffs "dynamisches System" zu einschränkend. In der Systemtheorie werden auch andere zeitabhängige Systeme, als dynamische Systeme betrachtet, bei denen nicht unbedingt mehr nur die Bewegungen eines Punkts in einer geometrischen Umgebung untersucht werden. Es kann natürlich sein, dass man in vielen Fällen ein solches dynamisches System durch Transformation und Uminterpretation vielleicht dahingehend uminterpretieren kann, dass man die Bewegung eines Punktes (wobei der Punkt dann z.B. ein Parameter wäre oder eine Vektor von Parametern, dessen Verhalten man bei der Simulation eines Modells eines dynamischen Systems untersuchen will) in einer geometrischen Umgebung untersucht (sofern man eben die ganzen verschiedenen Parameter des Systems als Raum oder geometrische Umgebung ansieht), trotzdem wäre eine etwas weiter gefasste Definition wünschenswerter. Z.B. eine Umformulierung der Passage
"Mit leistungsfähigeren Computern erregte Ende der 1970er Jahre ein neues mathematisches Gebiet die Aufmerksamkeit vieler Wissenschaftler: die dynamischen Systeme. Dabei geht es darum, die Bewegung eines Punkts in einer geometrischen Umgebung zu untersuchen, etwa die Bahn eines Planeten. Auch Sullivan fand Gefallen an dem Thema, ebenso wie die Öffentlichkeit, die den Begriff der damit verbundenen Chaostheorie aber bis heute häufig missinterpretiert."
zu
"Mit leistungsfähigeren Computern (welche auch die Simulation von "komplexeren" Systemen ermöglichte) erregte Ende der 1970er Jahre ein neues mathematisches Gebiet die Aufmerksamkeit vieler Wissenschaftler: die dynamischen Systeme. Modelle von dynamische Systeme werden häufig für die Simulation des zugehörigen dynamischen Systems verwendet. Z.B. kann man die Bewegung eines Punkts in einer geometrischen Umgebung, eta die Bahn eines Planeten, als ein dynamisches System ansehen. Auch Sullivan fand Gefallen an dem Thema, ebenso wie die Öffentlichkeit, die den Begriff der damit verbundenen Chaostheorie aber bis heute häufig missinterpretiert."
Ansonsten werden dynamische Systeme, sofern damit nicht nur Systeme von Differentialgleichungen (bzw. partiellen Differentialgleichungen) gemeint sind, vor allem in Lehrveranstaltungen der Informatik betrachtet, wobei die zugehörigen Vorlesungen dann durchaus Namen wie "Modellgestützte Analyse und Optimierung" oder ähnliches tragen können, denn die Definition und Implementierung von Modellen für eine Simulation der Modelle wird eben sehr häufig in der Informatik gemacht.
3. Es ist zwar richtig, dass bei chaotischen Systemen das Systemverhalten sehr empfindlich von den Anfangsbedingungen (bzw. Startwerten der Parameter des Systems) abhängt, aber dann muss allerdings bei einem chaotischen System nicht jeder Parameter des Systems einen solchen empfindlichen Einfluss auf das Systemverhalten haben. Auch wäre es schön - obwohl dieses dann vielleicht den Rahmen des Artikels sprengen könnte -, wenn man schon schreibt, dass der Begriff Chaostheorie häufig missinterpretiert wird, warum man ein System mit einem solch empfindlichem Verhalten des Systems auf die Anfangsbedingungen nun chaotisches System nennt, Die Gründe dafür liegen zum Einen daran, dass eben häufig mittels numerischer Mathematik nun das Verhalten ein solches System simuliert wird, und eben durchaus Rundungsfehler bei der Berechnung von zukünftigen Werten zu einem anderen Verhalten führen können (als das System voraussagt) - wobei man hier auch noch das Wort Maschinengenauigkeit oder ähnliches einbauen könnte (oder auch darauf hinweisen könnte, dass sich anfängliche Rundungsfehler zu noch größeren Folgefehler zu späteren Zeitpunkten führen können). Und zum Anderen durchaus auch bei der Messung der Startwerte für die Simulation eines Modells eines real existierenden Systems eben die Messgeräte zu ungenau sein könnten und eben auch Messfehler bei den Messungen auftreten können, wodurch dann auch wieder das Systemverhalten des reallen Systems sehr stark vom eigentlich durch die Simulation des Modells vorausgesagtem Verhalten abweichen können.
(Kleiner Witz zur Numerik am Rande: 1+1=3, wobei dieses für große 1 gilt - sofern man eben jede reelle Zahl jeweils nur ohne Nachkommastellen schreibt und dementsprechend rundet, allerdings für die Berechnung selbst z.B. doch die eigentlichen Zahlen auf der rechten Seite - d.h. ohne Rundung - mit einer oder zwei Nachkommastellen nutzt, aber dann das Ergebnis eben wieder auf 0 Nachkommastellen rundet...).
4. Zentraler Untersuchungsgegenstand der Topologie sind topologische Räume, wobei ein topologischer Raum nun ein Paar ist, welches aus einer Grundmenge P (welche häufig Punkte genannt werden) und einem System X von Teilmengen der Grundmenge besteht, wobei zumindest die leere Menge und die Grundmenge zu X gehören (d.h. Elemente von X sind), jeder endliche Durchschnitt aus Elementen von X wieder ein Element von X ist und weiterhin jede Vereinigung von Elementen aus X wieder ein Element von X ist (man beachte, dass hierbei nicht gefordert ist, dass die Vereinigung der Elemente nun endlich ist).
Topologische Mannigfaltigkeiten sind gewissermaßen nur eine Teilmenge aller topologischen Räume oder anders ausgedrückt bei topologischen Mannigfaltigkeiten handelt es sich um topologische Räume, welche noch ein paar weitere Eigenschaften besitzen. Allgemein werden (topologische) Mannigfaltigkeiten als topologische Räume angesehen, welche lokal betrachtet dem n-dimensionalen euklidschen Raum gleicht (für ein beliebiges n), wobei eine formale Definition dann doch etwas "komplizierter" ist. Lokal im vorherigen Satz bedeutet dabei, dass man jeweils einen Punkt und eine dazugehörige Umgebung des Punktes betrachtet, wobei der Umgebungsbegriff nun auch ein zentraler Begriff der allgemeinen Topologie ist.
Je nach Teilbereich der Mathematik (z.B. Analysis) werden die jeweiligen dort betrachteten Mannigfaltigkeit noch mit weiterer Struktur versehen (und dem entsprechend auch etwas anders genannt, wie differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Banach-Mannigfaltigkeiten und nur die jeweiligen Präfixe, wie differenzierbar, wegläßt, wenn aus dem Kontext hervorgeht, um welche Art von Mannigfaltigkeiten es sich jeweils handelt).
5. Ich bin mit dem Satz
"Mannigfaltigkeiten sind besonders angenehme Figuren: Sie besitzen keine Ecken oder Kanten, kein Anfang und kein Ende, wie eine Kugel." nicht ganz einverstanden.
