Serie Mathematik (Teil IX und Schluss )
Was ist Mathematik?
Bernulf Kanitscheider ist emeritierter
Professor für Philosophie der
Naturwissenschaften an der Universität
Gießen. In dieser Zeitschrift
ist er mit einem Forscher-Porträt
ausführlich vorgestellt worden (SdW 7/2008, S. 74). Auch die Zahl ihrer Anwendungen hat sich stetig vermehrt. Nicht umsonst hat Immanuel Kant (1724 – 1804) in seinen "Metaphysischen Anfangsgründen der Naturwissenschaft" (1786) behauptet, "daß in jeder besonderen Naturlehre nur so viel eigentliche Wissenschaft angetroffen werden könne, als darin Mathematik anzutreffen ist". Seit dieser Zeit hat die Mathematisierung der Wissenschaft eine Vielzahl von Bereichen erreicht. Vom Gebrauch der Differenzialgeometrie in der Gravitationstheorie (Spektrum der Wissenschaft 5/2009, S. 66) über die Verwendung der Hilbert-Räume in der Quantenmechanik bis zum Einsatz von Differenzengleichungen und Statistik in Biologie und Psychologie ist die Axiomatisierung und Formalisierung zu einem Zeichen für den Entwicklungsstand eines Fachs geworden.
Dieser unbestreitbare Erfolg hat philosophische Fragen auf den Plan gerufen, die sehr kontroverse Antworten gefunden haben. Dabei gibt es zu der Frage »Welche Qualität haben die Erkenntnisse der Mathematik?« noch vergleichsweise wenig…
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1. Grenzen der Mathematik
03.06.2009, Philipp Wehrli, Winterthur, SchweizMeine Überlegung basiert auf Cantors Beweis mittels Diagonalverfahren, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist. Ich habe mich gefragt, woher denn die überzählbar vielen Zahlen kommen? Sicher gehören die natürlichen Zahlen und die Brüche zur Menge der reellen Zahlen. Aber diese sind bekanntlich abzählbar. Weiter kommen die Wurzeln dazu. Auch von diesen gibt es unendlich viele, aber auch die Wurzeln sind abzählbar. Wenn ich abzählbar viele abzählbare Mengen vereinige, so muss die Vereinigung wieder abzählbar sein. Was gibt es noch für reelle Zahlen? Irgendwo müssen doch die überabzählbar unendlich vielen Zahlen sein! Die Kreiszahl Pi und die Eulersche Zahl e fielen mir noch ein. Ach, so: Alle Zahlen, die sich irgendwie durch Reihen beschreiben lassen. Wie viele gibt es davon wohl? Gibt es noch andere Möglichkeiten, eine reelle Zahl zu definieren?
Da fiel mir plötzlich folgendes auf: In der Mathematik wird nur eine endliche Anzahl verschiedener Zeichen verwendet. Eine mathematische Definition besteht aus einer endlich langen Folge dieser endlich vielen Zeichen. Diese endlich langen Folgen kann ich aber der Länge nach sortiert und alphabetisch geordnet auflisten. Zuerst kommen alle Folgen, die aus nur einem Zeichen bestehen, dann alle mit zwei Zeichen usw. Alle endlich langen Sätze, die mit den mathematischen Zeichen formuliert werden können, sind in dieser Liste enthalten! Die Liste enthält zwar auch ziemlich viel sinnloses Zeugs, aber alle sauberen mathematischen Definitionen sind in der Liste drin!
