Geometrie

Unendliche regelm��ige K�rper

Kann es ein geometrisches Gebilde geben, bei dem sich in jeder Ecke sieben, acht oder gar neun gleichseitige Dreiecke treffen? Die Antwort lautet: Ja – sofern sich dieses Gebilde durch den ganzen unendlichen Raum erstreckt.

Hauptberuflich arbeitet Dirk Huylebrouck als Dozent am Fachbereich Architektur der Hochschule f�r Wissenschaft und Kunst "Sint-Lucas" in Br�ssel. Seine Liebe zur Mathematik zeigt sich in zahlreichen Kurzfilmen bei YouTube, seinen Arbeiten �ber den Knochen von Ishango, der als das fr�heste materielle Zeugnis mathematischen Denkens gilt, seiner Kolumne in der Zeitschrift "The Mathematical Intelligencer" sowie in einem j�ngst fertig gestellten Werk, in dem er einen neuen, �berraschenden Blick auf ein sehr klassisches Thema der Geometrie wirft: die platonischen K�rper.

Huylebrouck verallgemeinert diesen �berkommenen Begriff an einer unscheinbaren Stelle. Mit modernen mathematischen Mitteln findet er dann eine gro�e Anzahl potenzieller neuer Formen. Der Versuch, Ordnung in diese Vielfalt zu bringen, f�hrt ihn unversehens auf noch g�nzlich unbeackertes Gel�nde. So kurz kann der Weg von der antiken Mathematik bis zum Unbekannten sein! …

1. Benzol ist eben!

21.12.2010, Fritz Diem, M�nchen

Benzol ist ein ebenes Molek�l. Hat Herr P�ppe da Benzol mit Cyclohexan verwechselt?

Antwort der Redaktion:
In der Tat. Ich wusste noch, dass der Kohlenstoff-Sechserring im Prinzip gewellt ist. Dass das nun beim Benzol gerade nicht der Fall ist �

Christoph P�ppe, Redaktion

2. Benzolringe sind nicht gewellt

07.01.2011, Martin Bernhauer

Benzolringe sind auf Grund ihrer speziellen chemischen Struktur ebene Sechsecke und nicht im geringsten gewellt.
Gewellt sind sechseckige Ausschnitte aus der Diamantstruktur,
wobei dort alle Tetraederwinkel aufweisen.
Diese gewellten Sechsecke gibt es in zwei Formen:
Man male sich ein Sechseck auf ein Blatt Papier mit zwei gegen�berliegenden Spitzen nach rechts und links zeigend.
Die anderen vier Ecken sollen in der Ebene des Papiers liegen. Dann ragen die beiden �u�eren Spitzen aus dem Papier heraus und zwar entweder (a) einer nach oben und den andere nach unten (die so genannte Sesselform) oder (b) beide auf dieselbe Seite (z. B. nach oben) (die so genannte Wannenform (bei den Engl�ndern als Seefahrervolk wird diese Form stattdessen die Bootform genannt) ).

3. Transitivit�t

16.01.2011, Prof. Werner Hoffmann, Bielefeld

Mir hat die eing�ngige Darstellung von Herrn P�ppe sehr gefallen. Wie er richtig schreibt, ist die Abgrenzung des Begriffs eines unendlichen platonischen K�rpers umstritten. Man k�nnte � �ber die im Artikel genannten Bedingungen hinaus � verlangen, dass eine Fl�che des K�rpers in jede andere Fl�che durch eine seiner Symmetrien �berf�hrt werden kann. Dabei soll es m�glich sein, eine bestimmte Kante der einen Fl�che in eine beliebig vorgegebene Kante der anderen Fl�che sowie einen bestimmten Endpunkt der einen Kante in einen vorgegebenen Endpunkt der anderen Kante zu �berf�hren. In diesem Fall besteht das Prinzip der Dualit�t weiter. Verbietet man noch Selbstdurchdringungen, so gibt es nur die unendlichen platonischen K�rper mit den folgenden Schl�fli-Symbolen:

{3,6}, {4,4}, {6,3} (Pflasterungen der Ebene, Geschlecht 1),
{4,6}, {6,4} (Geschlecht 2),
{6,6} (Geschlecht 3).

Das Fundamentalgebiet von {6,6} unter der Wirkung der Translationssymmetrien ist das abgestumpfte regul�re Tetraeder, bei dem je zwei parallele Schnittkanten miteinander identifiziert werden.

4. Nicht platonisch, sondern archimedisch

15.03.2011, Heinrich Bubeck, OStR. a. D., PH Weingarten

�berraschend ist es schon, das {3,7}-Polyeder. Zum einen, weil es so sch�n konsequent die Folge

{3,3} = Tetraeder
{3,4} = Oktaeder
{3,5} = Ikosaeder
{3,6} = Ebenes Parkett mit regelm��igen Dreiecken
{3,7} = Zusammensetzung aus Ikosaedern und Oktaedern
{3,8} = Zusammensetzung aus lauter Oktaedern

weiterf�hrt (oder weiterzuf�hren scheint). Zum andern, weil es dem Satz widerspricht, dass die Winkelsumme in einer Polyederecke kleiner als 360� ist. Doch dies gilt nur f�r konvexe Polyeder.
Wer das bisher �bersehen hat, braucht sich nicht zu sch�men. Der ber�hmte Geometer H. S. M. Coxeter hielt es zuerst auch f�r ausgeschlossen, was ihm J. F. Petrie erkl�rte: Er habe 2 neue platonische Polyeder entdeckt. In jeder Ecke des ersten sollten 6 Quadrate, beim andern 4 regelm��ige Sechsecke aneinander sto�en. Coxeter �berzeugte sich von der Richtigkeit � Petrie hatte die unendlichen regelm��igen Polyeder {4,6} und {6,4} entdeckt � und fand dann auch noch das dritte und letzte dieser Art, das Polyeder {6,6}. In �The Beauty of Geometry: Twelve Essays� (Dover Publications) berichtet er dar�ber und f�hrt auch die nun bekannten 15 regelm��igen Polyeder auf, n�mlich:

die Oberfl�chen der 5 Platonischen K�rper {3,3}, {3,4}, {3,5}, {4,3}, {5,3};
die 4 regelm��igen Sternpolyeder {5, 5/2}, {5/2, 5}, {3, 5/2}, {5/2, 3};
die 3 regelm��igen ebenen Parkette {3,6}, {4,4}, {6,3} als �bergang zu
den 3 regelm��igen unendlichen Polyedern {4,6}, {6,4}, {6,6}, die �brigens alle drei vom Geschlecht g=3 sind.

Und was ist nun mit den 11 �Anw�rtern� vom Geschlecht g=2 inklusive {3,7}?
Sie sind nicht regelm��ig! �Platonisch�, synonym mit �regelm��ig�, bedeutet in Christoph P�ppes Formulierung �gr��tm�gliches Ma� an Regelm��igkeit�, und das hei�t f�r die Elemente Fl�chen, Kanten, Ecken eines Polyeders in mathematischer Terminologie:
1) Alle Fl�chen sind �quivalent und regelm��ig.
2) Alle Kanten sind �quivalent; das beinhaltet gleiche L�ngen und gleiches Winkelma� zwischen ihren beiden anliegenden Fl�chen (Keilwinkel).
3) Alle Ecken sind �quivalent und regelm��ig.
Zwei verschiedene Elemente eines Polyeders sind genau dann �quivalent, wenn es eine Deckabbildung des ganzen Polyeders auf sich selbst gibt, die das eine Element auf das andere abbildet. �quivalenz verlangt also mehr als Kongruenz!
Eine genaue Betrachtung zeigt: Alle 3 Forderungen sind beim {3,7} nicht erf�llt:
1) Es kann keine Deckabbildung dieses Polyeders auf sich selbst geben, die ein �Ikosaederdreieck� auf ein �Oktaederdreieck� abbildet.
2) Es gibt am {3,7}-Polyeder Keilwinkel in 3 verschiedenen Gr��en.
3) Seine Ecken sind nicht regelm��ig.
Dies gilt entsprechend auch f�r die �brigen Kandidaten!

Sind diese zwar nicht regelm��ig, so sind sie aber doch halbregelm��ig wie die (konvexen) archimedischen Polyeder, von denen nur Regelm��igkeit der Fl�chen, gleiche Kantenl�ngen und �quivalenz der Ecken verlangt wird. Solche Polyeder wird man am einfachsten als �unendliche archimedische Polyeder� bezeichnen!
Im �brigen ist der Artikel informativ, anregend, bietet einige theoretische Grundlagen, ist locker geschrieben und l�dt so zu weiterer und genauerer Erforschung der unendlichen archimedischen Polyeder ein, die vermutlich noch nicht alle bekannt sind (es gibt davon sicher mindestens 50 Exemplare). Die meisten von ihnen haben verschiedene (regelm��ige) Fl�chen. Sie k�nnen durch eine geeignete Bauanleitung definiert werden, oder (nicht immer eindeutig) durch die Abfolge der Fl�chenordnungen in einer Ecke: 3, 4, 6, 6, 4 bedeutet, dass in jeder Ecke dieses Polyeders nacheinander ein gleichseitiges Dreieck, ein Quadrat, zwei regelm��ige Sechsecke und wieder ein Quadrat aneinandersto�en.
Die erw�hnten Polyeder {3,7}, {3,8}, {3,9} und {4,5} vom Geschlecht g=2 k�nnen nun als Elemente einer speziellen Teilmenge dieser unendlichen archimedischen Polyeder betrachtet werden, weil sie aus lauter kongruenten, aber nicht �quivalenten Fl�chen bestehen. Dazu z�hlen aber auch noch andere dieser Art wie z. B. {3,8} vom Geschlecht g=3, {3,9} und {3,12} mit g=4 und noch ein zweites {4,5}-Polyeder (ohne Keilwinkel von 180�), an dem ein Problem deutlich wird:
Sein �Atom� erh�lt man, wenn man an vier �tetraedrisch gelegene� Sechsecke des Oktaederstumpfs je ein archimedisches Sechseckprisma ansetzt und dann alle Sechsecke entfernt. Das Atom hat dann 8 L�cher; dieses {4,5}-Polyeder ist also vom Geschlecht g=4, was durch E=24, K=60 und F=30 best�tigt wird. Es gibt aber noch ein zweites Atom aus 10 Quadraten, 20 Kanten und 8 Ecken mit 4 L�chern, was g=2 bedeutet (siehe Stephen Dutchs Website �Wells� Hyperbolic Tesselations�). Das ist merkw�rdig und kaum vorstellbar! Sollte etwa jeder der beiden Seiten des Polyeders ein eigenes Geschlecht zugeordnet werden; oder ist das erste Atom gar kein Atom, weil es genau den dreifachen Satz an Ecken, Kanten und Fl�chen aufweist? Das sind Vermutungen! Zur weiteren Kl�rung ist eine genaue Definition von �Atom� als erzeugende Konfiguration hier unumg�nglich.

Wie man sieht, ist das Feld der unendlichen archimedischen Polyeder theoretisch wie praktisch noch wenig beackert. Eine Bearbeitung lohnt sich vor allem auch deshalb, weil geeignetes Baumaterial zum Experimentieren erh�ltlich ist (z. B. Polydronplatten und -rahmen und �hnliches).
Es gibt weder eine Liste aller unendlichen archimedischen Polyeder, noch eine Beschreibung ihrer speziellen Eigenschaften wie Aufbau, Symmetrieger�st, Geschlecht, �Atome�, Volumenverh�ltnis der beiden Raumteile, Verbindungsgraph (Mittelpunkte benachbarter Atome werden durch eine Strecke verbunden) � noch eine Liste von Problemen, deren L�sung von Interesse ist. Einen ersten Einstieg liefert die englische Wikipedia-Seite �ber unendliche Polyeder.
Ein ungel�stes Problem, das etwas weiter ausgreift: Zu jedem konvexen archimedischen Polyeder gibt es ein duales (catalanisches) Polyeder. Bei den unendlichen archimedischen Polyedern ist das nur selten der Fall. Es sind wohl deshalb auch nur wenige solche Polyeder bekannt; ich selbst habe einige Beispiele beschrieben (�Unendliche regelm��ige und halbregelm��ige Polyeder� in: �Beitr�ge zum Mathematikunterricht 1996� S. 118 � 121, Verlag Franzbecker, und �Modelle zu besonderen Eigenschaften des halbregelm��igen Rhombendodekaeders� in: �6. Tagung der DGfGG� S. 84-87, Shaker-Verlag, Aachen 2010). Sie m�ssen beliebige, aber �quivalente Fl�chen besitzen, alle Keilwinkel m�ssen gleich sein und ihre Ecken regelm��ig, aber nicht kongruent! Ihre Bezeichnung m�sste �unendliche catalanische Polyeder� lauten.