Sofern hier mit Kugel nun eine offene Menge, welche nur aus den inneren Punkten der Kugel besteht, meint, so könnte ich die Aussage, im Anbetracht der Definition von topologischer Mannigfaltigkeit, akzeptieren. Aber dann ist auch jeder Würfel, nach Entfernen der Oberfläche des Würfels, womit die Ecken und Kanten des Würfels damit mit entfernt werden, nun eine topologische Mannigfaltigkeit, da dieser Würfel (ohne Oberfläche) die Definition der topologischen Mannigfaltigkeit erfüllt - die Punkte, welche die Definition nicht erfüllen wurden ja entfernt. Oder anders ausgedrückt man erhält aus jeder beliebigen (zusammenhängende) n-dimensionalen Objekt nun durch die Entfernung der Oberfläche, eine topologische Mannigfaltigkeit. Natürlich kann man einen solchen Würfel (ohne Oberfläche) anschließend - ohne die Topologie zu verändern - dann in eine Kugel (ohne Oberfläche) transformieren. Wenn man nun unter topologischen Mannigfaltigkeiten solche versteht, welche auch selbst eine abgeschlossene Menge sind, wodurch man eine vereinfachte Klassifikation der Mannigfaltigkeiten erhält, so wären weder die Kugel ohne Oberfläche noch der Würfel ohne Rand, als Mannigfaltigkeit anzusehen (obwohl es sich eigentlich um Mannigfaltigkeiten im Sinne der Definition topologischer Mannigfaltigkeiten handelt). Man hätte wohl auch dazu schreiben können, dass man hier eine "vereinfachte" Form von topologischen Mannigfaltigkeiten betrachtet und eben nicht alle topologischen Mannigfaltigkeiten.
6. Die Aussage, dass sich Sullivan direkt der Hauptaufgabe des Bereichs der Topologie, dem Klassifizieren so genannter Mannigfaltigkeiten befasst, kann man eigentlich nicht so stehen lassen. Da sich eben nur der Teilbereich der geometrischen Topologie vor allem mit topologischen Mannigfaltigkeiten und der Klassifikation der topologischen Mannigfaltigkeiten befasst, wobei die Einteilung der Topologie in verschiedene Teilbereiche (allgemeinte Topologie, algebraische Topologie und geometrische Topologie) aufgrund der Fortschritte in der Topologie Mitte des letzten Jahrhunderts gemacht wurde. Andere Teilbereiche der Topologie beschäftigen sich mit anderen Fragestellungen. Weiterhin ist auch die Knotentheorie nun als Teilgebiet der geometrischen Topologie anzusehen. Sullivan hatte sich übrigens vor allem mit dem Entfernen von Teilen einer Mannigfaltigkeit und dem Ersetzen des entfernten Teils der Mannigfaltigkeit durch eine andere Mannigfaltigkeit (also durch die Anwendung einer Art "Chirugie" auf Mannigfaltigkeiten) beschäftigt, wobei diese Methoden vor allem bei höher dimensionalen Mannigfaltigkeiten angewendet werden (aufgrund der schwierigeren Visualisierung/Vorstellung), und diese Methoden bei der Klassifikation der topologischen Mannigfaltigkeiten helfen.
7. Auch mit der Aussage
"Der dreidimensionale Fall wird schon schwieriger, denn dafür muss man sich eine dreidimensionale Oberfläche in einem vierdimensionalen Raum denken. "
bin ich so nicht ganz einverstanden, da nach dem Einbettungssatz von Whitney jede n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Einbettung im (2n)-dimensionalen Raum besitzt. Allerdings besitzen differenzierbare Mannigfaltigkeiten noch etwas mehr Struktur als topologische Mannigfaltigkeiten, so dass vielleicht für topologische Mannigfaltigkeiten der Dimension n nun eine Einbettung in einem (n+1)-dimensionalen Raum ausreichend ist. Aber falls dafür kein Beweis existiert, würde ich vorschlagen die Aussage zu
"Der dreidimensionale Fall wird schon schwieriger, denn dafür muss man sich eine dreidimensionale Oberfläche in einem mindestens vierdimensionalen Raum vorstellen (maximal sechsdimensionalen Raum)."
zu ändern. (In der Laudatio steht übrigens mindestens vierdimensional).
8. Es gibt unterschiedliche Arten, wie man topologische Mannigfaltigkeiten klassifizieren kann. Eine Möglichkeit ist mittels Homotopie-Gruppen und eine weitere Möglichkeit wäre mittels Homologie-Gruppen. Auch mit "rational homotopy theory", welches eine Vereinfachung der Homotopie-Theory (Homotopie-Gruppen) ist, kann man nun topologische Räume (oder topologische Mannigfaltigkeiten) versuchen zu klassifizieren, diese Theorie wurde von Sullivan mit begründet (und die Vereinfachung führt dazu, dass diese zugehörigen Homotopie-Gruppen, da durch die Vereinfachung Torsionselemente ignoriert werden, einfacher zu berechnen sind).
9. Weitere Beiträge von Sullivan zur geometrischen Topologie waren Beiträge zur Surgery-Theory, bei der aus (topologischen) Mannigfaltigkeiten nun Teile herausgeschnitten und durch andere Ersetzt werden, wobei die Surgery-Theorie eben vor allem bei höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten (ab Dimension 5) gut angewendet werden kann. Die Surgery-Theorie hilft darüberhinaus vor allem bei der Fragestellung, ob nun topologische Mannigfaltigkeiten auch mit einer "differenzierbaren Struktur" versehen werden können (und falls ja, mit wievielen verschiedenen), wobei die Fragestellung für die Dimension 4 noch offen ist. Bei der Fragestellung handelt es sich um die Verallgemeinerung der Vermutung von Poincaré (Generalized Poincaré Conjecture). Durch Perelman wurde diese Fragestellung wohl für den dreidimensionalen Fall mitbeantwortet (durch die Beantwortung der Vermutung von Poincaré) und eben durch die Surgery-Theory (und eben dabei wohl mit durch Sullivan) für die die mindestens fünfdimensionalen topologischen Mannigfaltigkeiten.