Wenn aber alle Definitionen in der Liste enthalten sind, dann sind auch alle Definitionen von reellen Zahlen in der Liste drin. Kein noch so brillanter Mathematiker kann eine reelle Zahl definieren, die nicht schon längst in meiner Liste definiert ist. Denn meine Liste enthält alle Definitionen. Cantor behauptete, er könne zu jeder Liste von reellen Zahlen eine reelle Zahl definieren, die nicht in der Liste enthalten sei. Kann gar nicht sein bei meiner Liste! Denn in meiner Liste steht alles drin, was Cantor in seinem ganzen Leben gesagt und geschrieben hat. Und irgendwo, sagen wir an Stelle X, steht da auch: "Nimm Philipp Wehrlis Liste und wende Cantors Diagonalverfahren an." Was geschieht dann an dieser Stelle? Nach Cantor definiert der Satz X eine reelle Zahl, die nicht in der Liste ist. Der Satz X steht aber in der Liste! Wo ist der Haken?
Meine Idee war: Jede reelle Zahl, die sauber definiert werden kann, ist in meiner Liste enthalten. Jede reelle Zahl, die überhaupt je in einer mathematischen Formel auftauchen kann, kommt in der Liste vor. Denn alle endlich langen mathematischen Formeln stehen in der Liste. Weshalb sollen wir uns mit überabzählbar vielen reellen Zahlen herumschlagen, die mit absoluter Sicherheit nie in der Praxis auftauchen? Streichen wir einfach alle weg, die nicht in der Liste stehen! Nur die Zahlen sollen "reell" heißen, die in einem endlich langen Satz definiert werden können.
Dies hätte zwei Vorteile: Erstens wären dies nur abzählbar viele. Denn sie sind ja in meiner Liste der endlichen Zeichenfolgen enthalten. Zweitens könnte sicher niemand eine reelle Zahl definieren, die nicht schon in der Liste der Definitionen enthalten ist. Dies scheint ein Widerspruch zu Cantors Satz zu sein. Ich hätte eine Liste von reellen Zahlen, und niemand könnte eine reelle Zahl nennen, die nicht schon in der Liste steht.
Einen kleinen Haken hat die Sache noch. Ich habe ja nicht eine Liste von reellen Zahlen! Ich habe nur eine Liste von Zeichenfolgen. Viele dieser Zeichenfolgen haben überhaupt nicht mit reellen Zahlen zu tun, sie sind völlig bedeutungslos. Ich muss also zuerst die bedeutungslosen Zeichenfolgen wegstreichen.
Ich habe angenommen, dies sei möglich. Aber wenn ich die bedeutungslosen Zeichenfolgen wegstreichen könnte, dann ergäbe sich ein Widerspruch. Dann hätte ich nämlich wie beschrieben eine Liste von reellen Zahlen, zu der niemand eine reelle Zahl hinzufügen könnte. Aber wie Cantors Satz zeigt, ist dies nicht möglich. Meine Annahme ist also falsch:
*Es ist nicht möglich, die bedeutungslosen Zeichenfolgen von den sauberen mathematischen Definitionen zu unterscheiden.* Das ist ungeheuerlich!!! Wie können wir exakte Mathematik betreiben, wenn wir nicht einmal wissen können, ob ein Textabschnitt eine mathematische Definition oder ein unsinniger Buchstabensalat ist?
Erst lange nachdem ich diese Idee hatte, merkte ich, dass sie eng verwandt ist mit einem Satz und einem Beweis, den Turing schon vor 70 Jahren entdeckte (Satz von Turing).
2. Eine intuitionistische Perspektive
06.06.2009, Hayo Siemsen, Wadgassen, Saarlandherzlichen Dank für Ihren schönen Artikel über Grundfragen der Mathematik. Vielleicht liegt es daran, dass Sie von Beginn an den Standpunkt eines bedingten Realisten einnehmen, dass einige Ihrer Ideen in dem Artikel nicht bis zu ihren letzten Konsequenzen ausgeführt werden und dadurch auch einige wichtige Fragestellungen in der Mathematikphilosophie verborgen bleiben. Ich werde daher in diesem Leserbrief den Standpunkt eines „Intuitionisten“ (also nahe dem Standpunkt von Poincaré) einnehmen, um einige Ideen aus dieser Perspektive zu beleuchten und somit Ihren Artikel zu vervollständigen.
