Kann man lauter gleiche quaderförmige
Bauteile ohne weitere Hilfsmittel
so zusammensetzen, dass
sie beliebig weit über die Tischkante
hinausragen? Es geht, und zwar
mit weit weniger Aufwand, als man
bislang für nötig hielt.
Christoph Pöppe ist Redakteur bei
"Spektrum der Wissenschaft".
Die Folge der Zahlen 1, 1/2, 1/3, 1/4,
…, 1/n, … genießt bei den Mathematiklehrern
eine ganz spezielle Wertschätzung.
Sie trägt den schönen Namen
"harmonische Folge", weil ihre Glieder
den Längen proportional sind, die man
auf einer gespannten Saite abgreifen
muss, um eine Obertonreihe zu erzeugen.
Aber die Lehrer schätzen sie nicht
aus musikalischen Gründen, sondern als
abschreckendes Beispiel. Mit ihrer Hilfe
kann man nämlich überzeugend demonstrieren,
dass die Dinge bei unendlichen
Summen sich nicht so einfach verhalten,
wie die Schüler es gerne hätten
Im Bild auf Seite 64 links unten ist leicht erkennbar, dass man den obersten Klotz um seine halbe Länge über den zweiten überstehen lassen kann. Der gemeinsame Schwerpunkt von Klotz 1 und 2 ist geometrisch auch noch leicht erkennbar; daraus kann man schließen, dass Klotz 2 nur noch 1/4 über Klotz 3 hinaus stehen darf. Aber der gemeinsame Schwerpunkt von Klotz 1, 2 und 3 ist nicht mehr ohne weiteres erkennbar; man kann jedoch nur bei Kenntnis dieses Schwerpunktes voraussagen, wie weit Klotz 3 über Klotz 4 hinausragen darf. Dasselbe gilt auch für alle folgenden Klötze. Den Beweis für die Behauptung, dass die Überhänge die harmonische Folge bilden (n-ter Überhang ist 1/(2n) der Klotzlänge), bleibt der Autor schuldig. Gibt es hierfür zumindest eine Plausibilitätserklärung?
Antwort der Redaktion: Eine gute Plausibilitätserklärung kenne ich nicht, aber der Beweis ist relativ einfach. Sie finden ihn in dieser pdf-Datei (die mir erleichtert hat, die mathematischen Symbole darzustellen).
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1. Wie beweist man die Formel für den harmonischen Klotzturm?
15.09.2010, Dr. F.W. Schierwater