10. Erst beim Lesen der verlinkten Laudatio und ein anschließenden Blick auf die englischsprachige Wikipedia-Artikel z.B. bzgl. "Surgery-Theory" bin ich schlauer geworden, was nun wirklich Sullivans Beitrag zu der Klassifikation der topologischen Mannigfaltigkeiten war (und ist).
ps. Wenn man einen Artikel eines Journalisten als Vorlage nimmt (oder eine Meldung einer Presseagentur) sollte man im Prinzip jeweils die jeweiligen Angaben auch Prüfen (da auch Journalisten, auch wenn es sich dabei um Wissenschaftsjournalisten handeln könnte, durchaus manche Sachen verkürzt oder ungenau wiedergegeben haben können, wobei durch diese Verkürzung oder ungenaue Wiedergabe ein falscher Eindruck von der Materie gegeben wird) bevor man diese Angaben als Vorlage für einen eigenen Beitrag oder Bericht nutzt. Gleiches gilt übrigens auch für Arbeiten, welche als Quellenangaben in Abschlussarbeiten in MINT-Bereich genutzt werden, da auch dort Fehler auftauchen können. So hatte ich z.B. für meine Diplomarbeiten in Mathematik (und Informatik) jeweils auch die jeweiligen genutzten Aussagen (mit Beweisen) selbst geprüft.
pps. Mir ist übrigens egal, ob dieser Beitrag veröffentlicht wird, obwohl ich angegeben habe, dass der Beitrag veröffentlicht werden darf.
wie im ersten teil dargestellt, geht es genau um den unterschied, ob es sich um eine endliche darstellung oder um eine unendliche darstellung mit grenzwerten handelt.
ebensogut könnte man anzweifeln ob 1,0=1 oder 3,14...=pi ist.
man kann in dem zusammenhang auch offene und abgeschlossene mengen diskutieren. zum beispiel ist 1-epsilon element von [0,1), aber 0,9 periode und 1 sind es nicht.
man kann auch sagen das 0,9 periode in einer epsilon umgebung von 1 ist, daraus folgt aber noch kein ungleich 1.
es ist ein wohlbekanntes phänomen das aus einem < im unendlichen grenzwert ein <= werden kann.
die diskussion mit aufrunden von 0,999 ergibt sich nur im falle einer endlichen darstellung. dies tritt zum beispiel häufig beim vergleich reeller zahlen und maschinenzahlen (die naturgemäß endliche darstellungen sind). dann gibt es viele rechnungen zur fehlerfortpflanzung oder stabilitätsanalysen.
der verweis auf nichtstandart analysis ist so FALSCH.
in der nichtstandard analysis werden die reellen zahlen um hyperreelle zahlen erweitert. so gibt es außer 0,9 periode (dem grenzwert) auch die hyperreelle zahl (0.9;0.99;0.999;...). Diese 2 Zahlen sind VERSCHIEDEN.
Erstere ist auch in nichtstandart analysis gleich 1, letztere nicht.
Es gibt in der Wissenschaft auch weniger apokalyptische Sichtweisen auf die Klimaerwärmung...
27.03.2022, R. Maçonhttps://www.swr.de/swr2/leben-und-gesellschaft/hans-von-storch-das-eigentliche-problem-ist-die-besserwisserei-100.html
Ps: Befragen Sie Herrn Quaschning doch einmal, wie er das Speicherproblem von volatilen Energieträgern wie Wind und Sonne lösen will? Hat er dazu vielleicht etwas Neues in seinem Buch geschrieben? Und warum darf man giftiges Erdgas in Erdkavernen speichern aber nicht ungiftiges CO2, das bei CSS anfällt? Und warum dürfen wir nicht die statistisch gesehen gesundheitlich unproblematische Atomkraft (zumindest im erdbeben- und tsunamisicheren Deutschland) nutzen?
Hypermiling anstatt Preise an der Tankstelle runter
27.03.2022, Daniel HommesAchso. Welches Auto solche Verbräuche ermöglicht? Ein Toyota Yaris Hybrid von 2016 mit Technik aus dem Toyota Prius. Meine Reifen halten 150.000 km und auch sonst nichts kaputt. Ist auch ein Faktor die Kosten 0,18€/km Gesamtkosten. In der IT heißt es TOC Total Cost of Ownership. Oder zu Deutsch was kostet mich das Auto von Anschaffung bis zur Entsorgung.
2 Umdrehungen
26.03.2022, Sascha PietzkaDie Münze hat sich einmal um sich selbst gedreht nachdem sie einmal über ihren Umfang abgerollt worden ist. Versetzt man die Münze wie in der Lösung vorgeschlagen und rollt sie über die erste Münze ab bis sie eine weitere berührt, hat sie sich über 120° oder 1/3 des Umfangs abgerollt.
Diesen Schritt wiederholt man weitere 5 mal, macht ihn also insgesamt 6 mal. Damit wurde sie 6 mal über 1/3 ihres Umfangs oder insgesamt 2 mal über ihren Umfang abgerollt was wiederum 2 Umdrehungen um sich selbst bedeutet.
Berechnug - Arbeitsweg - Gegen Preissteigerungen
26.03.2022, tohuwabohuVon Berlin (Mitte) bis zur Grenze von Schleswig-Holstein sind es 244km. Da reichen die angegebenen 500km (hin und zurück) mal knapp über die Landesgrenze. Zudem ergibt der über den Link erreichbare Rechner für den Geschwindigkeitsvergleich (110 zu 130 km/h) bei 500km knapp 42 Minuten, anstelle der angegebenen 20.
Aber abgesehen davon stimme ich gerne zu.
Finanzierung:
Der Staat (das sind schließlich wir alle) muss diese Maßnahmen ja finanzieren bzw. die wegen fehlender Einnahmen entstehenden Lücken anderweitig auffüllen bzw. irgendwo anders im Haushalt Kürzungen vornehmen. Eine Finanzierung über Kredite belastet uns bzw. unsere Kinder dann in der Zukunft.
Arbeitsweg:
Zwar können Arbeitnehmer einen Teil ihres Aufwands für den Weg zwischen Wohnung und Arbeitsstätte entfernungsabhängig steuerlich absetzen, doch halte ich diese Förderung der Umweltzerstörung (Zersiedelung der Landschaft durch mehr Eigenheime in der Umgebung von Städten und Ausstoß von Abgasen) für falsch, denn zudem verlieren wir für die Bewältigung des Arbeitsweges auch viel Zeit. Selbstverständlich ist es schwer dieses einmal eingeführte System abrupt zu beenden, aber viele konnten während der Pandemie im Homeoffice arbeiten und dabei auch die Vorteile erleben, die der Wegfall des Pendeln bietet.
Arbeitsplatz und Wohnung liegen oft zu weit voneinander entfernt und es gibt leider oft kaum sinnvolle Alternativen zum Auto (zu weit und bei Regen oder Kälte zu unbequem fürs Fahrrad; Bus oder Bahn nicht vorhanden oder zu lange Takte).
Das hilft uns in der aktuellen Situation aber nicht weiter und eine gerechtere Unterstützung der Arbeitnehmer als Ausgleich für die unerwartet steigenden Preise (teilweise bestimmt hier nicht das tatsächliche Verhältnis von Angebot und Nachfrage, sondern die Spekulation auf eine zukünftige Verknappung an den Warenterminbörsen schon jetzt die aktuellen Preise - eine der negativen Auswirkungen unseres kapitalistisch geprägten Wirtschaftssystems) wäre nur mit einem höheren bürokratischem Aufwand realisierbar. So ist eine kurzfristige Hilfe nach dem Gießkannenprinzip verständlich. Währenddessen sollten gerechtere Wege, die besonders den Geringverdienern helfen, ausgearbeitet werden.
Gegen Preissteigerungen:
Letztendlich müssen wir uns alle aber darauf einstellen, dass Putins Krieg, der auch unsere Freiheit bedroht, auch unseren Wohlstand schmälert.
