Torricelli und der fünfte Mittelpunkt des Dreiecks

Zu diesem Artikel stellen wir auch sehr ausführliche Ergänzungen bereit, die durch Grafiken und Animationen illustriert werden, Anm. d. Red.

Drei - sozusagen punktförmige - Städte wollen sich miteinander durch ein Straßen- oder Kabelnetz verbinden, das aus Kostengründen eine möglichst geringe Gesamtlänge haben soll. Wie finden wir dieses Netz?

Wenn die Städte - nennen wir sie A, B und C - nahezu auf einer Linie liegen, das Dreieck ABC also sehr stumpfwinklig ist, besteht das Netz aus den Dreiecksseiten AB und BC. In allen anderen Fällen verbindet es alle drei Ecken mit einem Punkt, der irgendwie "in der Mitte" des Dreiecks liegt und von allen drei Punkten in gleicher Weise abhängt.

Seit der Antike (und aus dem Schulunterricht) kennt man vier "Mittelpunkte" des Dreiecks mit dieser Eigenschaft: den Mittelpunkt des Umkreises, der durch die Ecken geht, den des Inkreises, der die drei Seiten berührt, den Höhenschnittpunkt und den Schwerpunkt der Fläche, der zugleich auch der gemeinsame Schwerpunkt von drei gleichen Gewichten in den Ecken ist. Aber keiner von ihnen ist das Zentrum unseres minimalen Netzes...