a) Meteoriten
b) Kristallgitter
c) Telefonanschlüsse
d) Kaninchenpaare
e) Primzahlhäufungen
b) Kristallgitter
c) Telefonanschlüsse
d) Kaninchenpaare
e) Primzahlhäufungen
Was beschreibt die Folge der Zahlen 1,1,2,3,5,8,13,21,...?
Antwort:
Die Zahlenfolge beschreibt die Populationsentwicklung von Kaninchenpaaren.Der italienische Mathematiker Leonardo von Pisa, auch bekannt unter dem Namen Fibonacci, stellte bereits im Jahre 1202 in seinem Buch Il liber abbaci diese berühmte Zahlenfolge vor. Die Fibonacci-Folge ist dabei eine Folge natürlicher Zahlen, die durch die Anfangswert a1=a2=1 und die folgende Rekursionsvorschrift gegeben ist:
an+2=an+1+an
Das Kaninchenproblem von Fibonacci lautet in heutiger Formulierung etwa, wie folgt:
Wir nehmen an, dass
- ein Kaninchenpaar im Alter von zwei Monaten gebärfähig wird,
- jedes Kaninchenpaar ab dem dritten Monat jeden Monat ein neues Paar zur Welt bringt
- und jedes dieser Paare ewig lebt.
Erklärung:
Sicherlich ist die Kaninchenaufgabe aus biologischer Sicht nicht sonderlich realistisch, doch spiegelt sich die Folge in Abwandlung immer wieder an unterschiedlichster Stelle in der Natur wider. So erinnert das Gehäuse eines Kopffüßers zum Beispiel an die so genannte Fibonacci-Spirale, der Blütenstand einer Sonnenblume weist eine ideale Packung entsprechend einer Fibonacci-Folge auf und auch die Verästelung der Sumpf-Schafgarbe entspricht weitgehend dem Bildungsgesetz.Einen besonderen mathematischen Zusammenhang erhält man, wenn man aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen als Bruch schreibt, also an durch an+1. Diese Folge konvergiert, wobei der Grenzwert dem Verhältnis des Goldenen Schnitts entspricht.
Mehr zu den Fibonacci-Zahlen und Beispielen aus der Natur finden Sie unter Fibonacci Numbers and Nature.
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