Da wir selbst nicht militärisch eingreifen wollen, müssen stattdessen alles dafür tun, Russlands Wirtschaft zu schwächen, um so das Leiden in der Ukraine zu beenden. Dabei müssen wir aber auch unsere eigenen ärmeren Bürger bei den deshalb steigenden Lebenshaltungskosten unterstützen. Vielleicht können wir uns in diesem Zusammenhang auch auf globale Regeln an den Warenterminbörsen (z.B. Transaktionssteuer, Mindesthaltezeiten) einigen, um die preistreibenden Aktionen der Spekulanten zu beschränken.
@ Michael (25.3.22)
26.03.2022, Paul Kalbhen1 = lim (n gegen Unendlich) 9 * Summe [ 10 (exp -n) ] für n > 0 ganzzahlig.
Tempolimit statt Tankrabatt
26.03.2022, Robert WeymannNetter Artikel, aber eine Erklärung, warum die vorgestellte Berechnung von Pi-Ineffizient ist, fehlt
26.03.2022, Björn StuhrmannMit einem wenig Glück (oder Pech) - abhängig von der Perspektive¹ - hätte die Kreiszahl Pi auch durch den sogenannten "Indiana PI-Bill" (im 19ten-Jahrhundert) Einzug in die Gesetzgebung (im US-Bundesstaat Indiana) gefunden, wobei man durch das Gesetz dann den Wert von PI auf einen Wert vermeintlich festgesetzt hätte (wobei der Wert allerdings zum Einen mehrdeutig war und zum Anderen nicht dem Wert der Kreiszahl Pi, wie diese für die Berechnung des Umfangs eines Kreises etc. benötigt wird, entsprochen hatte). Mehr hierzu siehe englischsprachige Wikipedia zum Indiana Pi-Bill.
Ansonsten ruft der Artikel bei mir Erinnerungen an eine "Numerik II"-Vorlesung² (welche ich vor wohl inzwischen 15 Jahren besucht hatte) hervor, wobei dort eben auch die Herleitung der "gewöhnlichen" Funktion aus der iterativen (bzw. rekursiven) Funktion im Detail behandelt worden war (wenn man die Herleitung natürlich wegläßt, ist das Ganze natürlich nicht mehr "kompliziert"³).
Im Artikel fehlt übrigens eine Begründung, warum nun diese Art und Weise der Berechnung der Kreiszahl Pi nun sehr ineffizient ist. Falls gewünscht - und dieses nicht von einem anderen Beitragsschreiber vorher gemacht wird - kann ich eine (längere) Begründung allerdings auch gerne nachliefern.
ps. In Teilgebieten der Mathematik (wobei ich die theoretische Informatik hier Mal auch als Teilbereich der Mathematik ansehe, da dort eben auch mit mathematischen Beweisen gearbeitet wird, und die theoretische Informatik aus der Mathematik hervorgegangen bzw. abgespalten wurde) in denen die Kreiszahl Pi eher keine Rolle, wird das Symbol Pi dann auch gerne für etwas anderes genutzt ;-).
¹) Aus Sicht der Realsatire wäre es natürlich schön gewesen, wenn man dieses Gesetzesvorhaben damals durchgebracht hätte und sich, aufgrund der darausfolgenden Konsequenzen, dann vielleicht auch bis zu den Juristen durchgedrungen wäre, dass nun "Mathematik > Rechtswissenschaften" ist, d.h. Gesetze (und Gerichtsurteile), welche der Mathematik widersprechen, nun eher "Käse" sind.
²) Lehrinhalte waren vor allem Algorithmen zur numerischen Lösung von (partiellen) Differentialgleichungen, wie z.B. Finite-Element-Methoden oder Runge-Kutta-Verfahren.
³) Hier ist nicht der Begriff Komplexität im Sinne der Komplexitätstheorie (Teilbereich der theoretischen Informatik) gemeint ;-).
Vielen Dank für die Anmerkung. Die Indiana-Pi-Bill ist wirklich eine skurrile Geschichte – die werde ich sicherlich auch in einer der Beiträge unterbringen. Danke fürs darauf aufmerksam machen :-)
Viele Grüße, Manon Bischoff
0,333... ist nicht gleich 1/3!
25.03.2022, Martin QuedzuweitVielleicht kann sich darauf einigen, dass der Darstellungsversuch 0,999... eine "ziemlich gute Näherung" von 1 ist. Praktisch relevant erscheint mir er mir allerdings nicht wirklich.
2 Umdrehungen
25.03.2022, Sascha PietzkaDie Münze hat sich einmal um sich selbst gedreht nachdem sie einmal über ihren Umfang abgerollt worden ist. Versetzt man die Münze wie in der Lösung vorgeschlagen und rollt sie über die erste Münze ab bis sie eine weitere berührt, hat sie sich über 120° oder 1/3 des Umfangs abgerollt.
Diesen Schritt wiederholt man weitere 5 mal, macht ihn also insgesamt 6 mal. Damit wurde sie 6 mal über 1/3 ihres Umfangs oder insgesamt 2 mal über ihren Umfang abgerollt was wiederum 2 Umdrehungen um sich selbst bedeutet.
Warum 0.9 Periode, (meiner Meinung nach) nicht 1 sein kann.
25.03.2022, MichaelDenn irgendwie bassieren ja all diese Rechnungen, auf der Annahme, dass 1/3=0,333... ist. Und wenn man diese Annahme treffen würde, würden all die Rechnungen, ja auch irgendwie Sinn ergeben, denn dann wäre 0,333...*3, ja das selbe wie 1/3*3, also 1. Aber wer hat den gesagt, dass 1/3=0,333...ist, 1/6=0,1666... ist oder 1/9=0,111... ist?
Denn um ehrlich zu sein, ist mir der Beweis dafür immernoch schleierhaft. Denn 1/3, ist zwar eine Dezimalzahl. Aber in erster Linie, ist sie eine Rechenoperation, nemlich 1:3.
Wenn wir jetzt aber 1:3 teilen wollen (wovon ich jetzt einfach mal ausgehe), werden wir aber feststellen, dass das gar nicht so leicht ist.
Im Bereich der Natürlichen Zahlen (oder von mir aus auch den Bereich der Ganzen Zahlen), ist es sogar unmöglich. Denn 1:3, lässt sich nicht klar teilen und ist daher nicht lösbar. Jetzt könnte man natürlich argumentieren, dass 1, ja im Bereich der Natürlichen Zahlen, auch nicht durch zwei Teilbar ist. Aber wenn wir die Menge 1, mit zehn mulitplizieren, sieht die Welt schon wieder ganz anders aus. denn dann kann man plötzlich 10:2=5 rechnen.
Bei 10:3, ist das immer noch nicht möglich.
Tatsächlich ist 10^n:3=x, (nEN), in diesem Zahlenbereich, für kein einziges n lösbar.
Jetzt stellt sich natürlich die Frage, was das mit dem Anfangsproblem zu tun hat, denn wir können ja, beispielsweise im Bereich der Rationalen Zahlen durchaus schreiben, dass 1:2=0,5 ist(ich glaube nicht, dass die Theorie, über Reelle Zahlen vollständig korrekt ist (was ich auch später noch erläutern werde) daher kann ich maximal über Rationale Zahlen sprechen).