Zunächst ein Kommentar zum Intuitionismus: Für die Grundidee des Intuitionismus (Kronecker) sind die natürlichen Zahlen intuitiv (psychologisch) gegeben. Alles andere wird daraus konstruiert (in der Variante von Brouwer ist dann nur noch die „1“ gegeben). Diese Idee findet sich schon bei Gauß. Gauß schrieb in einem Brief an Bessel: „Wir müssen in Demut zugeben, dass, wenn die Zahl bloß unseres Geistes Produkt ist, der Raum auch außer unserem Geist eine Realität hat, der wir a priori ihre Gesetze nicht vollständig vorschreiben können.“ Ausgehend von dieser ambivalenten Sichtweise von Gauß haben sich bei seinen Schülern zwei Denkschulen entwickelt: die „Logiker“ Dedekind, Frege, Wittgenstein etc., sowie Kronecker und die „Intuitionisten“ (Poincaré, Brouwer, Weyl).
Die Logiker gehen aprioristisch vor, die Intuitionisten psychologisch, präziser gesagt psychophysisch (mit dem Anspruch, die Mathematik begrifflich in sich konsistent zu den empirischen Beobachtungen aus Psychologie, Physiologie und Physik zu fassen). Die psychologische Basis mathematischer Grundbegriffe wird hierbei bewusst nicht definitiv festgelegt, da (nach Poincaré) sich der Stand der psychologischen Forschung verändern kann. In diesem Sinne ist die Mathematik nicht sicher, nicht objektiv, nicht mehr oder weniger „fortschreitend in der Erkenntnis“ als andere Wissenschaften, nur dass sie es versteht, die „Krisen und Rückschritte“ besser nachträglich logisch zu verbergen Die Bezeichnungen werden beibehalten und nur deren Bedeutung angepasst (diesen Effekt der „Geschichtsschreibung aus Sicht des dominanten Paradigmas“ hat Thomas Kuhn ausgiebig für andere Wissenschaften dargelegt). So wurde mir von einem Mathematikhistoriker geschildert, wie der Einfluss der Ideen der Bourbaki-Gruppe (einer Gruppe überwiegend französischer Mathematiker, die gemeinsam unter dem Pseudonym „Bourbaki“ publizierten und versucht haben, die gesamte Mathematik konsistent auf die Mengenlehre zurückzuführen; ein Versuch, der gescheitert ist) das mathematische Denken der gesamten Generation des Historikers grundlegend beeinflusst hat. Kurz gesagt, die empirische Bedeutung (Gestalt) der Begriffe hat sich geändert. Doch dies bemerkt nur der Historiker, der sich mit der Veränderung beschäftigt. Im Bewusstsein der aktuellen Wissenschaft geht das Wissen um diese begrifflichen Veränderungen oft verloren, da es nicht mehr gelehrt wird. Die neue Generation von Wissenschaftlern wächst intuitiv mit dem veränderten Begriffsystem auf.
