Serie Mathematik (Teil I)

"Wer die Zetafunktion kennt, kennt die Welt"

Es gibt eine einzige Funktion, die alle Eigenschaften der Primzahlen in sich zusammenfasst. Wer sie kennt, kann weit reichende Aussagen treffen. Die aber h�ngen von einer Behauptung ab, die seit 150 Jahren jedem Beweisversuch trotzt.

Bernhard Riemann vollbrachte in seinem kurzen Leben eine F�lle der erstaunlichsten mathematischen Leistungen. Er beeindruckte Carl Friedrich Gau� (1777 � 1855), schon zu Lebzeiten die unangefochtene Autorit�t der Mathematik, mit v�llig neuen topologischen Methoden in der komplexen Analysis und der heute nach ihm benannten riemannschen Geometrie. Hinzu kamen herausragende Arbeiten zur Differenzialgeometrie, zu den in den Naturwissenschaften so wichtigen Differenzialgleichungen, Abhandlungen �ber mathematische Physik, eine theoretische Fundierung des Integrationsbegriffs und vieles mehr.

Nur ein einziger Artikel aus der Feder Riemanns befasst sich mit der Zahlentheorie: "�ber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr��e". Gleichwohl legt er von der Genialit�t seines Verfassers ein beeindruckendes Zeugnis ab. Seiner Zeit weit voraus, enth�lt er viele Vermutungen, die erst einige Jahrzehnte sp�ter bewiesen wurden; �ber eine weitere schrieb Riemann lapidar:

"Hiervon w�re allerdings ein strenger Beweis zu w�nschen; ich habe indessen die Aufsuchung desselben nach einigen fl�chtigen vergeblichen Versuchen vorl�ufig bei Seite gelassen, da er f�r den n�chsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien."

Der Beweis, den Riemann "vorl�ufig bei Seite gelassen" hatte, fehlt bis heute…

1. Die Formel f�r zeta(s) ergibt nicht 0 f�r s=�2

01.09.2008, Prof. Dr. W. Eberhard Weber, Universit�t Halle-Wittenberg

Auf Seite 90 wird festgestellt, dass Nullstellen von zeta f�r s=�2, �4, �6 ... vorliegen.
Das darf man dann aber nicht in die Formel f�r zeta auf Seite 88, 1. Spalte einsetzen. Zum Beispiel ergibt sich f�r s=�2 dann zeta(�2) = 1 + 4 + 9 + 16 + ... . Das ist mit Sicherheit nicht Null.

Antwort der Redaktion:
Das ist richtig und gilt f�r alle Werte s, deren Realteil kleiner als 1 ist: Setzt man s in die urspr�ngliche Definition von zeta (auf Seite 88) ein, so ist das Ergebnis unendlich. Beschr�nkt man sich auf diese Definition, so ist die Zetafunktion f�r Re s < 1 nicht definiert.

Der Witz ist: Man kann den Geltungsbereich der Funktion �ber seine urspr�ngliche Ausdehnung hinaus in das "verbotene Gebiet" hinein erweitern. Die Erweiterung hei�t "analytische Fortsetzung" und ist � jedenfalls in unserem Fall � eindeutig und frei von Willk�r. Es gibt nur diese eine "nat�rliche" Art, die Zetafunktion fortzusetzen.

Von dieser Erweiterung handelt der ganze Rest des Artikels. Insbesondere liegen die ber�hmten nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion s�mtlich in dem Bereich, der durch die urspr�ngliche Definition nicht abgedeckt ist.

Christoph P�ppe, Redaktion

2. funktion :: funktionswert

02.09.2008, Wolfgang Fischer, A-4160 Schl�gl

Im Artikel wird sowohl f(s) als auch f alleine f�r die Funktion f verwendet.

"Eine Funktion f(s) sei auf einer [...] Wir fordern, dass f in K keine Nullstellen [...]."
Seite 93.

Ich frage mich, ob es nicht konsequenter w�re, nur von der Funktion f zu sprechen und mit f(s) den Funktionswert an der Stelle s zu bezeichnen. Das w�re dann auch f�r alle anderen Funktionen so - Primz�hlfunktion Pi und Funktionswert Pi(x) ... .

F�r die Logarithmusfunktion in der N�herung
pi(x) ist ungef�hr gleich x / log x wird keine Basis angegeben. Gemeint ist doch der nat�rliche Logarithmus - oder?

Antwort der Redaktion:
Sie haben in beiden Punkten Recht. Eine Funktion ist ein eigenst�ndiges mathematisches Objekt. Sie ist zwar definiert durch ihre Funktionswerte, gleichwohl aber von ihrem Wert an irgendeiner Stelle zu unterscheiden. Korrekterweise ist also nicht von der Funktion zeta(s), sondern von der Funktion zeta zu sprechen. Allerdings halten auch die professionellen Mathematiker (au�erhalb der Anf�ngervorlesung) diese Regel meistens nicht ein.

Gemeint ist in der Tat der nat�rliche Logarithmus.

Christoph P�ppe, Redaktion