Mathematische Unterhaltungen

Alle Symmetrien der Welt

In diesem Jahr erhalten John G. Thompson und Jacques Tits den Abel-Preis f�r grundlegende Arbeiten zur Gruppentheorie, die in einem Mammutwerk gipfelten: der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen.

Die Geschichte beginnt mit einem Knall. Am fr�hen Morgen des 30. Mai 1832 wurde der junge franz�sische Revolution�r �variste Galois im Duell von einem Pistolenschuss niedergestreckt. �Weine nicht�, soll er zu seinem Bruder gesagt haben, in dessen Armen er tags darauf sein Leben aushauchte, �ich muss all meinen Mut zusammennehmen, um mit 20 Jahren schon zu sterben.�

Vielleicht h�tte er etwas besser gezielt und an Stelle seines Gegners das Feld lebend verlassen, wenn er die Nacht davor nicht durchgemacht h�tte. In fieberhafter Eile hatte er die Grundz�ge einer revolution�ren mathematischen Entdeckung skizziert. Heute nennen wir sie Gruppentheorie und verwenden sie, um eine der bedeutendsten Eigenschaften der Natur in Begriffe zu fassen: die Symmetrie.

Das � vorl�ufige � Ende der Geschichte ist ebenfalls eine revolution�re…

1. Z�he Legende?

05.05.2008, Manfred Polak, Wiener Platz 8, 81667 M�nchen

Marcus du Sautoy behauptet, �variste Galois habe die Grundz�ge der Gruppentheorie in der Nacht vor seinem fatalen Duell niedergeschrieben. Nun hat aber Tony Rothman schon 1982 in einem Artikel in Spektrum der Wissenschaft ("Das kurze Leben des �variste Galois", Juni 1982, S. 102) dargelegt, dass diese Geschichte nichts als ein romantisches M�rchen ist. In Wirklichkeit, so Rothman, hat Galois die Theorie schon Wochen vorher zu Papier gebracht. Gibt es neue Forschungsergebnisse, die doch die melodramatische Version st�tzen, oder ist hier nur die Legende z�her als die Realit�t?

Antwort der Redaktion:
Ich f�rchte, Letzteres ist der Fall. Jedenfalls sind mir neuere Forschungsergebnisse zu Galois' letzter Nacht nicht bekannt.

Besten Dank f�r den Hinweis auf den Artikel in unserer eigenen Zeitschrift, den ich � wie ich zu meiner Schande gestehen muss � nicht mehr so richtig im Kopf hatte.

Christoph P�ppe, Redaktion

2. Rotationssymmetrien

03.06.2008, C. Grie�mann, W�chtersbach

In dem Artikel von M. du Sautoy wird kurz angedeutet, dass sich die Drehgruppe des 15-Ecks aus den Drehgruppen des Pentagons und des Dreiecks zusammensetzen l�sst. In seinem Buch "Symmetry" pr�zisiert du Sautoy die M�glichkeiten der Drehgruppen wie folgt: "If you take a regular two-dimensional polygon with a prime number of sides, then the rotational symmetries of this prime-sided shape cannot be built from those of smaller objects. Not only that, but these prime-sided figures are the building blocks for the symmetries of all the other regular two-dimensional polygons." Du Sautoy gibt mit dem regul�ren 105-Eck ein weiters Beispiel, dess Drehgruppe sich aus den Drehgruppen eines "eingeschriebenen" Dreiecks, Pentagons und 7-Ecks erstellen l�sst.
Wie funktioniert diese Methode aber, wenn es sich bei dem regul�ren zweidimensionalen n-Eck beispielsweise um ein 9-Eck handelt (oder ein anderes Polygon, dessen Anzahl von Ecken dem Quadrat einer Primzahl entspricht)? Die Drehgruppe des Nonagons l�sst sich zwar als das Produkt der Drehgruppen zweier Dreiecke beschreiben, allerdings ist mir nicht klar, wie man diese Tatsache �hnlich bildlich darstellen kann, wie es f�r das 15-Eck im Heft 5/08, S. 88 gezeigt ist. Funktioniert diese Methode im Fall des Nonagons und der "eingeschriebenen" Dreiecke nicht oder gibt es eine M�glichkeit, diesen Fall �hnlich anschaulich zu zeigen?

Antwort der Redaktion:
Es funktioniert auf jeden Fall nicht so sch�n wie bei teilerfremden Faktoren. Eine Untergruppe der Neunecksgruppe ist die Gruppe der Drehungen um Vielfache von drei Neunteln (= einem Drittel) des Vollwinkels. Das ist die Symmetriegruppe eines Dreiecks, das man ins Neuneck einbeschreiben kann.

Damit hat man einen Faktor der Zerlegung. Aber der andere Faktor! Offiziell ist es eine Gruppe von Nebenklassen. Ihre Elemente sind so etwas wie die Elemente der urspr�nglichen Neunecksgruppe "modulo der Dreiecksgruppe"; das hei�t, zwei Elemente, die sich nur um eine oder zwei Drittelsdrehungen unterscheiden, werden miteinander identifiziert. Nat�rlich hat diese Gruppe ebenfalls drei Elemente und ist damit isomorph zur Dreiecksgruppe. Aber eine anschauliche Darstellung daf�r will mir nicht einfallen.

Christoph P�ppe