Christoph Pöppe ist Redakteur bei "Spektrum der Wissenschaft"
Auf den ersten Blick sieht die Figur nicht besonders spektakulär aus. Es ist eine Raute, deren Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Das heißt, die lange Diagonale ist t-mal so lang wie die kurze, wobei t=(√5+1)/2 =1,618… ist. Angeblich gilt ja ein Rechteck mit diesem Seitenverhältnis als besonders schön; aber es ist eine eher einsame Schönheit. Die "Goldene Raute" will sich mit ihresgleichen nicht gern zusammenlegen
Es gibt eine zweite Möglichkeit zum Aufbau des R30. Und diese hat eine dreizählige Drehsymmetrie.
Man bemerkt zunächst, dass man aus zwei dicken und zwei dünnen Rhomboedern einen Körper zusammensetzen kann, der bezüglich dreier aufeinander senkrecht stehender Ebenen spiegelsymmetrisch ist. Da er von zwölf Rhomben begrenzt wird, ist er in der Literatur (Hans Walser: "Der Goldene Schnitt") als "Goldenes Rhombendodekaeder" oder kurz "g-Dodekaeder" bekannt.
Ein dickes Rhomboeder hat zwei einander gegenüberliegende spitze Ecken, das sind Ecken, in denen drei Rhomben mit ihren spitzen Winkeln zusammentreffen. An diese drei Rhomben lagere man – Fläche an Fläche – je ein weiteres Rhomboeder derart an, dass spitze Ecke auf spitze Ecke fällt. Das ergibt einen Cluster aus vier dicken Rhomboedern, wie er als Baustein der Körper auf Seite 69 im Artikel dient. Um diesen Cluster gruppiert man drei g-Dodekaeder. Da man die spitzen oder stumpfen Rhomboeder im g-Dodekaeder rechts oder links anordnen kann, ergeben sich für diesen Aufbau acht Permutationen. Zwei davon sind drehsymmetrisch. Das vollständige R30 ergibt sich daraus, indem man drei Eindellungen, die zwischen den Elementen des Clusters bleiben, und eine weitere zwischen den drei g-Dodekaedern mit je einem dünnen Rhomboeder füllt.
Das vergrößerte R30 auf S. 67 rechts unten kann nicht vollständig aus g-Rhomboedern (Goldenen Rhomboedern) aufgebaut werden; denn die Kantenlänge des großen Rhombus ist kein ganzzahliges Vielfaches der Kantenlänge des kleinen Rhombus. Eine solche Konstruktion wäre vielmehr folgendermaßen auszuführen: Dem R60 im Zentrum und der Anordnung von zwölf R30 ist zuerst die Struktur aus den zwanzig Clustern (Seite 69 rechts) hinzuzufügen. Hinzu kommen dann noch zwölf halbe R60 (der mittlere Teil des Sterns, siehe S. 66 rechts unten), zwölf R20 (g-Ikosaeder), 60 g-Dodekaeder und 220 dünne Rhomboeder. Dieser Körper ist aus 640 dünnen und 640 dicken g-Rhomboedern aufgebaut; er hat die vierfache Kantenlänge der Rhomboeder, aus denen er besteht. Darum hat er den Namen "g-Triakontaeder der 4. Ordnung".
Wenn man sich die Struktur aus den zwanzig Clustern (Seite 69 rechts) vorstellt, über jeden dieser Cluster jeweils drei dreieckig angeordnete g-Dodekaeder stülpt und das Ganze noch mit 20 (oben) und 20 mal 3 (unten) dünnen g-Rhomboedern ergänzt, dann bekommt man eine dodekaedrische Struktur aus zwanzig R30. Weil aber das R30 der Hüllkörper des regulären Dodekaeders und des regulären Ikosaeders ist, kann die nicht-periodische Ziegelung des Raumes aus dem Fraktal des regulären Dodekaeders (oder Ikosaeders) abgeleitet werden (siehe „Neue Fraktale aus platonischen Körpern“ von Wilhelm Sternemann, Spektrum der Wissenschaft 11/2000, S. 116). Allerdings betrifft dies nur die geradzahligen Ordnungen.
Die ungeradzahligen werden ohne R60 aufgebaut. Sie haben im Zentrum ein R30. Die Abbildung auf Seite 69 links zeigt einen Teil dieses Aufbaus. Dieser führt zu einem g-Triakontaeder der 3. Ordnung.
Die Einbetung der Ikosaedergruppe in das sechsdimensionale hyperkubische Gitter wurde erstmals durchgeführt in:
P. Kramer und R. Neri, On Periodic and Non-Periodic Space Fillings of Em Obtained by Projection. Acta Crystallographica A40, 580–587 (1984)
Die Projektion erfolgte vom R6 auf denjenigen R3, in dem die Ikosaedergruppe ihre dreidimensionale Standard-Darstellung annimmt. Die zugehörige quasiperiodische Pflasterung des R3 mit zwei Rhomboedern wurde 1985 von P. und L. Kramer konstruiert und 1986 in der Ausstellung "Symmetrie" auf der Mathildenhöhe in Darmstadt als Modell gezeigt (Abbildung im Katalog Band 3 S. 91). Aus der Projektion, verbunden mit der Theorie der quasiperiodischen Funktionen von Harald Bohr (1925), folgt, dass sich bei der Fourieranalyse ikosaedrischer Quasikristalle ein reines Punktspektrum ergibt.
