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Ich habe mit Spannung dem Artikel über Tropische Geometrie entgegen gesehen und mir eine motivierende, leicht verständlichen Einführung erhofft; leider wurde diese Hoffnung nicht erfüllt.
Es liegt nicht daran, dass die Mathematik zu schwierig wäre, um sie allgemein verständlich zu schildern, wie der online verfügbare Artikel "What is... Tropical Geometry?" von Eric Katz (https://www.ams.org/publications/journals/notices/201704/rnoti-p380.pdf) beweist, sondern der verwirrenden Notation und Begriffsverwendung.
So tauchen die Buchstaben a und b sowohl als Parameter des Beispiels einer Polymomiellen Gleichung und auch als Real und Imaginärteil komplexer Zahlen auf. Weiter wird erwähnt, dass x und y der Polynomiellen Gleichung auch komplexe Zahlen sein können, aber es wird nicht erwähnt, ob und welche Bedingungen für die konstanten Faktoren gelten.
Das Beispiel mit der Amöbe x+y-1=0 ist ebenfalls sehr undurchsichtig: ersetzt man x und y durch die Logarithmen ihrer Beträge, so erhalte ich log(|x|)+log(|y|)-1=0, was für mich deutlich komplizierter aussieht als die ursprüngliche Gleichung! Wie kommt man dann aber auf v=log(e^u + 1) als begrenzende Kurven der Amöbe und, welchem Koordinatensystem entstammen u und v?
Ich habe den Artikel nicht weiter als die ersten beiden Seiten gelesen und frage mich, wie ein solches Negativbeispiel eines populärwissenschaftlichen Artikels es in Spektrum der Wissenschaft schaffen konnte.
Stellungnahme der Redaktion
Lieber Herr Weis,
es tut mir Leid, dass Ihnen unser Artikel zur tropischen Geometrie nicht gefallen hat.
Dass die Buchstaben a und b sowohl in der polynomialen Gleichung als auch bei der Definition des Real- und Imaginärteils komplexer Zahlen auftaucht, ist in der Tat unglücklich und vermeidbar. Ansonsten sind a und b (bei der Definition komplexer Zahlen) als reelle Konstanten benannt, siehe »In solchen Fällen besteht jede Variable x = a + ib aus zwei reellen Koordinaten a und b …«.
Zu der Gleichung x + y = 1: Sie sieht auf den ersten Blick tatsächlich sehr harmlos aus. Wenn man aber zulässt, dass x und y komplexe Werte annehmen, beschreibt die Gleichung keine einfache Gerade mehr. Es handelt sich dabei stattdessen um eine zweidimensionale Oberfläche in einem vierdimensionalen Raum. Das lässt sich schon nicht mehr richtig visualisieren. Um das Ganze graphisch darzustellen, eignet sich deshalb die Methode, statt x und y direkt, die Logarithmen ihrer Beträge zu studieren – auch wenn das erstmal komplizierter erscheint. Durch die Betragsfunktion tauchen aber keine komplexen Werte mehr auf, sondern bloß noch reelle. Dadurch wird aus dem Problem in vier Dimensionen ein zweidimensionales.
Es ist also nicht so, dass man x und y durch die Logarithmen ihrer Beträge ersetzt, sondern man wählt einen anderen Blickpunkt: Statt x und y in einem (vierdimensionalen) Koordinatensystem aufzutragen, wählt man ein anderes (zweidimensionales) Koordinatensystem mit u und v – das eine Art Projektion darstellt.
Da u = log|x| und v = log|y|, so dass |x| = exp(u) und |y| = exp(v) ergibt, lohnt es sich, die Geradengleichung durch ihre Beträge auszudrücken: y = 1 – x ist gleichbedeutend mit:
Falls x > 0: y = 1 – |x|
Falls x < 0: y = 1 + |x|
Fügt man nun noch die Beträge für y ein, ergeben sich weitere Fallunterscheidungen:
Falls x > 1: |y| = |x| – 1
Falls 1 > x > 0: |y| = 1 – |x|
Falls x < 0: |y| = 1 + |x|
Setzt man nun |x| = exp(u) und |y| = exp(v) ein, dann folgt:
v = log(exp(u) – 1), für u > 0
v = log(1 – exp(u)), für u < 0
v = log(exp(u) + 1), für alle u.
Wenn man diese Gleichungen nun in ein Koordinatensystemen einzeichnet, zeichnen sich die Begrenzungen der Amöbe ab.
Natürlich handelt es sich bei y = 1 – x um ein sehr einfaches Beispiel, das man in der algebraischen Geometrie auch direkt untersuchen kann, ohne den Umweg über die Tropen zu machen. Der Autor des Artikels hat aber vermutlich diese Gleichung gewählt, weil sie dennoch wichtige Eigenschaften der tropischen Geometrie veranschaulicht.