Ganz einfach, wenn man dies schriftlich ausrechnet, rechnet man eigentlich folgendes:
1:2= n.l.
-> "eine Kommastelle nach rechts",
also 10:2=5, oder (1*10^1):2=5 (wahre Aussage!)
-> Ergo 1:2=0,5
Wir haben also gemerkt, dass die erste Stelle, kein Ergebnis liefert, darum haben wir erweitert und sind "eine Kommastelle nach rechts" gewandert. Denn wir können ja, wenn wir eine zahl n, nicht durch eine zahl x teilen können, schauen, ob wir n*10^y, durch eine Zahl x teilen können. Wenn das möglich ist, können wir als ergebnis dieser Rechung, (n*10^y):x mit y Nachkommastellen ermitteln. Also in unserem Beispiel 1*10^1:2=5 mit 1 Nachkommastelle, also 0,5.
Wenn wir aber versuchen, dass selbe bei 1:3 anzuwenden, werden wir scheitern, denn wie bereits zuvor erwähnt, ist die Gleichung (1*10^n):3, einfach nicht vollständig lösbar, denn es wird immer einen Rest geben (daher die Ausdrucksweise mit der Periode, da man so versucht sich dem Ergebnis anzunähern). Aber Tatsache ist doch, dass auch das nicht 100% richtig ist. Denn wir können uns unserem Zahlensystem, einfach 1, nicht vollständig durch 3 teilen. Darum haben wir versucht, uns mit dem Ausdruck 0,333... dem Anzunähern. Aber wirklich exakt, ist nur der Ausdruck 1/3, denn dieser sagt ja einfach nur aus, dass das Ergebnis einer Aufgabe, eben dem Ergebnis der Aufgabe 1:3 entspricht. Wir geben dadurch für die Aufgabe, also einfach nur eine Rechnung an, deren Ergebnis wir (noch) nicht bestimmen können, welche der Lösung der Aufgabe jedoch, so nah wie möglich kommt und immerhin anders als der Ausdruck, 0,333..., absolut korrekt ist.
Dadurch ergibt auch die Rechnung 0,333...*3, wieder Sinn, denn diese wäre dann einfach 0,999..., denn wir würden ja jede einzelne Ziffer, der 0,333... mit drei multiplizieren (so wie man das in der Mathematik halt eigentlich macht) und würden demzufolge auf 0,999... kommen.
Wäre das ein Verbrechen?
Meiner Meinung nach nicht, denn ja es würde vermutlich der Theorie der Reellen Zahlen, nicht entsprechen, denn die Existenz der Zahl 0,999..., wäre vermutlich (sogar ziemlich sicher) der direkte Vorgänger von 1, aber wir können doch nicht die Existenz von Zahlen bestreiten, nur weil diese nicht in unsere Bisherigen Theorien passen. Wir sollten lieber unsere Theorien überdenken (wie es beispielsweise auch Kopernikus tat und am Ende doch irgendwie Recht hatte, oder etwa nicht?) und einfach einsehen, dass es Dinge gibt, die wir immernoch nicht verstanden haben und Zugeben, dass wir morgen etwas schlauer als heute sein werden, weil wir eine weitere Theorie, zur Ergründung unserer Welt, ausschließen konnten.
Denn Tatsache ist, jeder der mir weißmachen will, dass zwei Verschiedene Zahlen, das selbe sind, wird scheitern. Denn ich kann mich einfach nicht mit dem Gedanken anfreunden, dass 1, dass selbe ist wie 2, oder dass 0,999..., dass Gleiche ist wie 1. Denn allein die 0, vor den ganzen neunen, sagt ja etwas anderes aus. Denn allein diese kleine Ziffer sagt ja, dass die linke Seite der Waage (oder Gleichung, also 0,999...), etwas "leichter", oder besser kleiner ist, als 1. Dadurch würde sich die Waage, wohl immer auf der Seite der eins, einen Bruchteil weiter nach unten Bewegen.
Wie dem auch sei, erst wenn mir jemand beweisen kann, dass 1/3=0,333... ist, wird er mich auch davon überzeugen können, dass 0,999... gleich 1 ist. aber bis dahin, halte ich mich an dem Wissen fest, was ich schon in der Grundschule gelernt habe. Nemlich dass zwei verschiedene Zahlen, niemals ein und die selbe sein können, egal ob das jetzt 1 und 2 sind, oder 0,999... und 1.
Da hilft alles schön reden (oder besser: schön rechnen) nichts.
Mathe ist toll!
25.03.2022, Joee^(i*Pi)+1 = 0
Da ist soviel drin: die Zahl e, Pi, die imaginäre Einheit i und es werden nur positive Zahlen addiert und das Ergebnis ist Null.
Es sind 8
25.03.2022, YaXDas wäre eine 8. Lösung.
Eine selbstzerstörende Zumutung
24.03.2022, Paul SZu Technologien selbst sind meine Kommentare meist recht unterqualifiziert, doch ich kann etwas zu dem Umfeld sagen, in dem sie sich durchsetzen müssen. Vielleicht sollte jemand mal vorrechnen, wie hoch das Einkommen sein muss, damit man sich um die Umwelt – oder Welt allgemein – scheren kann oder muss. Also, wo ungefähr die Finanzgrenze zwischen Geiz und Selbsterhaltung verläuft. Unter Berücksichtigung sonstiger Umstände, denn eine Harz-IV-Mutter mit zwölf Kindern wird vermutlich nicht zwanzig Stunden am Tag damit verbringen, den ökologischsten Kühlschrank zu nehmen: Sie nimmt den billigsten Schrott aus China und dreht die Stromrechnung dem Amt an.
Geld ist ja auch nicht alles. Wenn ich alles einschränke und alles verbiete, weil die Vernunft es gebietet, gebietet die Vernunft auch, alternative Freiräume zu eröffnen: Wenn ich weder Autobahnen noch Flugzeuge habe, bleibt mir nur blanker Hass übrig, um meinen Frust zu entladen. Die Käfighaltung der Städte hat bereits heute ähnliche psychologische Effekte, wie Massentierhaltung: Neurosen und kannibalistische Aggression. Je mehr Frust die Welt dazu packt, desto mehr Freiräume brauchen wir zur Kompensation. Wir hocken gerade im perfekten Sturm, einer Kettenreaktion entlädt all der Probleme, die wir über Jahrzehnte unterm Teppich gemästet haben, Frust über Frust über Frust ist vorprogrammiert. Irgendeine Form von Aggression entsteht immer daraus.