Sie geben hierzu ein interessantes Beispiel: Die euklidische Geometrie wird heute als Spezialfall gesehen. Dieses Beispiel zeigt die Kulturabhängigkeit von Mathematik. Die euklidische Geometrie ist dabei jedoch nicht dieselbe geblieben, da die Grundbegriffe ihre empirische Bedeutung verändert haben. Die Parallelen sind nicht mehr dieselben Parallelen wie für die alten Griechen, da sie damals keine „verschwindende Krümmung“ als Eigenschaft haben konnten. Damit ist Plato (und dem Platonismus) die empirische Basis entzogen (wobei man korrekterweise sagen muss, dass dazu noch eine weitere empirische Widerlegung gehört, nämlich die Widerlegung der „göttlichen Harmonien“, welche die Zahlen nach Ansicht der Pythagoräer ausdrücken sollen; wie Patel (Spektrum 02/09) beschrieben hat, sind Harmonien nicht göttlich, sondern kulturbedingt). In ähnlicher Weise hat Kronecker die (unbemerkte, intuitive) Veränderung der begrifflichen Verwendung des Gleichheitszeichens in der Mathematik festgestellt und der Gestaltpsychologe Max Wertheimer die Synthese von ursprünglich zwei Zahlbegriffen (dem ganzheitlich-gestaltorientieren, z. B. der „1“, und dem unkonkret-symbolhaften des 1, 2, 3, …) zu unserem derzeitigen Zahlbegriff in der Mathematik beschrieben. Ein Blick in andere Kulturen (Indien, China, Babylon, etc.) zeigt, wie unterschiedlich dort im Vergleich zu den alten Griechen Mathematik betrieben wurde. Wie unsere Mathematik aussähe, wenn die dortige Mathematik bis heute mit einer ähnlichen Zahl von Mathematikern wie die westliche Mathematik weiterbetrieben worden wäre, lässt sich nur schwer erahnen. Mathematikanthropologen würden vermutlich zustimmen, dass unsere Mathematik sehr anders sein könnte. Den Unterschied machen (im Sinne Poincarés) die kulturbedingten Konventionen aus (dies war übrigens auch Freges Ansatz in seinem Spätwerk zur Überwindung von Russells Paradoxon).
Die Frage, warum sich Mathematik so erfolgreich auf die empirische Welt anwenden lässt, ist aus intuitionistischer Sicht relativ eindeutig erklärbar: man wendet mathematische Gestalten auf noch nicht erklärte empirische Phänomene an. Wenn sie einigermaßen „passen“, werden sie als „passende Beschreibung“ verwendet. Quine hat gezeigt: Schon unsere Suche nach den physikalischen Phänomenen ist von psychischen Neigungen wie „Vereinfachung“ und der „Suche nach Symmetrien“ geprägt. Technologien werden häufig in anderem Sinne verwendet als dem ursprünglichen. Vieles wird auch ohne konkrete Anwendung entwickelt (z. B. aus Zufall oder in der Grundlagenforschung). Alchemisten wollten häufig Gold herstellen, woraus dann manchmal so etwas „Anwendbares“ wie Porzellan wurde. Maschinen in der modernen Medizintechnik „suchen“ oft nach Anwendungsdiagnosen.
Doch es gibt noch einen weiteren, subtileren Grund für die empirische Anwendbarkeit von mathematischen Ideen: Die mathematischen Ideen haben eine empirische Komponente. Wie der Schüler von Paul Bernays (Bernays war Assistent von Hilbert und Freund von Gödel) und Gonseth (Nachfolger in der Denktradition von Weyl), Alexander Israel Wittenberg festgestellt hat (er ist sozusagen Erbe der Göttinger und der intuitionistischen Tradition; leider 1965 früh verstorben), sind alle Begriffe notwendigerweise abstrakt und empirisch zugleich. Der Unterschied ist nur, dass die so genannten „abstrakten Begriffe“ auf anderen Begriffen aufbauen, deren empirischer Kern je nach Abstraktionsgrad immer stärker versteckt ist. In den so genannten „empirischen Begriffen“ wird dagegen der Begriff stets anhand des Vergleichs mit empirischen Fakten weiterentwickelt. Wenn mathematische Begriffe einen empirischen Kern haben, dann ist es nicht besonders verwunderlich, wenn ihre konsequente Weiterentwicklung eine gewisse Passgenauigkeit an empirische Tatsachen behält. Zudem hat die Mathematik hier den Vorteil, dass die entgegen den intuitiven Ansichten gerichteten Weiterentwicklungen wegen des hohen Abstraktionsgrades nicht so hinderlich sind wie z. B. in der Physik. Sie kann der Physik also „im Weiterdenken“ voraus sein.
