Die verborgene Ordnung der Quasikristalle

Schickt man parallele Röntgenstrahlen durch einen Kristall, so ergeben sich schön anzusehende, symmetrische, aus lauter Punkten zusammengesetzte Beugungsbilder. Diese Punktmuster erlauben weit gehende Rückschlüsse auf die Struktur des durchstrahlten Objekts: Ein Kristall ist periodisch, das heißt, man kann ihn sich aus so genannten Elementarzellen zusammengesetzt denken, Gruppen von wenigen Atomen, die sich über den gesamten Kristall hinweg wiederholen wie Ziegelsteine in einem Mauerwerk. Genauer: Ein Kristall geht durch Translationen um jeden von drei unabhängigen Vektoren (die "Kanten des Ziegelsteins") wieder in sich selbst über.

Manchmal sehen die Beugungsbilder sogar so kristallähnlich aus, dass man auf den ersten Blick meinen könnte, sie spiegelten direkt die Atompositionen im Kristallgitter wider. Sie geben jedoch die Symmetrie eines anderen Gitters wieder, die des dualen (oder reziproken) Gitters.

Fast achtzig Jahre lang glaubte man, das Vorkommen scharfer, punktförmiger Reflexe im Beugungsbild sei auf (gewöhnliche) Kristalle beschränkt; entsprechend galten Translationssymmetrie, Kristallstruktur und rein punktförmige Beugungsreflexe als drei verschiedene Ausdrücke für dieselbe Sache. Es war daher für die Kristallographie ein Schock, als 1982 Materialien entdeckt wurden, deren Beugungsbilder zwar nur punktförmige Beugungsreflexe - wie eben bei den üblichen periodischen Kristallen - zeigen, aber eine fünfzählige Drehsymmetrie aufweisen, die mit einer Gittersymmetrie nicht vereinbar ist! Diese neuen Stoffe, die ganz sicher keine herkömmlichen Kristalle waren, wurden "Quasikristalle" getauft (SdW 10/1986, S. 74, und 6/1991, S. 48). Alsbald suchten die Forscher nach ihren physikalischen Eigenschaften und nach mathematischen Modellen, die ihre Geometrie erklären konnten.

In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit mathematischen Fragen, die sich aus dieser Entdeckung ergeben. Quasikristalle sind offensichtlich geordnet - sonst hätten s