Ich hoffe, ich konnte Ihnen mit den Erklärungen weiterhelfen – vielleicht finden Sie ja doch noch Gefallen an dem Artikel.
Die Beschreibung der Stromerzeugung in Energiespeichern trifft so nur auf Alkalimetall-Interkalations-Akkus zu. Bei allen anderen galvanischen Elementen werden an den Polen Stoffe oxidiert (meist ein unedles Metall wie z.B. Kalium) bzw. reduziert (also die Elektronen des elektrischen Stroms auf Stoffteilchen übertragen, z.B. auf Sauerstoff).
Als Meditations-Trainer, insbesondere im Bereich von Führungskräfteentwicklung, verwende ich oft das "Nutzenargument" der erforschten wünschenswerten Nebenwirkungen von Meditation. Aber da wir im "Spiegel" der Meditation nicht nur das Schöne zur Kenntnis nehmen, sondern auch alles Unangenehme, muss ich darauf hinweisen, dass angenehme wie unangenehme Erfahrungen entstehen werden. Und dass es zur Übung gehört, diese - alle - Erfahrungen mit der gleichen Distanz zu beobachten wie den Atem oder die weiße Wand vor mir. Außerdem weise ich darauf hin, dass wir die Motivation der angenehmen Nebenwirkungen im Prozess des Meditierens außen vorlassen sollten: wer kann schon hier-jetzt urteilsfrei wahrnehmen, was ist, und gleichzeitig immer darauf warten, wann endlich die schönen versprochenen Erfahrungen eintreten?
Das alles ist besonders in Unternehmen, wo Achtsamkeit auch mal gern als Vorwand dafür verwendet wird, noch mehr Stressresilienz und folglich mehr Leistung von Mitarbeitern zu verlangen, manchmal schwer vermittelbar. Sie wollen natürlich nur den Nutzen.
Aber wie sagt schon der Amerikaner: "There ain't no free lunch" - Königswege gibt's nicht.
Gut, dass Sie darauf hinweisen! In einer Facebook-Debatte wurde ich von allen anderen Kommentatoren ausgelacht, als ich ähnliche Aussagen machte, die aus einer streckenweise sehr intensiven Meditationserfahrung von 40 Jahren stammte. In den traditionellen Schulungen von Indien, Tibet, Japan und anderen Teilen Asiens war die Praxis ohne die Anleitung durch eine erfahrene Lehrperson undenkbar! Denn der Zweck der Übung ist ja gerade die Konfrontation mit den negativen Gefühlen. Wie will man einen Hausputz machen, ohne mit Schmutz konfrontiert zu werden? Zumal, wenn es der erste nach 20 oder 30 Jahren ist! Ziel der Übung ist ja zu erkennen, dass es unser eigener Geist ist, was wir erfahren; dass wir unsere Gedanken, Ängste, Wünsche und Überlegungen selber schaffen, mit denen wir die wahrnehmbare Welt kommentieren, abweisen, verlangen oder einordnen. Das kann eine lebensverändernde Erkenntnis sein. Wer den Leuten Meditation in einem Wellnesspaket verkauft, ohne auf diese Wirkungen hinzuweisen, dreht ihnen ein gefährliches Mogelpaket an. Wer genügend Erfahrung damit hat, wird sicher nicht auf diese "Warnung" verzichten, die eigentlich Erfolg verheißt.
Meditation ist eine grundsätzliche Technik, sein Inneres Gedankenchaos zur Ruhe zu bringen. Die Wege der Meditation sind sehr unterschiedlich, wie im Text angedeutet. Das Ziel der Meditation ist bei den Yogis, die Wogen der Gedanken zu glätten (Yoga vritti niroda), um an den Kern seines Wesens und zu Gott (wie auch immer) vorzudringen (Samadhi).
Für Buddhisten gilt Ähnliches, doch sind die Techniken unterschiedlich, auch im Yoga gibt es mannigfalltig viele.
Aber - und das beachten leider die wenigsten, die sich Meditation versuchen: 1 x in der Woche sich mal 30 Minuten zu gönnen, um zur Ruhe zu kommen, hat mit Meditation nicht viel zu tun. Und ein tägliches Üben, wie es etwa im "Kundalini Yoga" von einem im normalen Leben integrierten Inder geschildert wird, von Gopi Krishna, kann auch zu gewaltigen Überraschungen bis hin zum Wahn führen.
Das liegt aber nicht an Meditation per se, sondern daran, dass vor allem Menschen im Westen keine Ahnung von den wirklichen Kräften, die durch Meditation frei werden können, haben.
Deswegen ist es schon gerade zu unverantwortlich, wenn ausgerechnet der sehr anspruchsvolle Kundalini Yoga, der mit ganz speziellen Meditationstechniken und Atemübungen arbeitet, selbst für Kinder und Banker und Sonstwen von Irgendwem irgendwo angeboten wird. Das ist verantwortungslos.