Auch physikalische Begriffe sind davon betroffen, da auf der einen Seite jede Messung (Quantifizierung) eine Abstraktion bedeutet und auf der anderen Seite viele physikalische Begriffe nicht mehr „empirisch“, sondern nur noch „abstrakt“ gebildet werden (Beschreibungen dazu finden sich z. B. in Artikeln des Physiknobelpreisträgers Wilczek). Ein Rückgriff auf die Physik hilft also bei einer Begründung eines „realistischen“ Ansatzes in der Mathematik nur bedingt, da es leicht zu einem Henne-Ei Problem kommt. So sind „Objekte“ entgegen landläufiger Meinung keine physikalischen bzw. empirischen Dinge, sondern Gedankendinge (schon abstrahiert). Die Physik kennt Objekte nur auf der idealisierten Ebene, konkret handelt es sich z. B. um „Körper“. Der „Bestätigungsholismus“ von Duhem ist sozusagen nur eine Folge dieses Begriffsbildungsprozesses (bei Duhem in der Herleitung seines Bestätigungsholismus nachzulesen).
Im Sinne Wittenbergs lässt sich nur darüber staunen, dass Mathematiker im Wesentlichen als Platoniker (also an ideale, unveränderliche Objekte glaubend) handeln, obwohl es inkonsistent zu ihrem Realismus ist. Ihr „Realismus“ aber wird durch empirische Beobachtungen widerlegt, welche ihrer bisherigen Intuition widersprechen. Wittenbergs These war, dass in einer Wissenschaft, die so stark auf das Ideal der Vollständigkeit und der inneren Konsistenz setzt wie die Mathematik, dieser Zustand eigentlich unhaltbar sein müsse. Bernays hat ihm darauf geantwortet, dass sich die Widersprüche mit der Zeit pragmatisch lösen würden. Seitdem sind mehr als 40 Jahre vergangen. Man kann Ihren Artikel aus meiner Sicht so verstehen, dass sich an der Situation seitdem nichts geändert hat. Dies führt aus intuitionistischer Sicht zu einer Schlussfolgerung eher entgegen der gängigen Intuition über die so genannte „reine“ Mathematik: Von der Metaebene aus gesehen ist zur Zeit fast alle Mathematik anwendungsbezogen und nicht grundlagenbezogen. Sie hat somit ihre Kulturabhängigkeit eher verstärkt als verringert.
3. Kategorientheorie
19.06.2009, Dipl.-Math. Wolfgang Hinderer, KarlsruheWarum wird bei diesen Erörterungen nicht auf die Kategorientheorie Bezug genommen?
Die 1945 entstandene Kategorientheorie hat sich in der Folge (nicht zuletzt durch die Arbeiten der Bourbaki-Schule) quasi als „Esperanto“ für alle mathematischen Disziplinen bewährt. Das heißt, sie kann von ihnen als gemeinsame Grundlage für das Reden über ihre eigenen Gegenstände verwendet werden, einschließlich der mathematischen Modellbildungen zum Beispiel der Physik oder der Informatik.
Das Grundprinzip einer Kategorie im mathematischen Sinne ist, dass ihre Objekte ausschließlich durch ihre Außenbeziehungen zu den anderen Objekten definiert sind: Das sind die Pfeile (auch Morphismen genannt) und, in ihrer Ansammlung, die Diagramme, die allesamt nicht auf das „Innere“ der Objekte Bezug nehmen. Die Teildisziplin der Kategorientheorie, die sich mit „mengenähnlichen“ Objekten befasst, ist die Topos-Theorie. Beide, Kategorien- und Topos-Theorie, sind – neben ihrer Esperanto-Eigenschaft – selbst als Teilgebiete der Mathematik besonders schön, was das Verhältnis der minimalen Annahmen zu den daraus herleitbaren reichen Früchten an geht. Einen voraussetzungslosen Einstieg stellt wohl Goldblatt, R.: Topoi – The Categorial Analysis of Logic, Studies in Logic and Foundations of Mathematics, vol. 98, North Holland, 2nd edition (1984), dar.
