Natürlich hat ein magisches Quadrat keine magischen Kräfte. Das wussten die arabischen Mathematiker auch genau, die im Mittelalter die Wissenschaft von diesen Zahlenanordnungen zu einem bis in die Gegenwart nicht übertroffenen Höhepunkt führten. Es waren ihre christlich-abendländischen Epigonen, die den magischen Quadraten ihren heutigen Namen gaben und sie damit in die Nähe von Hokuspokus rückten.

Aber natürlich wirkt es schon ein bisschen wie Zauberei, wenn die Summe über jede Zeile, Spalte und Diagonale des Quadrats dieselbe ist. Noch erstaunlicher ist es, wenn diese Eigenschaft erhalten bleibt, wenn man links eine Spalte wegnimmt und rechts anfügt oder entsprechend die oberste Zeile nach unten versetzt. Die Mathematik hilft beim Entzaubern, indem sie für die Konstruktion magischer Quadrate (mit oder ohne zusätzliche Eigenschaften) Rezepte angibt. Spektrum der Wissenschaft hat mehrfach über solche Themen berichtet; Sie finden die entsprechenden Artikel zusammengefasst im Dossier 2/2008 "Lustvolle Geometrie".

Können Sie sich denn auch vorstellen, dass ein magisches Quadrat magisch bleibt, wenn man alle seine Einträge quadriert? Es geht, und man kann diese Zauberei (ein "bimagisches Quadrat") noch übertreffen. Es gibt "multimagische Quadrate", das sind solche, deren magische Eigenschaft sogar dann erhalten bleibt, wenn man alle Zahlen in die dritte, vierte oder fünfte Potenz setzt. Christian Boyer, Software-Entwickler aus Enghien-les-Bains bei Paris, hat in dieser Hinsicht die erstaunlichsten Entdeckungen gemacht. Auf seiner Website führt er seine Ergebnisse gemeinsam mit denen seiner Vorgänger und Kollegen übersichtlich sortiert auf.

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© Christian Boyer
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Das erste multimagische Quadrat wurde 1890 entdeckt. Können Sie es vervollständigen? Mehr dazu ist auf der Homepage von Christian Boyer zu erfahren.
Es versteht sich, dass Boyer für ein Kunststück wie ein pentamagisches Quadrat (alle Potenzen bis zur fünften ergeben magische Quadrate) nicht nur mit Papier und Bleistift Zahlentheorie getrieben hat. Da mussten die PCs wochenlang vor sich hin brüten – und zwar nicht mit sturem Durchprobieren aller Möglichkeiten! Letzteres ist aussichtslos. An dieser Stelle kommen die beliebten Vergleiche: Wäre jedes Atom des Universums ein Computer, der seit dem Urknall eine Million Möglichkeiten pro Sekunde durchprobiert, hätten sie alle zusammen vom – wohlgemerkt endlichen – Ozean aller Möglichkeiten gerade mal ein Schnapsglas voll konsumiert.

Die besten Fischgründe im Ozean der Möglichkeiten

Nein: Man muss mit Hilfe der Theorie Beziehungen finden, die zwingend erfüllt sein müssen, und andere, deren Erfüllung zumindest die Erfolgsaussichten verbessert. Dann schickt man den Computer auf die Suche in den aussichtsreichen Teilen des Ozeans – und muss immer noch warten. Auf diese Weise hat Boyers deutscher Mitstreiter, der Nürnberger Gymnasiallehrer Walter Trump, den bisher kleinsten und schönsten magischen Würfel gefunden, eine Verallgemeinerung des magischen Quadrats auf drei Dimensionen (Spektrum der Wissenschaft 3/2004, S. 108, kostenfrei).

Ja, magische Quadrate sind um so schöner (und schwieriger), je kleiner sie sind. Die Spaß-Mathematiker vergangener Zeiten hatten, mit Papier und Bleistift, sowieso keine Chance, wirklich große Quadrate zu bearbeiten; aber einem Computer macht ein Quadrat der Größe 128 mal 128 nichts aus. Im Gegenteil: Mit wachsender Größe wird die Aufgabe im Prinzip einfacher; denn die Zahl der Unbekannten steigt rascher als die Zahl der zu erfüllenden Gleichungen. Gewisse abstruse Forderungen an die Einträge sind also in einem großen magischen Quadrat leichter zu erfüllen als in einem kleinen. Deswegen hat das kleine Seltenheitswert!

Noch weiß die Welt nicht, ob so etwas existiert

Christian Boyer ist der unangefochtene Weltmeister in dieser exotischen Sportart. Aber jetzt ruft auch der Champion um Hilfe. Noch weiß die Welt (Boyer eingeschlossen) nicht, ob es ein bimagisches Quadrat der Ordnung 5 gibt. Oder ob zur Ordnung 3 wenigstens eine zweitbeste Lösung existiert: magisch in der zweiten, nicht aber in der ersten Potenz der Einträge.

Für die Lösung von sechs derartigen Aufgaben hat Boyer eine Belohnung von je 1000 Euro plus einer Flasche Champagner ausgesetzt. Hinzu kommen ein paar kleinere Rätsel, wodurch sich die Preissumme auf insgesamt 8000 Euro und zwölf Flaschen Champagner erhöht. "Lösung" heißt übrigens: entweder ein entsprechendes Quadrat angeben oder einen Unmöglichkeitsbeweis führen.

Einzelheiten finden sich auf Boyers Website. Wer des Französischen mächtig ist, kann auch das Dossier No. 59: Jeux math' unserer Schwesterzeitschrift Pour la Science aufschlagen. Neben vielen anderen mathematischen Spielereien ist hier eine ausführliche Darstellung des Forschungsstands nachzulesen – von Christian Boyer persönlich.

Wenn Sie Anspruch auf einen der Preise erheben können, schicken Sie eine E-Mail an Boyer, und bitte eine Kopie an uns. Eine solche Entdeckung würden wir unseren Lesern nicht vorenthalten wollen.