Meditation hat, so man sie ernsthaft und unter kompetenter Anleitung (!) übt, tiefgreifenden Einfluss auf das Bewusstsein. Man braucht eine gesunde Psyche dazu und klare Anleitungen.
Aber heute bilden sich viel zu viele Menschen ein, Yoga und Meditation zu lehren, obwohl sie nicht viel davon wissen und wenn, dann nur die Schmusefantasien solcher Yogis, die im Grunde nur Geld machen wollen im Westen.
Wer Meditation übt, um den Alltag des Lebens zu meistern, hat bereits nichts davon verstanden. Man macht auch keine Psychotherapie, um weiter im Alltagstrott zu verbleiben und sich lediglich besser anzupassen zu lernen. Nein, man tritt heraus aus dem Gewohnten und Bekannten mithilfe von Meditation und anderen Therapien, weil man zu sich selbst kommt und zu seinen ureigenen Bedürfnissen, weil man authentisch und selbstbestimmt werden will.
Durchschnittliche Menschen bringen viel zu viele Probleme jedweder Art mit in eine Meditation. Das kann nicht gut gehen. Man muss erst die Probleme lösen oder zumindest sie kennen und dann auch darüber mit kompetentem Gegenüber sprechen können und dann kann man durch Meditation tiefer in das Wesen des Lebens eintauchen.
Meditation muss wie Medizin angewendet werden unter kompetenter Anleitung. Man nimmt auch keine Pillen einfach so....
Wie alle anderen Gefühle, Emotionen und Gedanken auch. Die Essenz von Meditation ist Beobachten. Beobachten von Gefühlen und Gedanken, Körperwahrnehmungen etc. Beobachten ist das A und O. Gedanken kommen und gehen. Ich bewerte sie nicht, sondern lasse sie vorbeiziehen. Der berühmte "Watcher on the Hills". Nicht-Identifikation mit all diesen Beobachtungen ist Schlüssel. Wer nur positive Erlebnisse erwartet ist total auf dem Holzweg. Meditation und Selbst-Optimierung schließen einander aus. Wenn ich bestimmte Erwartungshaltungen an die Meditation habe, habe ich sie bereits zerstört. Wer meditieren möchte, sollte sich vorher eingehend damit beschäftigen was Meditation überhaupt ist. Er sollte Meditation tatsächlich verstehen. Sonst kann er da hocken bis in alle Ewigkeiten. Und nicht jede Mediation ist für jeden geeignet. Als Einstieg empfehle ich z. B. "The orange book" von Osho. Hier werden eine Vielzahl klassischer aber auch moderner Techniken vorgestellt. Zudem eine gute Beschreibung geliefert wie Meditation im Kern funktioniert. Es gibt auch eine Reihe von leichten spielerischen Techniken, die man einfach anwenden kann um sich nach einem anstrengenden Büroalltag zu entspannen. Easy is right. Begin right, and you will be easy. Continue easy and you are right. (Chuang Tsu).
Am Buch wie an der Rezension sind einige grundlegende Aspekte zu kritisieren:
1. Dass die Zeit in den Grundgleichungen der Beschreibung der Welt nicht vorkommt, ist ja kein Beleg - geschweige denn ein Beweis - dafür, daß die Zeit nicht existiert, sondern müsste zumindest bis zur endgültigen Klärung der Frage, OB die Zeit als solche existiert, den Verdacht nähren, daß die Gleichungen unvollständig sind. Es ist ja so, daß es genügend hochgebildete und hochdekorierte Physiker gibt, die allen Ernstes behaupten, daß die Zeit durchaus auch "rückwärts" laufen könne, wenn auch rückwärts laufende Ereignisse "extrem unwahrscheinlich" seien: http://www.bbc.com/earth/story/20160708-the-past-is-not-set-in-stone-so-we-may-be-able-to-change-it, aber auch Spektrum der Wissenschaft, Heft 10/2010, S. 33
2. Rovelli, der mit seinem Ansatz m. E. nah dran ist an einer Beschreibung der Zeit, mit der ich einverstanden wäre, macht einen systematischen Denkfehler: "Entropie", das Phänomen Entropie, existiert auf der Quantenebene nicht. Photonen sind zeitlos, auch alle anderen Quanten besitzen keine Zeit (in schwarzen Löchern ebenso).
