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Der Startwert 2ⁿ – 1 (n>0) der modifizierten Collatz-Folge (U(n)=n/2 für n gerade, (3n+1)/2 für n ungerade) startet mit n Aufstiegen .

Beweis durch vollständige Induktion:

Behauptung: der m-te Folgewert (0≤m≤n, n>0) hat die Form (3^m)(2^{n – m}) – 1.
Für m<n ist dies ein ungerader Wert, da ein Faktor des Produktes gerade ist (2^{n – m}),
für m=n ist dies ein gerader Wert.


Verankerung: Für m=0 ist dies (3⁰)(2^{n – 0}) – 1 = 2ⁿ – 1. Dies ist der Startwert, und er ist ungerade (für n>0).

Schluss von m auf m+1: Der (m+1)-te Wert ist:
(3((3^m)(2^{n – m}) – 1) +1)/2
= ((3^m+1)(2^{n – m}) – 3 + 1)/2
= (3^m+1)(2^{n – m})/2 – 2/2
= (3^m+1)(2^{n – m – 1}) – 1
= (3^m+1)(2^{n – (m+1)}) – 1
qed
Das m-te Glied ist ungerade (für m<n), da der Faktor (2^{n – m}) des Produktes gerade ist, und ist damit ein Aufstieg.
Wenn ich jetzt n zwar endlich, aber über alle Maßen steigen lasse, dann wird es diese Anzahl Aufstiege geben, insbesondere fällt er nach diesen n Aufstiegen nicht unter seinen Startwert.
Wenn ich n>2739 mache, dann habe ich Folgen, die nach mehr als 2739 Folgegliedern im „Loch“ (1) landen.