Weiteres findet sich auf meiner Homepage an der Universität Tübingen.
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1. Anmerkung zur nicht-periodischen Ziegelung des Raumes
05.12.2010, Marcel FritschiMan bemerkt zunächst, dass man aus zwei dicken und zwei dünnen Rhomboedern einen Körper zusammensetzen kann, der bezüglich dreier aufeinander senkrecht stehender Ebenen spiegelsymmetrisch ist. Da er von zwölf Rhomben begrenzt wird, ist er in der Literatur (Hans Walser: "Der Goldene Schnitt") als "Goldenes Rhombendodekaeder" oder kurz "g-Dodekaeder" bekannt.
Ein dickes Rhomboeder hat zwei einander gegenüberliegende spitze Ecken, das sind Ecken, in denen drei Rhomben mit ihren spitzen Winkeln zusammentreffen. An diese drei Rhomben lagere man – Fläche an Fläche – je ein weiteres Rhomboeder derart an, dass spitze Ecke auf spitze Ecke fällt. Das ergibt einen Cluster aus vier dicken Rhomboedern, wie er als Baustein der Körper auf Seite 69 im Artikel dient. Um diesen Cluster gruppiert man drei g-Dodekaeder. Da man die spitzen oder stumpfen Rhomboeder im g-Dodekaeder rechts oder links anordnen kann, ergeben sich für diesen Aufbau acht Permutationen. Zwei davon sind drehsymmetrisch. Das vollständige R30 ergibt sich daraus, indem man drei Eindellungen, die zwischen den Elementen des Clusters bleiben, und eine weitere zwischen den drei g-Dodekaedern mit je einem dünnen Rhomboeder füllt.
Das vergrößerte R30 auf S. 67 rechts unten kann nicht vollständig aus g-Rhomboedern (Goldenen Rhomboedern) aufgebaut werden; denn die Kantenlänge des großen Rhombus ist kein ganzzahliges Vielfaches der Kantenlänge des kleinen Rhombus. Eine solche Konstruktion wäre vielmehr folgendermaßen auszuführen: Dem R60 im Zentrum und der Anordnung von zwölf R30 ist zuerst die Struktur aus den zwanzig Clustern (Seite 69 rechts) hinzuzufügen. Hinzu kommen dann noch zwölf halbe R60 (der mittlere Teil des Sterns, siehe S. 66 rechts unten), zwölf R20 (g-Ikosaeder), 60 g-Dodekaeder und 220 dünne Rhomboeder. Dieser Körper ist aus 640 dünnen und 640 dicken g-Rhomboedern aufgebaut; er hat die vierfache Kantenlänge der Rhomboeder, aus denen er besteht. Darum hat er den Namen "g-Triakontaeder der 4. Ordnung".
Wenn man sich die Struktur aus den zwanzig Clustern (Seite 69 rechts) vorstellt, über jeden dieser Cluster jeweils drei dreieckig angeordnete g-Dodekaeder stülpt und das Ganze noch mit 20 (oben) und 20 mal 3 (unten) dünnen g-Rhomboedern ergänzt, dann bekommt man eine dodekaedrische Struktur aus zwanzig R30. Weil aber das R30 der Hüllkörper des regulären Dodekaeders und des regulären Ikosaeders ist, kann die nicht-periodische Ziegelung des Raumes aus dem Fraktal des regulären Dodekaeders (oder Ikosaeders) abgeleitet werden (siehe „Neue Fraktale aus platonischen Körpern“ von Wilhelm Sternemann, Spektrum der Wissenschaft 11/2000, S. 116). Allerdings betrifft dies nur die geradzahligen Ordnungen.
Die ungeradzahligen werden ohne R60 aufgebaut. Sie haben im Zentrum ein R30. Die Abbildung auf Seite 69 links zeigt einen Teil dieses Aufbaus. Dieser führt zu einem g-Triakontaeder der 3. Ordnung.
2. Verweis auf die einschlägige Originalarbeit fehlt
08.02.2011, Prof. Dr. Peter Kramer, TübingenP. Kramer und R. Neri, On Periodic and Non-Periodic Space Fillings of Em Obtained by Projection. Acta Crystallographica A40, 580–587 (1984)
Die Projektion erfolgte vom R6 auf denjenigen R3, in dem die Ikosaedergruppe ihre dreidimensionale Standard-Darstellung annimmt. Die zugehörige quasiperiodische Pflasterung des R3 mit zwei Rhomboedern wurde 1985 von P. und L. Kramer konstruiert und 1986 in der Ausstellung "Symmetrie" auf der Mathildenhöhe in Darmstadt als Modell gezeigt (Abbildung im Katalog Band 3 S. 91). Aus der Projektion, verbunden mit der Theorie der quasiperiodischen Funktionen von Harald Bohr (1925), folgt, dass sich bei der Fourieranalyse ikosaedrischer Quasikristalle ein reines Punktspektrum ergibt.
Weiteres findet sich auf meiner Homepage an der Universität Tübingen.