3. Das Problem ist, daß Rovelli versucht, unterschiedliche Aggregationsebenen (Quanten und makroskopische Welt) miteinander zu vereinen, das ist aber nicht möglich und macht keinen Sinn. Beispiel: Das Phänomen "Leben" existiert auf der Ebene der Atome nicht, d.h. man kann aus den Eigenschaften der Atome nicht die Gesetzmäßigkeiten des Lebens ableiten. Nicht einmal eine DNA als solche "lebt". Erst wenn es alle möglichen chemischen Verbindungen und ihre Anordnungen so gibt, daß ihre Wechselwirkungen Stoffwechsel und Vermehrung erlauben, haben wir die Aggregationsebene "Leben" vor uns, mit gänzlich neuen Gesetzen, die in der welt der Atome nicht vorkommen. Ebensowenig kommt die Zeit auf der Ebene der Quanten vor; sie entsteht erst auf der Ebene der Atome, weil auch dort erst die Entropie existiert. Zu einer Hypothese über "Das Wesen der Zeit": https://www.researchgate.net/publication/320880359_The_Essence_of_the_Time
Die "schlechte" Position deutscher Universitäten in den gängigen Rankings (THE, QS und Shanghai) hängt auch damit zusammen, dass die deutschen Universitäten nicht mit der Erstellern kooperieren. Dies wird vor allem damit begründet, dass diese Rankings einen ökonomischen Hintergrund haben. Sie sollen dafür sorgen, dass internationale Studierende an die Universitäten kommen und dort hohe Studiengebühren zahlen. Die Parameter sind zum Teil darauf ausgerichtet anglo-amerikanischen Universitäten in die Hände zu spielen. Darüberhinaus beinhaltet kein Ranking einen Kostenparameter, was sich sehr zu Gunsten kontinentaleuropäischer Universitäten auswirken würde. Ergebnis: Über diese Rankings sollten wir herzhaft lachen.
Die Anzahl der Nobelpreise in den USA ist nicht unbedingt auf die gute Ausbildung in den USA zurückzuführen. Während sich Europa zweimal im letzten Jahrhundert zerfleischte, konnte dort geforscht werden. Es ist schwer Geld für die Spitzenforschung aufzuwenden, wenn alles in Schutt und Asche liegt. Zudem stammt ein großer Anteil "us-amerikanischer" Forscher nicht von dort, sondern wurde mit guten Forschungbedingungen gelockt. Man spart bei der Ausbildung und schöpft die Spitzentalente im Ausland ab.
Ergebnis: Der Anzahl der Nobelpreise sagt nur bedingt etwas über den aktuellen Stand der Spitzenforschung aus. Man darf das historische und gesellschaftliche Gesamtbild dabei nicht vergessen.
Die mangelnde Allgemeinbildung der Bundesbürger ist nicht nur durch Geldmangel bedingt, sondern auch durch eine Abwertung der Realschul- und Gymnasialbildung.
Ergebnis: Die Bildung braucht nicht nur mehr Geld.
Ich denke, man sollte sich wirklich die Sache genauer ansehen.Schon die Aussage, die mit "Wir" oder mit "Die" anfängt, ist in ihrer Allgemeinheit nicht immer zutreffend. Auch scheinen in vielen Dinge sich die einzelnen "Amerikaner" sich voneinander stärker zu unterscheiden als die einzelnen "Deutschen". Und was Naturwissenschaften angeht, sind auch deutsche Akademiker auch nicht besonders "klug".
Sicher, was Spitzenforschung angeht, sind die USA unschlagbar. Daraus zu folgern, dass das amerikanische Bildungssystem im Ganzen besser ist als das deutsche, halte ich allerdings für ein bisschen voreilig. Mit Bildung verhält es sich in den USA genau wie mit Geld: Sie ist extrem ungleich verteilt. Nur weil einige (wenige) sehr viel davon haben, heißt das nicht, dass das allen Menschen zupass kommt.
Auch der Vergleich der Zahlen der Hochschulabsolventen führt in die Irre. Es gibt in den USA keine Berufsausbildung außerhalb von Hochschulen. Krankenschwester, Koch, Automechaniker: Wenn Sie eine formelle Ausbildung in diesen Bereichen wollen, müssen sie aufs (teure) College und gelten danach als Hochschulabsolvent.
Als Dozent an einer öffentlichen Hochschule in den USA kann ich dem zustimmen, es zählt vor allem welche Uni... Beispiel: Innerhalb des University of North Carolina Systems gibt es bereits riesige Unterschiede in der Qualität und vor allem der Finanzierung. Aus deutscher Sicht ist dies schwer nachzuvollziehen, da unser System doch recht anders gestaltet ist. Hier hat beispielsweise das Football Team grade einen neuen, aus privater Spende finanzierten, Trainingsbereich gebaut bekommen, während auf der anderen Seite kein Geld da ist um ein Asbest-verseuchtes Gebäude zu ersetzen.