Ich hab ja gesagt, dass die Klimabewegung in eine größere Vision eingebettet werden muss, die alle begeistert, doch eine Politkorr-Apartheid, die Weißen Rasta-Locken verbietet, begeistert mich nicht – sie schreckt ab. Bigotterie dieser Art ist auch nur Gewalt, eine Form auf links gedrehte Intoleranz, ein Mittel, den anderen Schweinen im Stall das Ohr abzukauen, sich Freiraum zu verschaffen. Damit mehr Hühner in den Käfig passen, unterteilen wir ihn in kleinere Käfige – was soll die Scheiße? So was nennt man Zermalmen. Wenn man eh gerade in der globalen Schrottpresse hockt, sind Forderungen, auf Eigenheime, Fliegen, Auto zu verzichten, reinster Wahnsinn. Die Weltrettung verkommt zu einer puritanischen Flagellanten-Bewegung, bereut eure Sünden, fastet und begrabt euch in euren Betonsärgen, bestraft euch selbst, bevor Frau Holle euch straft. Da tätowiere ich mir lieber ein Z wie Amoklauf auf den Hintern und gehe jemanden töten, egal wen, bevor all die anderen Zombies mich in Stücke reißen, bin ich zwanzig Sekunden lang frei. Wenn die eigene Gartenzwerg-Spießerhöllen-Paradies-Vision so abstinkt, dass daneben für manche selbst Hitler gut aussieht, sollte man vielleicht ins Grübeln kommen.
Die großen Versklaver, damals wie heute, locken nicht mit Sklaverei, sondern mit Freiheit. Wir bringen den Laden auf Vordermann, dann geht’s auf zu neuen Ufern. Dieser Teil der Vision ist OK, nur die Realität sah anders aus – ist halt so bei Zuhältern und Loverboys, der Putin lockt ja auch die Armen der Dritten Welt und schickt sie für sich auf den Söldner-Strich. Die Energie, die wir nicht nützen können, die uns zerstört, statt uns vorwärts zu bringen, ist nicht nur in der Umwelt, sondern auch in uns selbst. Solarkollektoren, Windräder, erzeugen keine Energie, sie konvertieren die, die schon da ist. Und genauso machen es Visionäre, des Guten wie des Bösen, mit der ungenutzten Energie der Menschen. Es ist eine erneuerbare Energiequelle, auf die die Öko-Bewegung einfach scheißt, für sie sind wir alle nur eine Krankheit, die den Schlaf der Marienkäfer trübt und Gänseblümchen husten lässt. Für die Politkorr sind wir nur Missgeburten nach der Prokrustes-Skala, die gleich die Bettlänge nachjustiert, falls mal einer genau hineinpassen sollte, nur um strecken und hacken zu können.
All die Milliarden Verlierer des Kapitalismus sehnen sich nach Hoffnung. Sie suchen sie im Islamismus, bei den Rechten, in der Flucht nach Europa. Wir ertränken sie im Mittelmeer, bombardieren sie, sperren sie in Lager, Gettos und Bürokratie. Glauben Sie, die verschwinden genauso auf Nimmerwiedersehen, wie das CO2 aus dem Schornstein?
Ich mag keine globale Erwärmung, ich vertrage schon keine heißen Sommer – ich bin Pole und kann mein Maul nicht halten, mein natürlicher Lebensraum ist Sibirien. Doch ich mag die neuen Energien auch einfach nur, weil sie billig und unerschöpflich sind. Ich hocke im Sandwich zwischen einer geothermischen Dampfmaschine und einem kosmischen Fusionsreaktor und verpeste mir den Wigwam, indem ich kompostierte Dinos verbrenne – und erschlage die anderen Neandertaler mit Steinen im Kampf darum, weil's in der Eiszeit sonst nix zum Heizen gibt? Das war vielleicht für Opi Zivilisation und Fortschritt, ich find's nur peinlich. Ich hocke auf einem nahezu menschenleeren Planeten und ersticke in überfüllten Oasen, weil ich Sibirien, Sahara, Antarktis, Zentralasien, die Meere, nicht erschließen kann, gefangen wie die Frühmenschen in Afrika, für die winterliches Europa so tödlich war, wie der Mars. Ah ja, da wollte ich nächsten Dienstag auch noch hin, haben sie mir in den Achtzigern versprochen, als wir noch Hoffnung hatten.
Die Energy-for-Bigotry-Bewegung gibt mir keine Hoffnung, die Alternativen irgendwelcher Putins, Trumps, Führer, Päpste, Kalifen, sind eher ein Grund, der Welt den Gnadenschuss zu geben, um ihre Rest-Würde zu wahren. Solange nichts Interessanteres auftaucht, bleibt mir Fliegen.
Bis dahin pflanzen wir Europa möglichst schnell mit Solarpanelen und Propellern voll. Welche Vision auch gewinnen sollte – sowohl Neuanfang wie Selbstzerstörung werden Kraft brauchen. Und auch die Kraft der Menschen wird die Zukunft mitgestalten – so oder so.
Ein paar kleinere Kommentare (welche dann doch "länger" wurden)
24.03.2022, Björn Stuhrmann1. Der Beweis von Perelman, dass jede einfach-zusammenhängende, kompakte. unberandete. dreidimensionale Mannigfaltigkeit homöomorph zur 3-Sphäre ist, gab es schon 2002 und nicht erst 2003, die Veröffentlichung des Beweises im Arxiv erfolgte aber in Etappen Ende des Jahres 2002 und 2003 (so dass man die Jahreszahl 2003 unter Umständen so stehen lassen kann).
2. Wenn man nicht nur die üblichen heutzutage zur Mathematik direkt zugeordneten Gebiete betrachtet, sondern auch die Gebiete der theoretischen Informatik (oder technischen Informatik), dann ist die gebrachte "Definition" des Begriffs "dynamisches System" zu einschränkend. In der Systemtheorie werden auch andere zeitabhängige Systeme, als dynamische Systeme betrachtet, bei denen nicht unbedingt mehr nur die Bewegungen eines Punkts in einer geometrischen Umgebung untersucht werden. Es kann natürlich sein, dass man in vielen Fällen ein solches dynamisches System durch Transformation und Uminterpretation vielleicht dahingehend uminterpretieren kann, dass man die Bewegung eines Punktes (wobei der Punkt dann z.B. ein Parameter wäre oder eine Vektor von Parametern, dessen Verhalten man bei der Simulation eines Modells eines dynamischen Systems untersuchen will) in einer geometrischen Umgebung untersucht (sofern man eben die ganzen verschiedenen Parameter des Systems als Raum oder geometrische Umgebung ansieht), trotzdem wäre eine etwas weiter gefasste Definition wünschenswerter. Z.B. eine Umformulierung der Passage
"Mit leistungsfähigeren Computern erregte Ende der 1970er Jahre ein neues mathematisches Gebiet die Aufmerksamkeit vieler Wissenschaftler: die dynamischen Systeme. Dabei geht es darum, die Bewegung eines Punkts in einer geometrischen Umgebung zu untersuchen, etwa die Bahn eines Planeten. Auch Sullivan fand Gefallen an dem Thema, ebenso wie die Öffentlichkeit, die den Begriff der damit verbundenen Chaostheorie aber bis heute häufig missinterpretiert."
zu
"Mit leistungsfähigeren Computern (welche auch die Simulation von "komplexeren" Systemen ermöglichte) erregte Ende der 1970er Jahre ein neues mathematisches Gebiet die Aufmerksamkeit vieler Wissenschaftler: die dynamischen Systeme. Modelle von dynamische Systeme werden häufig für die Simulation des zugehörigen dynamischen Systems verwendet. Z.B. kann man die Bewegung eines Punkts in einer geometrischen Umgebung, eta die Bahn eines Planeten, als ein dynamisches System ansehen. Auch Sullivan fand Gefallen an dem Thema, ebenso wie die Öffentlichkeit, die den Begriff der damit verbundenen Chaostheorie aber bis heute häufig missinterpretiert."