Warum es sich lohnen würde, die Kategorientheorie bei der Grundlagendiskussion näher in Betracht zu ziehen: Vielleicht ist ja unser Mengen-Verständnis – auch nach der Korrektur durch ZFC – noch zu „naiv“? Offenbar gibt es ja, wenn denn das mit der Esperanto-Eigenschaft stimmt, keine mathematische Aussage, die sich nicht kategoriell ausdrücken ließe (ich weiß allerdings leider nicht, ob es eine kategorielle Formulierung des Gödel'schen Satzes gibt).
Spannend wäre nun: Gibt es eine kategorielle Formulierung der Russell'schen Antinomie (was ja nicht im engeren Sinne eine mathematische Aussage ist)? Wenn nicht, dann läge es doch nahe, dass wir unsere mathematische „Denke“ vom Mengen-Vorbegriff auf einen „Kategorien-Vorbegriff“ umstellen, auf dieser Basis weiter nach Antinomien suchen und, solange wir keine finden, der belastbaren kategoriellen Grundlage vertrauen.
Das Kategorien-Konzept verdient es, auch einem größeren Kreis mathematisch interessierter Menschen etwa in einem oder mehreren Spektrum-Übersichtsartikeln präsentiert zu werden. Das hatte ich der Redaktion schon im September 1983 vorgeschlagen.
4. Goldbachs Vermutung
01.07.2009, Wolfram BlendinWill man fordern, dass die beiden Summanden ungleich sein müssen – was unüblich wäre –, dann müsste man "n>3" schreiben, denn 6 lässt sich nur schreiben als 6=3+3.
5. Spannender als ein Kriminalroman
28.07.2009, Hans-Reinhard Biock, TönisvorstAuch der Artikel "Abelpreis für Mikhail Gromov" ist von bestechend verständlicher Einfachheit. Seine Gedankengänge erinnern ein wenig an die großartigen Leistungen von B. Riemann, dessen Entdeckungen die Relativitätstheorie Einsteins möglich machten.
Mit Ihren mathematischen Darlegungen erfreuen Sie sicher nicht nur mein Gemüt. Bitte machen Sie weiter auf diesem Gebiet.
6. Das Versteck der überabzählbaren Zahlen
06.09.2009, Jakob Thomsen, MünchenDie Anzahl der Algorithmen, mit denen sich eine reelle Zahl beschreiben lässt, ist abzählbar unendlich (vorausgesetzt, die Länge jedes Algorithmus sei endlich).
Die Anzahl reeller Zahlen ist überabzählbar unendlich.
Das bedeutet, nicht jede reelle Zahl kann durch einen endlichen Algorithmus definiert werden.
Wo "verstecken" sich die restlichen, nicht benennbaren Zahlen?
Es muss Zahlen geben, die sich nur durch unendlich lange Algorithmen definieren lassen.
Mit einem Trick lässt sich ein Blick auf die nicht-benennbaren Zahlen werfen:
Algorithmus: Wähle für jede der unendlich vielen Nachkomma-Stellen der Zahl eine zufällige Ziffer.
Mit jeder Stelle sinkt die Wahrscheinlichkeit, die richtige Ziffer zu würfeln, und da es unendlich viele gibt,
geht die Wahrscheinlichkeit, dass das Resultat einer beliebigen benennbaren Zahl entspricht, gegen Null.
Auch bleibt die so erzeugte Zahl unbenennbar:
Der nächste Durchgang der Algorithmus erzeugt ja eine andere Zahl (die Wahlscheinlichkeit, das zweimal dieselbe rauskommt, geht auch gegen null).
Durch Verwendung echten (nicht-algorithmischen) Zufalls in einem endlichen Algorithmus zur Erzeugung einer reellen Zahl lassen sich also nicht-benennbare "Einweg"-Zahlen erzeugen.