Visualisierung

Das Ausgedachte in Sichtbares umgerechnet

Imagin�res in Reales umgewandelt: Die Ausstellung "Imaginary 2008" versammelt Mathematik-Visualisierungen aus aller Welt.

Eine Polynomgleichung wie zum Beispiel x⁵ � 4x³� x² + 1= 0 ist nicht einfach durch Anwendung einer Formel zu l�sen. Die Mitternachtsformel aus der Schule � mit p, q und der Wurzel � hilft nur, wenn der Grad des Polynoms, das hei�t die h�chste vorkommende Potenz von x, gleich 2 ist ("quadratische Gleichung").

Die entsprechende Formel f�r den Grad 3 ist schon sehr umfangreich, f�r den Grad 4 ist sie geradezu monstr�s, und f�r Gleichungen f�nften und h�heren Grades gibt es gar keine geschlossene Formel mehr. Da hilft nichts als schn�de Numerik: Ist es erst einmal gelungen, die Nullstelle des Polynoms von beiden Seiten in die Zange zu nehmen, dann ist es nicht mehr schwer, sie auf so viele Dezimalstellen zu bestimmen, wie man braucht.

F�r Polynome in drei Variablen x, y und z ist die Situation nicht grunds�tzlich besser. Im Allgemeinen gibt es nicht nur wenige isolierte L�sungen…

1. So schwer ist die Gleichung gar nicht

04.04.2008, Prof. Manfred Tr�mper, F-30700 Uz�s

"Alle Punkte (x, y, z) im Raum, die eine Gleichung wie x²z² + z⁴ � y² � z³ = 0 erf�llen, bilden eine Fl�che. Aber wieder gibt es kein allgemeines, formelm��ig beschreibbares Verfahren,
die Punkte dieser Fl�che zu finden. Um sie darzustellen, muss der Computer ziemlich viele Punkte durchprobieren".

Mit dem zweiten Teil dieser Aussage kann ich mich nicht einverstanden erkl�ren. Aufl�sung der Gleichung nach y ergibt n�mlich

y = ± z √ (z² � z + x²),

und nun muss man nur noch sehen, f�r welche Punkte der xz-Ebene die Wurzel reell, d.h. z² � z + x² > 0 ist.

Das alles l�sst sich mit Kenntnissen der Schul-Mathematik machen.
Danach muss der Computer �berhaupt nichts mehr "durchprobieren", sondern kann die Fl�chenpunkte direkt berechnen und darstellen.

F�r viele andere Gleichungen h�herer Ordnung trifft Ihre Aussage wohl zu, aber dann ist das gew�hlte Beispiel vielleicht einfach zu simpel.

2. Hyperbolische Ornamente k�nnen wir schon lange

08.04.2008, Dr. Peter Herfort, Rom

In diesem Beitrag weist der Autor r�hmend auf ein Computerprogramm des Herrn von Gagern hin, das zu jeder der 17 euklidischen Ornamentgruppen aus einem beliebig vorgegebenen �Urmuster� das zugeh�rige Ornament erzeugt. Mit dem Programm k�nne man sogar hyperbolische Ornamente herstellen.
Offenbar ist dem Autor entgangen, dass es seit langem ein derartiges Programm gibt. Arnd Klotz und ich haben im Jahr 1997 beim Vieweg-Verlag das Buch �Ornamente und Fraktale, Visualisierung von Symmetrie und Selbst�hnlichkeit� ver�ffentlicht. Auf der begleitenden Diskette befindet sich ein Programm, das die Erzeugung beliebiger euklidischer oder hyperbolischer Ornamente erlaubt. Als �Urmuster� dient dabei der Attraktor eines IFS (Iterated Function System). Michael Barnsley hat mit seinem Collage-Theorem gezeigt, dass jede beliebige Figur, die als Urmuster verwendbar ist, n�herungsweise als Attraktor eines IFS gewonnen werden kann. Unser Programm enth�lt eine grafische Eingabe-Routine, mit der man zu gegebenem Urmuster ein geeignetes derartiges IFS konstruieren kann. Das Ornament entsteht dann durch eine Hierarchisierung dieses IFS mit Hilfe eines Erzeugendensystems der gew�nschten Ornamentgruppe. Jede Art von Symmetrie l�sst sich hiermit erzeugen, insbesondere euklidische und hyperbolische Ornamente. Dar�ber hinaus bietet das Programm interessante Manipulationsm�glichkeiten. Einen Hinweis auf unser Buch findet man im Internet unter
http://www.dr-carl.com/adodb330/ifscox/ifscox00.htm Dort kann auch das Programm IFSCOX heruntergeladen werden.

3. Hyperbolische Ornamente in Echtzeit � das ist neu

12.04.2008, Martin von Gagern, Neustrelitz

Herr Herfort hat in seinem Leserbrief auf sein Programm aus dem Jahre 1997 hingewiesen, das hyperbolische Ornamente darstellen kann. In diesem Sinne ist mein im Artikel erw�hntes Programm tats�chlich keine Neuerung, was der Artikel �brigens auch nicht behauptet.

Dennoch gibt es Unterschiede in der Zielsetzung wie in den Ans�tzen. So geht es bei meinem Programm tats�chlich um das Zeichnen eines hyperbolischen Ornamentes mit der Maus in Echtzeit, was einen wesentlich intuitiveren Zugang zu hyperbolischen Ornamenten bietet als die Konstruktion und anschlie�ende Berechnung eines IFS. Gerade die hochqualitative Echtzeiterstellung hyperbolischer Ornamente ist eine sehr speicherplatzintensive Aufgabe und h�tte 1997 mangels Arbeitsspeicher keine gro�e Chance gehabt.