Ansonsten werden dynamische Systeme, sofern damit nicht nur Systeme von Differentialgleichungen (bzw. partiellen Differentialgleichungen) gemeint sind, vor allem in Lehrveranstaltungen der Informatik betrachtet, wobei die zugehörigen Vorlesungen dann durchaus Namen wie "Modellgestützte Analyse und Optimierung" oder ähnliches tragen können, denn die Definition und Implementierung von Modellen für eine Simulation der Modelle wird eben sehr häufig in der Informatik gemacht.
3. Es ist zwar richtig, dass bei chaotischen Systemen das Systemverhalten sehr empfindlich von den Anfangsbedingungen (bzw. Startwerten der Parameter des Systems) abhängt, aber dann muss allerdings bei einem chaotischen System nicht jeder Parameter des Systems einen solchen empfindlichen Einfluss auf das Systemverhalten haben. Auch wäre es schön - obwohl dieses dann vielleicht den Rahmen des Artikels sprengen könnte -, wenn man schon schreibt, dass der Begriff Chaostheorie häufig missinterpretiert wird, warum man ein System mit einem solch empfindlichem Verhalten des Systems auf die Anfangsbedingungen nun chaotisches System nennt, Die Gründe dafür liegen zum Einen daran, dass eben häufig mittels numerischer Mathematik nun das Verhalten ein solches System simuliert wird, und eben durchaus Rundungsfehler bei der Berechnung von zukünftigen Werten zu einem anderen Verhalten führen können (als das System voraussagt) - wobei man hier auch noch das Wort Maschinengenauigkeit oder ähnliches einbauen könnte (oder auch darauf hinweisen könnte, dass sich anfängliche Rundungsfehler zu noch größeren Folgefehler zu späteren Zeitpunkten führen können). Und zum Anderen durchaus auch bei der Messung der Startwerte für die Simulation eines Modells eines real existierenden Systems eben die Messgeräte zu ungenau sein könnten und eben auch Messfehler bei den Messungen auftreten können, wodurch dann auch wieder das Systemverhalten des reallen Systems sehr stark vom eigentlich durch die Simulation des Modells vorausgesagtem Verhalten abweichen können.
(Kleiner Witz zur Numerik am Rande: 1+1=3, wobei dieses für große 1 gilt - sofern man eben jede reelle Zahl jeweils nur ohne Nachkommastellen schreibt und dementsprechend rundet, allerdings für die Berechnung selbst z.B. doch die eigentlichen Zahlen auf der rechten Seite - d.h. ohne Rundung - mit einer oder zwei Nachkommastellen nutzt, aber dann das Ergebnis eben wieder auf 0 Nachkommastellen rundet...).
4. Zentraler Untersuchungsgegenstand der Topologie sind topologische Räume, wobei ein topologischer Raum nun ein Paar ist, welches aus einer Grundmenge P (welche häufig Punkte genannt werden) und einem System X von Teilmengen der Grundmenge besteht, wobei zumindest die leere Menge und die Grundmenge zu X gehören (d.h. Elemente von X sind), jeder endliche Durchschnitt aus Elementen von X wieder ein Element von X ist und weiterhin jede Vereinigung von Elementen aus X wieder ein Element von X ist (man beachte, dass hierbei nicht gefordert ist, dass die Vereinigung der Elemente nun endlich ist).
Topologische Mannigfaltigkeiten sind gewissermaßen nur eine Teilmenge aller topologischen Räume oder anders ausgedrückt bei topologischen Mannigfaltigkeiten handelt es sich um topologische Räume, welche noch ein paar weitere Eigenschaften besitzen. Allgemein werden (topologische) Mannigfaltigkeiten als topologische Räume angesehen, welche lokal betrachtet dem n-dimensionalen euklidschen Raum gleicht (für ein beliebiges n), wobei eine formale Definition dann doch etwas "komplizierter" ist. Lokal im vorherigen Satz bedeutet dabei, dass man jeweils einen Punkt und eine dazugehörige Umgebung des Punktes betrachtet, wobei der Umgebungsbegriff nun auch ein zentraler Begriff der allgemeinen Topologie ist.
Je nach Teilbereich der Mathematik (z.B. Analysis) werden die jeweiligen dort betrachteten Mannigfaltigkeit noch mit weiterer Struktur versehen (und dem entsprechend auch etwas anders genannt, wie differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Banach-Mannigfaltigkeiten und nur die jeweiligen Präfixe, wie differenzierbar, wegläßt, wenn aus dem Kontext hervorgeht, um welche Art von Mannigfaltigkeiten es sich jeweils handelt).
5. Ich bin mit dem Satz
"Mannigfaltigkeiten sind besonders angenehme Figuren: Sie besitzen keine Ecken oder Kanten, kein Anfang und kein Ende, wie eine Kugel." nicht ganz einverstanden.
Sofern hier mit Kugel nun eine offene Menge, welche nur aus den inneren Punkten der Kugel besteht, meint, so könnte ich die Aussage, im Anbetracht der Definition von topologischer Mannigfaltigkeit, akzeptieren. Aber dann ist auch jeder Würfel, nach Entfernen der Oberfläche des Würfels, womit die Ecken und Kanten des Würfels damit mit entfernt werden, nun eine topologische Mannigfaltigkeit, da dieser Würfel (ohne Oberfläche) die Definition der topologischen Mannigfaltigkeit erfüllt - die Punkte, welche die Definition nicht erfüllen wurden ja entfernt. Oder anders ausgedrückt man erhält aus jeder beliebigen (zusammenhängende) n-dimensionalen Objekt nun durch die Entfernung der Oberfläche, eine topologische Mannigfaltigkeit. Natürlich kann man einen solchen Würfel (ohne Oberfläche) anschließend - ohne die Topologie zu verändern - dann in eine Kugel (ohne Oberfläche) transformieren. Wenn man nun unter topologischen Mannigfaltigkeiten solche versteht, welche auch selbst eine abgeschlossene Menge sind, wodurch man eine vereinfachte Klassifikation der Mannigfaltigkeiten erhält, so wären weder die Kugel ohne Oberfläche noch der Würfel ohne Rand, als Mannigfaltigkeit anzusehen (obwohl es sich eigentlich um Mannigfaltigkeiten im Sinne der Definition topologischer Mannigfaltigkeiten handelt). Man hätte wohl auch dazu schreiben können, dass man hier eine "vereinfachte" Form von topologischen Mannigfaltigkeiten betrachtet und eben nicht alle topologischen Mannigfaltigkeiten.