Vom Niveau her gibt es Unterschiede, die auf die Highschool zurück gehen. Als Schüler wählt man seine Kurse und kann damit, unser Lieblingsbeispiel, Geographie recht früh loswerden und anstelle dessen Theater spielen. Kein Wunder also, dass die Amerikaner in musischen, künstlerischen Fächern bedeutend besser aufgestellt sind. In meinen Kursen, ca. 150 Stundenten, kann fast jeder ein Instrument spielen, ist im Uni Theater oder in einem der Sportteams. Unsere besten Stundenten in Ihrem Fach gehen für den Master an eine der besseren Unis, der Rest ist eher grundlegend ausgebildet und muss das meiste im Job selbst lernen. Ist das als Gesamtpaket besser oder schlechter? Es hat Vor- und Nachteile....
Was aber natürlich erheblich anders ist, sind die enormen Gebühren: die Studenten, die nicht das Privileg eines Stipendiums oder wohlhabender Eltern besitzen, verlassen unsere Uni nach dem Bachelor mit einem sechsstelligen Betrag an Schulden...und gehen erstmal viele Jahre arbeiten, um dies abzubezahlen.
Sehr geehrter Herr Warkus,
zu Ihrem Artikel „Der Streit um das Eigentum“ gebe ich Folgendes zu bedenken:
Die Behauptung, alle Eigentumsverhältnisse seien Menschenwerk und ….. nichts an ihnen sei natürlich… ist recht anthropozentrisch gedacht und dürfte wohl auch einfach falsch sein. Dazu muss noch nicht einmal das Verhalten eines Kleinkindes herangezogen werden, das „seinen“ Ball nicht hergeben will – man könnte ja denken, das kleine Menschlein hat den Begriff erst erfunden; bei jedem Dackel kann man die unleugbare Wertschätzung seines Eigentums in Form eines Knochens oder eines erbeuteten Stockes vielleicht sogar schmerzhaft erfahren. Und die dem menschlichen Verhalten innewohnende*, also durchaus natürliche Neigung, den Wert im Eigentum befindlicher Güter höher einzuschätzen als den erst zu erwerbender Güter zeigt, dass Eigentum und dessen Wertschätzung zumindest für den Menschen (und den Dackel) als angeboren, also natürlich anzusehen ist. Dies ist es, was der Familie Klatten/Quandt (wie uns allen) die Vergesellschaftung ihres Eigentums so unangenehm und das Christentum sowie den Sozialismus so unmöglich durchführbar macht.
Mit freundlichen Grüßen
Johannes Bohnenberger
*z.B.: Kahneman, D., Knetsch, J. L., & Thaler, R. H. (1990). Experimental Tests of the Endowment Effect and the Coase Theorem. Journal of Political Economy, 98 (6), 1325–1348.
Kahneman, D. (2012). Schnelles Denken, langsames Denken. München: Siedler.
Wenn ich mich recht erinnere, vertrat schon Schopenhauer die Ansicht, Eigentum sei das, wodurch der Mensch seinen "Willen" formend der Welt aufdrückt (ich rate gerade, wie er es wohl ausgedrückt hätte), also das und nur das, was der Mensch erzeugen kann.
Die Freiwirtschaftslehre sind das ähnlich, und, na ja, ich auch: Eigentum kann nur sein, was der Mensch herstellen kann. Für Land gilt das nicht. Niemand hat die Erde gemacht - es hat nur jemand als erster zugegriffen. Und, oft genug, das Land anderen Menschen und Völkern geraubt. Was hinwiederum Eigentum sein kann, sind die land- und forstwirtschaftlichen Erzeugnisse, die der Mensch durch sein Tun dem Land abgewinnt.
Land und alle Bodenschätze hingegen dürften nur verpachtet, nie aber übereignet werden.
Verwirrender Einführung in Tropische Geometrie
17.05.2019, Manfred WeisEs liegt nicht daran, dass die Mathematik zu schwierig wäre, um sie allgemein verständlich zu schildern, wie der online verfügbare Artikel "What is... Tropical Geometry?" von Eric Katz (https://www.ams.org/publications/journals/notices/201704/rnoti-p380.pdf) beweist, sondern der verwirrenden Notation und Begriffsverwendung.
So tauchen die Buchstaben a und b sowohl als Parameter des Beispiels einer Polymomiellen Gleichung und auch als Real und Imaginärteil komplexer Zahlen auf. Weiter wird erwähnt, dass x und y der Polynomiellen Gleichung auch komplexe Zahlen sein können, aber es wird nicht erwähnt, ob und welche Bedingungen für die konstanten Faktoren gelten.
Das Beispiel mit der Amöbe x+y-1=0 ist ebenfalls sehr undurchsichtig: ersetzt man x und y durch die Logarithmen ihrer Beträge, so erhalte ich log(|x|)+log(|y|)-1=0, was für mich deutlich komplizierter aussieht als die ursprüngliche Gleichung! Wie kommt man dann aber auf v=log(e^u + 1) als begrenzende Kurven der Amöbe und, welchem Koordinatensystem entstammen u und v?
Ich habe den Artikel nicht weiter als die ersten beiden Seiten gelesen und frage mich, wie ein solches Negativbeispiel eines populärwissenschaftlichen Artikels es in Spektrum der Wissenschaft schaffen konnte.
Lieber Herr Weis,
es tut mir Leid, dass Ihnen unser Artikel zur tropischen Geometrie nicht gefallen hat.
Dass die Buchstaben a und b sowohl in der polynomialen Gleichung als auch bei der Definition des Real- und Imaginärteils komplexer Zahlen auftaucht, ist in der Tat unglücklich und vermeidbar. Ansonsten sind a und b (bei der Definition komplexer Zahlen) als reelle Konstanten benannt, siehe »In solchen Fällen besteht jede Variable x = a + ib aus zwei reellen Koordinaten a und b …«.
Zu der Gleichung x + y = 1: Sie sieht auf den ersten Blick tatsächlich sehr harmlos aus. Wenn man aber zulässt, dass x und y komplexe Werte annehmen, beschreibt die Gleichung keine einfache Gerade mehr. Es handelt sich dabei stattdessen um eine zweidimensionale Oberfläche in einem vierdimensionalen Raum. Das lässt sich schon nicht mehr richtig visualisieren. Um das Ganze graphisch darzustellen, eignet sich deshalb die Methode, statt x und y direkt, die Logarithmen ihrer Beträge zu studieren – auch wenn das erstmal komplizierter erscheint. Durch die Betragsfunktion tauchen aber keine komplexen Werte mehr auf, sondern bloß noch reelle. Dadurch wird aus dem Problem in vier Dimensionen ein zweidimensionales.
Es ist also nicht so, dass man x und y durch die Logarithmen ihrer Beträge ersetzt, sondern man wählt einen anderen Blickpunkt: Statt x und y in einem (vierdimensionalen) Koordinatensystem aufzutragen, wählt man ein anderes (zweidimensionales) Koordinatensystem mit u und v – das eine Art Projektion darstellt.
Da u = log|x| und v = log|y|, so dass |x| = exp(u) und |y| = exp(v) ergibt, lohnt es sich, die Geradengleichung durch ihre Beträge auszudrücken:
y = 1 – x ist gleichbedeutend mit:
Fügt man nun noch die Beträge für y ein, ergeben sich weitere Fallunterscheidungen:
Setzt man nun |x| = exp(u) und |y| = exp(v) ein, dann folgt:
Wenn man diese Gleichungen nun in ein Koordinatensystemen einzeichnet, zeichnen sich die Begrenzungen der Amöbe ab.
Natürlich handelt es sich bei y = 1 – x um ein sehr einfaches Beispiel, das man in der algebraischen Geometrie auch direkt untersuchen kann, ohne den Umweg über die Tropen zu machen. Der Autor des Artikels hat aber vermutlich diese Gleichung gewählt, weil sie dennoch wichtige Eigenschaften der tropischen Geometrie veranschaulicht.
Ich hoffe, ich konnte Ihnen mit den Erklärungen weiterhelfen – vielleicht finden Sie ja doch noch Gefallen an dem Artikel.
Interkalation vs. Redox
16.05.2019, Daniel MuellerStimmt - und Novizen müssen darauf hingewiesen werden
15.05.2019, Peter CreutzfeldtDas alles ist besonders in Unternehmen, wo Achtsamkeit auch mal gern als Vorwand dafür verwendet wird, noch mehr Stressresilienz und folglich mehr Leistung von Mitarbeitern zu verlangen, manchmal schwer vermittelbar. Sie wollen natürlich nur den Nutzen.
Aber wie sagt schon der Amerikaner: "There ain't no free lunch" - Königswege gibt's nicht.
Seilakt ohne Schutzleine
15.05.2019, Eva-MariaMeditation lernt man nicht von heut auf morgen
14.05.2019, Ekkehard GrublerFür Buddhisten gilt Ähnliches, doch sind die Techniken unterschiedlich, auch im Yoga gibt es mannigfalltig viele.
Aber - und das beachten leider die wenigsten, die sich Meditation versuchen: 1 x in der Woche sich mal 30 Minuten zu gönnen, um zur Ruhe zu kommen, hat mit Meditation nicht viel zu tun. Und ein tägliches Üben, wie es etwa im "Kundalini Yoga" von einem im normalen Leben integrierten Inder geschildert wird, von Gopi Krishna, kann auch zu gewaltigen Überraschungen bis hin zum Wahn führen.
Das liegt aber nicht an Meditation per se, sondern daran, dass vor allem Menschen im Westen keine Ahnung von den wirklichen Kräften, die durch Meditation frei werden können, haben.
Deswegen ist es schon gerade zu unverantwortlich, wenn ausgerechnet der sehr anspruchsvolle Kundalini Yoga, der mit ganz speziellen Meditationstechniken und Atemübungen arbeitet, selbst für Kinder und Banker und Sonstwen von Irgendwem irgendwo angeboten wird. Das ist verantwortungslos.
Meditation hat, so man sie ernsthaft und unter kompetenter Anleitung (!) übt, tiefgreifenden Einfluss auf das Bewusstsein. Man braucht eine gesunde Psyche dazu und klare Anleitungen.
Aber heute bilden sich viel zu viele Menschen ein, Yoga und Meditation zu lehren, obwohl sie nicht viel davon wissen und wenn, dann nur die Schmusefantasien solcher Yogis, die im Grunde nur Geld machen wollen im Westen.
Wer Meditation übt, um den Alltag des Lebens zu meistern, hat bereits nichts davon verstanden. Man macht auch keine Psychotherapie, um weiter im Alltagstrott zu verbleiben und sich lediglich besser anzupassen zu lernen. Nein, man tritt heraus aus dem Gewohnten und Bekannten mithilfe von Meditation und anderen Therapien, weil man zu sich selbst kommt und zu seinen ureigenen Bedürfnissen, weil man authentisch und selbstbestimmt werden will.
Durchschnittliche Menschen bringen viel zu viele Probleme jedweder Art mit in eine Meditation. Das kann nicht gut gehen. Man muss erst die Probleme lösen oder zumindest sie kennen und dann auch darüber mit kompetentem Gegenüber sprechen können und dann kann man durch Meditation tiefer in das Wesen des Lebens eintauchen.
Meditation muss wie Medizin angewendet werden unter kompetenter Anleitung. Man nimmt auch keine Pillen einfach so....
Selbstverständlich gehört Angst zur Meditation
14.05.2019, Martin WienandEinige Kritikpunkte
13.05.2019, Dr. Bernhard Weßling1. Dass die Zeit in den Grundgleichungen der Beschreibung der Welt nicht vorkommt, ist ja kein Beleg - geschweige denn ein Beweis - dafür, daß die Zeit nicht existiert, sondern müsste zumindest bis zur endgültigen Klärung der Frage, OB die Zeit als solche existiert, den Verdacht nähren, daß die Gleichungen unvollständig sind. Es ist ja so, daß es genügend hochgebildete und hochdekorierte Physiker gibt, die allen Ernstes behaupten, daß die Zeit durchaus auch "rückwärts" laufen könne, wenn auch rückwärts laufende Ereignisse "extrem unwahrscheinlich" seien: http://www.bbc.com/earth/story/20160708-the-past-is-not-set-in-stone-so-we-may-be-able-to-change-it, aber auch Spektrum der Wissenschaft, Heft 10/2010, S. 33
2. Rovelli, der mit seinem Ansatz m. E. nah dran ist an einer Beschreibung der Zeit, mit der ich einverstanden wäre, macht einen systematischen Denkfehler: "Entropie", das Phänomen Entropie, existiert auf der Quantenebene nicht. Photonen sind zeitlos, auch alle anderen Quanten besitzen keine Zeit (in schwarzen Löchern ebenso).
3. Das Problem ist, daß Rovelli versucht, unterschiedliche Aggregationsebenen (Quanten und makroskopische Welt) miteinander zu vereinen, das ist aber nicht möglich und macht keinen Sinn. Beispiel: Das Phänomen "Leben" existiert auf der Ebene der Atome nicht, d.h. man kann aus den Eigenschaften der Atome nicht die Gesetzmäßigkeiten des Lebens ableiten. Nicht einmal eine DNA als solche "lebt". Erst wenn es alle möglichen chemischen Verbindungen und ihre Anordnungen so gibt, daß ihre Wechselwirkungen Stoffwechsel und Vermehrung erlauben, haben wir die Aggregationsebene "Leben" vor uns, mit gänzlich neuen Gesetzen, die in der welt der Atome nicht vorkommen. Ebensowenig kommt die Zeit auf der Ebene der Quanten vor; sie entsteht erst auf der Ebene der Atome, weil auch dort erst die Entropie existiert. Zu einer Hypothese über "Das Wesen der Zeit":
https://www.researchgate.net/publication/320880359_The_Essence_of_the_Time
Ein paar Anmerkungen:
12.05.2019, Georg D.Die Anzahl der Nobelpreise in den USA ist nicht unbedingt auf die gute Ausbildung in den USA zurückzuführen. Während sich Europa zweimal im letzten Jahrhundert zerfleischte, konnte dort geforscht werden. Es ist schwer Geld für die Spitzenforschung aufzuwenden, wenn alles in Schutt und Asche liegt. Zudem stammt ein großer Anteil "us-amerikanischer" Forscher nicht von dort, sondern wurde mit guten Forschungbedingungen gelockt. Man spart bei der Ausbildung und schöpft die Spitzentalente im Ausland ab.
Ergebnis: Der Anzahl der Nobelpreise sagt nur bedingt etwas über den aktuellen Stand der Spitzenforschung aus. Man darf das historische und gesellschaftliche Gesamtbild dabei nicht vergessen.
Die mangelnde Allgemeinbildung der Bundesbürger ist nicht nur durch Geldmangel bedingt, sondern auch durch eine Abwertung der Realschul- und Gymnasialbildung.
Ergebnis: Die Bildung braucht nicht nur mehr Geld.
Halbbildung
11.05.2019, Gustavo LenzLieber Leser,
Gut aufgepasst! Wir haben den Fehler jetzt nachträglich vertuscht.
Danke für das aufmerksame Lesen,
mit freundlichen Grüßen
jo/ Redaktion Spektrum.de
Wir und Die
11.05.2019, Rudi KnothHier wird einiges übersehen
11.05.2019, Max AndersAuch der Vergleich der Zahlen der Hochschulabsolventen führt in die Irre. Es gibt in den USA keine Berufsausbildung außerhalb von Hochschulen. Krankenschwester, Koch, Automechaniker: Wenn Sie eine formelle Ausbildung in diesen Bereichen wollen, müssen sie aufs (teure) College und gelten danach als Hochschulabsolvent.
Bildungsniveau US Unis
11.05.2019, Thomas LannersVom Niveau her gibt es Unterschiede, die auf die Highschool zurück gehen. Als Schüler wählt man seine Kurse und kann damit, unser Lieblingsbeispiel, Geographie recht früh loswerden und anstelle dessen Theater spielen. Kein Wunder also, dass die Amerikaner in musischen, künstlerischen Fächern bedeutend besser aufgestellt sind. In meinen Kursen, ca. 150 Stundenten, kann fast jeder ein Instrument spielen, ist im Uni Theater oder in einem der Sportteams. Unsere besten Stundenten in Ihrem Fach gehen für den Master an eine der besseren Unis, der Rest ist eher grundlegend ausgebildet und muss das meiste im Job selbst lernen. Ist das als Gesamtpaket besser oder schlechter? Es hat Vor- und Nachteile....
Was aber natürlich erheblich anders ist, sind die enormen Gebühren: die Studenten, die nicht das Privileg eines Stipendiums oder wohlhabender Eltern besitzen, verlassen unsere Uni nach dem Bachelor mit einem sechsstelligen Betrag an Schulden...und gehen erstmal viele Jahre arbeiten, um dies abzubezahlen.
Eigentum ist "natürlich"
11.05.2019, Dr. Johannes Bohnenbergerzu Ihrem Artikel „Der Streit um das Eigentum“ gebe ich Folgendes zu bedenken:
Die Behauptung, alle Eigentumsverhältnisse seien Menschenwerk und ….. nichts an ihnen sei natürlich… ist recht anthropozentrisch gedacht und dürfte wohl auch einfach falsch sein. Dazu muss noch nicht einmal das Verhalten eines Kleinkindes herangezogen werden, das „seinen“ Ball nicht hergeben will – man könnte ja denken, das kleine Menschlein hat den Begriff erst erfunden; bei jedem Dackel kann man die unleugbare Wertschätzung seines Eigentums in Form eines Knochens oder eines erbeuteten Stockes vielleicht sogar schmerzhaft erfahren. Und die dem menschlichen Verhalten innewohnende*, also durchaus natürliche Neigung, den Wert im Eigentum befindlicher Güter höher einzuschätzen als den erst zu erwerbender Güter zeigt, dass Eigentum und dessen Wertschätzung zumindest für den Menschen (und den Dackel) als angeboren, also natürlich anzusehen ist. Dies ist es, was der Familie Klatten/Quandt (wie uns allen) die Vergesellschaftung ihres Eigentums so unangenehm und das Christentum sowie den Sozialismus so unmöglich durchführbar macht.
Mit freundlichen Grüßen
Johannes Bohnenberger
*z.B.: Kahneman, D., Knetsch, J. L., & Thaler, R. H. (1990). Experimental Tests of the Endowment Effect and the Coase Theorem. Journal of Political Economy, 98 (6), 1325–1348.
Kahneman, D. (2012). Schnelles Denken, langsames Denken. München: Siedler.
Wie kann man es nur fertig bringen...
10.05.2019, OliverNicht alles kann Eigentum sein.
10.05.2019, Dr. Konrad LehmannDie Freiwirtschaftslehre sind das ähnlich, und, na ja, ich auch: Eigentum kann nur sein, was der Mensch herstellen kann. Für Land gilt das nicht. Niemand hat die Erde gemacht - es hat nur jemand als erster zugegriffen. Und, oft genug, das Land anderen Menschen und Völkern geraubt. Was hinwiederum Eigentum sein kann, sind die land- und forstwirtschaftlichen Erzeugnisse, die der Mensch durch sein Tun dem Land abgewinnt.
Land und alle Bodenschätze hingegen dürften nur verpachtet, nie aber übereignet werden.