6. Die Aussage, dass sich Sullivan direkt der Hauptaufgabe des Bereichs der Topologie, dem Klassifizieren so genannter Mannigfaltigkeiten befasst, kann man eigentlich nicht so stehen lassen. Da sich eben nur der Teilbereich der geometrischen Topologie vor allem mit topologischen Mannigfaltigkeiten und der Klassifikation der topologischen Mannigfaltigkeiten befasst, wobei die Einteilung der Topologie in verschiedene Teilbereiche (allgemeinte Topologie, algebraische Topologie und geometrische Topologie) aufgrund der Fortschritte in der Topologie Mitte des letzten Jahrhunderts gemacht wurde. Andere Teilbereiche der Topologie beschäftigen sich mit anderen Fragestellungen. Weiterhin ist auch die Knotentheorie nun als Teilgebiet der geometrischen Topologie anzusehen. Sullivan hatte sich übrigens vor allem mit dem Entfernen von Teilen einer Mannigfaltigkeit und dem Ersetzen des entfernten Teils der Mannigfaltigkeit durch eine andere Mannigfaltigkeit (also durch die Anwendung einer Art "Chirugie" auf Mannigfaltigkeiten) beschäftigt, wobei diese Methoden vor allem bei höher dimensionalen Mannigfaltigkeiten angewendet werden (aufgrund der schwierigeren Visualisierung/Vorstellung), und diese Methoden bei der Klassifikation der topologischen Mannigfaltigkeiten helfen.
7. Auch mit der Aussage
"Der dreidimensionale Fall wird schon schwieriger, denn dafür muss man sich eine dreidimensionale Oberfläche in einem vierdimensionalen Raum denken. "
bin ich so nicht ganz einverstanden, da nach dem Einbettungssatz von Whitney jede n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Einbettung im (2n)-dimensionalen Raum besitzt. Allerdings besitzen differenzierbare Mannigfaltigkeiten noch etwas mehr Struktur als topologische Mannigfaltigkeiten, so dass vielleicht für topologische Mannigfaltigkeiten der Dimension n nun eine Einbettung in einem (n+1)-dimensionalen Raum ausreichend ist. Aber falls dafür kein Beweis existiert, würde ich vorschlagen die Aussage zu
"Der dreidimensionale Fall wird schon schwieriger, denn dafür muss man sich eine dreidimensionale Oberfläche in einem mindestens vierdimensionalen Raum vorstellen (maximal sechsdimensionalen Raum)."
zu ändern. (In der Laudatio steht übrigens mindestens vierdimensional).
8. Es gibt unterschiedliche Arten, wie man topologische Mannigfaltigkeiten klassifizieren kann. Eine Möglichkeit ist mittels Homotopie-Gruppen und eine weitere Möglichkeit wäre mittels Homologie-Gruppen. Auch mit "rational homotopy theory", welches eine Vereinfachung der Homotopie-Theory (Homotopie-Gruppen) ist, kann man nun topologische Räume (oder topologische Mannigfaltigkeiten) versuchen zu klassifizieren, diese Theorie wurde von Sullivan mit begründet (und die Vereinfachung führt dazu, dass diese zugehörigen Homotopie-Gruppen, da durch die Vereinfachung Torsionselemente ignoriert werden, einfacher zu berechnen sind).
9. Weitere Beiträge von Sullivan zur geometrischen Topologie waren Beiträge zur Surgery-Theory, bei der aus (topologischen) Mannigfaltigkeiten nun Teile herausgeschnitten und durch andere Ersetzt werden, wobei die Surgery-Theorie eben vor allem bei höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten (ab Dimension 5) gut angewendet werden kann. Die Surgery-Theorie hilft darüberhinaus vor allem bei der Fragestellung, ob nun topologische Mannigfaltigkeiten auch mit einer "differenzierbaren Struktur" versehen werden können (und falls ja, mit wievielen verschiedenen), wobei die Fragestellung für die Dimension 4 noch offen ist. Bei der Fragestellung handelt es sich um die Verallgemeinerung der Vermutung von Poincaré (Generalized Poincaré Conjecture). Durch Perelman wurde diese Fragestellung wohl für den dreidimensionalen Fall mitbeantwortet (durch die Beantwortung der Vermutung von Poincaré) und eben durch die Surgery-Theory (und eben dabei wohl mit durch Sullivan) für die die mindestens fünfdimensionalen topologischen Mannigfaltigkeiten.
10. Erst beim Lesen der verlinkten Laudatio und ein anschließenden Blick auf die englischsprachige Wikipedia-Artikel z.B. bzgl. "Surgery-Theory" bin ich schlauer geworden, was nun wirklich Sullivans Beitrag zu der Klassifikation der topologischen Mannigfaltigkeiten war (und ist).
ps. Wenn man einen Artikel eines Journalisten als Vorlage nimmt (oder eine Meldung einer Presseagentur) sollte man im Prinzip jeweils die jeweiligen Angaben auch Prüfen (da auch Journalisten, auch wenn es sich dabei um Wissenschaftsjournalisten handeln könnte, durchaus manche Sachen verkürzt oder ungenau wiedergegeben haben können, wobei durch diese Verkürzung oder ungenaue Wiedergabe ein falscher Eindruck von der Materie gegeben wird) bevor man diese Angaben als Vorlage für einen eigenen Beitrag oder Bericht nutzt. Gleiches gilt übrigens auch für Arbeiten, welche als Quellenangaben in Abschlussarbeiten in MINT-Bereich genutzt werden, da auch dort Fehler auftauchen können. So hatte ich z.B. für meine Diplomarbeiten in Mathematik (und Informatik) jeweils auch die jeweiligen genutzten Aussagen (mit Beweisen) selbst geprüft.
pps. Mir ist übrigens egal, ob dieser Beitrag veröffentlicht wird, obwohl ich angegeben habe, dass der Beitrag veröffentlicht werden darf.
fehldarstellung, eindeutig 0,9 periode immer =1
23.03.2022, Andre Brennebensogut könnte man anzweifeln ob 1,0=1 oder 3,14...=pi ist.
man kann in dem zusammenhang auch offene und abgeschlossene mengen diskutieren. zum beispiel ist 1-epsilon element von [0,1), aber 0,9 periode und 1 sind es nicht.
man kann auch sagen das 0,9 periode in einer epsilon umgebung von 1 ist, daraus folgt aber noch kein ungleich 1.
es ist ein wohlbekanntes phänomen das aus einem < im unendlichen grenzwert ein <= werden kann.
die diskussion mit aufrunden von 0,999 ergibt sich nur im falle einer endlichen darstellung. dies tritt zum beispiel häufig beim vergleich reeller zahlen und maschinenzahlen (die naturgemäß endliche darstellungen sind). dann gibt es viele rechnungen zur fehlerfortpflanzung oder stabilitätsanalysen.
der verweis auf nichtstandart analysis ist so FALSCH.
in der nichtstandard analysis werden die reellen zahlen um hyperreelle zahlen erweitert. so gibt es außer 0,9 periode (dem grenzwert) auch die hyperreelle zahl (0.9;0.99;0.999;...). Diese 2 Zahlen sind VERSCHIEDEN.
Erstere ist auch in nichtstandart analysis gleich 1, letztere nicht.
https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahl